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Stochastik

Stochastik stellt für viele Schüler ein schwer zu durchdringendes Teilgebiet der Mathematik dar. Aus diesem Grund soll dieser Artikel dir einen gut sortierten Überblick über die einzelnen Bereiche der Stochastik geben. Wenn du eines dieser Themen genauer kennenlernen möchtest, stehen dir zu vielen Unterthemen ausführliche Artikel mit Beispielrechnungen, Erklärungen und Übungsaufgaben zur Verfügung.

Was ist Stochastik ?

Stochastik umfasst die Beiden Teilbereiche Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Das Ziel der Stochastik ist es, kurz gesagt, den Zufall zu untersuchen. Die Das bedeutet, das zufällige Vorgänge in einheitliche Modelle kategorisiert und dann auf ihre Ausgangsmöglichkeiten hin untersucht werden.

Die zentrale Frage lautet: Wie wahrscheinlich sind die unterschiedlichen Ausgänge dieser Modelle? In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit den folgenden Themen:

• Zufallsexperimente
• Ergebnisse und Ereignisse
• Kombinatorik und Urnenmodell
• Laplace-Wahrscheinlichkeit, Relative und Absolute Häufigkeit
• Baumdiagramme
• Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Satz von Bayes
• Stochastische Unabhängigkeit

Zufallsexperimente in der Stochastik

Seit die Menschen nicht mehr ausschließlich höhere Kräfte für den Ausgang unterschiedlichster Situation verantwortlich machen, gibt es den Begriff des „Zufalls“. Zufall bedeutet, dass der Ausgang eines Geschehens nicht ganzheitlich vorhersehbar ist. Wenn es nun darum geht, diesen Zufall zu untersuchen, ist es notwendig, dass dafür Modelle aufgestellt werden. 

Diese Modelle ermöglichen es uns, einheitliche Aussagen über den Zufall mit den Mitteln der Mathematik zu treffen.

Ein Zufallsexperiment beschreibt die Modellierung eines Vorgangs, der unter Beachtung bestimmter Regeln beliebig oft wiederholt werden kann und dessen Ausgang nicht mit Sicherheit vorhersehbar ist. Hierbei muss es mehrere mögliche Ausgänge geben.

Aber lass dich nicht täuschen! Auch ein Fußballspiel kann ein Zufallsexperiment sein, denn es gibt unterschiedliche Ausgänge und auch der Sieg einer favorisierten Mannschaft kann nicht mit 100%-iger Sicherheit vorausgesagt werden.

Ergebnisse und Ereignisse

Wenn du die Stochastik, bzw. im engeren Sinne die Wahrscheinlichkeitsrechnung, verstehen möchtest, ist es erst einmal wichtig, dass du Ergebnisse von Ereignissen unterscheiden kannst. Diese beiden Begriffe bilden nämlich den Grundstein der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Ergebnisse

Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments stellt ein Ergebnis dar. Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird Ergebnisraum (oder Ergebnismenge) genannt und mit dem griechischen Buchstaben Ω (Omega) bezeichnet.

• Beispiel:
  Bei einem Würfel lautet die Ergebnismenge: Ω = {1,2,3,4,5,6},
  bei einem Münzwurf lautet sie: Ω = {Kopf, Zahl}

Ereignisse

Ein Ereignis stellt eine Teilmenge (oder Untermenge) des Ergebnisraums eines Zufallsexperiments (ZE) dar. Das heißt, anhand von bestimmten Merkmalen werden mehrere Ergebnisse eines ZEs gruppiert, sodass nach eintreten eines Ergebnisses klar erkennbar ist, ob das Ereignis eingetreten ist, oder nicht.

• Beispiel:
  Bei einem Würfelwurf könnte ein Ereignis lauten: „Die gewürfelte Augenzahl ist ungerade“. Die Teilmenge A von Ω lautet somit: A = {1,3,5}.
  Ein weiteres Ereignis könnte lauten: „Die Augenzahl ist > 2“. Die Teilmenge B von Ω lautet somit: B = {3,4,5,6}

Weitere Definitionen

• Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum
• Ereignisse, die nur durch ein einziges Ergebnis herbeigeführt werden können (z.B. „Augenzahl = 6“) nennt man Elementarereignis
• Ein Ereignis, dass durch alle Ergebnisse in Ω eintritt, also A = Ω, nennt man das sichere Ereignis, da es auf jeden Fall eintreten wird
• Wenn die Teilmenge B leer ist, also kein Ergebnis enthält, liegt ein unmögliches Ereignis vor.
  Beispiel: Das Ereignis „Augenzahl über 6“ kann bei einem gewöhnlichen Würfel nicht eintreten.

Mehr zum Thema: Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse

Stochastik - Kombinatorik und Urnenmodell

Das Ziel der Kombinatorik ist es, herauszufinden, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit n Elementen genau k Elemente auszuwählen. Diese Überlegung wird häufig am Beispiel einer Urne, aus der man Kugeln zieht erklärt.

Generell können derartige Versuche in verschiedene Modellarten eingeteilt werden:

• Von einer Variation(auch „geordnete Stichprobe“) ist immer dann die Rede, wenn:
  • k < n ist und
  • die Reihenfolge, in der die Kugeln aus der Urne gezogen werden, wichtig ist

• Eine Kombination(auch „ungeordnete Stichprobe“) liegt immer dann vor, wenn:
  • k < n ist und
  • die Reihenfolge unwichtig ist
    
    
• Bei Permutationenist:
  • n = k und
  • Die Reihenfolge wichtig 

Es handelt sich also um eine Variation, bei der alle Kugeln aus der Urne gezogen werden.

Mit und Ohne „Wiederholung“

Jetzt wo du weißt, um welches grobe Modell es sich bei deinem Versuch handelt, musst du nur noch folgende Frage beantworten: Wird eine Kugel nachdem sie gezogen wurde beiseitegelegt, sodass sie beim nächsten Ziehen nicht mehr als Auswahlmöglichkeit infrage kommt? Oder wird sie zurückgelegt und kann beim nächsten Mal wieder gezogen werden?

Die beiden Varianten lassen sich wie folgt bezeichnen:

• Mit Zurücklegen = mit Wiederholung
  
  
• Ohne Zurücklegen = ohne Wiederholung

Um die einzelnen Modelle nun durchgehen zu können gibt es nur noch eines, was du vorher verstanden haben solltest: Die Produktregel der Kombinatorik oder auch das „allgemeine Zählprinzip“!

Stochastik - Das Allgemeine Zählprinzip

Beim Allgemeinen Zählprinzip geht es darum, wie sich die Anzahl an Kombinationen unterschiedlicher Elemente herausfinden lassen.

Beispiel: 

Nehmen wir an, du möchtest einen Smoothie aus drei verschiedenen Zutaten mixen. In einen Smoothie sollen immer genau 1x Obst (pink) , 1x Nüsse (blau) und 1x Flüssigkeit (orange) vorkommen. Nun hast du Zuhause 3 verschiedene Obstsorten, 4 verschiedene Arten von Nüssen und 2 verschiedene Flüssigkeiten zur Auswahl.

Die Frage lautet: 

Wie viele unterschiedliche Smoothies kannst du mit diesen Zutaten mixen?

Die Antwort ist leichter als gedacht! 

Denn du könntest zu jeder der 3 Obstsorten jeweils 4 verschiedene Nüsse zufügen. Somit gibt es 3 · 4 = 12 verschiedene Obst-Nuss-Kombinationen. Wenn du jetzt jede dieser 12 Kombinationen entweder mit Milch oder mit Wasser kombinieren kannst, erhältst du 3 · 4 · 2 = 24 verschiedene Smoothies.

Verallgemeinert bedeutet das:

• Es gibt k Mengen (in diesem Fall 3: Obst, Nüsse, Flüssigkeit) M1-Mk
• In diesen Mengen befinden sich jeweils n Elemente, wobei M1 n1 Elemente hat (z.B. Obst ist M1 und hat 3 Elemente 🡪 n1 = 3), M2 n2 Elemente hat usw.
• Es können n1 · n2 · … · nk Kombinationen der Elemente in den Mengen erzeugt werden
• Diese Kombinationen werden als sogenannte k-Tupel (x1, x2, …, xk) bezeichnet
• In dem Beispiel entstehen 24 verschiedene k-Tupel, wobei eines davon lauten könnte: (Obst 1, Nuss 3, Wasser)

Permutation ohne Wiederholung

Permutation: n = k und die Reihenfolge ist wichtig

• Stell dir vor, auf einem Fußballfeld stünden 30 Stühle nebeneinander in einer Reihe und in deiner Klasse sind insgesamt 30 Schüler. Nun ist die Frage: In wie vielen unterschiedlichen Reihenfolgen kann deine Klasse sich auf den Stühlen anordnen?

• Das Ganze können wir ganz logisch angehen! Der erste, der sich auf einen der Stühle setzen soll, hat die freie Auswahl. Es gibt für ihn also n = 30 verschiedene Möglichkeiten, sich hinzusetzen. Wenn sich nun die zweite Person hinsetzen will, bleibt ihm oder ihr nur noch die Auswahl von (n - 1) = (30 - 1) = 29 verschiedenen Stühlen. Wenn er oder sie sich nun hinsetzt, bleiben für den nächsten nur noch (n - 2) = 28 verschiedene Möglichkeiten und immer so weiter, bis der letzte sich auf den letzten freien Stuhl setzen muss.

• Um also auf die Gesamtanzahl der möglichen Kombinationen zu kommen, musst du lediglich die Entscheidungsmöglichkeiten von dir und deinen Klassenkameraden multiplizieren:
  n · (n - 1) · (n - 2) · … · 1 = n!
  also die Fakultät von n. In diesem Beispiel gäbe es also sehr viele Möglichkeiten, euch unterschiedlich in einer Reihe hinzusetzen, nämlich:
  30! = 30 · 29 · 28 · … · 1 = 2,653 · 1032 = 265.300.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Permutation mit Wiederholung

Du weißt jetzt, dass es n! Möglichkeiten gibt, n Dinge auf n Plätze in unterschiedlicher Reihenfolge anzuordnen. Aber wie sieht das Ganze aus, wenn manche der Dinge, die wir platzieren gleich sind, also sich wiederholen? Stell dir mal vor, wir wollen aus einer Lieferung von 10 farbigen Plastikeimern alle 10 in einer Reihe anordnen. 

Hierbei gibt es drei verschiedene Situationen:

1. Alle Eimer sind unterscheidbar, außer drei: 

Dies könnte der Fall sein, wenn zum Beispiel die ersten 7 Eimer durchnummeriert sind, aber es 3 Eimer mit der Nummer 8 gibt. Diese 3 Eimer sind dann identisch. In diesem Fall gibt es k = 3 Objekte, die du auf ihren Plätzen in der Reihe vertauschen könntest, ohne dass jemand es bemerken würde. Wie oben beschrieben, gibt es k! = 3! Möglichkeiten, die 3 Eimer unterschiedlich anzuordnen (wenn man sie unterscheiden könnte). Es gibt also auch k! Anordnungen, in denen die Reihe „gleich“ bleibt. Diese k! Anordnungen werden also nicht mit den anderen Möglichkeiten multipliziert, sodass wir zu der folgenden Formel kommen:

2. Es gibt mehrere, nicht unterscheidbare Gruppen:

Diese Situation könnte entstehen, wenn die Eimer z.B. verschiedenfarbig wären und es gäbe 3 grüne, 2 rote und 5 blaue Eimer. Damit gäbe es k1! = 3! Möglichkeiten, die grünen Eimer unbemerkt zu vertauschen, k2! = 2! Möglichkeiten, die roten Eimer zu platzieren und k3! = 5! Möglichkeiten die blauen Eimer untereinander unterschiedlich anzuordnen.

Die gesamte Anzahl der unterschiedlichen Anordnungsmöglichkeiten bei s = 3 Gruppen lässt sich daher wie folgt berechnen:

3. Alle Eimer sind nicht voneinander unterscheidbar: 

Da man keine Änderung der Anordnung feststellen kann, egal wie man in einer solchen Reihe die Eimer vertauscht, gibt es nur genau eine Möglichkeit n nicht unterscheidbare Eimer auf n Plätze zu verteilen. Rechnerisch ergibt sich das auch durch:

Super! Jetzt kennst du dich schon richtig gut mit Permutationen aus! Weiter geht’s mit den Variationen mit und ohne Wiederholung.

Variation ohne Wiederholung

Variation: k < n und die Reihenfolge ist wichtig

Der einzige Unterschied zwischen Variationen und Permutationen: Bei Variationen wird nur eine Stichprobe k < n aus der Urne gezogen, anstatt aller n Elemente. Da wir hier eine Variation ohne Wiederholung betrachten, kann jedes dieser k Elemente nur einmal ausgewählt werden.

Kommen wir zurück zu dem Beispiel mit den Stühlen auf dem Fußballfeld. Dieses Mal stellen wir uns vor, dass nur 10 festgelegte Schüler auf die 30 Stühle verteilt werden sollen. n ist dann weiterhin 30 und k = 10.

Der erste hat, wie bei der Permutation n = 30 freie Stühle zur Auswahl, von denen er einen besetzen kann. Der zweite hat nur noch (n - 1) = 29 freie Stühle usw. Der letzte ist in diesem Beispiel die Nummer 10, sodass ihm noch (n - k + 1) = 21 Stühle zur Auswahl stehen. Wenn man nun all diese Möglichkeiten multipliziert, sieht das so aus: 

→ Es ergeben sich also deutlich weniger unterschiedliche Möglichkeiten, als bei der Permutation!

Variation mit Wiederholung

Eine Variation mit Wiederholung gestaltet sich verglichen damit deutlich einfacher. Denn wenn ein Element aus der Gruppe mehrmals ausgesucht werden kann, also den anderen Elementen keinen Platz „wegnimmt“, gibt es nach jedem Ziehen wieder die gleiche Anzahl an Möglichkeiten für das nächste Element in der Reihe, nämlich n. Die Anzahl k der Elemente entspricht der Stichprobengröße, sodass die Formel zur Berechnung der Möglichkeiten lautet:

n · n · n · n · … =  

Kombination ohne Wiederholung

Kombination: k < n und die Reihenfolge ist unwichtig

Bei einer Kombination (also einer ungeordneten Stichprobe) ohne Wiederholung, ist es fast, wie bei einer Variation ohne Wiederholung, nur dass dieses Mal die Reihenfolge auch unwichtig ist! Am Beispiel bedeutet das, dass du und deine Schulkameraden euch nicht mehr auf Stühle in eine Reihe setzen müsst, sondern einfach in Gruppen zusammenstellt. Die Frage ist nun: Wie viele verschiedene Gruppen könnt ihr aus n = 30 Schülern bilden, wenn immer genau k = 10 Schüler in einer Gruppe sein sollen?

Die Formel für diese Fragestellung lautet:

Es handelt sich dabei um den Binomialkoeffizienten. Nun setzt du n und k einfach ein:

Die Formel entspricht der Formel für Variationen ohne Wiederholungen, mit Ausnahme des ∙ k! im Nenner.

Wusstest du schon:

Auf deinem Taschenrechner musst du häufig nicht den gesamten Bruch eingeben, um den Binomialkoeffizienten zu berechnen. Es gibt oft eine Eingabe, die z.B. so aussieht: 30 C 10. Sieh dir am besten das Handbuch deines Taschenrechners (manuell oder online) an oder frag deine Lehrer!

Warum multiplizieren wir den Nenner mit k?

Wenn wir die Formel für Variationen ohne Wiederholung nehmen, erhalten wir alle Möglichkeiten der Anordnung unter Beachtung der Reihenfolge. Diese muss nun ein wenig modifiziert werden. Für jede Gruppe, in der sich die gleichen 10 Schüler befinden, gibt es k! verschiedene Reihenfolgen. Da diese Reihenfolgen für uns bei einer Kombination nicht mehr wichtig sind, müssen wir die Gesamtanzahl an Möglichkeiten durch die Anzahl der Möglichkeiten teilen, die es pro Gruppenzusammensetzung bzgl. der Anordnung gibt.

Kombination mit Wiederholung

Die allgemeine Formel hierfür lautet:  

In diese Formel könnt ihr immer dann eure n und k einsetzen, wenn k Objekte so auf n Plätze aufgeteilt werden sollen, dass jedes der k Objekte mehrfach verwendet werden kann. Zum Beispiel: „Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, drei Bretter in den Farben rot, blau und/oder grün anzustreichen?“

Um sich aber bildlich vorzustellen, wie man auf diese Formel kommt, braucht es ein bisschen mehr Fantasie.

Beispiel:

Mal angenommen, du besitzt ein Regal, in dem es 7 unterscheidbare Fächer gibt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Tennisbälle in diesen Fächern unterschiedlich zu verteilen, wenn du auch mehrere Kugeln in ein Fach legen kannst?

In diesem Fall ist unser n = 7 und k = 3. Wie du im Bild unten siehst, gibt es zwischen diesen Fächern genau (n - 1), also 6 Trennwände. Wenn wir nun diese Fächer in einen „Code“ umwandeln, bei dem in jeder Zeile die Tennisbälle pro Fach als 0 und die Trennwände als 1 dargestellt werden und jede Zeile eine Möglichkeit der Anordnung darstellt, können wir erkennen, dass es in jeder Reihe genau (n - 1 + k) = 9 Elemente (Trennwände + Kugeln) gibt.

Jetzt musst du dir überlegen, auf wie viele verschiedene Arten du die 3 Nullen und 6 Einsen auf die 9 Elemente aufteilen kannst. Merkst du was hier passiert? Wir haben das Problem in eine Permutation mit Wiederholung und mehreren Gruppen umgewandelt. Denn nun teilen wir 9 teilweise identische Objekte auf 9 Plätze auf, wie bei den Eimern!

Hier noch mal mathematisch:

Permutation, Variation und Kombination - wichtige Formeln der Stochastik auf einen Blick

Stochastik: Laplace-Wahrscheinlichkeit, Relative und Absolute Häufigkeit

In diesem Abschnitt geht es darum, die klassische Wahrscheinlichkeit, auch die Laplace-Wahrscheinlichkeit genannt, zu definieren. Also: Was ist das? Bevor wir das beantworten können, müssen zunächst ein paar grundlegende Dinge klären:

P(A) ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 des Ereignisses A, wenn:

• Es sich bei dem Versuch, bei dem das Ereignis A auftreten kann, um ein beliebig oft zu gleichen Bedingungen durchführbares Zufallsexperiment handelt
• Das Ereignis A bei n-maligem Wiederholen des Experiments k-mal auftritt und sich das Verhältnis kn für n 🡪  der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit P(A) unendlich stark nähert.

Im Klartext: Wenn du unendlich oft eine Münze wirfst und jedes Mal das Ergebnis notierst, soll genau die Hälfte aller Würfe „Kopf“ und die andere Hälfte „Zahl“ sein 🡪 Je größer n, desto näher kommt man der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit.

Daraus folgt: die Wahrscheinlichkeit P(A) =  

Übrigens:

Diese Wahrscheinlichkeitsdefinition der Stochastik nennt sich auch das empirische Gesetz der großen Zahlen.

Absolute Häufigkeit

Wenn du nun n = 20 Mal eine Münze wirfst und k = 12-mal davon das Ereignis „Kopf“ eintritt, dann lautet die absolute Häufigkeit dieses Ereignisses   (Kopf) = k = 12.

Bei einem Würfelwurf läuft es genauso, nur dass es nun 6 verschiedene Elementarereignisse gibt. Wenn du also 30-mal würfelst und du 10-mal die 4 erhältst, lautet die absolute Häufigkeit des Ereignisses „4“  (4) = 10.

Relative Häufigkeit

Die relative Häufigkeit setzt die absolute Häufigkeit ins Verhältnis mit der Anzahl der insgesamt getätigten Versuche n. Also: Das Ereignis ist k-mal eingetreten pro n Würfe. Du berechnest sie mit: (Ereignis) =  

Wenn du dich an die Definition der Wahrscheinlichkeit erinnerst, dann weißt du jetzt, dass es die relative Häufigkeit des Ereignisses ist, die sich bei unendlicher Ausführung seiner rechnerischen Wahrscheinlichkeit annähert!

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Die einfachste Form der Wahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn ein sogenanntes Laplace-Experiment vorliegt. Das ist der Fall, wenn alle Ergebnisse in der Ergebnismenge gleichwahrscheinlich sind. 

Gleichwahrscheinlich bedeutet, dass, nach dem Gesetz der großen Zahlen, bei ewigem Würfeln die sechs Würfelseiten exakt gleich häufig gewürfelt würden. Wenn du dir nicht sicher bist, ob es sich bei einem Vorgang um ein Zufallsexperiment handelt oder nicht, frag dich selbst: Gibt es die Möglichkeit, dass bei ewigem Wiederholen des Experiments eines der Elementarereignisse häufiger eintreten könnte, als die anderen? 

Wenn ja, handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment! Ein Beispiel hierfür wäre ein Fußballspiel zwischen der Nationalmannschaft und einem Drittligisten. Hierbei handelt es sich zwar um ein Zufallsexperiment, aber nicht um ein Laplace-Experiment, da es aufgrund der Zusammensetzung der Teams sehr viel wahrscheinlicher ist, dass die Nationalmannschaft gewinnt.

Wenn ein Laplace-Experiment zugrundliegt, entspricht die Wahrscheinlichkeit der möglichen Ereignisse :

Bei Elementarereignissen, also Ereignissen, die nur durch ein bestimmtes Ergebnis eintreten können, entspricht die Wahrscheinlichkeit also immer:

Die Wahrscheinlichkeit, eine der sechs Seiten eines Würfels zu würfeln liegt also bei:

 mit  Ω= {1,2,3,4,5,6}  und |Ω|=6

Stochastik - Baumdiagramme

Baumdiagramme sind hilfreich, wenn bei einem Zufallsexperiment statt nur einer Wiederholung gleich mehrere Ausführungen hintereinander stattfinden. Wenn das der Fall ist, handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Die Ergebnisse solcher Experimente werden durch k-Tupel beschrieben, wobei k die Stufenanzahl des Experiments darstellt.

Wie du bereits beim „Allgemeinen Zählprinzip“ gesehen hast, lässt sich die Menge der k-Tupel gut mithilfe eines Baumdiagrammes darstellen.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich eine pinke und eine blaue Kugel. Nun soll aus der Urne zweimal hintereinander mit Zurücklegen gezogen werden. 

Darüber hinaus können dir Baumdiagramme dabei helfen, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse in der Ergebnismenge zu bestimmen.

Übrigens:

mehrstufige Zufallsexperimente sind nichts anderes als Kombinationen (oder Variationen) von einstufigen Zufallsexperimenten!

Um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse nun zu berechnen, musst du zunächst die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Ereignisse so an den Pfaden (den „Ästen“ des Baumdiagramms) notieren, als ob es sich bei jeder Stufe um ein einstufiges Zufallsexperiment handeln würde.

Beispiel:

In der Urne befinden sich nun 4 pinke und 6 blaue Kugeln. Da es gleichwahrscheinlich ist, jede der Kugeln zu ziehen, handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Nun soll wieder zweimal gezogen werden, dieses Mal jedoch ohne Zurücklegen.

In dem Baumdiagramm sehen wir nun die beiden Ereignisse „pink“ und „blau“. Wie oben unter „Laplace-Wahrscheinlichkeit“ erklärt, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis „pink“ eintritt bei 410. Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse 1 ergeben muss, kannst du daraus automatisch schließen, dass die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen bei  .

Nun müssen wir uns überlegen, wie die nächste Stufe aussieht, vorausgesetzt, eines der beiden Ereignisse ist eingetreten! 

Angenommen, es wurde im ersten Schritt eine pinke Kugel gezogen. Da jetzt noch eine Kugel gezogen werden soll, musst du das erste eingetretene Ereignis berücksichtigen, wodurch sich die Zusammensetzung und Anzahl der Kugeln in der Urne zu 9 Kugeln, 6 blauen und 3 pinken geändert hat. Die Wahrscheinlichkeit jetzt jeweils eine pinke oder blaue Kugel zu ziehen verändert sich also!

Diese Überlegung machst du für alle Ereignisse und alle Stufen. Es hilft, sich die Experimente Schritt für Schritt vor Augen zu führen! 

Pfadregeln

Wenn du im Rahmender Stochastik, die Wahrscheinlichkeit der entstandenen k-Tupel berechnen sollst, musst da zunächst die sogenannten Pfadregeln beachten. Diese lauten:

Produktregel

Die Wahrscheinlichkeit des Pfades entspricht dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades

• Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit von „blau, blau“ entspricht dem Produkt  

Summenregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses entspricht der Summe der diesem Ereignis zugrundeliegenden Pfadwahrscheinlichkeiten.

• Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit von „Verschiedenfarbige Kugeln“ beträgt:  

Wenn du diese Regeln beachtest, bist du für die Berechnung sämtlicher Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Zufallsexperimenten gewappnet!

Stochastik - Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Satz von Bayes

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit   bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist. Wie du das genau berechnen kannst, zeigen wir dir in diesem Abschnitt. Da wir uns hier besonders viel mit unterschiedlichen Ereignissen befassen und Ereignisse als eine Menge von Ergebnissen beschrieben werden, machen wir einen kurzen Ausflug in den Bereich der Mengenlehre.

Falls du schon ein Profi bist und Mengenlehre kein Problem für dich darstellt, geht es hier direkt zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Mengenlehre/ Ereignisalgebra

Was ist eigentlich eine Menge? Eine Menge fasst ein oder mehrere unterscheidbare Objekte (= Elemente) zusammen. Innerhalb von Mengen kann es auch „kleinere“ Mengen geben, sogenannte Teilmengen.

Das Gegenteil einer Menge A wird durch den Ausdruck Ᾱ beschrieben und umfasst alle Elemente, die nicht in der Menge A enthalten sind.

Folgende Operationen lassen sich auf zwei Mengen A und B anwenden:

Durchschnitt/Schnittmenge: AB

Der Durchschnitt enthält nur Elemente, die sowohl in Menge A, als auch in Menge B vorkommen. Man sagt auch „A und B“

Vereinigung: A B

Die Vereinigung enthält alle Elemente, die in A, B oder beiden Mengen vorkommen. Man sagt auch „A oder B“ (oder beides)

Komplement (oder Differenz): A∖B

Die Differenz beschreibt alle Elemente, die in der Menge A vorkommen, außer denen, die auch in B vorkommen. Man sagt auch: „A ohne B“

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

oder auch P(A|B) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A () eintritt, unter der Bedingung, dass B sicher eintritt.

Beispiel: 

Wie wahrscheinlich ist es, dass du einen Korb wirfst, unter der Bedingung, dass ihr im Sportunterricht Basketball spielt?

A = Korb werfen

B = Basketball im Sportunterricht

Die Formel hierfür lautet:

Wenn wir uns das Ganze an einem Baumdiagramm ansehen, erkennst du, dass es sich bei dieser Formel um eine umgestellte Pfadregel handelt, nämlich die Produktregel. 

Auf diese Weise könntest du genauso die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass du einen Korb wirfst, wenn im Unterricht kein Basketball gespielt wird, PB̄(A). Auch wenn das erstmal unwahrscheinlich klingt, könntest du dir ja auch einfach so einen Ball nehmen und einen Korb werfen.

Satz von Bayes

Den Satz von Bayes benötigst du immer dann, wenn du eine bedingte Wahrscheinlichkeit in der Stochastik gegeben hast und die gegenteilige bedingte Wahrscheinlichkeit ermitteln möchtest. Also wenn du weißt, wie wahrscheinlich es ist, einen Korb zu werfen, unter der Bedingung, dass ihr im Sportunterricht Basketball spielt und herausfinden möchtest, wie wahrscheinlich es ist, dass ihr im Unterricht Basketball spielt, unter der Bedingung, dass du einen Korb geworfen hast.

Gegeben:  

Gesucht:  

Dazu müssen wir das oben gezeigte Baumdiagramm gedanklich umschreiben. Denn nun kommt die Bedingung (also A) zuerst und dann im zweiten Schritt B.

Analog zu oben können wir dann definieren:

Da B∩A und A∩B identische Mengen sind, gilt das auch für die Wahrscheinlichkeiten: P(B∩A) = P(A∩B). 

Somit gilt: P(A)·PA(B)= P(B)·PB(A)

Das kannst du jetzt umformen und erhältst den Satz von Bayes:

In den Nennern dieser Formel kannst du auch die Kombination aus Produkt- und Summenregel erkennen. Dort steht nämlich nichts anderes, als: 

„Die Wahrscheinlichkeit, dass im Unterricht Basketball gespielt wurde, ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit, dass Basketball gespielt wurde und du einen Korb geworfen hast plus die Wahrscheinlichkeit, dass Basketball gespielt wurde und du keinen Korb geworfen hast.“

Tipp:

Lass dich nicht verwirren. Erstelle einfach eine Liste mit allen bekannten Wahrscheinlichkeiten. Etwa so: P(A) = …, P(B) = …, usw. Wenn du diese Liste erstellt hast, stellst du den Satz von Bayes durch Äquivalenzumformung so um, dass hinter dem = nur die von dir gesuchte Wahrscheinlichkeit steht. Erst jetzt setzt du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten ein und rechnest das Ergebnis aus. 

Vierfeldertafel

Eine weitere Möglichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten darzustellen, ist neben Baumdiagrammen eine Vierfeldertafel. Mit ihrer Hilfe kann man sich einen guten Überblick über die einzelnen Wahrscheinlichkeiten verschaffen und die bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen. Wir zeigen dir hier anhand eines Beispiels, wie so eine Vierfeldertafel aussieht:

Beispiel:

Folgende Informationen sind dir gegeben: von 100 befragten Menschen sprechen 24 fließend Englisch. 18 dieser 24 Personen leben in Großbritannien. 68 der Personen, die nicht fließend Englisch sprechen, leben nicht in Großbritannien. Diese Daten können wir nun in eine Vierfeldertafel übertragen.

Durch einfaches Subtrahieren können wir die fehlenden Einträge ergänzen:

Wenn du nun die Einträge durch die Mächtigkeit (den Betrag) von Ω teilst (also 100), erhältst du die relative Häufigkeit und damit die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Einträge (siehe Laplace-Wahrscheinlichkeit, Relative und Absolute Häufigkeit).

Wenn du nun die bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen sollst, musst du nur die Wahrscheinlichkeiten in die oben gezeigten Formeln einsetzen! Wenn du zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit berechnen willst, mit der ein zufällig ausgewählter befragter Mensch in Großbritannien lebt, wenn bekannt ist, dass er fließend Englisch spricht, nutzt du folgende Formel: 

Stochastische Unabhängigkeit

Bei der stochastischen Unabhängigkeit stellt sich die allgemeine Frage, ob zwei Ereignisse A und B sich gegenseitig beeinflussen. Wenn dies nicht der Fall ist, redet man von stochastischer Unabhängigkeit. Wenn jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden Ereignisse eintritt vom Eintreten des anderen Ereignisses abhängig ist, redet man von stochastischer Abhängigkeit. Diese Frage stellt sich bei mehrstufigen Zufallsexperimenten.

Merke:

Zwei Ereignisse A und B sind immer dann stochastisch unabhängig, wenn gilt: PA∩B=PA·P(B). Und da allgemein gilt, dass PA∩B=PBA·PB, muss bei stochastischer Unabhängigkeit PBA=P(A) sein.

Beispiel:

Sehen wir uns nochmal die Vierfeldertafel von oben an:

Wenn es sich laut der oben genannten Formel um ein stochastisch unabhängiges Zufallsexperiment handeln würde, dürfte die Tatsache, dass jemand in GB lebt keinen Einfluss darauf haben, ob er fließend Englisch spricht. Rein logisch betrachtet, wäre es aber durchaus sinnvoll, dass es zwischen diesen beiden Variablen einen Zusammenhang gibt.

Doch wie beweisen wir das? Ganz einfach: Du setzt die gegebenen Wahrscheinlichkeiten in die Formel ein und überprüfst, ob diese gilt:

→ Die Formel gilt also nicht! Somit liegt eine stochastische Abhängigkeit vor.

Übrigens: 

Wenn A und B stochastisch unabhängig sind, dann gilt dasselbe auch für A und B̄, Ᾱ und B sowie Ᾱ und B̄.

Bei Urnenmodellen liegt eine stochastische Unabhängigkeit immer dann vor, wenn ein Zufallsexperiment mit Wiederholung, also mit Zurücklegen stattfindet. Denn dann ist die Wahrscheinlichkeit jedes Mal wieder gleich, eine bestimmte Kugel zu ziehen.

Tipp: 

Wenn du eine Vierfeldertafel ergänzen sollst und gegeben ist, dass es sich um ein stochastisch Unabhängiges Experiment handelt, nutze die Formel P(A∩B)=P(A)·P(B), um die fehlenden Wahrscheinlichkeiten zu ergänzen. Ohne sie wirst du bei solchen Fragestellungen häufig durch subtrahieren alleine nicht alle Wahrscheinlichkeiten ergänzen können. Versuch deshalb immer aus der Beschreibung des Experiments herauszulesen, ob die unterschiedlichen Ereignisse sich beeinflussen!

Unsere Empfehlung

Die Stochastik ist ein komplexes Thema. Deshalb ist es wichtig, gut strukturiert an Aufgaben heranzugehen. Diese Struktur ermöglicht es dir, verschiedene Bereiche der Stochastik auseinander zu halten, ohne dabei durcheinanderzukommen. Wir empfehlen dir, dich bewusst mit den einzelnen Teilgebieten zu beschäftigen und anhand von Übungsaufgaben Gefühl und Verständnis für die Denkweise zu erlangen.

Aus diesem Grund stehen für dich zu den oben behandelten Themen jede Menge vertiefende Artikel bereit, in denen du noch mehr Beispiele, Tricks und Übungsaufgaben findest!