Der Hut aus der unteren Abbildung wird Zylinder genannt. Aber warum eigentlich? Weil sie im Grunde genau die gleiche Form haben, wie ein Zylinder aus der Geometrie. Doch wie erfährt man, wie viel Platz in so einem Hut ist?
Volumen Zylinder – Definition
Zylinder begegnen uns im Alltag immer wieder, zum Beispiel der oben bereits genannte Hut. Oft haben Türme die Form eines Zylinders, manche Gläser, Flaschen oder Töpfe. Sie alle haben eine Sache gemeinsam: sie haben die Form eines Zylinders. Doch was sind Zylinder überhaupt? Was ist das Volumen? Und wie gibt man es an?
Die Basics
Zylinder bestehen aus zwei parallelen, ebenen, kreisförmigen Flächen, den Grundflächen. Dazwischen sind sie mit einem rechteckigen, gerollten Mantel verbunden. Diese Fläche wird dann als Mantelfläche bezeichnet. Der Inhalt, der von diesen Flächen eingeschlossen wird, nennt man Volumen. In Rechnungen wird für das Volumen der Großbuchstabe V verwendet.
In einer Zeichnung sieht das so aus:
Abbildung 1: Zylinder
Für die Formel und deren Herleitung ist es wichtig zu wissen, wie Zylinder aufgebaut sind und in welcher Einheit das Volumen angegeben wird.
Das Volumen V wird meistens in Kubikmillimeter (mm³), Kubikzentimeter (cm³), Kubikdezimetern (dm³), Kubikmetern (m³) oder Kubikkilometern (km³) angegeben. Als Alternative wird das Volumen auch manchmal in Litern (l) oder Millilitern (ml) angegeben. Es gilt:
Zusammenhänge des Volumens von Zylindern
Was passiert mit dem Volumen, wenn man zwei gleiche Zylinder nimmt und sie übereinanderstapelt? Was geschieht, wenn der Radius verdoppelt oder vervierfacht wird?
Bei gleicher Grundfläche G, aber einer Änderung der Höhe h, verhält sich das Volumen V proportional zur Höhe h.
Das bedeutet, dass wenn du zwei gleich große Zylinder übereinander stellst und somit die doppelte Höhe h hast, sich auch das Volumen V verdoppelt.
Abbildung 2: Höhe eines Zylinders verändern
Ein Beispiel dazu:
An der Formel veranschaulicht dies. In diesem Beispiel nimmst du die zweifache und die dreifache Höhe h, behältst aber die Grundfläche G bei.
Du erhältst das zweifache, beziehungsweise dreifache Volumen V des einfachen Zylinders.
Was passiert aber, wenn sich die Grundfläche verändert?
Bei gleicher Höhe h, aber einer Änderung der Grundfläche G, ändert sich das Volumen V quadratisch zum Radius r.
Das sieht dann folgendermaßen aus an:
Abbildung 3: Grundfläche eines Zylinders verändern
Mit der Formel des Volumens V kann man das wieder veranschaulichen:
Der doppelte, beziehungsweise dreifache Radius r wird in die allgemeine Volumenformel eingesetzt, wodurch sich auch die Grundfläche G ändert:
Das Volumen V wächst immer quadratisch zum Radius r. Wenn sich der Radius r verdoppelt, vervierfacht sich das Volumen V. Wenn sich der Radius r verdreifacht, verneunfacht sich das Volumen V.
Volumen Zylinder – Herleitung der Formel
Bevor du dir die Formel ansiehst, lernst du, wie diese überhaupt entsteht.
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V von geometrischen Figuren lautet:
Hier ist G die Grundfläche und h die Höhe. Die Höhe kannst du aus dem Zylinder übernehmen. Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Kreis.
Der Flächeninhalt A eines Kreises wird berechnet mit:
Abbildung 4: Flächeninhalt eines Kreises
Du kannst also diese Flächeninhaltsformel anstatt von der Grundfläche G in die allgemeine Volumenformel einsetzen. So erhältst du die spezifische Formel zur Berechnung des Volumens V eines Zylinders.
Um jetzt auf die Formel für den Durchmesser zu kommen, musst du den Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser kennen.
Der Durchmesser d ist der doppelte Radius r oder der Radius r ist der halbe Durchmesser d.
Bildlich kannst du dir das so vorstellen:
Abbildung 5: Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser
Diese Formel kann dann in die Volumenformel eingesetzt werden und du erhältst die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Zylinders mithilfe des Durchmessers d.
Das Volumen eines Zylinders lässt sich ebenso mit dem Durchmesser d berechnen:\begin{align} V&=\pi\cdot r^2\cdot h\\ r &= \frac{d}{2}\\\rightarrow V &= \pi\cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h\end{align}
Volumens Zylinder berechnen – Formel und Beispiel
Die spezifische Formel zur Berechnung des Volumens V eines Zylinders lautet:\[V=\pi \cdot r^2 \cdot h\]
oder auch\[V = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h\]
Für die Formel benötigst du den Radius r oder den Durchmesser d, die Höhe h und die Kreiszahl π, welche ungefähr 3,41 beträgt.
In einer Zeichnung sieht das so aus:
Abbildung 6: Zylinder mit Radius, Durchmesser und Höhe
Aufgabe
1. Berechne das Volumen V eines Zylinders mit der Höhe h = 3 cm und dem Radius r = 2 cm.
Abbildung 7: Beispiel Zylinder
Lösung
1. Zuerst schreibst du dir die Formel auf. Da der Radius r gegeben ist, benötigst du die entsprechende Formel.\[V=\pi \cdot r^2 \cdot h\]Als Nächstes kannst du die bekannten Werte einsetzen.\[V=\pi \cdot (2cm)^2 \cdot 3cm\]
Zum Schluss rechnest du das Ergebnis aus. Es gilt wie immer, erst die Potenzen und danach Punkt vor Strich. Das bedeutet, \(4cm^2\) kannst du auch als \(2cm \cdot 2cm\) schreiben. Dann musst du nur noch die Multiplikationen durchführen und zum Schluss in den Taschenrechner eingeben.\begin{align}V&=\pi \cdot 2cm \cdot 2cm \cdot 3cm\\ &= \pi \cdot 12cm^3\\&\approx 37{,}7cm^3\end{align} Der Zylinder hat ein Volumen von ca. 37,7 cm³.
Volumen besonderer Zylinder berechnen
Es gibt jedoch auch zwei besondere Arten von Zylindern: schiefe Zylinder und Hohlzylinder.
Schiefer Zylinder
Es wird unterschieden zwischen geraden Zylindern, also den "normalen" Zylindern, und schiefen Zylindern. Bei schiefen Zylindern sind die beiden Deckflächen zwar parallel, aber zueinander verschoben.
Abbildung 8: Schiefer Zylinder
Der einzige Unterschied zwischen einem geraden Zylinder und einem schiefen Zylinder liegt in der Ermittlung der Höhe. Hier ist die Höhe das Lot, welches den Mittelpunkt der Deckfläche mit der Grundfläche verbindet. Um die Höhe zu ermitteln, musst du eine senkrechte Linie vom Mittelpunkt der Deckfläche ziehen. Dann verlängerst du die Grundfläche. Diese beiden Strecken treffen sich dann an einem Punkt in einem 90° Winkel. Die Länge der Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Deckfläche und der verlängerten Grundfläche entspricht der Höhe.
Diese Zeichnung hilft dir die Erklärung nachzuvollziehen:
Abbildung 9: Höhe eines schiefen Zylinders ermitteln
Auch von dieser Art des Zylinders kannst du das Volumen berechnen. Unabhängig davon, ob der Zylinder schief ist, kann die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Zylinders von oben verwendet werden.
Für schiefe Zylinder gilt also auch:\[V=\pi\cdot r^2 \cdot h \]
Hohlzylinder
Hohlzylinder sind Zylinder, die in der Mitte ein Loch haben. Im Prinzip bestehen sie aus zwei Zylindern: Einer, der außen liegt und gefüllt ist und einer, der innerhalb des anderen Zylinders liegt, mit der gleichen Höhe, aber einem kleineren Radius/Umfang hat und hohl ist.
Abbildung 10: Hohlzylinder
Das Volumen des kleineren, inneren Zylinders wird von dem Volumen des größeren, äußeren Zylinders subtrahiert. So bleibt nur die gefüllte Fläche übrig.\[V_{hohl} = V_{außen}-V_{innen} = \pi \cdot r_{groß}^2\cdot h - \pi \cdot r_{klein}^2\cdot h\]
Volumen Zylinder berechnen – Aufgaben mit Lösung
Aufgabe
1. Ein Farbeimer hat eine Höhe von 30 cm und einen Radius von 15 cm. Berechne, wie viel Liter Farbe im Eimer enthalten sind.
2. Es werden 250 ml Wasser in ein Glas mit dem Innendurchmesser 10 cm gegossen. Wie hoch steht das Wasser?
Achte hier darauf: Der Innendurchmesser ist der Durchmesser, den du innerhalb des Glases messen würdest, das heißt ausgenommen der "Glaswand".
3. Berechne das Volumen einer Klopapierrolle mit der Höhe 8 cm, einem Innendurchmesser von 5 cm und einem Außenradius von 15 cm.
Lösung
1. Als Erstes kannst du dir überlegen, was für eine Formel in diesem Fall gebraucht wird. Da du sowohl die Höhe, als auch den Radius gegeben hast, kannst du die Formel mit dem Radius zur Berechnung des Volumens eines Zylinders verwenden.\[V=\pi \cdot r^2 \cdot h\]
Im nächsten Schritt kannst du die gegebenen Werte einsetzen.\[V=\pi\cdot(15\,cm)^2 \cdot 30\]
Jetzt kannst du diese Formel in deinen Taschenrechner eingeben und ausrechnen.\[V=\pi\cdot 225\,cm^2 \cdot 30\,cm =\pi \cdot 6750\,cm^3 \approx 21205{,}75\,cm^3\]
Da du das Ergebnis aber in Litern angeben sollst, musst du es erst noch umrechnen. Du kannst zuerst die cm³ in m³ umrechnen. Dafür verwendest du am besten den Dreisatz.\begin{align}1\,cm^3 &= 0{,}000001\,m^3\\21205{,}75\,cm^3&=0{,}02120575\,m^3\\&\approx0{,}021\,m^3\end{align}
Als Nächstes kannst du die m³ noch in Liter umwandeln.\[0{,}021\, m^3=21\,l\]
Abbildung 11: Zylinder mit dem Volumen 21 l
In dem Farbeimer sind 21 Liter Farbe enthalten.
2. In diesem Fall musst du aufpassen, da du nicht den Zylinder "Glas" berechnen sollst, sondern den Zylinder "Wasser". An sich ist das Vorgehen das Gleiche, wie bei jedem anderen Zylinder auch, du musst nur aufpassen, dass du die Werte des inneren Zylinders gegeben hast und nicht die, des Äußeren.
Zuerst stellst du die passende Formel mit dem Durchmesser zur Berechnung des Volumens eines Zylinders auf.\[V=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h\]
Da du aber die Höhe und nicht das Volumen berechnen sollst, musst du die Formel nach h umstellen.\begin{align}V&=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h\quad |\,:\left(\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^2\right)\\h&=\frac{V}{\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2}\end{align}
Bevor du die bekannten Werte einsetzen kannst, musst du das Volumen noch in cm² umwandeln.\[250\,ml = 250\,cm^3\]
Jetzt bist du so weit, dass du die bekannten Werte in die Formel einsetzen kannst.\[h=\frac{250\,cm^3}{\pi\cdot\left(\frac{10\,cm}{2}\right)^2}\]
Als Letztes musst du nur noch das Ergebnis ausrechnen.\begin{align}h&=\frac{250\,cm^3}{\pi\cdot(5\,cm)^2}\\h&=\frac{250\,cm^3}{\pi\cdot 25\,cm^2}\\h&=3{,}18\, cm\end{align}
Der Wasserstand liegt also knapp über 3 cm.
3. In diesem Fall sollst du das Volumen eines Hohlzylinders ausrechnen. Dafür schreibst du zuerst die Formel auf.\[V=V_{groß}-V_{klein}\]
Da bei dem äußeren Zylinder der Radius gegeben ist, aber bei dem inneren Zylinder der Durchmesser, kannst du die Formeln dementsprechend aufstellen.\[V=\pi\cdot r^2 \cdot h -\pi \cdot\left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h\]
Als Nächstes kannst du die Werte einsetzen.\[V=\pi\cdot(15\,cm)^2\cdot 8 \, cm - \pi \cdot \left(\frac{5\,cm}{2}\right)^2\cdot8\,cm\]
Zum Schluss kannst du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen.\begin{align}V&=\pi\cdot225\,cm^2\cdot8\,cm-\pi\cdot(2{,}5\,cm^2\cdot8\,cm\\V&=\pi\cdot1800\,cm^3-\pi\cdot6{,}25\,cm^2\cdot8\,cm\\V&=\pi\cdot1800\,cm^3-\pi\cdot50\,cm^3\\V&\approx5497{,}79\,cm^3\end{align}Das Volumen des Klopapiers beträgt ungefähr 5500 cm³.
Wenn du dir noch einmal anschauen möchtest, was der Dreisatz ist und wie man ihn anwendet, lies dir doch unseren Artikel zu dem Thema durch.
Volumen Zylinder – Das Wichtigste
- Volumen wird mit V abgekürzt.
- Volumen wird meistens in Kubikmillimeter (mm³), Kubikzentimeter (cm³), Kubikdezimetern (dm³), Kubikmetern (m³) oder Kubikkilometern (km³) oder in Litern (l) angegeben.
- Im Zylinder gilt: \(V=\pi\cdot r^2\cdot h\)bzw. \(V=\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h\)
- Das Volumen schiefer Zylinder wird genauso wie das Volumen gerader Zylinder berechnet.
- Das Volumen von Hohlzylindern wird berechnet, indem man das Volumen des inneren Zylinders von dem des äußeren Zylinders subtrahiert: \(V=V_{außen}-V_{innen}\).
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