Beim Abtragen von Winkeln hast du immer einen Winkel gegeben, den du an einer anderen Stelle an einen Strahl oder eine Gerade abtragen sollst. Mithilfe vom Abtragen von Winkeln ist es dir zum Beispiel möglich, kongruente Dreiecke oder andere kongruente Figuren zu konstruieren.
In der Geometrie sind zwei Figuren kongruent beziehungsweise deckungsgleich, wenn sie sich durch Spiegelung, Drehung oder Verschiebung ineinander überführen lassen.
Zu Beginn ist dir immer ein Winkel gegeben, den du zum Beispiel auf einen Strahl abtragen sollst. Das bedeutet, dass du einen Winkel an den Strahl zeichnen sollst, der in seiner Größe genau mit dem gegebenen Winkel übereinstimmt.
Du kannst Winkel sowohl mit dem Geodreieck als auch mit dem Zirkel abtragen.
Zunächst solltest du aber noch die Grundlagen zu Winkeln kennenlernen.
Grundlagen zu Winkeln
Gegeben sind zwei Halbgeraden g und h mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S.
Ein Winkel entsteht, wenn die erste Halbgerade g um den gemeinsamen Anfangspunkt S gegen den Uhrzeigersinn (also im mathematischen Uhrzeigersinn) gedreht wird, bis sie auf der zweiten Halbgerade h liegt.
Der Winkel ist die Fläche, die beim Drehen der Halbgerade g überstrichen wird.
S heißt auch Scheitel des Winkels und die Halbgeraden g und h heißen Schenkel des Winkels.
Ein Winkel besteht also aus zwei Halbgeraden, die in einem gemeinsamen Punkt übereinstimmen. Die Halbgeraden sind die Schenkel des Winkels, sie begrenzen den Winkel, und der gemeinsame Punkt der Schenkel ist der Scheitelpunkt.
Winkel werden mit Bögen markiert und werden meistens mit griechischen Buchstaben bezeichnet. ()
Abbildung 1: Winkel
Winkel werden in Grad gemessen. Die Größe eines Winkels kannst du mit deinem Geodreieck messen. Dafür legst du dein Geodreieck an den unteren Schenkel deines Winkels an, sodass die 0 auf dem Scheitelpunkt aufliegt. Der andere Schenkel sollte die Gradskala auf deinem Geodreieck treffen.
Ein Geodreieck besitzt zwei Skalen, eine innere und eine äußere.
Die innere Skala verwendest du, wenn du Winkel im Uhrzeigersinn misst. Das ist der Fall, wenn Winkel größer als 180° sind.
Die äußere Skala verwendest du, wenn du Winkel gegen den Uhrzeigersinn misst. Das ist der Fall, wenn ein Winkel kleiner als 180° ist. In der Regel misst du Winkel gegen den Uhrzeigersinn. Das bedeutet, dass du meistens die äußere Skala verwendest.
Es gibt unterschiedliche Winkelarten, die du unterscheiden können musst.
Der Nullwinkel ist ein Winkel, der einen Wert von 0° besitzt.
Abbildung 2: Nullwinkel
Ein spitzer Winkel ist ein Winkel mit einem Wert zwischen 0° und 90°.
Abbildung 3: Spitzer Winkel
Ein rechter Winkel hat immer 90°. Der rechte Winkel wird mit einem Punkt gekennzeichnet.
Abbildung 4: Rechter Winkel
Ein stumpfer Winkel hat einen Wert zwischen 90° und 180°.
Abbildung 5: Stumpfer Winkel
Ein Winkel mit 180° wird gestreckter Winkel genannt.
Abbildung 6: Gestreckter Winkel
Ein überstumpfer Winkel hat einen Wert zwischen 180° und 360°.
Abbildung 7: Überstumpfer Winkel
Der volle Winkel hat immer 360°.
Abbildung 8: voller Winkel
Wenn du noch mehr über Winkel wissen möchtest, dann schau dir doch den Artikel zum Winkel nochmal an!
Winkel abtragen mit einem Zirkel
Zuerst schauen wir uns an, wie man Winkel mit dem Zirkel abträgt. Das ist zwar etwas schwieriger, als mit dem Geodreieck zu arbeiten, dafür aber wesentlich sauberer.
Spitze Winkel abtragen
Du hast einen spitzen Winkel α und einen Punkt C gegeben, der auf der Strecke c liegt. Jetzt soll der Winkel α an c übertragen werden. Die Strecke c soll also ein Schenkel dieses neuen Winkels sein und Punkt C der Scheitelpunkt.
Abbildung 9: Spitzer Winkel und Gerade c
Im ersten Schritt stichst du deinen Zirkel in Punkt S ein und ziehst einen Kreis mit beliebiger Größe um diesen Punkt. Wichtig ist nur, dass der Radius des Kreises nicht größer ist, als die Schenkel des Winkels oder die Strecke c.
Markiere die Schnittpunkte des Kreises mit den Schenkeln des Winkels und nenne sie und .
Abbildung 10: Kreis um S
Stich den Zirkel als Nächstes in Punkt C ein und ziehe einen Kreis. Verändere dabei die Einstellung deines Zirkels nicht. Markiere auch hier wieder den Schnittpunkt des Kreises mit dem Schenkel des Winkels und nenne den Schnittpunkt .
Abbildung 11: Kreis um Punkt C
Nimm im nächsten Schritt deinen Zirkel und miss den Abstand zwischen und . Dazu stichst du zum Beispiel im Punkt ein, und stellst dann die Bleistift-Seite des Zirkels so ein, dass sie genau auf landet.
Ziehe damit einen Kreis um Punkt .
Die beiden konstruierten Kreise schneiden sich nun in zwei Punkten. Markiere den oberen Schnittpunkt der beiden Kreise und nenne ihn .
Abbildung 12: Kreis um S3
Im letzten Schritt zeichnest du eine weitere Halbgerade von Punkt C durch Punkt .
Abbildung 13: Gerade durch C und S4
Die Halbgerade c und die Halbgerade durch Punkt schließen einen Winkel ein, der genauso groß ist, wie α.
Stumpfe Winkel abtragen
Beim Abtragen von stumpfen Winkeln gehst du eigentlich genauso vor wie beim Abtragen von spitzen Winkeln.
Du hast also einen stumpfen Winkel β gegeben und eine Halbgerade d mit Ausgangspunkt D gegeben.
Abbildung 14: Stumpfer Winkel und Gerade d
Im ersten Schritt zeichnest du wieder einen Kreis um den Scheitelpunkt S des Winkels β. Anschließend zeichnest du einen Kreis mit demselben Radius um Punkt D. Markiere wieder alle Schnittpunkte der Kreise mit den Schenkeln der Winkel.
Abbildung 15: Kreis um S und D
Als Nächstes misst du den Abstand zwischen und mit deinem Zirkel. Anschließend ziehst du einen Kreis um Punkt .
Die Kreise schneiden sich wieder zweimal. Markiere auch hier wieder den passenden Schnittpunkt.
Abbildung 16: Kreis um S3
Rechte Winkel abtragen
Rechte Winkel kannst du mithilfe des Zirkels genauso abtragen, wie spitze und stumpfe Winkel. Du kannst aber genauso ein Lot konstruieren.
Auch dafür haben wir einen Artikel auf StudySmarter - schau ihn dir doch mal an, wenn es dich interessiert, wie man ein Lot konstruiert!
Winkel abtragen mit einem Geodreieck
Um einen Winkel mit dem Geodreieck abzutragen, legst du im ersten Schritt dein Geodreieck an den gegebenen Winkel an und schaust nach, wie groß dieser Winkel ist.
Abbildung 17: Winkel messen
Im nächsten Schritt legst du dein Geodreieck an den Strahl oder die Gerade an, an die du den Winkel abtragen möchtest. Achte darauf, dass sich die 0 des Geodreiecks an der Stelle befindet, an der sich am Ende der Scheitelpunkt deines abgetragenen Winkels befinden soll.
Abbildung 18: Geodreieck anlegen
Jetzt schaust du an der äußeren Zahlenreihe nach, wo sich die Zahl, der Größe deines Winkels befindet und markiere diese Stelle auf deinem Papier mit einem Punkt.
Bei stumpfen Winkeln verwendest du immer die innere Skala auf deinem Geodreieck.
Achte bei deinem Geodreieck immer darauf, dass du die richtige Skala verwendest.
Abbildung 19: Winkel messen
Im letzten Schritt ziehst du eine Linie von dem Scheitelpunkt des neuen Winkels bis zu deiner Markierung.
Abbildung 20: Winkel antragen
Jetzt hast du den Winkel mithilfe deines Geodreiecks abgetragen.
Wenn du einen rechten Winkel abtragen möchtest, findest du in der Mitte deines Geodreiecks eine weitere Hilfslinie. Diese Linie musst du jetzt an die Halbgerade anlegen und kannst deine Gerade ziehen.
Abbildung 20: 90° Winkel einzeichnen
Winkel abtragen: Kongruente Dreiecke
Wenn du Winkel abtragen kannst, hilft dir diese Fertigkeit auch dabei, kongruente Dreiecke zu konstruieren. Wiederholen wir zunächst, was Kongruenz ist.
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in Form und Flächeninhalt übereinstimmen. Kongruent bedeutet auch deckungsgleich.
Dreiecke lassen sich mithilfe der vier Kongruenzsätze auf Kongruenz prüfen.
- Der SSS-Satz ist erfüllt, wenn zwei Dreiecke in allen drei Seitenlängen übereinstimmen.
- Der SWS-Satz besagt, dass zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, kongruent sind.
- Der dritte Kongruenzsatz ist der WSW-Satz. Dieser Satz ist erfüllt, wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite übereinstimmen.
- Der letzte Kongruenzsatz ist der SsW-Satz. Nach diesem Satz sind zwei Dreiecke kongruent, die in zwei Seitenlängen und dem Winkel, der der längeren der beiden Seiten gegenüber liegt, übereinstimmen.
Durch das Abtragen von Winkeln lassen sich daher kongruente Dreiecke konstruieren, weil sie den SWS-Satz, den WSW-Satz oder den SsW-Satz erfüllen.
Du hast ein Dreieck ABC gegeben und sollst mithilfe des WSW-Satzes ein kongruentes Dreieck konstruieren.
Abbildung 21: Dreieck ABC
Im ersten Schritt misst du die Länge der Strecke mithilfe des Geodreiecks und zeichnest eine Strecke mit derselben Länge.
Abbildung 22: Strecke A'B'
Messe jetzt die beiden Winkel mit den Scheitelpunkten A und B.
Abbildung 23: Winkel messen
Jetzt kannst du entweder mit dem Zirkel oder mit dem Lineal die Winkel an A und B an die Strecke abtragen.
Abbildung 24: Winkel antragen
Im letzten Schritt markierst du den Punkt, in dem sich die beiden Halbgeraden, mit den Ausgangspunkten A' und C', schneiden, mit B'.
Abbildung 25: Dreieck A'B'C'
Jetzt hast du ein Dreieck A'B'C', das kongruent zum Dreieck ABC ist.
Winkel abtragen: Beispiele
Im Folgenden findest du noch ein Anwendungsbeispiel zum Abtragen von Winkeln.
Du hast einen Winkel mit 55° gegeben. Trage diesen Winkel mithilfe deines Zirkels an eine Halbgerade ab.
Abbildung 26: Winkelα
Lösung
Zeichne zunächst eine Halbgerade. Wir nennen sie g und ihren Anfangspunkt G.
Zeichne einen Kreis um den Scheitelpunkt des Winkels . Nenne die Schnittpunkte der Schenkel des Winkels mit dem Kreis und .
Zeichne einen weiteren Kreis mit demselben Radius um den Ausgangspunkt G der Halbgerade g. Markiere den Schnittpunkt des Kreises mit der Halbgeraden und nenne ihn .
Zeichne einen Kreis um C der den Radius hat. Markiere den Schnittpunkt der beiden Kreise.
Im letzten Schritt ziehst du eine Gerade von dem Ausgangspunkt G der Halbgerade g durch den Schnittpunkt der beiden Kreise.
Abbildung 27: Lösung
Erklärung: Winkel abtragen - Das Wichtigste
- Winkel lassen sich sowohl mit dem Geodreieck, als auch mit dem Zirkel abtragen.
- Bei dem Abtragen eines Winkels mit dem Zirkel musst du wie folgend vorgehen:
- Steche den Zirkel in den Scheitelpunkt des gegebenen Winkels ein und ziehe einen Kreis.
- Markiere die Schnittpunkte des Winkels mit dem Kreis; S1 und S2.
- Ziehe einen weiteren Kreis, mit demselben Radius, um den Ausgangspunkt der Halbgeraden.
- Markiere den Schnittpunkt des Kreises mit der Halbgeraden; S3.
- Miss den Abstand von S1 und S2 und stelle den Zirkel auf diesen Abstand ein.
- Ziehe einen Kreis um S3.
- Markiere den Punkt S4 an dem sich die beiden Kreise, um die Halbgerade, schneiden.
- Ziehe eine Gerade von dem Ausgangspunkt der Halbgerade durch S4.
- Um einen Winkel mit dem Geodreieck abzutragen, musst du zunächst die Größe des Winkels messen und anschließend mit dem Geodreieck den Winkel an der Halbgerade antragen
- Es gibt unterschiedliche Arten von Winkeln.
- Spitze Winkel
- Stumpfe Winkel
- Überstumpfe Winkel.
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