Höhe Dreieck

In diesem Artikel erfährst du alles, was du zur Höhe eines Dreiecks wissen musst. Das Thema "Höhe des Dreiecks" ist inhaltlich dem Themengebiet Geometrie im Fach Mathematik zuzuordnen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Um den Inhalt dieses Artikels vollständig verstehen zu können, ist es wichtig, dass du mit dem Thema Lot in der Mathematik und dem Sinussatz vertraut bist. Falls du nicht mehr genau wissen solltest, was es mit dem Lot und dem Sinussatz auf sich hat, solltest du zunächst lieber noch einmal einen Blick in die beiden dazugehörigen Erklärungstexte werfen.

    Höhe im rechtlichen Dreieck

    Allgemein kann dies wie folgt definiert werden:

    Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot einer Dreiecksseite oder deren Verlängerung, das durch dengegenüberliegenden Eckpunkt verläuft.

    Um die Höhe eines Dreiecks einzuzeichnen, fällt man das Lot vom Eckpunkt auf die gegenüberliegende Dreiecksseite oder deren Verlängerung.

    Da jedes Dreieck drei Seiten (Seite a, Seite b und Seite c) und drei Eckpunkte (Eckpunkt A, Eckpunkt B und Eckpunkt C) besitzt, hat es auch drei Höhen.

    Durch das Einzeichnen einer Höhe des Dreiecks, wird das Dreieck bzw. seine Verlängerung in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt. Bei der Seite, die sich die entstehenden Dreiecke teilen, handelt es sich dabei um die Höhe.

    Das ist die Voraussetzung dafür, dass zur Berechnung der Höhe der Sinussatz verwendet werden kann. Ein Beispiel dafür siehst du hier:

    Höhe Dreieck, Rechtwinkliges Dreieck, StudySmarterAbbildung 1: Rechtwinkliges Dreieck

    Das große rechtwinklige Dreieck wird durch das Einzeichnen der Höhe in zwei kleinere, ebenfalls rechtwinklige Dreiecke unterteilt.

    Die Höhen eines Dreiecks werden mit dem Buchstaben h bezeichnet. Der Buchstabe im Index steht dabei für die Seite des Dreiecks, deren Höhe angegeben wird. Die drei Höhen des Dreiecks werden also als , und bezeichnet.

    Der Punkt, an dem die Höhe die gegenüberliegende Seite schneidet, heißt Höhenfußpunkt.

    Der Höhenfußpunkt ist der Punkt, an dem sich die Höhe und die Seite a schneiden.

    Der Höhenfußpunkt ist der Punkt, an dem sich die Höhe und die Seite b schneiden.

    Der Höhenfußpunkt ist der Punkt, an dem sich die Höhe und die Seite c schneiden.

    Die drei Höhen des Dreiecks schneiden sich immer in einem Punkt. Dieser Punkt wird Höhenschnittpunkt H genannt. Je nachdem, zu welcher Dreiecksart das Dreieck gehört, liegt der Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks oder auf einem Eckpunkt.

    Höhe Dreieck berechnen

    Nachdem du nun alle theoretischen Grundlagen kennst, die du zum Verständnis der Höhe eines Dreiecks benötigst, lernst du als nächstes, wie die Höhe eines Dreiecks gezeichnet und berechnet wird.

    Je nach Dreiecksart gibt es Besonderheiten im Hinblick auf die Zeichnung und Berechnung der Höhe des Dreiecks. Deshalb wird die Höhe des Dreiecks für ein spitzwinkliges Dreieck, ein stumpfwinkliges Dreieck und ein rechtwinkliges Dreieck jeweils einzeln im Detail behandelt.

    Höhe Dreieck – Spitzwinkliges Dreieck

    Jedes Dreieck hat genau drei Innenwinkel. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.

    Die Eckpunkte A, B und C des Dreiecks bilden die Scheitelpunkte der Innenwinkels.

    Dabei gilt: Am Eckpunkt A befindet sich der Winkel , am Eckpunkt B der Winkel und am Eckpunkt C der Winkel .

    Bei einem spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Innenwinkel des Dreiecks kleiner als 90°.

    In der folgenden Abbildung siehst du ein Beispiel für ein spitzwinkliges Dreieck:

    Höhe Dreieck, Spitzwinkliges Dreieck, StudySmarterAbbildung 2: Spitzwinkliges Dreieck

    Wenn du in dieses Dreieck nun die drei Höhen , und einzeichnest, sieht das Dreieck folgendermaßen aus:

    Höhe Dreieck, Spitzwinkliges Dreieck mit Höhen, StudySmarterAbbildung 3: Spitzwinkliges Dreieck mit Höhen

    Wie du erkennen kannst, liegt der Höhenschnittpunkt H bei einem spitzwinkligen Dreieck innerhalb des Dreiecks:

    Höhe Dreieck, Spitzwinkliges Dreieck mit Höhenschnittpunkten, StudySmarterAbbildung 4: Spitzwinkliges Dreieck mit Höhenschnittpunkt

    Durch das Einzeichnen einer Höhe, dass in je zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt wird, können die Höhen mit dem Sinussatz berechnet werden. Für jede der drei Höhen gibt es daher zwei Möglichkeiten sie zu berechnen. Dafür musst du nur die entsprechenden Seitenlängen bzw. Winkelgrößen kennen.

    Für die Höhe gilt: und

    Für die Höhe gilt: und

    Für die Höhe gilt: und

    Eine besondere Form des spitzwinkligen Dreiecks ist das gleichseitige Dreieck. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind die Seiten a, b und c gleich lang. Außerdem sind die drei Innenwinkel des Dreiecks mit einer Winkelgröße von 60° gleich groß.

    Es gilt also: und

    Deshalb sind auch die drei Höhen eines gleichseitigen Dreiecks gleich hoch:

    Es reicht also eine Höhe zu berechnen, um die Länge aller drei Höhen zu ermitteln.

    Hier siehst du ein Beispiel für ein gleichseitiges Dreieck:

    Höhe Dreieck, Gleichseitiges Dreieck, StudySmarterAbbildung 5: Gleichseitiges Dreieck

    Zeichnest du nun die drei Höhen und den dazugehörigen Höhenschnittpunkt ein, ergibt sich folgendes Bild:

    Höhe Dreieck, Gleichseitiges Dreieck mit Höhen, StudySmarterAbbildung 6: Gleichseitiges Dreieck mit Höhen

    Merke:

    Die Höhen des Dreiecks können mithilfe des Sinussatzes berechnet werden.

    Der Höhenschnittpunkt H liegt bei einem spitzwinkligen Dreieck innerhalb des Dreiecks.

    Höhe Dreieck – Stumpfwinkliges Dreieck

    Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist einer der Innenwinkel größer als 90°.

    In der folgenden Abbildung siehst du ein Beispiel für ein stumpfwinkliges Dreieck, bei dem der Winkel ein stumpfer Winkel ist:

    Höhe Dreieck, Stumpfwinkliges Dreieck, StudySmarterAbbildung 7: Stumpfwinkliges Dreieck

    Um in dieses Dreieck die drei Höhen einzeichnen zu können, musst du zwei der Dreiecksseiten verlängern. Dabei handelt es sich um die beiden Dreiecksseiten, zwischen denen der stumpfe Winkel liegt.

    Wenn du in dieses Dreieck nun die drei Höhen , und einzeichnest, sieht das Dreieck folgendermaßen aus:

    Höhe Dreieck, Stumpfwinkliges Dreieck mit Höhen, StudySmarterAbbildung 8: Stumpfwinkliges Dreieck mit Höhen

    Wie du erkennen kannst, liegt der Höhenschnittpunkt H bei einem stumpfwinkligen Dreieck außerhalb des Dreiecks:

    Höhe Dreieck, Stumpfwinkliges mit Höhenschnittpunkten, StudySmarterAbbildung 9: Stumpfwinkliges Dreieck mit Höhenschnittpunkten

    Für die Berechnung der Höhen gelten die gleichen Formeln wie bei spitzwinkligen Dreiecken.

    Für die Höhe gilt: und

    Für die Höhe gilt: und

    Für die Höhe gilt: und

    Merke:

    Die Höhen des Dreiecks können mithilfe des Sinussatzes berechnet werden.

    Der Höhenschnittpunkt H liegt bei einem stumpfwinkligen Dreieck außerhalb vom Dreieck.

    Höhe Dreieck – Rechtwinkliges Dreieck

    Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist – wie der Name des Dreiecks bereits verrät – einer der Innenwinkel des Dreiecks ein rechter Winkel. In der folgenden Abbildung siehst du ein Beispiel für ein rechtwinkliges Dreieck:

    Höhe Dreieck, Rechtwinkliges Dreieck, StudySmarterAbbildung 10: Rechtwinkliges Dreieck

    Dadurch, dass es sich bei dem Winkel am Eckpunkt C um einen rechten Winkel handelt, stehen Seite a und Seite b des Dreiecks in einem rechten Winkel zueinander. Die Seite a ist demnach ein Lot der Seite b und die Seite b ist ein Lot der Seite a. Daher gilt für die Höhen und :

    und

    Bei einem rechtwinkligen Dreieck gibt es deshalb nur eine Höhe, die man berechnen muss. Diese Höhe ist das Lot derjenigen Seite des Dreiecks, die sich gegenüber vom rechten Winkel befindet.

    Die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die gegenüber von rechten Winkel liegt, heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

    Die anderen beiden Seiten des Dreiecks werden Katheten genannt.

    Wenn du diese Höhe nun in das Dreieck von eben einzeichnest, ergibt sich dieses Bild:

    Höhe Dreieck, Rechtwinkliges Dreieck mit Höhe, StudySmarterAbbildung 11: Rechtwinkliges Dreieck mit Höhe

    Wenn du dir den Schnittpunkt der drei Höhen genauer anschaust, fällt dir sicher schnell die Besonderheit vom Höhenschnittpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks auf: Der Höhenschnittpunkt H liegt genau auf dem Eckpunkt, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.

    Um die Höhe zu berechnen, kannst du auch bei rechtwinkligen Dreiecken den Sinussatz benutzen.

    Für die Höhe gilt: und

    Merke:

    Bei einem rechtwinkligen Dreieck gibt es nur eine Höhe, die du berechnen musst. Diese bezieht sich auf die Seite des Dreiecks, die gegenüber vom rechten Winkel liegt. Diese Seite nennt man Hypotenuse. Die Höhe lässt sich mithilfe des Sinussatzes berechnen.

    Bei den anderen beiden Höhen handelt es sich um die an den rechten Winkel angrenzenden Dreiecksseiten.

    Der Höhenschnittpunkt H liegt bei einem rechtwinkligen Dreieck genau auf dem Eckpunkt, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.

    Höhe Dreieck berechnen – Übungsaufgaben

    Du weißt jetzt in der Theorie, wie man die Höhen eines Dreiecks berechnet. Probiere es doch direkt mal an den beiden Übungsaufgaben aus, ob du das Gelernte wirklich verstanden hast!

    Höhe Dreieck berechnen – Aufgabe 1

    Aufgabe

    Bestimme die drei Höhen des Dreiecks ABC. Die Länge der Seite a und der Seite b sowie die Winkelgrößen der Winkel und sind angegeben:

    Lösung

    Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180° beträgt, kannst du die Größe des Winkels berechnen:

    Da alle Winkel kleiner als 90° sind, handelt es sich bei diesem Dreieck um ein spitzwinkliges Dreieck.

    Die drei Höhen eines spitzwinkligen Dreiecks müssen einzeln mithilfe des Sinussatzes berechnet werden:

    Höhe Dreieck berechnen – Aufgabe 2

    Aufgabe

    Bestimme die drei Höhen des Dreiecks ABC. Gib außerdem an, wo sich der Höhenschnittpunkt H befindet.

    Die Längen der Seite a, der Seite b und der Seite c sowie die Winkelgrößen der Winkel und sind angegeben:

    Lösung

    Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180° beträgt, kannst du die Größe des Winkels berechnen:

    Die Größe des Winkels beträgt demnach 90°. Bei dem vorliegenden Dreieck handelt sich also um ein rechtwinkliges Dreieck.

    Zur Erinnerung: Der Höhenschnittpunkt H liegt bei einem rechtwinkligen Dreieck genau auf dem Eckpunkt, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet. Deshalb liegt in diesem Beispiel der Höhenschnittpunkt genau auf dem Eckpunkt C.

    Du musst nun nur noch die Höhe berechnen, die sich auf die Seite c, also auf die Hypotenuse, bezieht. Das ist die Höhe .

    Die anderen beiden Höhen sind gleichzeitig die Seiten a und b des Dreiecks. Für die Höhen und gilt:

    Zum Schluss bestimmst du noch die die Höhe mithilfe des Sinussatzes. Es gibt dabei zwei Möglichkeiten zu berechnen:

    Für gilt:

    Zur Kontrolle:

    Höhe Dreieck - Das Wichtigste auf einen Blick

    • Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot einer Dreiecksseite oder deren Verlängerung, das durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft.
    • Der Punkt, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden, heißt Höhenschnittpunkt H. Je nach Dreiecksart liegt dieser Punkt innerhalb vom Dreieck, außerhalb vom Dreieck oder auf einem der drei Eckpunkte.
    • Die Höhen des Dreiecks können mit dem Sinussatz berechnet werden.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Höhe Dreieck

    Wie rechnet man sich die Höhe eines Dreiecks aus?

    Die Höhe eines Dreiecks kann mithilfe des Sinutzsatzes berechnet werden. Das liegt daran, dass das Dreieck durch das Einzeichnen der Höhe in zwei kleinere, rechtwinklige Dreiecke geteilt wird. 

    Was ist die Höhe bei einem Dreieck?

    Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot einer Dreiecksseite oder deren Verlängerung, das durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft. 

    Jedes Dreieck hat drei Höhen. 

    Wie berechnet man die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck?

    Die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck kann mithilfe des Sinussatzes berechnet werden. Die Besonderheit eines gleichseitigen Dreiecks liegt darin, dass die drei Dreiecksseiten gleich lang sind und die drei Innenwinkel des Dreiecks alle eine Winkelgröße von 60° haben. Daher haben die drei Höhen des Dreiecks die gleiche Länge. Es reicht als aus, wenn du eine der drei Höhen berechnest, um die Länge aller drei Höhen zu bestimmen.

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