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Trigonometrie

Trigonometrie

\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 200}\)

Funktionen und Geometrie kommen doch in der Mathematik nie zusammen, oder? Nicht ganz. In der Trigonometrie werden mithilfe der trigonometrischen Funktionen Dreiecke berechnet. Welche Formeln und Regeln es in der Trigonometrie gibt und wie Du in der Trigonometrie rechnest, erfährst Du in dieser Erklärung.

Trigonometrie – einfach erklärt

Die Trigonometrie beschäftigt sich mit der Beziehung zwischen Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Zum Berechnen dieser Beziehungen werden die trigonometrischen Funktionen benutzt.

Trigonometrie – Regeln & Formeln

In der Trigonometrie gibt es verschiedene Formeln und Regeln, wann diese Formeln angewendet werden dürfen. Viele der Formeln aus der Trigonometrie sind nur am rechtwinkligen Dreieck anwendbar. Welche Sätze und Formeln Du an allen Dreiecken benutzen darfst und welche nicht, erfährst Du jetzt.

Hypotenuse – Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck werden die Seiten nach ihrer Lage und ihrer Länge benannt, in Hypotenuse und Katheten.

Eine Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Diese Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Trigonometrie Definition Hypotenuse StudySmarterAbb. 1 - Definition Hypotenuse

Für die Berechnung der Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck gibt es einige Formeln. Unter anderem kannst Du die Hypotenuse mithilfe des Pythagoras, des Sinus oder Kosinus berechnen.

Mehr zur Hypotenuse und den Möglichkeiten zur Berechnung der Hypotenuse kannst Du in der Erklärung „Hypotenuse“ nachlesen.

Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck

Am rechtwinkligen Dreieck gelten viele verschiedene Formeln unter anderem auch der Sinus, Kosinus und Tangens. Mit diesen kannst Du die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, aber auch die Seitenlängen bestimmen.

Der Sinus, Kosinus und Tangens sind Verhältnisse von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck. Diese sind abhängig von einem der beiden spitzen Winkel des Dreiecks.

Außerdem sind der Sinus, Kosinus und Tangens die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen.

SinusKosinusTangens
\[\sin({\color{li}\alpha})=\frac{{\color{r} \text{Gegenkathete}}}{{\color{gr}\text{Hypo}\text{otenuse}}}\]\[\cos({\color{li}\alpha})= \frac{{\color{r}\text{Ankathete}}}{{\color{gr}\text{Hyp}\text{otenuse}}}\]\[\tan({\color{li}\alpha})= \frac{{\color{gr}\text{Gegenkathete}}} {{\color{r}\text{Ankathete}}}\]

Trigonometrie trigonometrische Funktion Sinus StudySmarter

Trigonometrie trigonometrische Funktion Kosinus StudySmarter

Trigonometrie trigonometrische Funktion Tangens StudySmarter

Beachte, dass Du den Sinus, Kosinus und Tangens nur im rechtwinkligen Dreieck anwenden darfst. Mehr zu den trigonometrischen Funktionen erfährst Du in der Erklärung „Sinus Kosinus Tangens“.

Trigonometrie Beziehungen – Sinus, Kosinus und Tangens

Eine Beziehung besteht auch unter den drei trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Die möglichen Beziehungen zwischen ihnen werden unterschieden in Komplementbeziehung und Suplementbeziehung.

Die Komplementbeziehung beruht darauf, dass in einem rechtwinkligen Dreieck \(\alpha\) und \(\beta\) zusammen \(90^\circ\) ergeben. Dann ergibt sich für die trigonometrischen Funktionen folgender Zusammenhang:

\begin{align} \sin(90^\circ-\alpha)&=\cos(\alpha) \\ \cos(90^\circ-\alpha)&=\sin(\alpha) \\ \tan(90^\circ-\alpha)&=\frac{1}{\tan(\alpha)} \end{align}


Wenn zwei Winkel sich zu \(180^\circ\) ergänzen, heißen die Winkel Supplementwinkel. Für die Winkel \(\alpha\) und \(180^\circ-\alpha\) gelten dann die Supplementbeziehungen.

SinusKosinusTangens
\[\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin(\alpha)\]\[\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos(\alpha)\]\[\tan(180^\circ+\alpha)=+\tan(\alpha)\]
\[\sin(180^\circ-\alpha)=+\sin(\alpha)\]\[\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos(\alpha)\]\[\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)\]
\[\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin(\alpha)\]\[\cos(360^\circ-\alpha)=+\cos(\alpha)\]\[\tan(360^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)\]

Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis

Mithilfe des Einheitskreises kannst Du den Sinus, Kosinus und Tangens erklären und herleiten.

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius \(r=1\). Das heißt, jeder Punkt auf dem Kreis hat den Abstand \(1\) zum Mittelpunkt \(M\) des Kreises.

Trigonometrie Einheitskreis StudySmarterAbb. 5 - Einheitskreis

Der Einheitskreis wird oft im Koordinatenzentrum \((0|0)\) angelegt. Dort lassen sich durch die Eigenschaften des Einheitskreises, der Sinus, Kosinus und Tangens einfacher herleiten.

In der Erklärung „Einheitskreis“ wird Dir erklärt, wie Du die Formel des Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis herleitest.

Sinussatz

In einem beliebigen Dreieck kannst Du den Sinussatz nutzen, um eine Seite oder einen Winkel des Dreiecks zu berechnen.

Der Sinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels genauso groß ist, wie das Verhältnis der beiden anderen Seiten zum Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels.

Es gilt:

\[\frac{\color{li}a}{\sin({\color{li}\alpha})}=\frac{\color{r}b}{\sin({\color{r}\beta})}=\frac{\color{gr}c}{\sin({\color{gr}\gamma})}\]

Trigonometrie Sinussatz StudySmarterAbb. 6 - Sinussatz

Da der Sinussatz im Gegensatz zum Pythagoras und den trigonometrischen Funktionen in allen Dreiecksarten anwendbar ist, kannst Du ihn deutlich häufiger benutzen.

Wie Du den Sinussatz anwendest, erfährst Du in der Erklärung „Sinussatz“.

Kosinussatz

Auch der Kosinussatz ist nicht an eine Dreiecksart gebunden und darf in allen Dreiecken angewendet werden.

Der Kosinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck, von welchem zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel angegeben sind, die dritte Seite berechnet werden kann.

Es gilt:

\begin{align} a^2&=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha) \\ b^2&=a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta) \\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)\end{align}

Den Kosinussatz kannst Du über die trigonometrischen Funktionen und den Pythagoras herleiten.

Wie Du den Kosinussatz herleitest und ihn anwendest, kannst Du in der Erklärung „Kosinussatz“ nachlesen.

Trigonometrie – Beispiele & berechnen

Bevor Du in der Trigonometrie anfängst zu rechnen, musst Du wissen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt oder nicht. Je nachdem, um welches Dreieck es sich handelt, musst Du entscheiden, welche Formeln Du benutzen darfst.

Bei rechtwinkligen Dreiecken ist immer mindestens ein Winkel gegeben. Wenn nicht anders angegeben, liegt dieser in \(\gamma\).

Aufgabe 1

Das Dreieck \(ABC\) ist die Seite \(c=6\,cm\) lang. Die anliegenden Winkel betragen \(\alpha=41{,}41\) und \(\beta=55{,}77\). Berechne den fehlenden Winkel und die fehlenden Seiten.

Lösung

Als Erstes zeichnest Du Dir eine Skizze des Dreiecks.

Trigonometrie Dreieck StudySmarterAbb. 7 - Dreieck

Zunächst berechnest Du den Winkel \(\gamma\) über die Innenwinkelsumme eines Dreiecks.

\begin{align} \alpha+\beta+\gamma&=180^\circ &|&-\alpha-\beta \\ \gamma&=180^\circ -\alpha-\beta \\ \gamma&=180^\circ-41{,}41^\circ-55{,}77\circ \\ \gamma&=82{,}82^\circ \end{align}

Jetzt kannst Du über den Sinussatz die beiden fehlenden Seiten berechnen.

\begin{align} \frac{a}{\sin(\alpha)}&=\frac{c}{\sin(\gamma)} &|&\cdot \sin(\alpha) \\ a&=\frac{c\cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} \\ a&=\frac{6\cdot \sin(41{,}41)}{\sin(82{,}82)} \\ a&=\frac{6\cdot 0{,}661}{0{,}992} \\ a&=4 \end{align}

\begin{align} \frac{b}{\sin(\beta)}&=\frac{c}{\sin(\gamma)} &|&\cdot \sin(\beta) \\ b&=\frac{c\cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)} \\ a&=\frac{6\cdot \sin(55{,}77)}{\sin(82{,}82)} \\ b&=\frac{6\cdot 0{,}827}{0{,}992} \\ b&=5 \end{align}

Das Dreieck hat folgende Seitenlängen: \(a=4\,cm\), \(b=5\,cm\) und \(c=6\,cm\).

Der fehlende Winkel beträgt \(\gamma=90^\circ\).

Trigonometrie – Aufgaben

Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 2

Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck \(ABC\). Die Hypotenuse \(c\) ist \(5\,\mathrm{cm}\) lang und die Kathete \(a\) ist \(3\,\mathrm{cm}\) lang.

Berechne nun alle Winkel und die fehlende Kathete.

Lösung

Als Erstes solltest Du Dir eine Skizze über die gegebenen und fehlenden Werte machen.

Trigonometrie rechtwinkliges Dreieck StudySmarterAbb. 8 - rechtwinkliges Dreieck

Nachdem Du jetzt weißt, was fehlt, berechnest Du als erstes \(\alpha\).

\begin{align} \sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hyp}\text{otenuse}} \\[0.2cm] \sin(\alpha)&= \frac{a}{c} \\[0.2cm] \sin(\alpha)&=\frac{3}{5} \\[0.2cm] \alpha&=\arcsin(0{,}6) \\[0.2cm] \alpha&=36{,}87^\circ \end{align}

Danach berechnest Du den Winkel \(\beta\). Du kannst den Winkel über den Innenwinkelsatz der Dreiecke oder den Kosinus berechnen.

\begin{align} \cos(\beta)&=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hyp}\text{otenuse}} \\[0.2cm] \cos(\beta)&= \frac{a}{c} \\[0.2cm] \cos(\beta)&=\frac{3}{5} \\[0.2cm] \beta&=\arccos(0{,}6) \\[0.2cm] \beta&=53{,}13^\circ \end{align}

Zum Schluss berechnest Du noch die fehlende Kathete \(b\). Dafür kannst Du den Pythagoras nutzen oder den Tangens von \(\beta\).

\begin{align} \tan(\beta)&=\frac{\text{Gegenkathete}} {\text{Ankathete}} \\[0.2cm] \tan(\beta)&=\frac{b}{a} &|&\cdot a \\[0.2cm] \tan(\beta)\cdot a&=b \\[0.2cm] \tan(53{,}13)\cdot 3&=b \\[0.2cm] 1{,}33 \cdot 3&=b \\[0.2cm] 4&=b \end{align}

Das Dreieck hat folgende Seitenlängen: \(a=3\,\mathrm{cm}\), \(b=4\,\mathrm{cm}\) und \(c=5\,\mathrm{cm}\).

Die Winkel betragen: \(\alpha=36{,}87^\circ\), \(\beta=53{,}13^\circ\) und \(\gamma=90^\circ\).

Aufgabe 3

Berechne die Seite \(c\) des Dreiecks \(ABC\), wenn es sich bei dem Dreieck um ein gleichschenkliges mit \(a=b=2\,\mathrm{cm}\). Die gegebenen Winkel sind \(\alpha=\beta=22{,}33^\circ\).

Lösung

Zu Beginn berechnest Du den Winkel \(\gamma\) über die Innenwinkelsumme.

\begin{align} \alpha+\beta+\gamma&=180^\circ &|&-\alpha-\beta \\ \gamma&=180^\circ-alpha-beta \\ \gamma&=180^\circ-2\cdot 22{,}33^\circ \\ \gamma&=135{,}34 \end{align}

Jetzt wendest Du den Kosinussatz für die Seite \(c\) an.

\begin{align} c^2&=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma) &|& \sqrt{} \\ c&=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)} \\ c&=\sqrt{2^2+2^2-2 \cdot 2\cdot 2\cdot \cos(135{,}34)} \\ c&=\sqrt{8-8\cdot\cos(135{,}35)} \\ c&=3{,}7 \end{align}

Die Seite \(c\) des Dreiecks ist \(3{,}7\,\mathrm{cm}\) lang.

Trigonometrie – Das Wichtigste

  • Eine Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Diese Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber.
  • Der Sinus, Kosinus und Tangens sind Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck. Diese sind abhängig von einem der beiden spitzen Winkel des Dreiecks.\begin{align} \sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hyp}\text{otenuse}} \\[0.2cm] \cos(\alpha)&=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hyp}\text{otenuse}} \\[0.2cm] \tan(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete} } \end{align}
  • Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius \(r=1\). Das heißt, jeder Punkt auf dem Kreis hat den Abstand \(1\) zum Mittelpunkt \(M\) des Kreises.
  • Der Sinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels genauso groß wie das Verhältnis der beiden anderen Seiten zum Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels.

    Es gilt:

    \[\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\]

  • Der Kosinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck, von welchem zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel angegeben sind, die dritte Seite berechnet werden kann.

    Es gilt:

    \begin{align} a^2&=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha) \\ b^2&=a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta) \\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma) \end{align}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrie

Die Trigonometrie wird das Teilgebiet der Mathematik verstanden, welches sich mit den Berechnungen von Dreiecken beschäftigt. Für diese Berechnungen werden die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens zur Hilfe gezogen.

In der Trigonometrie wird alles rund um die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Unter anderem, wie der Sinus- und Kosinussatz sich an beliebigen Dreiecken herleiten und anwenden lassen. Auch wird spezifisch auf die trigonometrischen Sätze am rechtwinkligen Dreieck eingegangen. 

Die Trigonometrie wendest Du immer dann an, wenn Du in einem Dreieck einen Winkel oder eine Seite berechnen möchtest. Es gibt dafür verschiedene Formeln, mit welchen Du dies berechnen kannst.

In der Trigonometrie gibt es viele verschiedene Formeln, welche sich am Einheitskreis und mithilfe des Pythagoras herleiten lassen. Mithilfe dieser Formel kannst Du Seitenlängen und Winkel verschiedener Dreiecke berechnen.

Finales Trigonometrie Quiz

Frage

Wo wendest Du die Trigonometrie an? 

Antwort anzeigen

Antwort

an Dreiecken

Frage anzeigen

Frage

Darfst Du alle Sätze der Trigonometrie an jeder Dreiecksart anwenden?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, einige sind nur für rechtwinklige Dreiecke.

Frage anzeigen

Frage

Beschrifte ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse, Kathete und dem rechten Winkel.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Definiere die Hypotenuse.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Diese Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die drei trigonometrischen Funktionen.

Antwort anzeigen

Antwort

Tangens, Sinus, Kosinus

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Sinus? 

Antwort anzeigen

Antwort

\[\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypo}\text{tenuse}}\]

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Kosinus?

Antwort anzeigen

Antwort

\[\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypo}\text{tenuse}}\]

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Tangens?

Antwort anzeigen

Antwort

\[\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\]

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe den Sinussatz.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Sinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels genauso groß ist, wie das Verhältnis der beiden anderen Seiten zum Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels.

Es gilt:

\[\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel vom Kosinussatz zur Berechnung der Seite \(a\).

Antwort anzeigen

Antwort

\[a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha)}\]

Frage anzeigen

Frage

Wie groß ist der Radius des Einheitskreises?

Antwort anzeigen

Antwort

\[r=1\]

Frage anzeigen

Frage

Berechne über den Sinussatz die Seite \(a\), wenn \(\alpha=47^\circ\) hat, die Seite \(b=4\,\mathrm{cm}\) lang und der Winkel \(beta=66{,}5^\circ\).

Antwort anzeigen

Antwort

Die Seite \(a\) ist \(3{,}19\,\mathrm{cm}\) lang.

Frage anzeigen

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