Einheitskreis

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Die Anwendung des Einheitskreises kann dir die Zusammenhänge hauptsächlich zwischen dem Sinus und dem Kosinus genauer erklären. Genau so kannst du mit Hilfe des Einheitskreises Funktionen zum Sinus, Kosinus und Tangens Konstruieren.

Einheitskreis – Definition

Der Einheitskreis ist ein wichtiges Mittel, um den Sinus, Kosinus und Tangens zu definieren und erklären. Doch was versteht man unter einem Einheitskreis?

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius $r = 1$ . Der Mittelpunkt des Kreises entspricht dem Ursprung des Koordinatensystems $M (0 | 0)$ .

Einheitskreis Allgemein Definition StudySmarter Abbildung 1: Einheitskreis

Der Punkt $P (x | y)$ liegt dabei immer auf dem Kreisbogen und hat damit einen Abstand von $1$ zum Ursprung.

Der Winkel zwischen der Sinus- und der Kosinusstrecke ist immer ein rechter Winkel, außer eine der beiden ist $0$ , dann hat auch der Winkel $0 °$ .

Auf den rechten Winkel wird zur Einfachheit in den weiteren Abbildungen verzichtet.

Damit du das Ganze besser nachvollziehen kannst, folgt jetzt ein Beispiel:

Du kannst dir nun überlegen, für welche Winkel $α$ der Sinus und Kosinus größer oder kleiner $0$ ist. Dazu ist es am leichtesten, wenn du die vier Quadranten römisch $I - IV$ betrachtest.

Zur Erinnerung an die Quadranten kannst du dir die Abbildung $2$ anschauen.

Einheitskreis Quadranten Definition StudySmarter Abbildung 2: Quadranten im Einheitskreis

Du siehst daran, dass sowohl der Sinus als auch der Kosinus im 1. Quadranten positiv sind. Das bedeutet, dass für den Sinus und den Kosinus für $0 ° < α < 90 °$ folgendes gilt:

$\sin (α) > 0 und \cos (α) > 0$

Schau dir hierzu das Verhalten von Sinus und Kosinus im 2. Quadranten an.

Einheitskreis 2. Quadrant Definition BeispieleStudySmarter Abbildung 3: Werte im 2. Quadranten

Im 2. Quadranten verhalten sich Sinus und Kosinus unterschiedlich. Während der Sinus noch positiv ist, ist der Kosinus negativ. Das bedeutet, dass Sinus und Kosinus für $90 ° < α < 180 °$ folgende Werte hat.

$\sin (α) > 0 und \cos (α) < 0$

Weil du das nun für die beiden ersten Quadranten schon ausführlich gemacht hast, kannst du es dir für den 3. und 4. Quadranten in der nächsten Tabelle anschauen.

3. Quadrant	4. Quadrant
Abbildung 4: Werte im 3. Quadranten	Abbildung 5: Werte im 4. Quadranten
Für $180 ° < α < 270 °$ gilt: $\sin (α) < 0 und \cos (α) < 0$	Für $270 ° < α < 360 °$ gilt: $\sin (α) < 0 und \cos (α) > 0$

Wieso ist der Tangens nicht zu sehen? Da dieser etwas komplizierter ist, wird er erst an späterer Stelle betrachtet, wenn du schon mehr über den Einheitskreis weißt.

Jetzt hast du schon einmal einen groben Überblick über den Einheitskreis und seine Werte erhalten. Die Werte $α = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °$ wurden hier dabei nicht berücksichtigt. Das liegt daran, dass es sich hierbei um Sonderfälle handelt.

Sonderfälle der Werte im Einheitskreis

Zuerst kannst du dir die zwei Sonderfälle anschauen, in denen der Sinus $0$ ist. Dies ist der Fall für $α = 0 °$ , ⁣ $α = 180 °$ oder $α = 360 °$ .

Für $α = 0 °$ oder $α = 360 °$	Für $α = 180 °$
Abbildung 6: Werte für a=0°	Abbildung 7: Werte für a=180°
$\sin (α) = 0$
$\cos (0 °) = 1$	$\cos (180 °) = - 1$

Als Nächstes kannst du die beiden Sonderfälle anschauen, in denen der Kosinus $0$ ist. Dies ist der Fall für $α = 90 °$ oder $α = 270 °$ .

Für $α = 90 °$	Für $α = 270 °$
Abbildung 8: Werte für a=90°	Abbildung 9: Werte für a=270°
$\cos (α) = 0$
$\sin (90 °) = 1$	$\sin (270 °) = - 1$

Einheitskreis – Trigonometrie

Am Einheitskreis kannst du dir auch trigonometrische Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Tangens am Dreieck ableiten. Da der Tangens am Einheitskreis etwas umständlicher zu betrachten ist, wird dieser separat aufgeführt.

An dieser Stelle könnte es hilfreich sein, noch einmal einen kurzen Blick in unseren Artikel "Sinus Kosinus Tangens" zu werfen, da dort die Beziehungen zwischen Katheten und Winkeln aufgezeigt wird.

Einheitskreis – Sinus und Kosinus

Um die Formeln für den Sinus und den Tangens und damit die Koordinaten des Punktes $P$ herzuleiten, kannst du dir die Rechenregeln vom Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck zu Nutzen machen.

Dazu kannst du dir noch einmal kurz die nächste Abbildung anschauen.

Einheitskreis Formel Sinus Kosinus StudySmarter Abbildung 10: Sinus und Kosinus am Dreieck

In der Abbildung $10$ siehst du einen rechten Winkel. Anhand dessen kannst du die Formeln aufstellen.

Hierbei kannst du auch eine wichtige Beziehung zwischen dem Sinus und dem Kosinus ablesen, indem du den Satz des Pythagoras $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ anwendest.

Damit ergibt sich der Trigonometrische Pythagoras: $\sin^{2} (α) + \cos^{2} (α) = 1$

Formel Sinus

Der Sinus wird mit Hilfe der Gegenkathete, der Hypotenuse und des Winkels $α$ berechnet. Halten wir dies mathematisch fest.

Der Sinus vom Winkel $α$ ist wie folgt definiert:

$\sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypothenuse}$

Mit Hilfe der Formel des Sinus' ergibt sich folgende Gleichung:

$\sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypothenuse} = \frac{y}{r} = \frac{y}{1} = y$

Formel Kosinus

Der Kosinus wird mit Hilfe der Ankathete, der Hypotenuse und des Winkels $α$ berechnet. Halten wir auch dies mathematisch fest.

Der Kosinus vom Winkel $α$ ist wie folgt definiert:

$\cos (α) = \frac{Ankathete}{Hypothenuse}$

Mit Hilfe der Formel des Kosinus' ergibt sich folgende Gleichung.

$\cos (α) = \frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \frac{x}{r} = \frac{x}{1} = x$

Der Punkt P

Damit ergeben sich die Koordinaten des Punktes $P$ . Der $x - Wert$ ist dabei $\cos (α)$ und der $y - Wert$ ist $\sin (α)$ . Der Punkt $P$ kann also auch wie folgt geschrieben werden.

$P (\cos (α) | \sin (α))$

Schau dir doch noch kurz ein kleines Beispiel an, um die Koordinaten des Punktes $P$ besser nachvollziehen zu können.

Für $α = 135 °$ ergeben sich für den Sinus und den Kosinus folgende Werte.

$\begin{array}{rcl} \sin (135 °) & = & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos (135 °) & = & - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

Damit ergibt sich für $α = 135 °$ folgender Punkt $P$ .

$P (\begin{array}{rcl} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} | - \begin{array}{rcl} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array})$

Einheitskreis – Tangens

Für den Tangens benötigst du eine Hilfslinie. Diese Hilfslinie kannst du mit $x = 1$ beschreiben und ist eine Tangente, die an den Einheitskreis angelegt wird. Dazu musst du eine Strecke durch den Ursprung $M (0 | 0)$ und den Punkt $P$ laufen lassen, bis diese die Hilfslinie $x = 1$ berührt.

Da der Tangens nur durch die Tangente an den Einheitskreis entstehen kann, hat er daher auch seinen Namen bekommen.

Du kannst das Ganze nochmal an folgender Abbildung nachvollziehen:

Einheitskreis Tangens StudySmarter Abbildung 11: Tangens am Einheitskreis

Du kannst den Tangens auch wieder wie folgt aufstellen.

$\tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{y_{\tan}}{1} = y_{\tan}$

Dabei ist $y_{\tan}$ der $y - Wert$ des Punktes auf der Hilfslinie $x = 1$ .

Der Tangens verläuft parallel zum Sinus. Dementsprechend ist der Tangens $0$ , wenn auch der Sinus $0$ ist. Dies ist der Fall bei $α = 0 °$ oder $α = 180 °$ .

Für $α = 90 °$ und $α = 270 °$ schauen wir uns den Tangens genauer an, sobald wir die Formel aufgestellt haben.

Doch wie bildest du im 2. und 3. Quadranten den Tangens? Wichtig ist, dass immer die Hilfslinie $x = 1$ genutzt wird. Du kannst dir dafür die nächste Tabelle anschauen.

2. Quadrant	3. Quadrant
Abbildung 12: Tangens im 2. Quadranten	Abbildung 13: Tangens im 3. Quadranten

Formel Tangens

Den Tangens kannst du auch in Abhängigkeit von Sinus und Kosinus schreiben.

Der Tangens lautet mit Hilfe des Sinus' und Kosinus' wie folgt.

$\tan (α) = \frac{\sin (α)}{\cos (α)}$

Doch warum ist das so?

Hierfür benötigst du den einen Strahlensatz.

Lies dir hierfür noch einmal unseren Artikel "Zweiter Strahlensatz" durch.

Zur Erinnerung:

Den Zweiten Strahlensatz kannst du immer dann anwenden, wenn du zwei Dreiecke mit einem gemeinsamen Punkt hast, bei denen die Seiten, die gegenüber dem gemeinsamen Punkt liegen, parallel verlaufen.
Die Formel lautet dann: $\frac{p_{1}}{s_{1}} = \frac{p_{2}}{s_{2}}$ .Dabei sind $p$ die parallelen Seiten und $s$ eine jeweils andere Seite des Dreiecks. $s_{1}$ und $s_{2}$ müssen dieselben Seiten sein.

Wenn du dir nun noch einmal die Abbildung $11$ anschaust, kannst du folgende Formel aufstellen.

$\begin{array}{rcl} \frac{\sin (α)}{\cos (α)} & = & \frac{\tan (α)}{1} \\ \tan (α) & = & \frac{\sin (α)}{\cos (α)} \end{array}$

Nun widmen wir uns noch einmal der Frage, was beim Tangens für die Werte $α = 90 °$ und $α = 270 °$ passiert. Schau dir dazu die nächste Abbildung an, welche einen Winkel $α$ betrachtet, der ein wenig kleiner ist als $90 °$ .

Einheitskreis Definitionslücken Tangens StudySmarter Abbildung 14: Tangens bei a≈90°

Wie du sehen kannst, braucht es Ewigkeiten, damit die Strecke die Hilfslinie $x = 1$ berührt. Wenn jetzt allerdings die Strecke durch den Ursprung $M$ und den Punkt $P (1 / 0)$ verlaufen würde – was bei genau $α = 90 °$ der Fall wäre, wäre diese Strecke parallel zu der Hilfslinie $x = 1$ . Damit könnte diese nie die Hilfslinie berühren.

Du kannst dir also merken, dass der Tangens bei $α = 90 °$ und $α = 270 °$ nicht definiert ist.

Zum selben Ergebnis würdest du kommen, wenn du dir die Definition des Tangens $\tan (α) = \frac{\sin (α)}{\cos (α)}$ anschaust. Denn bei $α = 90 °$ und $α = 270 °$ ist der Kosinus $0$ . Und durch $0$ kann nicht geteilt werden.

Einheitskreis – Bogenmaß

Das Bogenmaß ist die Länge eines Kreisbogens mit dem Radius $r = 1$ , also im Einheitskreis. Für das Verhältnis zwischen Winkel und Bogenmaß kannst du dir die nächste Definition anschauen.

Zu jedem Bogenmaß gehört auch ein Winkel $α$ . Für die Beziehung zwischen dem Kreisbogen $b$ und dem Winkel $α$ lässt sich für den Radius $r = 1$ eine Formel wie folgt aufstellen.

$b = 2 \cdot π \cdot \frac{α}{360 °} = π \cdot \frac{α}{180}$

Das Ganze kannst du dir auch noch einmal in der Abbildung $15$ am Einheitskreis verdeutlichen.

Da die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion das Bogenmaß benötigt, wird hier statt der Bezeichnung $b$ für den Kreisbogen die Variable $x$ gewählt.

Einheitskreis Bogenmaß StudySmarter Abbildung 15: Bogenmaß

Mit der Formel $x = π \cdot \frac{α}{180}$ kannst du das dir bekannte Gradmaß $α$ ins Bogenmaß $x$ umrechnen und umgekehrt.

Mehr zu dem Thema kannst du im Artikel "Bogenmaß" nachlesen.

Wichtige Werte Bogenmaß

Um dir noch einen kurzen Überblick über das Grad- und Bogenmaß zu verschaffen, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen.

Auch mit dabei sind die wichtigsten Werte der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion.

Winkel $α$	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Bogenmaß $x$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$\sin (x)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$- 1$	$0$
$\cos (x)$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$	$0$	$1$
$\tan (x)$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	-	$0$	-	$0$

Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis

Aus dem Einheitskreis heraus lassen sich die Sinus-, Kosinus und Tangensfunktion Konstruieren. Auf die Tangensfunktion wird hier verzichtet. Dabei entsteht jeder Punkt $P_{n}'$ auf der Funktion aus dem dazugehörigen Punkt $P_{n}$ vom Einheitskreis. Die $x - Koordinate$ des neuen Punktes $P_{n}'$ entspricht dem Bogenmaß des alten Punktes $P_{n}$ . Dies gilt sowohl für die Sinus- als auch für die Kosinusfunktion. $n$ steht hierbei lediglich für die Punktnummer.

Einheitskreis – Sinusfunktion

Da die $y - Koordinate$ der Punkte $P_{n}$ dem Sinus entspricht, muss jeweils nur das dazugehörige Gradmaß der $y - Koordinate$ zugeordnet werden.

Die fertig konstruierte Kurve der Sinusfunktion sieht wie folgt aus.

Einheitskreis Sinusfunktion StudySmarter Abbildung 16: Sinusfunktion am Einheitskreis

Kosinusfunktion am Einheitskreis

Beim Punkt $P_{n}$ entspricht die $x - Koordinate$ dem Kosinus. Dementsprechend wird jede $x - Koordinate$ des Punktes $P_{n}$ die neue $y - Koordinate$ des Punktes $P_{n}'$ . Das dazugehörige Gradmaß wird die neue $x - Koordinate$ .

Das fertige Schaubild der Kosinusfunktion sieht wie folgt aus.

Einheitskreis Kosinusfunktion StudySmarter Abbildung 17: Kosinusfunktion am Einheitskreis

Einheitskreis - Das Wichtigste

Der Einheitskreis hat einen Radius $r = 1$ und den Ursprung als Mittelpunkt $M (0 / 0)$ .
Der Punkt $P (\cos (α) / \sin (α))$ liegt auf dem Kreisbogen.
Der Winkel zwischen der Sinus- und der Kosinusstrecke beträgt $90 °$ .
Folgende wichtige Beziehung ergibt sich aus dem Einheitskreis: $\sin^{2} (α) + \cos^{2} (α) = 1$ .
Um den Tangens zu konstruieren, wird die Hilfslinie $x = 1$ benötigt.
Der Tangens ist wie folgt definiert: $\tan (α) = \frac{\sin (α)}{\cos (α)}$ .
Mit folgender Formel lässt sich das Gradmaß $α$ in Bogenmaß $x$ umrechnen: $x = π \cdot \frac{α}{180}$
Die wichtigsten Werte:

	$α = 0 = 2 π$	$α = 90 ° = \frac{π}{2}$	$α = 180 ° = π$	$α = 270 ° = \frac{3 π}{2}$
$\sin (a)$	0	1	0	-1
$\cos (α)$	1	0	-1	0
$\tan (α)$	0	-	0	-

Häufig gestellte Fragen zum Thema Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius r=1. Der Mittelpunkt entspricht dem Ursprung P(0/0). Anhand dieses Kreises kann die Sinusfunktion, die Kosinusfunktion, die Tangensfunktion und das Bogenmaß erklärt werden.

Der Sinus ist die Strecke, die Senkrecht auf der x-Achse steht. Damit liegt sie gegenüber dem Winkel α und ist somit die Gegenkathete.

Anhand dieses Kreises kann die Sinusfunktion, die Kosinusfunktion, die Tangensfunktion und das Bogenmaß erklärt werden.

Der Einheitskreis hat einen Radius von r=1.

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Wie groß ist der Winkel zwischen der Sinus- und der Kosinusstrecke?

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Der Winkel beträgt 90°.

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Woher hat der Tangens seinen Namen?

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Weil dieser nur durch eine Tangente an den Einheitskreis entstehen kann.

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Wie entsteht der Tangens?

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Der Tangens entsteht mit der Hilfslinie (Tangente) x=1 an den Einheitskreis. Dazu musst du eine Strecke durch den Ursprung M(0/0) und den Punkt P(x/y) laufen lassen, bis diese die Hilfslinie x=1 berührt.

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