Ein Kreis ist eine runde, in sich geschlossene Linie, bei der alle Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben. In der Praxis findest du oft Gegenstände, die die Form eines Kreises haben.
Um in das Thema Umfang eines Kreises gleich voll einsteigen zu können, solltest du dir vorher die Artikel zu der Kreiszahl Pi (π) und zum Flächeninhalt eines Kreises angeschaut haben.
Umfang Kreis – Definition und Erklärung
Was ist eigentlich der Umfang? Und wie berechnet man ihn?
Stell dir vor, du hast ein Seil vor dir, das einen Kreis bildet. Wenn du dieses Seil jetzt an einer Stelle aufschneidest und wie eine Linie vor dich hinlegst, dann ist das der Umfang eines Kreises.
Der Umfang eines Kreises ist also die Länge der Linie, die den Kreis bildet.
Der Umfang eines Kreises wird mit dem Buchstaben U abgekürzt.
Es gibt zwei Möglichkeiten, den Umfang eines Kreises zu berechnen: Mithilfe des Radius r oder mithilfe des Durchmessers d.
Pi (π) ist dabei die unendliche Kreiszahl.
Der Umfang U eines Kreises kann berechnet werden durch die beiden Formeln:
oder
In den Abbildungen siehst du nochmal zur Wiederholung, was der Unterschied zwischen dem Radius und dem Durchmesser ist:
Abbildung 1: Kreisumfang mit Radius
Abbildung 2: Kreisumfang mit Durchmesser
Stell dir vor, du misst den Umfang eines Zylinders mit dem Maßband. In unserem Fall beträgt er ungefähr 31,4 cm. Wenn du jetzt noch den Durchmesser dieses Kreises misst, kommst du auf 10 cm in unserem Beispiel.
Ein Zylinder hat ja im Prinzip die Form eines Kreises, kann also in diesem Beispiel als Kreis dienen.
Abbildung 3: Umfang und Durchmesser eines Zylinders
Wenn man sich mehrere Kreise verschiedenster Größen anschaut, stellt man fest, dass der Umfang immer ungefähr dreimal so groß ist wie der Durchmesser. Schauen wir uns das mal näher an:
Dieses System kannst du mit Kreisen aller Größen durchführen und das Ergebnis wird immer ein wenig mehr oder weniger als 3,14 sein.
Diese Zahl nennt man auch die Kreiszahl π. Sie hat unendlich viele Nachkommastellen und ist daher eine irrationale Zahl.
Oft wird sie auf 3,14 gerundet.
Wenn wir jetzt diesen Zusammenhang aufschreiben, dann sieht das so aus:
Wir kommen auf unsere bekannte Formel für den Umfang eines Kreises zurück. Um jetzt noch auf die Formel mit dem Radius zu kommen, muss man nur die Beziehung des Radius zum Durchmesser kennen:
Der Durchmesser ist der doppelte Radius:
Abbildung 4: Doppelter Radius ist gleich Durchmesser
Das kann man jetzt durch d in der Formel ersetzen:
Schon hat man wieder die zwei Formeln von oben.
Ein Kreis ist eine Figur im Zweidimensionalen. Im Dreidimensionalen wird diese Figur dann Kugel genannt. Auch von einer Kugel kann der Radius, der Durchmesser und der Umfang berechnet werden. Sie werden genauso berechnet, wie du es bisher für den Kreis gelernt hast.
Jedoch kann man bei Kugeln deren Oberfläche berechnen, was bei einem Kreis nicht möglich ist, da dieser keine Oberfläche hat.
Abbildung 5: Kugel
In dem Bild ist die Oberfläche orange eingezeichnet, während der Umfang mit einer blauen Linie verdeutlicht wird. Die Oberfläche würde auf folgende Weise berechnet werden:
Mehr dazu kannst du im Artikel Kugel lesen.
Umfang Kreis berechnen
Nun kennst du schon zwei Formeln, wie der Umfang eines Kreises berechnet werden kann. Zum Verständnis folgen jetzt ein paar Übungsaufgaben.
Den Umfang eines Kreises mit dem Radius berechnen
In diesem Beispiel berechnen wir den Umfang eines Kreises mit dem Radius und der dazu passenden Formel:
x
Aufgabe
Berechne den Umfang eines Kreises mit dem Radius .
Lösung
Schreibe als Erstes die Formel auf. In diesen Fall, da der Radius gegeben ist, wählt man:
Setze als Nächstes den Wert für r, in diesem Fall 5 cm, ein:
Zuletzt berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner:
Der Umfang eines Kreises mit dem Radius beträgt also gerundet 31,41 cm.
Auf den meisten Taschenrechnern gibt es eine Taste, um Pi einzusetzen. Hast du die nicht, kannst du bei der Berechnung des Umfangs auch ausnahmsweise einfach den gerundeten Wert von 3,41 verwenden.
Abbildung 6: Umfang eines Kreises mit einem 5 cm Radius
Zusammengefasst besteht diese Berechnungsart also aus drei Schritten:
- Formel aufschreiben,
- Werte einsetzen,
- Ergebnis ausrechnen.
Den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser berechnen
In diesem Beispiel wird der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser und der dazu passenden Formel berechnet:
Aufgabe
Berechne den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser .
Lösung
Als Erstes wird die passende Formel ausgesucht. Da der Durchmesser gegeben ist, wählt man folgende Formel:
Im nächsten Schritt wird der gegebene Wert, also , in die Formel eingesetzt:
Zum Schluss kannst du jetzt das Ergebnis wieder mit dem Taschenrechner ausrechnen:
Der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser beträgt also gerundet 6,28 cm.
Dadurch, dass π eine unendliche Zahl ist, hat auch der Kreisumfang meistens sehr viele Nachkommastellen. Diese musst du aber nicht alle aufschreiben. Du kannst einfach auf zwei Nachkommastellen runden.
Abbildung 7: Umfang eines Kreises mit einem 2 cm Durchmesser
Zusammengefasst besteht diese Berechnungsart aus drei Schritten:
- Formel aufschreiben,
- Werte einsetzen,
- Ergebnis ausrechnen.
Den Umfang eines Kreises mit dem Flächeninhalt berechnen
Was machst du , wenn du weder den Radius noch den Durchmesser eines Kreises gegeben hast? Kann der Umfang dann auch berechnet werden? Die Antwort ist ja, wenn du den Flächeninhalt gegeben hast:
Aufgabe
Gegeben ist der Flächeninhalt eines Dreiecks. Du sollst jetzt daraus den Umfang berechnen.
Lösung
Zuerst wird die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises aufgeschrieben:
Wenn du dir nicht mehr sicher bist, was genau der Flächeninhalt eines Kreises ist und mehr Infos dazu willst, lese dir doch unseren Artikel zum Thema Flächeninhalt eines Kreises durch.
Als Nächstes stelle die Formel um, sodass der Radius r ausgerechnet werden kann:
Jetzt kannst du die Formel für die Berechnung des Umfangs eines Kreises mit dem Radius aufschreiben.
Da Formel des Flächeninhalts oben umgestellt wurde, setze nun die umgestellte Formel in die Formel des Kreisumfangs ein:
Als Letztes kannst du den gegebenen Wert von für den Flächeninhalt A einsetzen und das Ergebnis ausrechnen:
Abbildung 8: Umfang eines Kreises mit einem Flächeninhalt von 6 cm²
Zusammengefasst besteht diese Berechnungsart aus sechs Schritten:
- Formel für den Flächeninhalt aufschreiben,
- Formel nach r umstellen,
- Formel für Kreisumfang mit r aufschreiben,
- r aus der umgestellten Formel in r der Formel des Kreisumfangs einsetzen,
- Werte einsetzen,
- Ergebnis ausrechnen.
Umfang Kreis – Übungsaufgaben
Zum Abschluss kannst du dein Wissen in den folgenden Aufgaben testen und festigen.
Aufgabe
Berechne den Umfang der drei Kreise auf drei unterschiedliche Wege. Runde auf zwei Nachkommastellen:
Abbildung 9. Drei verschiedene Kreise
Lösung
1.
Als Erstes starten wir mit dem kleinen Kreis. Hier könntest du sowohl mit der Radius-Formel als auch mit der Durchmesser-Formel arbeiten. Da der Durchmesser jedoch auf einen Blick zu erkennen ist, arbeiten wir mit diesem. Du kannst deshalb jetzt die Formel für den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser aufschreiben:
In der Zeichnung kannst du erkennen, dass der Abstand von einer Seite zur nächsten, durch den Mittelpunkt genau 1 cm beträgt. Diesen Wert kannst du in deine Formel einsetzen:
Als Letztes kannst du jetzt noch das Ergebnis ausrechnen und auf zwei Nachkommastellen runden:
Abbildung 10: kleiner Kreis
2.
Als Nächstes rechnen wir den Umfang des mittelgroßen Kreises aus. Die zwei Rechenmethoden, die noch übrig sind, ist die Methode mit Radius und die Methode mit dem Flächeninhalt. Da hier kein Flächeninhalt gegeben ist und wir diesen durch Messen auch nicht erhalten können, ist es sinnvoll, hier mit der Radius-Formel zu rechnen. Du kannst sie also schon einmal aufschreiben.
Jetzt musst du den Radius des Kreises, also den Abstand von einer Seite bis zum Mittelpunkt, herausfinden.
Die erste Seite liegt bei der x-Achse auf der 2, während der Mittelpunkt bei 4 liegt. Wenn du deren Differenz ausrechnest, kommst du auf den Radius:
Den Radius von 2 cm kannst du jetzt in die Formel einsetzen:
Zum Schluss kannst du das Ergebnis ausrechnen und auf zwei Nachkommastellen runden:
Abbildung 11: Mittlerer Kreis
Beim Runden musst du immer auf eine Nachkommastelle mehr achten, als du angeben musst. Ist diese kleiner als 5, schreibst du einfach die Anzahl an gefragten Nachkommastellen auf. Ist diese Zahl 5 oder größer, dann musst du die letzte Ziffer deiner gewünschten Nachkommastellen um 1 erhöhen. In diesem Fall sieht das so aus:
Da du auf zwei Nachkommastellen runden sollst, schaust du dir eine Nachkommastelle mehr, also die dritte Nachkommastelle, an. Es ist eine 6. Da 6 größer als 5 ist, musst du also die zweite Nachkommastelle um eins erhöhen:
3.
Als Letztes schauen wir uns jetzt noch den großen Kreis an. Hier ist der Flächeninhalt gegeben, was in Ordnung ist, da wir noch mit der Methode des Flächeninhalts rechnen müssen. Also kannst du die Formel des Flächeninhalts schon einmal aufschreiben:
Im nächsten Schritt kannst du jetzt die Formel nach r umstellen:
Als Nächstes schreibe die Formel mit dem Radius für den Umfang eines Kreises auf:
Hier kannst du jetzt die umgestellte Formel in die Formel für den Kreisumfang einsetzen:
Für den Flächeninhalt ist der Wert gegeben. Setze diesen in die Formel ein:
Als Letztes kannst du jetzt dein Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen und auf zwei Nachkommastellen runden:
Abbildung 12: Großer Kreis
Umfang Kreis - Das Wichtigste
- Du kannst den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser oder mit dem Radius berechnen:
- Der Umfang eines Kreises geteilt durch dessen Durchmesser ergibt immer die Kreiszahl π:
- Du kannst den Umfang eines Kreises auch mit dem Flächeninhalt berechnen:
- Formel für den Flächeninhalt nach r umstellen,
- r in die Formel für den Umfang eines Kreises einsetzen,
- Wert einsetzen und Ergebnis ausrechnen.
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