Wo Du auch hinsiehst, um Dich herum gibt es Kreise: das Riesenrad, Autoreifen, Bälle und Uhren. Was Du alles mit Kreisen anstellen kannst, weiß wohl Archimedes am besten. Er hat die Bedeutung des Pi-Wertes entdeckt und die Kreiszahl Pi als Erster auf zwei Nachkommazahlen mit seinem Näherungsverfahren berechnet. Kein Kreis und keine Kugel könnten ohne Pi berechnet werden. Die Kreiszahl Pi wird weltweit immer am 14. März, am 14. Tag als „Pi Day“ gefeiert.
In diesem Artikel wirst Du Pi als Wert und Symbol kennenlernen und dessen Geschichte erfahren. Außerdem wird es darum gehen, wie viel Nachkommastellen Pi hat und wie Du es herleiten und berechnen kannst.
Kreiszahl Pi – Der Kreis
Bei einem Kreis haben alle Punkte denselben Abstand zu einem festen Punkt, dem Mittelpunkt \(M\). Dieser Abstand wird Radius \(r\) genannt.
Abb. 1 - Der Kreis
Mehr zum Kreis erfährst Du in der Erklärung „Kreis“.
Die Kreiszahl Pi ist bedeutungsvoll für Umfang-, Flächen- und Raumberechnungen bei kreisförmigen Flächen bzw. Körpern.
Kreiszahl Pi – Herleitung
Was Pi ist, kannst Du sogar selbst herausfinden. Mach doch bei der nachfolgenden Übung direkt mit und lass Dich überraschen, was dabei rauskommt!
1. Schritt
Suche Dir beispielsweise zu Beginn eine Tasse und ein Maßband. Mit dem Maßband misst Du den Umfang der Tasse. Anschließend misst Du den Durchmesser der Tasse. Je genauer Du misst, desto eindeutiger ist nachher das Ergebnis. Das sind die beiden Werte, die Du für die Berechnung der Kreiszahl Pi benötigst. Mach das Gleiche auch bei weiteren Gegenständen: Uhr, Kochplatte beim Herd und Geldstück.
2. Schritt
Trage die gemessenen Werte in die nachfolgende Tabelle zur besseren Übersicht ein. In der letzten Spalte der Tabelle musst Du den Umfang durch den Durchmesser Dividieren. Damit Du nämlich Pi ausrechnen kannst, wird die Formel für den Umfang benötigt, welche nach Pi umgestellt werden kann:
$$U=\pi\cdot d\quad \mid :d$$
$$\pi=\frac{U}{d}$$
Also teilst Du den Umfang durch den Durchmesser. Was fällt Dir auf?
Gegenstand | Umfang | Durchmesser | $$\pi=\frac{U}{d}$$ |
Tasse | | | |
| Uhr | | | |
| Kochplatte beim Herd | | | |
| Geldstück | | | |
3. Schritt
Bei genauem Messen wird sich die Tabelle folgendermaßen entwickeln:
Die Werte für den Umfang und den Durchmesser in der Tabelle sind Beispielwerte, um Dir die Kreiszahl \(\pi\) näherzubringen. Deine Werte können natürlich davon abweichen.
| Gegenstand | Umfang | Durchmesser | $$\pi=\frac{U}{d}$$ |
| Tasse | \(26{,}2\: cm\) | \(8{,} 3\: cm\) | \(3{,}16\) |
| Uhr | \(60{,}0\: cm\) | \(19{,}0\: cm\) | \(3{,}16\) |
| Kochplatte beim Herd | \(50{,}0\: cm\) | \(16{,}0\: cm\) | \(3{,}125\) |
| Geldstück | \(7{,}0\: cm\) | \(2{,}22\: cm\) | \(3{,}15\) |
Dabei erkennst Du, dass \(\frac{U}{d}\) immer in der Nähe von \(3\) liegt oder genauer gesagt ungefähr \(3,14\) sein wird. Denn es gilt:
$$\pi=\frac{Umfang\:des\:Kreises}{Durchmesser\:des\:Kreises}$$
Genau das ist die Pi-Zahl.
Erst mit Pi konnten der Umfang \(U\) und die Fläche \(A\) eines Kreises berechnet werden. Für alle Kreise gilt: Der Umfang U ist das Pi-fache des Durchmessers d.
Da Du Dir nun konkret etwas unter der Kreiszahl Pi vorstellen kannst, wird die Zahl jetzt einmal genauer erklärt.
Kreiszahl Pi berechnen– Wert und Symbol
Die Kreiszahl Pi ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Pi (\(\pi\))ist der 16. Buchstabe des griechischen Alphabets. Ausgesprochen lautet der Buchstabe „Pi“.
Die Kreiszahl \(\pi\) (Pi) ist das Verhältnis zwischen dem Umfang \(U\) eines Kreises und dessen Durchmesser \(d\):
$$ \pi = \frac{Umfang\enspace U}{Durchmesser\enspace d} $$
Die ersten Stellen ihrer Dezimalbruchentwicklung sind:
$$\pi\approx 3{,}14159$$
Die Kreiszahl \(\pi\) ist eine Konstante ohne Einheit. Das bedeutet, ihr Wert verändert sich nie und als Näherungswert für \(\pi\) wird häufig 3,14 verwendet.
Der Umfang eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser, d. h. : Wenn der Durchmesser verdoppelt wird, dann verdoppelt sich auch der Umfang. Der Proportionalitätsfaktor von Umfang und Durchmesser ist die Zahl Pi.
Das Geniale an Pi ist: Diese Zahl trifft auf jeden Kreis zu, den Du berechnen möchtest, egal, wie groß der Kreis ist. Das Verhältnis von Umfang \(U\) zu Durchmesser \(d\) ist immer Pi. Deshalb wird Pi auch als Konstante bezeichnet. Wie gerade erwähnt, hat die Kreiszahl \(\pi\) etwas mit dem Kreisumfang zu tun. Der Umfang eines Kreises meint die Länge einer Kreislinie. Du hast die Weglänge der Kreisumrundung bei der Tasse bereits in der Übung oben mit einer Schnur gemessen.
Im Prinzip das Gleiche, was Du beim Messen des Tassenumfangs mit der Schnur gemacht hast. Ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 ergibt abgerollt eine Strecke von Pi. Der Abrollvorgang des Kreisumfangs veranschaulicht nämlich \(\pi\).
Dieses \(\pi\) kennst Du vielleicht von Deinem Taschenrechner oder aus dem Matheunterricht, denn es hat einige interessante Eigenschaften.
Kreiszahl Pi – Eigenschaften
Wodurch unterscheiden sich Zahlen wie \(\sqrt{2}\) von denen wie der Kreiszahl \(\pi\) oder der Eulerschen Zahl \(\e\)? Was fällt beim Vergleich der Definition dieser Zahlen auf? Die Kreiszahl Pi hat einige interessante Eigenschaften.
Kreiszahl Pi – Nachkommastellen
Pi – Immer wieder wird versucht, die Zahl genau zu erforschen und zu untersuchen, aber trotz verschiedener Algorithmen wird bis heute an den Nachkommastellen geforscht.
Die Kreiszahl \(\pi\) hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch. Sie lässt sich deshalb nie vollständig aufschreiben oder ermitteln.
Die ersten 100 Nachkommastellen sind:
\begin{align}\pi=&3,1415926535 89793238462643\\&383279 5028841971 6939937510\\&5820974944 5923078164 062862\\&0899 8628034825 3421170679\end{align}
Es genügt aber, wenn Du Dir die ersten drei Ziffern merkst.
Die unendlichen Nachkommastellen wurden mit aufwendigen Rechenprozessen und Programmierungen am Computer gelöst. Eine der ersten Berechnungen in dieser Größenordnung dauerte im Jahr 2011 ganze 191 Tage.
Mit anderen Worten, die Nachkommastellen von Pi sind unvorhersehbar und es gibt kein Modell, das sie voraussagen kann. Heutzutage wird immer noch an den billionsten Nachkommastellen geforscht. Google gab am 08. Juni 2022 einen neuen Berechnungsweltrekord von 100 Billionen Stellen bekannt.
Pi ist eine irrationale Zahl
Die Kreiszahl gehört zu den irrationalen Zahlen. Sie hört also nie auf.
Erst Johann Heinrich Lambert konnte 1761 nachweisen, dass Pi irrational ist. Irrationale Zahlen können nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Sie hat also als Dezimalbruch geschrieben unendlich viele Stellen nach dem Komma und keine Periode. Ihre Kommazahlen wiederholen sich nie in ihrer Abfolge.
Neben \(\pi\) sind auch \(\sqrt{2}\) oder die Eulersche Zahl e irrational.
Als Konsequenz lässt sich die Zahl nie vollständig aufschreiben oder ermitteln.
Pi als transzendente Zahl
Bei den irrationalen Zahlen wird noch einmal zwischen den algebraischen und den transzendenten Zahlen unterschieden.
Transzendente Zahlen sind reelle Zahlen, die nicht Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Sie sind also nicht durch bestimmte algebraische Gleichungen beschreibbar.
Pi ist eine transzendent Zahl. Das bedeutet, es gibt kein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das \(\pi\) als eine Nullstelle hat.
Nicht jede irrationale Zahl ist auch eine transzendente Zahl. Beispielsweise ist \(\sqrt{2}\) die Nullstelle des Polynoms \(f(x)=x^2-2\).
Die Tatsache, dass Pi eine transzendente Zahl ist, hat zwei weitere wichtige Konsequenzen.
- Die Zahl kann unmöglich nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln ausgedrückt werden.
- Die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.
Ferdinand Lindemann (1852 bis 1939) gelang 1882 der Nachweis, dass die Kreiszahl ein unendlicher, nicht periodischer Dezimalbruch, eine transzendente Zahl ist. Damit war die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises beweisen.
Quadratur eines Kreises
Der Spruch, jemand versucht die „Quadratur eines Kreises“, bedeutet, er hat sich etwas Unmögliches vorgenommen. Quadratur ist ein alter Ausdruck für Flächenbestimmung. Also ein Verfahren zur Berechnung von Flächen mithilfe der Integralrechnung.
Bei der Quadratur eines Kreises wird aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt konstruiert, nur mithilfe von Zirkel und Lineal.
Keine transzendente Zahl kann durch einen Zirkel und ein Lineal konstruiert werden. Ein Punkt oder eine Zahl gelten als konstruierbar, wenn sie allein mit einem Zirkel und einem Lineal konstruiert werden können.
Die Quadratur eines Kreises zeichnet sich dadurch aus, dass auf einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit genau demselben Flächeninhalt konstruiert werden soll. Denn mit Lineal und Zirkel ist eine Lösung dieser Aufgabe nicht möglich, wie der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann 1882 bewies.
Kreiszahl Pi – Geschichte
Seit Ewigkeiten wollten die Menschen schon wissen, welche Größe Pi hat. Dabei kamen sie jedoch nur bis zu wenigen Nachkommastellen. Angefangen bei den Ägyptern, Babylonier oder die alten Griechen, alle waren von der Zahl fasziniert.
Die Kreiszahl in Ägypten und Babylonien
Etwa zur selben Zeit wie in Ägypten (1900-1600 v. Chr.) sind auch schon in Babylonien erste Näherungen für Pi dokumentiert. Der Wert 3 wurde als eine solche Näherung benutzt. Dieser könnte durch den Vergleich des Umfangs eines Kreises, mit dem eines Sechsecks entstanden sein und die Babylonier benutzen folgenden Wert für Pi:
$$\pi\approx 3+\frac{1}{8}=3,125$$
Die Kreiszahl in der Bibel (altes Testament)
In der Bibel gibt es weitere Schätzungen für Pi. Im alten Testament (ca. 500 v. Chr.) steht als Wert für Pi nämlich drei. In der Bibel im ersten Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23 wird berichtet, dass ein Bronzeschmied aus Tyros Arbeiten für König Salomo durchgeführt haben soll: „Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß zehn Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und fünf Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“
Anhand dieses konkreten Beispiels lässt sich ein Verhältnis von Durchmesser zu Radius mit dem Wert 3 für Pi ermitteln.
Es handelt sich hier um einen Kreis mit dem Durchmesser \(d=10\) Ellen. Dieser Kreis wird von einer Messschnur der Länge 30 Ellen umspannt. Dies entspricht dem Umfang.
Daraus folgt als grobe Näherung für \(\pi\approx\frac{30 Ellen}{10 Ellen}=3\).
Die Abschätzung 3 ist noch sehr ungenau. Im Laufe der Zeit wurden immer mehr Nachkommastellen von Pi berechnet.
Die Kreiszahl in der Antike
Im antiken Griechenland wurde alles viel genauer. Wie oben erwähnt, waren in der Antike vorwiegend die Griechen sehr daran interessiert, Pi so genau wie möglich zu bestimmen. Wissenschaftler wie Archimedes versuchten, die ersten paar Nachkommastellen von Pi zu berechnen. Der große Durchbruch gelang Archimedes mit der folgenden Approximationsmethode.
Näherungsverfahren von Archimedes
Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) war ein antiker griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Er versuchte, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für Pi zu gewinnen.
Um noch einmal genauer in die Methode von Archimedes einzusteigen, schau mal beim Artikel „Kreiszahl Pi – Näherungsverfahren nach Archimedes“ vorbei.
Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Die Basis seiner Approximation geht von der Tatsache aus, dass \(\pi\) bei einem Durchmesser von 1 gleich U ist, wegen \(\pi=\frac{U}{d}\).
Ein Kreis mit einem Durchmesser von \(d=1\) hat einen Umfang von Pi. Von dieser Tatsache geht die Approximation von Archimedes aus.
Allgemein beruht die Methode von Archimedes darauf, dass in einen Kreis ein gleichmäßiges Sechseck gelegt wird, das offenbar einen geringeren Umfang als der Kreis hatte, und ein Sechseck um den Kreis, das sicher größer als \(\pi\) war.
- So wird jeweils eine untere und obere Schranke für den Umfang des Kreises festgelegt.
- Das bedeutet, dass der Umfang des kleineren Sechsecks kleiner ist als Pi und Pi wiederum kleiner als der Umfang des größeren Sechsecks.
Abb. 4 - Approximationsmethode nach Archimedes - Sechseck
Er benutzte ein Sechseck, da sowohl dessen Fläche als auch dessen Umfang einfach ausgerechnet werden kann. Die Abb. 4 verdeutlicht Dir, wie das Sechseck um und in den Kreis gelegt wurde.
- Archimedes begann damit, zunächst ein Sechseck in und um den Kreis zu legen. Von diesem Sechseck berechnete er den Umfang. Aber dieser war noch viel kleiner als der Umfang vom Kreis. Die Anzahl der Ecken verdoppelte Archimedes jeweils, sodass er ein 12-, 24-, 48- hin zu einem 96-Eck für das Näherungsverfahren nutze. Aber selbst beim 96-Eck gab es noch kleine Lücken.
- Durch die beiden Annäherungen konnte Archimedes Pi ziemlich gut eingrenzen. Folgendes fand er heraus:
$$3+\frac{10}{71}<\pi<3+\frac{10}{70}$$
Der linke Wert gibt das innen liegende Vieleck an, der rechte Wert das außen liegende Vieleck. Archimedes kam über den Bruch zu der Näherung \(3,141635\). Pi war damit bereits auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt.
Da sich Mathematiker fortan auf die Arbeit von Archimedes bezogen, wurde die Kreiszahl Pi als „Archimedes-Konstante“ bezeichnet.
Die Kreiszahl wird manchmal auch „Ludolphsche Zahl“ genannt, nach Ludolph van Ceulen (1540-1610), der den Großteil seiner Lebenszeit mit der exakten Berechnung der Nachkommastellen von Pi verbrachte. Er berechnete die Kreiszahl auf 35 Dezimalstellen genau.
Heutzutage übernehmen Computer solche Rechnungen, wodurch die Zahl Pi auf 100 Billionen Nachkommastellen genau berechnet wurde.
Die Kreiszahl heutzutage
Ohne Hilfe von Computern gelang es bis ins frühe 20. Jahrhundert Gerade einmal etwa 400 Nachkommastelle zu bestimmen.
Mithilfe von Computern und modernen Rechnungsverfahren war es seit Mitte 20. Jahrhunderts möglich, Pi auf mehrere Billionen Nachkommastellen zu bestimmen.
Du bist bei den Entdeckungen der Nachkommastellen und den Schätzungen für Pi durcheinandergekommen? Die folgende Tabelle gibt Dir einen zeitlichen Überblick zur Entdeckung der Zahl Pi.
| Wer und wann? | Was? |
| Ägypten/Babylon (ca. 2000 v. Chr.) | \(3{,}1\) |
| Altes Testament (ca. 500 v. Chr.) | \(3\) |
| Archimedes (ca. 250 v. Chr.) | \(3{,}141\) |
| Liu Hui (263) | \(3{,}14159\) |
| Zu Chongzhi (480) | \(3{,}14159265\) |
| Madhava (1400) | \(3{,}4159265358\) |
| Ludolph van Ceulen (1615) | \(3{,}1415926535897932384626433832795\) |
| Edward J. Goodwin (1897) | \(3{,}2\) |
| Programm „y-chruncher“ (2016) | mehr als \(22\) Billionen Stellen nach dem Komma |
Kreiszahl Pi berechnen
Wie Du zuvor gelernt hast, ist Pi eine transzendente und irrationale Zahl und daher eine unendlich lange Zahlenfolge darstellt. Deswegen gibt es keine konkrete Formel, mit der die Kreiszahl Pi berechnet werden kann.
Wenn Du Dich aber an die Übung mit der Tasse erinnerst, hast Du bereits gesehen, dass sich die Kreiszahl Pi als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser darstellen lässt und so berechenbar ist. Denn jedes Mal, wenn Du den Umfang und Durchmesser eines runden Gegenstandes abmisst und die beiden Werte durcheinander teilst, wirst Du immer wieder die Kreiszahl \(\pi\) erhalten.
Die Zahl lässt sich also aus dem Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises berechnen. Das bedeutet:
$$\pi=\frac{Umfang}{Durchmesser}$$
Wenn Du Dir genauer überlegst, was hinter dem Umfang und dem Durchmesser steckt, wirst Du wieder der Kreiszahl begegnen. Um den Kreisumfang berechnen zu können, benötigst Du nämlich die Zahl Pi. Die Formel für die Berechnung des Umfangs lautet:
$$U=d\cdot\pi$$
In der Formel des Umfangs taucht noch der Durchmesser auf. Die Formel des Durchmessers lautet \(d=2\cdot r\), woraus sich die Formel des Umfangs mit dem Radius \(r\) eines Kreises ergibt:
$$U=2\cdot\pi\cdot r$$
Nimmst Du nun diese beiden Formeln für den Umfang und den Durchmesser und setzt sie als Verhältnis der Kreiszahl ein, erhältst Du Folgendes:
$$\pi=\frac{U}{d}=2\pi\cdot\frac{r}{2r}$$
Abb. 5 - Umfang und Durchmesser eines Kreises
Das Ganze kann natürlich noch gekürzt werden.
$$\pi=\cancel{2}\pi\cdot\frac{\cancel{r}}{\cancel{2r}}$$
Nach dem Kürzen erhältst Du wieder die Kreiszahl \(\pi\). Das bestätigt, dass sich Pi aus dem Verhältnis von Umfang zu Durchmesser berechnen lässt, da dabei immer der gerundete Wert von \(\pi\approx 3,14\) rauskommen wird, wenn Du dieses Verhältnis in den Taschenrechner eingibst.
Kreiszahl Pi – Verwendung
Du fragst Dich, wann und wie Pi zur Anwendung kommt? Wie bereits gelernt, steht die Kreiszahl für das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Daher lassen sich damit Berechnungen anstellen, die die Eigenschaften von Kreisen und damit auch aller geometrischen Formen, die eine kreisförmige Fläche beinhalten.
Es gibt einige wichtige Formeln, in denen die Kreiszahl für die Geometrie und das Rechnen mit Kreisen unerlässlich sind:
Umfang und Flächeninhalt eines Kreises:
| Anwendung | Formel |
| Umfang eines Kreises | \(U=2\cdot\pi\cdot r\) oder \(U=\pi\cdot d\) |
| Flächeninhalt eines Kreises | \(A=\pi\cdot r^2\) oder\(A=\frac{\pi}{4}\cdot d^2\) |
| Durchmesser eines Kreises | \(d=\frac{U}{\pi}\) |
Oberfläche und Volumen einer Kugel:
| Anwendung | Formel |
| Kugeloberfläche | \(O=4\cdot\pi\cdot r^2\) |
| Kugelvolumen | \(V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3\) |
Mantelfläche und Volumen eines Zylinders:
Bei einem Zylinder sind sowohl die Grund- als auch die Deckfläche jeweils ein Kreis. Auch hier kommt in den verwendeten Formeln wieder die Kreiszahl Pi vor:
| Anwendung | Formel |
| Mantelfläche eines Zylinders | \(M=2\cdot\pi\cdot r\cdot h\) |
| Volumen eines Zylinders | \(V=\pi\cdot r^2\cdot h\) |
Es gibt eine Art, Winkel anzugeben. Trigonometrische Funktionen benötigen Winkel, welche in der Regel in Bogenmaß angegeben werden.
Die Kreiszahl Pi im Bogenmaß
Im Bogenmaß wird die Größe von Winkeln angegeben. Dabei werden die Winkel nicht in Grad, sondern in Rad angegeben. Das Bogenmaß ist so definiert, dass eine volle Umdrehung (Vollwinkel), also \(360\: Grad\) genau \(2\cdot\pi\) entspricht.
$$360^\circ=2\pi$$
Möchtest Du mehr zu diesem Thema erfahren? Dann lies gerne den Artikel „Bogenmaß“!
Wie Du siehst, wird Dir die Kreiszahl Pi bei Berechnungen rund um Kreise begegnen. Deshalb ist es hilfreich, die Bedeutung dieser Zahl zu kennen.
Es gibt viele Formeln, in denen Pi die tragende Rolle spielt. Falls Du Dich einmal ausführlicher mit der Kreiszahl Pi und deren Anwendung beschäftigen möchtest, wirst Du in den Artikeln zu „Umfang eines Kreises“ und „Flächeninhalt eines Kreises“ einige Übungsaufgaben finden, bei denen mit der Kreiszahl Pi gerechnet wird.
Die Kreiszahl Pi – Das Wichtigste auf einen Blick
- Pi ist eine mathematische Konstante und wird definiert als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises.
- Als Symbol für Pi wird der griechische Buchstabe \(\pi\) verwendet und besitzt einen Wert von ungefähr \(\approx 3,14\)
- Die Eigenschaften von Pi zusammengefasst:
- Die Kreiszahl ist transzendent und irrational und stellt somit eine unendlich lange Zahlenfolge dar. Daher folgen die Nachkommastellen von Pi keinem bestimmten Schema.
- Deshalb kann es keine einfache Formel für Pi geben, die nur aus dem Radius oder dem Durchmesser und ein paar Divisionen und Multiplikationen den Wert von Pi berechnet.
- Die Zahl Pi ist unabhängig vom Durchmesser/Umfang des Kreises.
- Als Erster hat der griechische Mathematiker Archimedes erstmals 250 v. Chr. ein Näherungsverfahren für Pi entwickelt.
Nachweise
- Birner, Gerd (2010). Fokus Mathematik. Kursstufe Gymnasium Baden-Württemberg. Cornelsen Verlag, Berlin.
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