\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 200}\)
Funktionen und Geometrie kommen doch in der Mathematik nie zusammen, oder? Nicht ganz. In der Trigonometrie werden mithilfe der trigonometrischen Funktionen Dreiecke berechnet. Welche Formeln und Regeln es in der Trigonometrie gibt und wie Du in der Trigonometrie rechnest, erfährst Du in dieser Erklärung.
Trigonometrie – einfach erklärt
Die Trigonometrie beschäftigt sich mit der Beziehung zwischen Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Zum Berechnen dieser Beziehungen werden die trigonometrischen Funktionen benutzt.
Trigonometrie – Regeln & Formeln
In der Trigonometrie gibt es verschiedene Formeln und Regeln, wann diese Formeln angewendet werden dürfen. Viele der Formeln aus der Trigonometrie sind nur am rechtwinkligen Dreieck anwendbar. Welche Sätze und Formeln Du an allen Dreiecken benutzen darfst und welche nicht, erfährst Du jetzt.
Hypotenuse – Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck werden die Seiten nach ihrer Lage und ihrer Länge benannt, in Hypotenuse und Katheten.
Eine Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Diese Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Abb. 1 - Definition Hypotenuse
Für die Berechnung der Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck gibt es einige Formeln. Unter anderem kannst Du die Hypotenuse mithilfe des Pythagoras, des Sinus oder Kosinus berechnen.
Mehr zur Hypotenuse und den Möglichkeiten zur Berechnung der Hypotenuse kannst Du in der Erklärung „Hypotenuse“ nachlesen.
Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck
Am rechtwinkligen Dreieck gelten viele verschiedene Formeln unter anderem auch der Sinus, Kosinus und Tangens. Mit diesen kannst Du die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, aber auch die Seitenlängen bestimmen.
Der Sinus, Kosinus und Tangens sind Verhältnisse von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck. Diese sind abhängig von einem der beiden spitzen Winkel des Dreiecks.
Außerdem sind der Sinus, Kosinus und Tangens die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen.
| Sinus | Kosinus | Tangens |
| \[\sin({\color{li}\alpha})=\frac{{\color{r} \text{Gegenkathete}}}{{\color{gr}\text{Hypo}\text{otenuse}}}\] | \[\cos({\color{li}\alpha})= \frac{{\color{r}\text{Ankathete}}}{{\color{gr}\text{Hyp}\text{otenuse}}}\] | \[\tan({\color{li}\alpha})= \frac{{\color{gr}\text{Gegenkathete}}} {{\color{r}\text{Ankathete}}}\] |
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Beachte, dass Du den Sinus, Kosinus und Tangens nur im rechtwinkligen Dreieck anwenden darfst. Mehr zu den trigonometrischen Funktionen erfährst Du in der Erklärung „Sinus Kosinus Tangens“.
Trigonometrie Beziehungen – Sinus, Kosinus und Tangens
Eine Beziehung besteht auch unter den drei trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Die möglichen Beziehungen zwischen ihnen werden unterschieden in Komplementbeziehung und Suplementbeziehung.
Die Komplementbeziehung beruht darauf, dass in einem rechtwinkligen Dreieck \(\alpha\) und \(\beta\) zusammen \(90^\circ\) ergeben. Dann ergibt sich für die trigonometrischen Funktionen folgender Zusammenhang:
\begin{align} \sin(90^\circ-\alpha)&=\cos(\alpha) \\ \cos(90^\circ-\alpha)&=\sin(\alpha) \\ \tan(90^\circ-\alpha)&=\frac{1}{\tan(\alpha)} \end{align}
Wenn zwei Winkel sich zu \(180^\circ\) ergänzen, heißen die Winkel Supplementwinkel. Für die Winkel \(\alpha\) und \(180^\circ-\alpha\) gelten dann die Supplementbeziehungen.
| Sinus | Kosinus | Tangens |
| \[\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin(\alpha)\] | \[\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos(\alpha)\] | \[\tan(180^\circ+\alpha)=+\tan(\alpha)\] |
| \[\sin(180^\circ-\alpha)=+\sin(\alpha)\] | \[\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos(\alpha)\] | \[\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)\] |
| \[\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin(\alpha)\] | \[\cos(360^\circ-\alpha)=+\cos(\alpha)\] | \[\tan(360^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)\] |
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
Mithilfe des Einheitskreises kannst Du den Sinus, Kosinus und Tangens erklären und herleiten.
Der Einheitskreis wird oft im Koordinatenzentrum \((0|0)\) angelegt. Dort lassen sich durch die Eigenschaften des Einheitskreises, der Sinus, Kosinus und Tangens einfacher herleiten.
In der Erklärung „Einheitskreis“ wird Dir erklärt, wie Du die Formel des Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis herleitest.
Sinussatz
In einem beliebigen Dreieck kannst Du den Sinussatz nutzen, um eine Seite oder einen Winkel des Dreiecks zu berechnen.
Der Sinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels genauso groß ist, wie das Verhältnis der beiden anderen Seiten zum Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels.
Es gilt:
\[\frac{\color{li}a}{\sin({\color{li}\alpha})}=\frac{\color{r}b}{\sin({\color{r}\beta})}=\frac{\color{gr}c}{\sin({\color{gr}\gamma})}\]
Abb. 6 - Sinussatz
Da der Sinussatz im Gegensatz zum Pythagoras und den trigonometrischen Funktionen in allen Dreiecksarten anwendbar ist, kannst Du ihn deutlich häufiger benutzen.
Wie Du den Sinussatz anwendest, erfährst Du in der Erklärung „Sinussatz“.
Kosinussatz
Auch der Kosinussatz ist nicht an eine Dreiecksart gebunden und darf in allen Dreiecken angewendet werden.
Der Kosinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck, von welchem zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel angegeben sind, die dritte Seite berechnet werden kann.
Es gilt:
\begin{align} a^2&=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha) \\ b^2&=a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta) \\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)\end{align}
Den Kosinussatz kannst Du über die trigonometrischen Funktionen und den Pythagoras herleiten.
Wie Du den Kosinussatz herleitest und ihn anwendest, kannst Du in der Erklärung „Kosinussatz“ nachlesen.
Trigonometrie – Beispiele & berechnen
Bevor Du in der Trigonometrie anfängst zu rechnen, musst Du wissen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt oder nicht. Je nachdem, um welches Dreieck es sich handelt, musst Du entscheiden, welche Formeln Du benutzen darfst.
Bei rechtwinkligen Dreiecken ist immer mindestens ein Winkel gegeben. Wenn nicht anders angegeben, liegt dieser in \(\gamma\).
Aufgabe 1
Das Dreieck \(ABC\) ist die Seite \(c=6\,cm\) lang. Die anliegenden Winkel betragen \(\alpha=41{,}41\) und \(\beta=55{,}77\). Berechne den fehlenden Winkel und die fehlenden Seiten.
Lösung
Als Erstes zeichnest Du Dir eine Skizze des Dreiecks.
Abb. 7 - Dreieck
Zunächst berechnest Du den Winkel \(\gamma\) über die Innenwinkelsumme eines Dreiecks.
\begin{align} \alpha+\beta+\gamma&=180^\circ &|&-\alpha-\beta \\ \gamma&=180^\circ -\alpha-\beta \\ \gamma&=180^\circ-41{,}41^\circ-55{,}77\circ \\ \gamma&=82{,}82^\circ \end{align}
Jetzt kannst Du über den Sinussatz die beiden fehlenden Seiten berechnen.
\begin{align} \frac{a}{\sin(\alpha)}&=\frac{c}{\sin(\gamma)} &|&\cdot \sin(\alpha) \\ a&=\frac{c\cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} \\ a&=\frac{6\cdot \sin(41{,}41)}{\sin(82{,}82)} \\ a&=\frac{6\cdot 0{,}661}{0{,}992} \\ a&=4 \end{align}
\begin{align} \frac{b}{\sin(\beta)}&=\frac{c}{\sin(\gamma)} &|&\cdot \sin(\beta) \\ b&=\frac{c\cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)} \\ a&=\frac{6\cdot \sin(55{,}77)}{\sin(82{,}82)} \\ b&=\frac{6\cdot 0{,}827}{0{,}992} \\ b&=5 \end{align}
Das Dreieck hat folgende Seitenlängen: \(a=4\,cm\), \(b=5\,cm\) und \(c=6\,cm\).
Der fehlende Winkel beträgt \(\gamma=90^\circ\).
Trigonometrie – Aufgaben
Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 2
Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck \(ABC\). Die Hypotenuse \(c\) ist \(5\,\mathrm{cm}\) lang und die Kathete \(a\) ist \(3\,\mathrm{cm}\) lang.
Berechne nun alle Winkel und die fehlende Kathete.
Lösung
Als Erstes solltest Du Dir eine Skizze über die gegebenen und fehlenden Werte machen.
Abb. 8 - rechtwinkliges Dreieck
Nachdem Du jetzt weißt, was fehlt, berechnest Du als erstes \(\alpha\).
\begin{align} \sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hyp}\text{otenuse}} \\[0.2cm] \sin(\alpha)&= \frac{a}{c} \\[0.2cm] \sin(\alpha)&=\frac{3}{5} \\[0.2cm] \alpha&=\arcsin(0{,}6) \\[0.2cm] \alpha&=36{,}87^\circ \end{align}
Danach berechnest Du den Winkel \(\beta\). Du kannst den Winkel über den Innenwinkelsatz der Dreiecke oder den Kosinus berechnen.
\begin{align} \cos(\beta)&=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hyp}\text{otenuse}} \\[0.2cm] \cos(\beta)&= \frac{a}{c} \\[0.2cm] \cos(\beta)&=\frac{3}{5} \\[0.2cm] \beta&=\arccos(0{,}6) \\[0.2cm] \beta&=53{,}13^\circ \end{align}
Zum Schluss berechnest Du noch die fehlende Kathete \(b\). Dafür kannst Du den Pythagoras nutzen oder den Tangens von \(\beta\).
\begin{align} \tan(\beta)&=\frac{\text{Gegenkathete}} {\text{Ankathete}} \\[0.2cm] \tan(\beta)&=\frac{b}{a} &|&\cdot a \\[0.2cm] \tan(\beta)\cdot a&=b \\[0.2cm] \tan(53{,}13)\cdot 3&=b \\[0.2cm] 1{,}33 \cdot 3&=b \\[0.2cm] 4&=b \end{align}
Das Dreieck hat folgende Seitenlängen: \(a=3\,\mathrm{cm}\), \(b=4\,\mathrm{cm}\) und \(c=5\,\mathrm{cm}\).
Die Winkel betragen: \(\alpha=36{,}87^\circ\), \(\beta=53{,}13^\circ\) und \(\gamma=90^\circ\).
Aufgabe 3
Berechne die Seite \(c\) des Dreiecks \(ABC\), wenn es sich bei dem Dreieck um ein gleichschenkliges mit \(a=b=2\,\mathrm{cm}\). Die gegebenen Winkel sind \(\alpha=\beta=22{,}33^\circ\).
Lösung
Zu Beginn berechnest Du den Winkel \(\gamma\) über die Innenwinkelsumme.
\begin{align} \alpha+\beta+\gamma&=180^\circ &|&-\alpha-\beta \\ \gamma&=180^\circ-alpha-beta \\ \gamma&=180^\circ-2\cdot 22{,}33^\circ \\ \gamma&=135{,}34 \end{align}
Jetzt wendest Du den Kosinussatz für die Seite \(c\) an.
\begin{align} c^2&=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma) &|& \sqrt{} \\ c&=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)} \\ c&=\sqrt{2^2+2^2-2 \cdot 2\cdot 2\cdot \cos(135{,}34)} \\ c&=\sqrt{8-8\cdot\cos(135{,}35)} \\ c&=3{,}7 \end{align}
Die Seite \(c\) des Dreiecks ist \(3{,}7\,\mathrm{cm}\) lang.
Trigonometrie – Das Wichtigste
- Eine Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Diese Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber.
- Der Sinus, Kosinus und Tangens sind Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck. Diese sind abhängig von einem der beiden spitzen Winkel des Dreiecks.\begin{align} \sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hyp}\text{otenuse}} \\[0.2cm] \cos(\alpha)&=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hyp}\text{otenuse}} \\[0.2cm] \tan(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete} } \end{align}
- Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius \(r=1\). Das heißt, jeder Punkt auf dem Kreis hat den Abstand \(1\) zum Mittelpunkt \(M\) des Kreises.
- Der Sinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels genauso groß wie das Verhältnis der beiden anderen Seiten zum Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels.
Es gilt:
\[\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\]
- Der Kosinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck, von welchem zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel angegeben sind, die dritte Seite berechnet werden kann.
Es gilt:
\begin{align} a^2&=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha) \\ b^2&=a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta) \\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma) \end{align}
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