Kreissehne

Stochastik

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Der Kreis ist eine der alltäglicheren geometrischen Figuren. Du findest ihn in Autoreifen, Tellern, Tassen und vielem mehr. Jedoch hat der Kreis neben seiner typischen Eigenschaft rund zu sein auch viele weitere wichtige Eigenschaften, welche Du kennen solltest. Eine ist die Kreissehne, welche Dir in dieser Erklärung erklärt wird.

Kreis – Grundlagenwissen

Um zu verstehen, was eine Kreissehne ist, musst Du wissen, was ein Kreis ist und welche besonderen Eigenschaften der Kreis noch besitzt.

Mehr zum Kreis erfährst Du in der Erklärung „Kreis“.

Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis k. Dieser hat den Mittelpunkt M und den Radius r. Der Mittelpunkt M ist dabei kein Punkt des Kreises.

Kreissehne Definition Kreis StudySmarter Abbildung 1: Definition Kreis

Die doppelte Länge des Radius wird Durchmesser genannt und ist die maximale Entfernung zweier Punkte auf einem Kreis.

Der Kreisbogen b ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises k und ist damit ein Teil des Gesamtumfangs U des Kreises k.

Der Kreisbogen ist daher der Umfang eines Kreisausschnitts.

Kreissehne Kreisbogen StudySmarter Abbildung 2: Kreisbogen

Ein weiterer besonderer Teil des Kreises ist der Kreisausschnitt oder Kreissektor.

Der Kreisausschnitt/Kreissektor ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises k, die zwischen zwei Radien des Kreises und dem dazugehörigen Kreisbogen b liegt.

Kreissehne Kreissektor StudySmarter Abbildung 3: Kreissektor

Mehr zum Kreissegment, Kreisbogen und Kreisausschnitt findest Du in den jeweiligen Erklärungen.

Kreissehne – Definition

Zeichne Dir einen Kreis und eine beliebige Strecke innerhalb des Kreises. Wenn Du die Strecke mit Anfangspunkt und Endpunkt auf dem Kreis eingezeichnet hast, dann handelt es sich um eine Kreissehne.

Eine Sehne ist diejenige Strecke eines Kreises, welche zwei Punkte eines Kreises verbindet und gleichzeitig den Kreis in zwei Kreissegmente und Kreisbögen teilt.

Die längste Sehne eines Kreises ist der Durchmesser, welcher durch den Kreismittelpunkt verläuft. Dieser ist doppelt so lang wie der Radius.

Kreissehne Definiton StudySmarter Abbildung 4: Kreissehne

Kreissehne Formel & berechnen

Die Länge einer Sehne kannst Du messen. Die Länge der Kreissehne kannst Du auch berechnen. Wie die Formel lautet, erfährst Du jetzt.

Sehnenlänge berechnen – Formel

Die Länge der Kreissehne ist abhängig vom Radius des Kreises und vom Mittelpunktswinkel.

Die Länge der Kreissehne s berechnet sich mit der Formel

$s = 2 \cdot r \cdot \sin (\frac{α}{2})$ ,

wobei r der Radius des Kreises und $α$ der Mittelpunktswinkel ist.

Je kürzer die Kreissehne ist, desto kleiner ist der Mittelpunktswinkel $α$ .

Handelt es sich bei der Kreissehne um den Durchmesser, ist $α = 180 °$ und der Sinusterm wird eins. Übrig bleibt $s = 2 r$ als übliche Formel zur Berechnung des Durchmessers.

Kreissehne Formel StudySmarter Abbildung 5: Kreissehne Formel

Aufgabe 2

Berechne die Länge der Kreissehne s. Der Radius des Kreises k beträgt $r = 5 c m$ . Der Mittelpunktswinkel beträgt 90°.

Lösung

Als Erstes setzt Du die Dir gegebenen Werte in die Formel zur Berechnung der Länge der Kreissehne ein.

$s = 2 \cdot r \cdot \sin (\frac{α}{2}) s = 2 \cdot 5 \cdot \sin (\frac{90 °}{2})$

Jetzt berechnest Du die Strecke s.

$s = 2 \cdot 5 \cdot \sin (\frac{90}{2}) s = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} s \approx 7, 07 [c m]$

Die Kreissehne ist rund 7,07 cm lang.

Kreissehne Radius berechnen – Formel

Mit der Formel der Sehnenlänge kannst Du ebenfalls den Radius berechnen. Dafür stellst Du die Formel nach dem Radius r um.

Der Radius r eines Kreises k wird mit der Formel

$\begin{array}{ccl} r & = & \frac{s}{2 \cdot \sin (\frac{α}{2})} \end{array}$ ,

berechnet, wobei s die Sehnenlänge und

α

der Mittelpunktswinkel ist.

Du stellst die Formel zur Sehnenlänge nach dem Radius um, indem Du durch 2 und den Sinusterm dividierst.

$\begin{array}{rclc} s & = & 2 \cdot r \cdot \sin (\frac{α}{2}) & | : 2 : \sin (\frac{α}{2}) \\ r & = & \frac{s}{2 \cdot \sin (\frac{α}{2})} \end{array}$

Aufgabe 3

Berechne den Radius des Kreises k. Die Kreissehne s hat eine Länge von 4 cm und der Mittelpunktswinkel beträgt 43°.

Lösung

Als Erstes setzt Du die Dir gegebenen Werte in die Formel ein.

$r = \frac{s}{2 \cdot \sin (\frac{α}{2})} r = \frac{4}{2 \cdot \sin (\frac{43}{2})}$

Jetzt berechnest Du den Radius des Kreises.

$r = \frac{2}{\sin (21, 5)} r = 5, 457 [c m]$

Der Kreisradius beträgt 5,457 cm.

Mehrere Kreissehnen im Kreis

Innerhalb eines Kreises können auch mehrere Kreissehnen auftauchen. Sind sie gleich lang, haben sie eine besondere Eigenschaft.

Wenn Kreissehnen gleich lang sind, haben sie den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt. Die Umkehrung dieses Satzes gilt ebenfalls. Wenn Kreissehnen den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt haben, sind sie gleich lang.

In der folgenden Abbildung sind vier Kreissehnen eingezeichnet, welche alle die gleiche Länge besitzen. Sie besitzen ebenfalls alle den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt M.

Kreissehne Formel StudySmarter Abbildung 6: Kreissehne Formel

Sehnensatz

Wenn Du zwei Kreissehnen in einem Kreis hast, können sich diese auch schneiden. Sie schneiden sich dann in einem bestimmten Verhältnis.

Wenn sich zwei Kreissehnen $A C$ und $B D$ in einem Punkt S schneiden, so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich.

Es gilt:

$|A S| \cdot |C S| = |B S| \cdot |D S|$

und

$\frac{|A S|}{|B S|} = \frac{|C S|}{|D S|}$

Kreissehne Sehnensatz StudySmarter Abbildung 7: Sehnensatz

Zwei Kreissehnen in einem Kreis müssen sich nicht schneiden, wenn sie sich jedoch schneiden, dann teilen sie sich im selben Verhältnis

Aufgabe 1

Berechne das Produkt der Sehnenabschnitte und vergleiche sie anschließend.

Kreissehne Sehnensatz StudySmarter Abbildung 8: Sehnensatz

Lösung

Als Erstes berechnest Du die Produkte beider Sehnen.

$|A S| \cdot |C S| = 1, 8784 \cdot 3, 7623 |A S| \cdot |C S| = 7, 067$

$|B S| \cdot |D S| = 2, 0411 \cdot 3, 4625 |B S| \cdot |D S| = 7, 067$

Jetzt vergleichst Du diese.

$\begin{array}{rcl} |A S| \cdot |C S| & = & |B S| \cdot |D S| \\ 7, 067 & = & 7, 067 \end{array}$

Beide Sehnenprodukte sind gleich groß. Dementsprechend ist der Sehnensatz erfühlt.

Kreissehne – Umfang & Fläche

Die Kreissehne selbst besitzt keinen Umfang oder Flächeninhalt, sondern nur eine Länge. Sie ist keine geometrische Figur oder Ausschnitt aus einer geometrischen Figur und nur als solche kann etwas einen Umfang oder Flächeninhalt besitzen.

Die Kreissehne ist allerdings eine Begrenzungslinie vom Kreissegment. Das Kreissegment wiederum ist ein Ausschnitt einer geometrischen Figur und besitzt somit einen Umfang und Flächeninhalt.

Das Kreissegment ist in der Geometrie eine Teilfläche des Kreises k, die von der Kreissehne und dem dazugehörigen Kreisbogen b umschlossen wird.

Das Kreissegment wird auch Kreisabschnitt genannt.

Kreissehne Kreissegment StudySmarter Abbildung 9: Kreissegment

Kreissegment – Umfang

Die Kreissehne ist ein Teil des Kreissegments, welches ein Ausschnitt aus der geometrischen Figur des Kreises ist.

Der Umfang des Kreissegments berechnet sich aus der Länge der Kreissehne s und des Kreisbogens b.

Es gilt:

$U = b + s = 2 \cdot r \cdot (π \cdot \frac{α}{360 °} + \sin (\frac{α}{2}))$

Die Formel des Kreissegmentumfangs setzt sich aus der Formel des Kreisbogens

$b = 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360 °}$

und der Formel der Kreissehne zusammen

$s = 2 \cdot r \cdot \sin (\frac{α}{2})$ .

Kreissehne Umfang StudySmarter Abbildung 10: Kreissegment Umfang

Aufgabe 4

Berechne den Umfang des Kreissegments vom Kreis k mit dem Radius $r = 3 c m$ . Der Mittelpunktswinkel beträgt 45°.

Lösung

Zu Beginn musst Du die Länge der Kreissehne berechnen und die Länge des Kreisbogens.

Dafür setzt Du die gegebenen Werte in die Gleichung der Kreissehne ein und berechnest diese.

$s = 2 \cdot r \cdot \sin (\frac{α}{2}) s = 2 \cdot 3 \cdot \sin (\frac{45}{2}) s = 2, 2961 [c m]$

Danach setzt Du die Werte in die Gleichung des Kreisbogens ein und berechnest diesen ebenfalls.

$b = 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360 °} b = 2 \cdot π \cdot 3 \cdot \frac{45}{360} b = \frac{3}{4} π [cm]$

Zum Schluss addierst Du den Kreisbogen und die Kreissehne und erhältst den Umfang des Kreissegments

$U = b + s U = \frac{3}{4} π + 2, 2961 U = 4, 6523 [c m]$

Der Umfang des Kreissegments beträgt 4,6523 cm.

Kreissegment – Fläche

Die Kreissehne begrenzt lediglich das Kreissegment, welches einen Flächeninhalt besitzt.

Der Flächeninhalt des Kreissegments berechnet sich aus der Hälfte des Produkts vom Kreisbogen und dem Radius.

Es gilt:

$A = \frac{π \cdot r^{2} \cdot α}{360 °} = \frac{b \cdot r}{2}$

In der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts taucht die Kreissehne nicht auf. Jedoch ist die Kreissehne auch hier wichtig, da sie A und B definiert und somit den Mittelpunktswinkel festlegt

Kreissehne Fläche StudySmarter Abbildung 11: Kreissegment Flächeninhalt

In Aufgabe 4 hast Du bereits von einem Kreissegment den Umfang berechnet. Jetzt geht es darum, den Flächeninhalt des Kreissegments aus Aufgabe 4 zu berechnen.

Lösung

Den Kreisbogen hast Du bereits berechnet. Er lautet:

$b = \frac{3}{4} π [cm]$

Damit kannst Du nun den Flächeninhalt berechnen.

$A = \frac{b \cdot r}{2} A = \frac{\frac{3}{4} π \cdot 2}{2} A = \frac{3}{4} π [{cm}^{2}]$

Das Kreissegment hat eine Fläche von rund 2,36 cm².

Kreissehne berechnen – Übungsaufgaben

Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 5

Berechne die Länge der Sehne vom Kreis k mit dem Radius $r = 9 c m$ . Der Mittelpunktswinkel ist rechtwinklig.

Lösung

Als Erstes setzt Du alle Dir gegebenen Werte in die Formel der Kreissehne ein.

$s = 2 \cdot r \cdot \sin (\frac{α}{2}) s = 2 \cdot 9 \cdot \sin (\frac{90}{2})$

Jetzt berechnest Du die Kreissehne.

$s = 2 \cdot 9 \cdot \sin (\frac{90}{2}) s = 9 \sqrt{2} [c m] \approx 12, 73 [c m]$

Die Kreissehne beträgt rund 12,73 cm.

Aufgabe 6

Berechne den Umfang des Kreissegments vom Kreis k mit dem Radius $r = 6 c m$ und einem Mittelpunktswinkel von $α = 80 °$ .

Lösung

Als Erstes berechnest Du die Länge der Sehne und des Kreisbogens.

$s = 2 \cdot r \cdot \sin (\frac{α}{2}) s = 2 \cdot 6 \cdot \sin (\frac{80}{2}) s = 7, 7135 [c m]$

$b = 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360 °} b = 2 \cdot π \cdot 6 \cdot \frac{80}{360} b = \frac{8}{3} π [cm]$

Zum Schluss addierst Du die Kreissehne und den Kreisbogen.

$U = s + b U = 7, 7135 + \frac{8}{3} π U = 16, 09 [cm]$

Der Umfang des Kreissegments beträgt 16,09 cm.

Kreissehne – Das Wichtigste

Eine Sehne ist diejenige Strecke eines Kreises, welche zwei Punkte eines Kreises verbindet und gleichzeitig den Kreis in zwei Kreissegmente teilt.
Die längste Sehne eines Kreises ist der Durchmesser, welcher durch den Kreismittelpunkt verläuft. Dieser ist doppelt so lang wie der Radius.
Die Länge der Kreissehne s berechnet sich mit der Formel
$s = 2 \cdot r \cdot \sin (\frac{α}{2})$ ,

wobei r der Radius des Kreises und $α$ der Mittelpunktswinkel ist.

Wenn Kreissehnen gleich lang sind, haben sie den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Außerdem gilt, wenn Kreissehnen den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt haben, sind sie gleich lang.
Wenn sich zwei Kreissehnen $A C$ und $B D$ in einem Punkt S schneiden, so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich. Es gilt:
$|A S| \cdot |C S| = |B S| \cdot |D S|$

Die Kreissehne selbst hat weder einen Umfang noch einen Flächeninhalt. Sie ist ein Teil des Umfangs und Flächeninhalt vom Kreissegment.

Nachweise

Ernst (1977). Geometrie 1. Ehrenwirth Verlag, München.
Gellert et al. (1986). Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut, Leipzig.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreissehne

Eine Kreissehne kann maximal so lang sein wie der Durchmesser des Kreises, also zweimal der Radius. Der Durchmesser ist also die längste Kreissehne.

Eine Sehne ist diejenige Strecke eines Kreises, welche zwei Punkte eines Kreises verbindet und gleichzeitig den Kreis in zwei Kreissegmente teilt.

Die Länge einer Kreissehne berechnest Du mit der Formel s = 2 · r · sin( α : 2 ). Der Winkel α ist dabei der Mittelpunktswinkel.

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Eine Sehne ist diejenige Strecke eines Kreises, welche zwei Punkte eines Kreises verbindet und gleichzeitig den Kreis in zwei Kreissegmente und Kreisbögen teilt.

Welche ist die längste Sehne des Kreises?

Durchmesser

Wenn zwei Kreissehnen gleichlang sind, dann...

... haben sie den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt.

Besitzt die Kreissehne einen Umfang?

Nein, da es sich bei der Kreissehne um eine Strecke handelt und nicht um eine geometrische Figur.

Wessen Umfang kannst Du mithilfe der Kreissehne berechnen?

Kreissegment

Besitzt die Kreissehne einen Flächeninhalt?

Nein, da es sich bei der Kreissehne um eine Strecke handelt und nicht um eine geometrische Figur oder geometrischen Körper.

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