Stochastik

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Stochastik umfasst die Beiden Teilbereiche Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Das Ziel der Stochastik ist es, kurz gesagt, den Zufall zu untersuchen. Die Das bedeutet, das zufällige Vorgänge in einheitliche Modelle kategorisiert und dann auf ihre Ausgangsmöglichkeiten hin untersucht werden.

Die zentrale Frage lautet: Wie wahrscheinlich sind die unterschiedlichen Ausgänge dieser Modelle? In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit den folgenden Themen:


  • Zufallsexperimente
  • Ergebnisse und Ereignisse
  • Kombinatorik und Urnenmodell
  • Laplace-Wahrscheinlichkeit, Relative und Absolute Häufigkeit
  • Baumdiagramme
  • Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Satz von Bayes
  • Stochastische Unabhängigkeit



Zufallsexperimente in der Stochastik


Seit die Menschen nicht mehr ausschließlich höhere Kräfte für den Ausgang unterschiedlichster Situation verantwortlich machen, gibt es den Begriff des „Zufalls“. Zufall bedeutet, dass der Ausgang eines Geschehens nicht ganzheitlich vorhersehbar ist. Wenn es nun darum geht, diesen Zufall zu untersuchen, ist es notwendig, dass dafür Modelle aufgestellt werden. 

Diese Modelle ermöglichen es uns, einheitliche Aussagen über den Zufall mit den Mitteln der Mathematik zu treffen.


Ein Zufallsexperiment beschreibt die Modellierung eines Vorgangs, der unter Beachtung bestimmter Regeln beliebig oft wiederholt werden kann und dessen Ausgang nicht mit Sicherheit vorhersehbar ist. Hierbei muss es mehrere mögliche Ausgänge geben.


Aber lass dich nicht täuschen! Auch ein Fußballspiel kann ein Zufallsexperiment sein, denn es gibt unterschiedliche Ausgänge und auch der Sieg einer favorisierten Mannschaft kann nicht mit 100%-iger Sicherheit vorausgesagt werden.



Ergebnisse und Ereignisse


Wenn du die Stochastik, bzw. im engeren Sinne die Wahrscheinlichkeitsrechnung, verstehen möchtest, ist es erst einmal wichtig, dass du Ergebnisse von Ereignissen unterscheiden kannst. Diese beiden Begriffe bilden nämlich den Grundstein der Wahrscheinlichkeitsrechnung.


Ergebnisse

Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments stellt ein Ergebnis dar. Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird Ergebnisraum (oder Ergebnismenge) genannt und mit dem griechischen Buchstaben Ω (Omega) bezeichnet.

  • Beispiel:
    Bei einem Würfel lautet die Ergebnismenge: Ω = {1,2,3,4,5,6},
    bei einem Münzwurf lautet sie: Ω = {Kopf, Zahl}


Ereignisse

Ein Ereignis stellt eine Teilmenge (oder Untermenge) des Ergebnisraums eines Zufallsexperiments (ZE) dar. Das heißt, anhand von bestimmten Merkmalen werden mehrere Ergebnisse eines ZEs gruppiert, sodass nach eintreten eines Ergebnisses klar erkennbar ist, ob das Ereignis eingetreten ist, oder nicht.


  • Beispiel:
    Bei einem Würfelwurf könnte ein Ereignis lauten: „Die gewürfelte Augenzahl ist ungerade“. Die Teilmenge A von Ω lautet somit: A = {1,3,5}.
    Ein weiteres Ereignis könnte lauten: „Die Augenzahl ist > 2“. Die Teilmenge B von Ω lautet somit: B = {3,4,5,6}


Weitere Definitionen

  • Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum
  • Ereignisse, die nur durch ein einziges Ergebnis herbeigeführt werden können (z.B. „Augenzahl = 6“) nennt man Elementarereignis
  • Ein Ereignis, dass durch alle Ergebnisse in Ω eintritt, also A = Ω, nennt man das sichere Ereignis, da es auf jeden Fall eintreten wird
  • Wenn die Teilmenge B leer ist, also kein Ergebnis enthält, liegt ein unmögliches Ereignis vor.
    Beispiel: Das Ereignis „Augenzahl über 6“ kann bei einem gewöhnlichen Würfel nicht eintreten.


Mehr zum Thema: Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse




Stochastik - Kombinatorik und Urnenmodell


Das Ziel der Kombinatorik ist es, herauszufinden, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit n Elementen genau k Elemente auszuwählen. Diese Überlegung wird häufig am Beispiel einer Urne, aus der man Kugeln zieht erklärt.



Generell können derartige Versuche in verschiedene Modellarten eingeteilt werden:


  • Von einer Variation(auch „geordnete Stichprobe“) ist immer dann die Rede, wenn:
    • k < n ist und
    • die Reihenfolge, in der die Kugeln aus der Urne gezogen werden, wichtig ist


  • Eine Kombination(auch „ungeordnete Stichprobe“) liegt immer dann vor, wenn:
    • k < n ist und
    • die Reihenfolge unwichtig ist

  • Bei Permutationenist:
    • n = k und
    • Die Reihenfolge wichtig 


Es handelt sich also um eine Variation, bei der alle Kugeln aus der Urne gezogen werden.



Mit und Ohne „Wiederholung“


Jetzt wo du weißt, um welches grobe Modell es sich bei deinem Versuch handelt, musst du nur noch folgende Frage beantworten: Wird eine Kugel nachdem sie gezogen wurde beiseitegelegt, sodass sie beim nächsten Ziehen nicht mehr als Auswahlmöglichkeit infrage kommt? Oder wird sie zurückgelegt und kann beim nächsten Mal wieder gezogen werden?

Die beiden Varianten lassen sich wie folgt bezeichnen:


  • Mit Zurücklegen = mit Wiederholung

  • Ohne Zurücklegen = ohne Wiederholung


Um die einzelnen Modelle nun durchgehen zu können gibt es nur noch eines, was du vorher verstanden haben solltest: Die Produktregel der Kombinatorik oder auch das „allgemeine Zählprinzip“!



Stochastik - Das Allgemeine Zählprinzip


Beim Allgemeinen Zählprinzip geht es darum, wie sich die Anzahl an Kombinationen unterschiedlicher Elemente herausfinden lassen.


Beispiel: 

Nehmen wir an, du möchtest einen Smoothie aus drei verschiedenen Zutaten mixen. In einen Smoothie sollen immer genau 1x Obst (pink) , 1x Nüsse (blau) und 1x Flüssigkeit (orange) vorkommen. Nun hast du Zuhause 3 verschiedene Obstsorten, 4 verschiedene Arten von Nüssen und 2 verschiedene Flüssigkeiten zur Auswahl.


Die Frage lautet: 

Wie viele unterschiedliche Smoothies kannst du mit diesen Zutaten mixen?


Die Antwort ist leichter als gedacht! 

Denn du könntest zu jeder der 3 Obstsorten jeweils 4 verschiedene Nüsse zufügen. Somit gibt es 3 · 4 = 12 verschiedene Obst-Nuss-Kombinationen. Wenn du jetzt jede dieser 12 Kombinationen entweder mit Milch oder mit Wasser kombinieren kannst, erhältst du 3 · 4 · 2 = 24 verschiedene Smoothies.



Verallgemeinert bedeutet das:


  • Es gibt k Mengen (in diesem Fall 3: Obst, Nüsse, Flüssigkeit) M1-Mk
  • In diesen Mengen befinden sich jeweils n Elemente, wobei M1 n1 Elemente hat (z.B. Obst ist M1 und hat 3 Elemente 🡪 n1 = 3), M2 n2 Elemente hat usw.
  • Es können n1 · n2 · … · nk Kombinationen der Elemente in den Mengen erzeugt werden
  • Diese Kombinationen werden als sogenannte k-Tupel (x1, x2, …, xk) bezeichnet
  • In dem Beispiel entstehen 24 verschiedene k-Tupel, wobei eines davon lauten könnte: (Obst 1, Nuss 3, Wasser)



Permutation ohne Wiederholung


Permutation: n = k und die Reihenfolge ist wichtig

 

  • Stell dir vor, auf einem Fußballfeld stünden 30 Stühle nebeneinander in einer Reihe und in deiner Klasse sind insgesamt 30 Schüler. Nun ist die Frage: In wie vielen unterschiedlichen Reihenfolgen kann deine Klasse sich auf den Stühlen anordnen?


  • Das Ganze können wir ganz logisch angehen! Der erste, der sich auf einen der Stühle setzen soll, hat die freie Auswahl. Es gibt für ihn also n = 30 verschiedene Möglichkeiten, sich hinzusetzen. Wenn sich nun die zweite Person hinsetzen will, bleibt ihm oder ihr nur noch die Auswahl von (n - 1) = (30 - 1) = 29 verschiedenen Stühlen. Wenn er oder sie sich nun hinsetzt, bleiben für den nächsten nur noch (n - 2) = 28 verschiedene Möglichkeiten und immer so weiter, bis der letzte sich auf den letzten freien Stuhl setzen muss.


  • Um also auf die Gesamtanzahl der möglichen Kombinationen zu kommen, musst du lediglich die Entscheidungsmöglichkeiten von dir und deinen Klassenkameraden multiplizieren:
    n · (n - 1) · (n - 2) · … · 1 = n!
    also die Fakultät von n. In diesem Beispiel gäbe es also sehr viele Möglichkeiten, euch unterschiedlich in einer Reihe hinzusetzen, nämlich:
    30! = 30 · 29 · 28 · … · 1 = 2,653 · 1032 = 265.300.000.000.000.000.000.000.000.000.000



Permutation mit Wiederholung


Du weißt jetzt, dass es n! Möglichkeiten gibt, n Dinge auf n Plätze in unterschiedlicher Reihenfolge anzuordnen. Aber wie sieht das Ganze aus, wenn manche der Dinge, die wir platzieren gleich sind, also sich wiederholen? Stell dir mal vor, wir wollen aus einer Lieferung von 10 farbigen Plastikeimern alle 10 in einer Reihe anordnen. 


Hierbei gibt es drei verschiedene Situationen:


1. Alle Eimer sind unterscheidbar, außer drei: 

Dies könnte der Fall sein, wenn zum Beispiel die ersten 7 Eimer durchnummeriert sind, aber es 3 Eimer mit der Nummer 8 gibt. Diese 3 Eimer sind dann identisch. In diesem Fall gibt es k = 3 Objekte, die du auf ihren Plätzen in der Reihe vertauschen könntest, ohne dass jemand es bemerken würde. Wie oben beschrieben, gibt es k! = 3! Möglichkeiten, die 3 Eimer unterschiedlich anzuordnen (wenn man sie unterscheiden könnte). Es gibt also auch k! Anordnungen, in denen die Reihe „gleich“ bleibt. Diese k! Anordnungen werden also nicht mit den anderen Möglichkeiten multipliziert, sodass wir zu der folgenden Formel kommen:




2. Es gibt mehrere, nicht unterscheidbare Gruppen:

Diese Situation könnte entstehen, wenn die Eimer z.B. verschiedenfarbig wären und es gäbe 3 grüne, 2 rote und 5 blaue Eimer. Damit gäbe es k1! = 3! Möglichkeiten, die grünen Eimer unbemerkt zu vertauschen, k2! = 2! Möglichkeiten, die roten Eimer zu platzieren und k3! = 5! Möglichkeiten die blauen Eimer untereinander unterschiedlich anzuordnen.



Die gesamte Anzahl der unterschiedlichen Anordnungsmöglichkeiten bei s = 3 Gruppen lässt sich daher wie folgt berechnen:

 



3. Alle Eimer sind nicht voneinander unterscheidbar: 

Da man keine Änderung der Anordnung feststellen kann, egal wie man in einer solchen Reihe die Eimer vertauscht, gibt es nur genau eine Möglichkeit n nicht unterscheidbare Eimer auf n Plätze zu verteilen. Rechnerisch ergibt sich das auch durch:

 


Super! Jetzt kennst du dich schon richtig gut mit Permutationen aus! Weiter geht’s mit den Variationen mit und ohne Wiederholung.



Variation ohne Wiederholung


Variation: k < n und die Reihenfolge ist wichtig


Der einzige Unterschied zwischen Variationen und Permutationen: Bei Variationen wird nur eine Stichprobe k < n aus der Urne gezogen, anstatt aller n Elemente. Da wir hier eine Variation ohne Wiederholung betrachten, kann jedes dieser k Elemente nur einmal ausgewählt werden.


Kommen wir zurück zu dem Beispiel mit den Stühlen auf dem Fußballfeld. Dieses Mal stellen wir uns vor, dass nur 10 festgelegte Schüler auf die 30 Stühle verteilt werden sollen. n ist dann weiterhin 30 und k = 10.


Der erste hat, wie bei der Permutation n = 30 freie Stühle zur Auswahl, von denen er einen besetzen kann. Der zweite hat nur noch (n - 1) = 29 freie Stühle usw. Der letzte ist in diesem Beispiel die Nummer 10, sodass ihm noch (n - k + 1) = 21 Stühle zur Auswahl stehen. Wenn man nun all diese Möglichkeiten multipliziert, sieht das so aus: 


  


→ Es ergeben sich also deutlich weniger unterschiedliche Möglichkeiten, als bei der Permutation!



Variation mit Wiederholung


Eine Variation mit Wiederholung gestaltet sich verglichen damit deutlich einfacher. Denn wenn ein Element aus der Gruppe mehrmals ausgesucht werden kann, also den anderen Elementen keinen Platz „wegnimmt“, gibt es nach jedem Ziehen wieder die gleiche Anzahl an Möglichkeiten für das nächste Element in der Reihe, nämlich n. Die Anzahl k der Elemente entspricht der Stichprobengröße, sodass die Formel zur Berechnung der Möglichkeiten lautet:

n · n · n · n · … =  



Kombination ohne Wiederholung


Kombination: k < n und die Reihenfolge ist unwichtig


Bei einer Kombination (also einer ungeordneten Stichprobe) ohne Wiederholung, ist es fast, wie bei einer Variation ohne Wiederholung, nur dass dieses Mal die Reihenfolge auch unwichtig ist! Am Beispiel bedeutet das, dass du und deine Schulkameraden euch nicht mehr auf Stühle in eine Reihe setzen müsst, sondern einfach in Gruppen zusammenstellt. Die Frage ist nun: Wie viele verschiedene Gruppen könnt ihr aus n = 30 Schülern bilden, wenn immer genau k = 10 Schüler in einer Gruppe sein sollen?



Die Formel für diese Fragestellung lautet:


 


Es handelt sich dabei um den Binomialkoeffizienten. Nun setzt du n und k einfach ein:


 


Die Formel entspricht der Formel für Variationen ohne Wiederholungen, mit Ausnahme des ∙ k! im Nenner.


Wusstest du schon:

Auf deinem Taschenrechner musst du häufig nicht den gesamten Bruch eingeben, um den Binomialkoeffizienten zu berechnen. Es gibt oft eine Eingabe, die z.B. so aussieht: 30 C 10. Sieh dir am besten das Handbuch deines Taschenrechners (manuell oder online) an oder frag deine Lehrer!



Warum multiplizieren wir den Nenner mit k?

Wenn wir die Formel für Variationen ohne Wiederholung nehmen, erhalten wir alle Möglichkeiten der Anordnung unter Beachtung der Reihenfolge. Diese muss nun ein wenig modifiziert werden. Für jede Gruppe, in der sich die gleichen 10 Schüler befinden, gibt es k! verschiedene Reihenfolgen. Da diese Reihenfolgen für uns bei einer Kombination nicht mehr wichtig sind, müssen wir die Gesamtanzahl an Möglichkeiten durch die Anzahl der Möglichkeiten teilen, die es pro Gruppenzusammensetzung bzgl. der Anordnung gibt.




Kombination mit Wiederholung


Die allgemeine Formel hierfür lautet:  


In diese Formel könnt ihr immer dann eure n und k einsetzen, wenn k Objekte so auf n Plätze aufgeteilt werden sollen, dass jedes der k Objekte mehrfach verwendet werden kann. Zum Beispiel: „Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, drei Bretter in den Farben rot, blau und/oder grün anzustreichen?“


Um sich aber bildlich vorzustellen, wie man auf diese Formel kommt, braucht es ein bisschen mehr Fantasie.


Beispiel:

Mal angenommen, du besitzt ein Regal, in dem es 7 unterscheidbare Fächer gibt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Tennisbälle in diesen Fächern unterschiedlich zu verteilen, wenn du auch mehrere Kugeln in ein Fach legen kannst?


In diesem Fall ist unser n = 7 und k = 3. Wie du im Bild unten siehst, gibt es zwischen diesen Fächern genau (n - 1), also 6 Trennwände. Wenn wir nun diese Fächer in einen „Code“ umwandeln, bei dem in jeder Zeile die Tennisbälle pro Fach als 0 und die Trennwände als 1 dargestellt werden und jede Zeile eine Möglichkeit der Anordnung darstellt, können wir erkennen, dass es in jeder Reihe genau (n - 1 + k) = 9 Elemente (Trennwände + Kugeln) gibt.


Jetzt musst du dir überlegen, auf wie viele verschiedene Arten du die 3 Nullen und 6 Einsen auf die 9 Elemente aufteilen kannst. Merkst du was hier passiert? Wir haben das Problem in eine Permutation mit Wiederholung und mehreren Gruppen umgewandelt. Denn nun teilen wir 9 teilweise identische Objekte auf 9 Plätze auf, wie bei den Eimern!




Hier noch mal mathematisch:


 




Permutation, Variation und Kombination - wichtige Formeln der Stochastik auf einen Blick


Stochastische FormAllgemeine Formel

Permutation ohne Wiederholung

n · (n - 1) · (n - 2) · … · 1 = n!

Permutation mit Wiederholung - alle Elemente aus n unterscheidbar, außer k Elemente


Permutation mit Wiederholung - s in sich identische Gruppen mit jeweils k1 - ks Elementen

 

Variation ohne Wiederholung

n · (n - 1) · (n - 2) · … · (n - k + 1) =  

Variation mit Wiederholung

 

Kombination ohne Wiederholung

 

Kombination mit Wiederholung

 




Stochastik: Laplace-Wahrscheinlichkeit, Relative und Absolute Häufigkeit


In diesem Abschnitt geht es darum, die klassische Wahrscheinlichkeit, auch die Laplace-Wahrscheinlichkeit genannt, zu definieren. Also: Was ist das? Bevor wir das beantworten können, müssen zunächst ein paar grundlegende Dinge klären:


P(A) ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 des Ereignisses A, wenn:


  • Es sich bei dem Versuch, bei dem das Ereignis A auftreten kann, um ein beliebig oft zu gleichen Bedingungen durchführbares Zufallsexperiment handelt
  • Das Ereignis A bei n-maligem Wiederholen des Experiments k-mal auftritt und sich das Verhältnis kn für n 🡪  der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit P(A) unendlich stark nähert.


Im Klartext: Wenn du unendlich oft eine Münze wirfst und jedes Mal das Ergebnis notierst, soll genau die Hälfte aller Würfe „Kopf“ und die andere Hälfte „Zahl“ sein 🡪 Je größer n, desto näher kommt man der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit.


Daraus folgt: die Wahrscheinlichkeit P(A) =  


Übrigens:

Diese Wahrscheinlichkeitsdefinition der Stochastik nennt sich auch das empirische Gesetz der großen Zahlen.



Absolute Häufigkeit


Wenn du nun n = 20 Mal eine Münze wirfst und k = 12-mal davon das Ereignis „Kopf“ eintritt, dann lautet die absolute Häufigkeit dieses Ereignisses   (Kopf) = k = 12.

Bei einem Würfelwurf läuft es genauso, nur dass es nun 6 verschiedene Elementarereignisse gibt. Wenn du also 30-mal würfelst und du 10-mal die 4 erhältst, lautet die absolute Häufigkeit des Ereignisses „4“  (4) = 10.



Relative Häufigkeit


Die relative Häufigkeit setzt die absolute Häufigkeit ins Verhältnis mit der Anzahl der insgesamt getätigten Versuche n. Also: Das Ereignis ist k-mal eingetreten pro n Würfe. Du berechnest sie mit:  (Ereignis) =  

Wenn du dich an die Definition der Wahrscheinlichkeit erinnerst, dann weißt du jetzt, dass es die relative Häufigkeit des Ereignisses ist, die sich bei unendlicher Ausführung seiner rechnerischen Wahrscheinlichkeit annähert!



Laplace-Wahrscheinlichkeit

Die einfachste Form der Wahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn ein sogenanntes Laplace-Experiment vorliegt. Das ist der Fall, wenn alle Ergebnisse in der Ergebnismenge gleichwahrscheinlich sind. 


Gleichwahrscheinlich bedeutet, dass, nach dem Gesetz der großen Zahlen, bei ewigem Würfeln die sechs Würfelseiten exakt gleich häufig gewürfelt würden. Wenn du dir nicht sicher bist, ob es sich bei einem Vorgang um ein Zufallsexperiment handelt oder nicht, frag dich selbst: Gibt es die Möglichkeit, dass bei ewigem Wiederholen des Experiments eines der Elementarereignisse häufiger eintreten könnte, als die anderen? 

Wenn ja, handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment! Ein Beispiel hierfür wäre ein Fußballspiel zwischen der Nationalmannschaft und einem Drittligisten. Hierbei handelt es sich zwar um ein Zufallsexperiment, aber nicht um ein Laplace-Experiment, da es aufgrund der Zusammensetzung der Teams sehr viel wahrscheinlicher ist, dass die Nationalmannschaft gewinnt.


Wenn ein Laplace-Experiment zugrundliegt, entspricht die Wahrscheinlichkeit der möglichen Ereignisse :


 



Bei Elementarereignissen, also Ereignissen, die nur durch ein bestimmtes Ergebnis eintreten können, entspricht die Wahrscheinlichkeit also immer:


 


Die Wahrscheinlichkeit, eine der sechs Seiten eines Würfels zu würfeln liegt also bei:


 mit  Ω= {1,2,3,4,5,6}  und |Ω|=6



Stochastik - Baumdiagramme


Baumdiagramme sind hilfreich, wenn bei einem Zufallsexperiment statt nur einer Wiederholung gleich mehrere Ausführungen hintereinander stattfinden. Wenn das der Fall ist, handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Die Ergebnisse solcher Experimente werden durch k-Tupel beschrieben, wobei k die Stufenanzahl des Experiments darstellt.


Wie du bereits beim „Allgemeinen Zählprinzip“ gesehen hast, lässt sich die Menge der k-Tupel gut mithilfe eines Baumdiagrammes darstellen.


Beispiel:

In einer Urne befinden sich eine pinke und eine blaue Kugel. Nun soll aus der Urne zweimal hintereinander mit Zurücklegen gezogen werden. 



Darüber hinaus können dir Baumdiagramme dabei helfen, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse in der Ergebnismenge zu bestimmen.


Übrigens:

mehrstufige Zufallsexperimente sind nichts anderes als Kombinationen (oder Variationen) von einstufigen Zufallsexperimenten!


Um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse nun zu berechnen, musst du zunächst die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Ereignisse so an den Pfaden (den „Ästen“ des Baumdiagramms) notieren, als ob es sich bei jeder Stufe um ein einstufiges Zufallsexperiment handeln würde.


Beispiel:

In der Urne befinden sich nun 4 pinke und 6 blaue Kugeln. Da es gleichwahrscheinlich ist, jede der Kugeln zu ziehen, handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Nun soll wieder zweimal gezogen werden, dieses Mal jedoch ohne Zurücklegen.



In dem Baumdiagramm sehen wir nun die beiden Ereignisse „pink“ und „blau“. Wie oben unter „Laplace-Wahrscheinlichkeit“ erklärt, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis „pink“ eintritt bei 410. Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse 1 ergeben muss, kannst du daraus automatisch schließen, dass die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen bei  .


Nun müssen wir uns überlegen, wie die nächste Stufe aussieht, vorausgesetzt, eines der beiden Ereignisse ist eingetreten! 


Angenommen, es wurde im ersten Schritt eine pinke Kugel gezogen. Da jetzt noch eine Kugel gezogen werden soll, musst du das erste eingetretene Ereignis berücksichtigen, wodurch sich die Zusammensetzung und Anzahl der Kugeln in der Urne zu 9 Kugeln, 6 blauen und 3 pinken geändert hat. Die Wahrscheinlichkeit jetzt jeweils eine pinke oder blaue Kugel zu ziehen verändert sich also!



Diese Überlegung machst du für alle Ereignisse und alle Stufen. Es hilft, sich die Experimente Schritt für Schritt vor Augen zu führen! 



Pfadregeln


Wenn du im Rahmender Stochastik, die Wahrscheinlichkeit der entstandenen k-Tupel berechnen sollst, musst da zunächst die sogenannten Pfadregeln beachten. Diese lauten:


Produktregel

Die Wahrscheinlichkeit des Pfades entspricht dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades


  • Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit von „blau, blau“ entspricht dem Produkt  


Summenregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses entspricht der Summe der diesem Ereignis zugrundeliegenden Pfadwahrscheinlichkeiten.


  • Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit von „Verschiedenfarbige Kugeln“ beträgt:  


Wenn du diese Regeln beachtest, bist du für die Berechnung sämtlicher Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Zufallsexperimenten gewappnet!



Stochastik - Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Satz von Bayes


Die Bedingte Wahrscheinlichkeit   bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist. Wie du das genau berechnen kannst, zeigen wir dir in diesem Abschnitt. Da wir uns hier besonders viel mit unterschiedlichen Ereignissen befassen und Ereignisse als eine Menge von Ergebnissen beschrieben werden, machen wir einen kurzen Ausflug in den Bereich der Mengenlehre.


Falls du schon ein Profi bist und Mengenlehre kein Problem für dich darstellt, geht es hier direkt zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit.



Mengenlehre/ Ereignisalgebra


Was ist eigentlich eine Menge? Eine Menge fasst ein oder mehrere unterscheidbare Objekte (= Elemente) zusammen. Innerhalb von Mengen kann es auch „kleinere“ Mengen geben, sogenannte Teilmengen.



Das Gegenteil einer Menge A wird durch den Ausdruck Ᾱ beschrieben und umfasst alle Elemente, die nicht in der Menge A enthalten sind.



Folgende Operationen lassen sich auf zwei Mengen A und B anwenden:


Durchschnitt/Schnittmenge: AB



Der Durchschnitt enthält nur Elemente, die sowohl in Menge A, als auch in Menge B vorkommen. Man sagt auch „A und B“


Vereinigung: A B

Die Vereinigung enthält alle Elemente, die in A, B oder beiden Mengen vorkommen. Man sagt auch „A oder B“ (oder beides)



Komplement (oder Differenz): A∖B

Die Differenz beschreibt alle Elemente, die in der Menge A vorkommen, außer denen, die auch in B vorkommen. Man sagt auch: „A ohne B“





Bedingte Wahrscheinlichkeiten


 oder auch P(A|B) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A () eintritt, unter der Bedingung, dass B sicher eintritt.


Beispiel: 

Wie wahrscheinlich ist es, dass du einen Korb wirfst, unter der Bedingung, dass ihr im Sportunterricht Basketball spielt?


A = Korb werfen

B = Basketball im Sportunterricht


Die Formel hierfür lautet:


 


Wenn wir uns das Ganze an einem Baumdiagramm ansehen, erkennst du, dass es sich bei dieser Formel um eine umgestellte Pfadregel handelt, nämlich die Produktregel



Auf diese Weise könntest du genauso die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass du einen Korb wirfst, wenn im Unterricht kein Basketball gespielt wird, PB̄(A). Auch wenn das erstmal unwahrscheinlich klingt, könntest du dir ja auch einfach so einen Ball nehmen und einen Korb werfen.



Satz von Bayes


Den Satz von Bayes benötigst du immer dann, wenn du eine bedingte Wahrscheinlichkeit in der Stochastik gegeben hast und die gegenteilige bedingte Wahrscheinlichkeit ermitteln möchtest. Also wenn du weißt, wie wahrscheinlich es ist, einen Korb zu werfen, unter der Bedingung, dass ihr im Sportunterricht Basketball spielt und herausfinden möchtest, wie wahrscheinlich es ist, dass ihr im Unterricht Basketball spielt, unter der Bedingung, dass du einen Korb geworfen hast.


Gegeben:  

Gesucht:  


Dazu müssen wir das oben gezeigte Baumdiagramm gedanklich umschreiben. Denn nun kommt die Bedingung (also A) zuerst und dann im zweiten Schritt B.


Analog zu oben können wir dann definieren:


 


Da B∩A und A∩B identische Mengen sind, gilt das auch für die Wahrscheinlichkeiten: P(B∩A) = P(A∩B). 

Somit gilt: P(A)·PA(B)= P(B)·PB(A)


Das kannst du jetzt umformen und erhältst den Satz von Bayes:


 


In den Nennern dieser Formel kannst du auch die Kombination aus Produkt- und Summenregel erkennen. Dort steht nämlich nichts anderes, als: 


„Die Wahrscheinlichkeit, dass im Unterricht Basketball gespielt wurde, ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit, dass Basketball gespielt wurde und du einen Korb geworfen hast plus die Wahrscheinlichkeit, dass Basketball gespielt wurde und du keinen Korb geworfen hast.“


Tipp:

Lass dich nicht verwirren. Erstelle einfach eine Liste mit allen bekannten Wahrscheinlichkeiten. Etwa so: P(A) = …, P(B) = …, usw. Wenn du diese Liste erstellt hast, stellst du den Satz von Bayes durch Äquivalenzumformung so um, dass hinter dem = nur die von dir gesuchte Wahrscheinlichkeit steht. Erst jetzt setzt du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten ein und rechnest das Ergebnis aus. 



Vierfeldertafel


Eine weitere Möglichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten darzustellen, ist neben Baumdiagrammen eine Vierfeldertafel. Mit ihrer Hilfe kann man sich einen guten Überblick über die einzelnen Wahrscheinlichkeiten verschaffen und die bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen. Wir zeigen dir hier anhand eines Beispiels, wie so eine Vierfeldertafel aussieht:


Beispiel:

Folgende Informationen sind dir gegeben: von 100 befragten Menschen sprechen 24 fließend Englisch. 18 dieser 24 Personen leben in Großbritannien. 68 der Personen, die nicht fließend Englisch sprechen, leben nicht in Großbritannien. Diese Daten können wir nun in eine Vierfeldertafel übertragen.



Durch einfaches Subtrahieren können wir die fehlenden Einträge ergänzen:


Wenn du nun die Einträge durch die Mächtigkeit (den Betrag) von Ω teilst (also 100), erhältst du die relative Häufigkeit und damit die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Einträge (siehe Laplace-Wahrscheinlichkeit, Relative und Absolute Häufigkeit).




Wenn du nun die bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen sollst, musst du nur die Wahrscheinlichkeiten in die oben gezeigten Formeln einsetzen! Wenn du zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit berechnen willst, mit der ein zufällig ausgewählter befragter Mensch in Großbritannien lebt, wenn bekannt ist, dass er fließend Englisch spricht, nutzt du folgende Formel: 


 



Stochastische Unabhängigkeit


Bei der stochastischen Unabhängigkeit stellt sich die allgemeine Frage, ob zwei Ereignisse A und B sich gegenseitig beeinflussen. Wenn dies nicht der Fall ist, redet man von stochastischer Unabhängigkeit. Wenn jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden Ereignisse eintritt vom Eintreten des anderen Ereignisses abhängig ist, redet man von stochastischer Abhängigkeit. Diese Frage stellt sich bei mehrstufigen Zufallsexperimenten.


Merke:

Zwei Ereignisse A und B sind immer dann stochastisch unabhängig, wenn gilt: PA∩B=PA·P(B). Und da allgemein gilt, dass PA∩B=PBA·PB, muss bei stochastischer Unabhängigkeit PBA=P(A) sein.


Beispiel:

Sehen wir uns nochmal die Vierfeldertafel von oben an:

Wenn es sich laut der oben genannten Formel um ein stochastisch unabhängiges Zufallsexperiment handeln würde, dürfte die Tatsache, dass jemand in GB lebt keinen Einfluss darauf haben, ob er fließend Englisch spricht. Rein logisch betrachtet, wäre es aber durchaus sinnvoll, dass es zwischen diesen beiden Variablen einen Zusammenhang gibt.

Doch wie beweisen wir das? Ganz einfach: Du setzt die gegebenen Wahrscheinlichkeiten in die Formel ein und überprüfst, ob diese gilt:


 


→ Die Formel gilt also nicht! Somit liegt eine stochastische Abhängigkeit vor.


Übrigens: 

Wenn A und B stochastisch unabhängig sind, dann gilt dasselbe auch für A und B̄, Ᾱ und B sowie Ᾱ und B̄.

Bei Urnenmodellen liegt eine stochastische Unabhängigkeit immer dann vor, wenn ein Zufallsexperiment mit Wiederholung, also mit Zurücklegen stattfindet. Denn dann ist die Wahrscheinlichkeit jedes Mal wieder gleich, eine bestimmte Kugel zu ziehen.



Tipp: 

Wenn du eine Vierfeldertafel ergänzen sollst und gegeben ist, dass es sich um ein stochastisch Unabhängiges Experiment handelt, nutze die Formel P(A∩B)=P(A)·P(B), um die fehlenden Wahrscheinlichkeiten zu ergänzen. Ohne sie wirst du bei solchen Fragestellungen häufig durch subtrahieren alleine nicht alle Wahrscheinlichkeiten ergänzen können. Versuch deshalb immer aus der Beschreibung des Experiments herauszulesen, ob die unterschiedlichen Ereignisse sich beeinflussen!



Unsere Empfehlung

Die Stochastik ist ein komplexes Thema. Deshalb ist es wichtig, gut strukturiert an Aufgaben heranzugehen. Diese Struktur ermöglicht es dir, verschiedene Bereiche der Stochastik auseinander zu halten, ohne dabei durcheinanderzukommen. Wir empfehlen dir, dich bewusst mit den einzelnen Teilgebieten zu beschäftigen und anhand von Übungsaufgaben Gefühl und Verständnis für die Denkweise zu erlangen.

Aus diesem Grund stehen für dich zu den oben behandelten Themen jede Menge vertiefende Artikel bereit, in denen du noch mehr Beispiele, Tricks und Übungsaufgaben findest!


Finales Stochastik Quiz

Frage

Ein Würfelspiel geht in die Endphase: Würfelt Spieler A eine 6, hat er gewonnen. Bei einer 4 gewinnt der Gegner. 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Gegner?

Antwort anzeigen

Antwort

P(X=Gegner gewinnt) = 2/6

Der Gegner gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/6 = 33%

Frage anzeigen

Frage

Ein Spieler würfelt 5 mal. Dabei würfelt er dreimal die 6 und zweimal die 5. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür.

Antwort anzeigen

Antwort

P(X=(3 mal die 6 gewürfelt und 2 mal die 5)) = 1/1296

Frage anzeigen

Frage

Ein Spieler würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für


a) 2x die 6

b) 2x die 3

c) 1x die 1 und 1x die 6

d) 1x die 6, 1x beliebig

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Antwort

a) 1/36

b) 1/36 

c) 1/36 

d) 1/6

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten!


In einer Box befinden sich 20 verschiedene Süßigkeiten. Dabei gibt es 10 blaue Bonbons, 5 rote Tafeln Schokolade und 5 Karamellbonbons. 

Sie ziehen blind aus dieser Box ein Bonbon, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie ein...

  1. ... blaues Bonbon ziehen?
  2. ... rote Tafel Schokolade ziehen?
  3. ... Karamellbonbon ziehen?
Antwort anzeigen

Antwort

  1. Wahrscheinlichkeit 'blaues Bonbon': 0,5 = 50%
  2. Wahrscheinlichkeit 'rote Tafel Schokolade': 0,25 = 25%
  3. Wahrscheinlichkeit 'Karamellbonbon': 0,25  = 25%
Frage anzeigen

Frage

Es ist Weihnachten und Sie würfeln mit Ihrer Familie um die Geschenke. Wenn Sie zweimal hintereinander eine Augenzahl 6 Würfeln bekommen Sie das größte Geschenk unter dem Weihnachtsbaum.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine doppelte Augenzahl 6 zu würfeln!


Hinweis: Es handelt sich um einen handelsüblichen Würfel

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Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/36 = 2,78% (gerundet)

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Frage

Sie möchten sich mit ihren 12 Freunden treffen und stehen vor der Wahl ob Sie Fußball oder Basketball spielen wollen. Um eine Entscheidung zu treffen, haben Sie sich entschieden, dass jeder eine Münze wirft. Zeigt die Münze öfter Kopf an, dann entscheiden Sie sich für Fußball. Zeigt die Münze allerdings öfter Zahl an, dann spielen Sie Basketball.


a. Um was für eine Art Zufallsexperiment handelt es sich?


b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie und Ihre Freunde Fußball spielen werden?

Antwort anzeigen

Antwort

a. Es handelt sich um kein LaPlace-Experiment.


b. Die Wahrscheinlichkeit das Zahl gewinnt beträgt:

P(Zahl gewinnt)0,72559


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Frage

Handelt es sich bei folgendem Experiment um ein Laplace-Experiment?


  • Sie stehen vor einem Bücherregal mit 50 unterschiedlichen Büchern. Nachdem Sie ihre Augen zugebunden haben, nehmen Sie ein Buch aus dem Schrank und lesen es. Danach legen Sie es zurück in den Schrank. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben Sie das Buch X gezogen?
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Ja, es handelt sich um ein Laplace-Experiment

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In einer unsortierten Pinselkiste befinden sich 5 kleine, 10 mittlere und 5 große Pinsel. Sie nehmen sich, um ein einzigartiges Bild zu erstellen, einen zufälligen Pinsel aus der Kiste und legen ihn nach Gebrauch wieder zurück.


  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen mittleren Pinsel zu ziehen?
  2. Sie ziehen zweimal einen Pinsel mit zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zweimal einen großen Pinsel zu ziehen?
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  1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 10/20 = 50%
  2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 6,25%
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An der Tankstelle "Tanxos100" werden statistische Daten über die Kunden erhoben. Am Ende einer Woche werden diese ausgewertet. Dabei wird erhoben, wie stark die einzelnen Zapfsäulen genutzt wurden. Im Folgenden sind die absoluten Häufigkeiten zu sehen. Der Chef möchte, dass seine vier Mitarbeiter jeweils die Auswertungen vornehmen. Bestimme die relativen Häufigkeiten und die Prozentzahlen dazu. Einer der vier Mitarbeiter hat die Auswertung richtig gemacht. Bestimme diesen! (Es müssen alle Aussagen des Mitarbeiters stimmen)


Tanksäule 1: 123 mal genutzt

Tanksäule 2: 200 mal genutzt

Tanksäule 3: 240 mal genutzt

Tanksäule 4: 162 mal genutzt

Tanksäule 5: 23 mal genutzt

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Mitarbeiter 2 behauptet

  • Die Tanksäulen 3 und 4 machen zusammen mehr als 55% aus
  • Tanksäule 5 wurde weniger als 10% genutzt
  • Die ersten drei Tanksäulen wurden zusammen über 76% genutzt
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Wann wurde die DDR gegründet?

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7. Okober 1949

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Was war das Selbstverständnis der DDR?

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In ihrem Selbstverständnis war die am 7. Oktober 1949 gegründete DDR ein demokratischer, sozialistischer und antifaschistischer Staat

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Was war die verbindliche Weltanschauung der DDR?

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Die Lehren von Marx und Lenin bildeten die verbindliche Weltanschauung in der DDR.Nach dieser war die Geschichte geprägt vom Klassenkampf zwischen den Besitzenden und den Unterdrückten. Die Gegensätze entluden sich immer wieder in Revolutionen, in denen die Unterdrückten gegen ihre Ausbeuter aufbegehrten. Nach dieser Vorstellung hatte die Arbeiterklasse der DDR („Proletariat“) unter Führung der SED die Kapitalisten entmachtet und war nun selbst an der Macht („Diktatur des Proletariats“)

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Wie ging die DDR mit der NS-Vergangenheit um?

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  • konsequente Verfolgung von NS-Tätern und ihren Unterstützern in der SBZ nach 1945
  • Entfernung der NS-Funktionseliten aus Verwaltung, Justiz und Schulwesen
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Was waren Schattenseiten der Entnazifizierung in der DDR?

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  • willkürliche Verhaftungen und Internierungen Unschuldiger
  • frühe Integration einfacher NSDAP-Mitglieder durch Eintritt in die KPD / SED
  • Missbrauch der Entnazifizierung zur Denunziation und Ausschaltung politischer Gegner
  • Antifaschismus als Begründung von Bodenreform und Verstaatlichung von Betrieben bei der sozialistischen Umgestaltung des Staats
  • fehlende Diskussion über die kollektive Verantwortung für die NS-Verbrechen
  • Ablehnung von Verantwortung für NS-Verbrechen und Wiedergutmachung an Israel
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Was passierte am Arbeiteraufstand vom 17. Juni 1953?

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  • Generalstreik der Arbeiter anlässlich einer Erhöhung der Arbeitsanforderungen durch das SED-Regime
  • Entwicklung zum Volksaufstand durch zahlreichen Sympathisanten
  • Verhängung des Kriegsrechts
  • blutige Niederschlagung des Aufstandes mithilfe sowjetischer Panzer
  • Verhaftung vieler Aktivisten, Säuberungswelle in der SED
  • Legitimationsschock für SED-Führung, da Bestandsgarantie der DDR nur durch UdSSR möglich
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Welche Maßnahmen zur Machtsicherung ergriff die DDR Führung?

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  • Einflussnahme auf die Justiz: strafrechtliche Verfolgung und Verurteilung von Oppositionellen unter Missachtung rechtsstaatlicher Prinzipien
  • Gründung des Ministeriums für Staatssicherheit („Stasi“); Ausbau zum mächtigen Überwachungs- und Repressionsinstrument von Oppositionellen und Dissidenten (Systemkritikern)
  • Bau der Berliner Mauer (13. August 1961) und der Grenzanlagen an der innerdeutschen Grenze zur Eindämmung der massenhaften „Republikflucht“
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Wieso entstand eine "Nischengesellschaft" in der DDR?

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Mit dem Bau der Mauer schienen sich die politischen Verhältnisse in der DDR zu stabilisieren. Weil die DDR-Bürger erkannten, dass eine Flucht nahezu unmöglich war und ein Zusammenbruch des Regimes angesichts der sowjetischen Unterstützung der SED nicht zu erhoffen war, arrangierten sich die meisten mit den Verhältnissen. Sie zogen sich ins Private zurück und suchten dort nach persönlichen „Nischen“ (Freiräumen).

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Deutschlandpolitische Standpunkte bis 1969

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  • Selbstbild als deutscher Kernstaat
  • Infragestellung der Legitimität des jeweils anderen Teilstaats
  • Versuche der Destabilisierung des Nachbarn
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Welche Ostpolitik verfolgte Willy Brandt?

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Neue Ostpolitik war ein Teil der Entspannungspolitik und stützte sich auf die zunehmende Akzeptanz der deutschen Teilung in Ost und West. Statt auf Abgrenzung und das Warten auf den
Zusammenbruch der DDR setzte man auf eine „Politik der kleinen Schritte“, die einen „Wandel durch Annäherung“ ermöglichen sollte.

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Was akzeptierte die Bundesregierung mit den "Ostverträgen"?

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Mit den „Ostverträgen“ akzeptierte die Bundesrepublik die Gebietsverluste im Osten und die deutsche Teilung als Folge der Niederlage im Zweiten Weltkrieg. Eine völkerrechtliche Anerkennung der DDR war jedoch aufgrund des Wiedervereinigungsgebotes des Grundgesetzes nicht möglich.

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Was waren Folgen der Ostpolitik?

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  • Internationale Anerkennung der DDR (z.B. Aufnahme der DDR in die UNO im Jahr 1973)
  • Stärkung der Opposition in der DDR (z.B. Bildung oppositionellen Gruppen im Schutz der Kirche und mehr innerdeutscher Kontakt) 
  • Reaktion der DDR Führung (v.a. Ausbau des Überwachungsstaats, Stärkung der "Stasi" und Einschränkung der Kontaktmöglichkeiten) 
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Wann wurde Erich Honecker als Nachfolger Walter Ulbrichts zum Generalsekretär der SED ernannt?

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Im Jahr 1971

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Was war das Ziel von Erich Honecker?

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Die Versorgungslage und den Lebensstandard der Bevölkerung zu verbessern. Durch diese Maßnahmen sollte die Akzeptanz des „real existierenden Sozialismus“ erhöht und die Arbeitsproduktivität gesteigert werden. So entwickelte sich eine staatlich subventionierte Sozialpolitik und eine neue, konsumorientierte Wirtschaftspolitik.

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Was sind Beispiele für sozialpolitische Maßnahmen von Erich Honecker?

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  • Verbesserung der mangelhaften Wohnsituation (Neubau, Renovierung und Sanierung)
  • Erhöhung der Mindestlöhne und Renten
  • Ausbau der Kinderbetreuung
  • Verbesserung der medizinischen Versorgung und Betreuung
  • Ausbau des Erholungswesens
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Was waren Probleme der Sozialpolitik von Erich Honecker?

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Problematisch war aber, dass die Sozialpolitik stark subventioniert werden musste und die Wettbewerbsfähigkeit der DDR-Wirtschaft weit hinter der westlichen zurückblieb.

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Was sind die zentralen Charakteristika der Zentralverwaltungswirtschaft / Planwirtschaft?

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In der „Zentralverwaltungswirtschaft“ (Planwirtschaft)
trifft der Staat als zentrale Instanz alle für den Produktionsprozess von Gütern wichtigen Entscheidungen:

Er setzt z. B. Produktionsziele, Preise oder Löhne fest und verteilt Arbeit, Kapital, Boden sowie Rohstoffe

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Das Scheitern der Planwirtschaft in der DDR

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Aufgrund veralteter Industrieanlagen und steigender Rohstoffpreise wurden zudem die Qualität und die Weiterentwicklung der Produkte vernachlässigt. Unternehmen konnten auch nicht flexibel auf Änderungen reagieren.


Das Scheitern der Planwirtschaft in der DDR ging einher mit einer Mangelwirtschaft, in der das Warenangebot so niedrig war, dass der Lebensstandard der DDR-Bürger wieder stagnierte und in den 1980er-Jahren sogar deutlich zurückging. 


Die Wirtschaftskrise in der DDR weitete sich aber auch zur Umweltkrise aus, da Geld für Investitionen in den Umweltschutz fehlte, und wurde letztlich zur Legitimationskrise.


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Was war der "runde Tisch" bei der Wiedervereinigung der DDR und BRD?

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Bei den „Runden Tischen“ handelte es sich um informelle Zusammenkünfte zwischen den Vertretern der DDR-Bürgerrechtsbewegung und der letzten, reformorientierten DDR-Regierung unter Hans Modrow (SED)

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Gründe für die Entscheidung zur Ausdehnung des Grundgesetzes (§ 23: „Beitritt“)

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  • bewährte Qualität des Grundgesetzes
  • Ungewissheit über Dauer der Chance zur Wiedervereinigung
  • Hoffnung auf Stopp der anhaltenden Abwanderung aus dem Osten
  • Deutung des Ergebnisses der Volkskammerwahl als Votum für § 23
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Was bedeutet die Bezeichnung "Volk"?

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Ursprünglich: Bezeichnung für eine größere Menge von
Menschen, die sich zu kriegerischer Aktivität zusammenschloss


Seit Beginn der Neuzeit dominiert das Verständnis als Sprach- bzw. Kulturgemeinschaft.

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Was versteht man unter Nationalismus?

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Als Nationalismus bezeichnet man das erwachende Selbstbewusstsein einer sich als zusammengehörig fühlenden Gemeinschaft, die die Gründung eines Nationalstaats und eine Identifikation mit der Nation anstrebt

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Von wann bis wann ging das Zeitalter des Nationalismus?

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Von der französischen Revolution (1789) bis zum ersten Weltkrieg (1914 - 1918)

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Was ist eine Nation?

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Eine Gemeinschaft von Menschen mit gleicher Abstammung, gleicher Sprache, Geschichte und Kultur, die sich als zusammengehörig begreifen und die ein politisches Staatswesen bilden (wollen)

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Export der Ideen von 1789 durch Napoleon

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Infolge der Feldzüge von Napoleon, der zwischenzeitlich weite Teile von Europas kontrollierte, gelangten die revolutionären Ideen auch in deutsche Staaten 

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Ausgangslage der Nationalstaatsbildung in Deutschland 

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  • Attraktivität der „Ideen von 1789“ für viele Deutsche
  • Reformen nach französischem Vorbild in Preußen und in den von Napoleon abhängigen Rheinbundstaaten
  • Verlust der politischen Einheit mit Ende des „Alten Reichs“ 1806
  • Ablehnung der französischen Fremdherrschaft durch viele Deutsche
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Was waren Probleme der deutschen Nationalstaatsbildung?

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  • Ausschluss großer deutschsprachiger Bevölkerungsgruppen (z. B. Österreich) durch Konzept der „kleindeutschen Lösung“
  • konfliktträchtige Annexion Elsass-Lothringens
  • schwierige Integration nationaler Minderheiten (Franzosen im Westen, Dänen im Norden, Polen im Osten)
  • Vergiftung des Verhältnisses zum Nachbarn und Rivalen Frankreich
  • Kaiserreich kein Ausdruck der Volkssouveränität, sondern Bund deutscher Fürsten und Städte
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Wie begann die "Erbfeindschaft" zwischen Deutschland und Frankreich (1871-1945)

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Mit der französischen Niederlage im Krieg gegen den Norddeutschen Bund und die verbündeten süddeutschen Staaten. Die deutsche Kaiserproklamation in Versailles, der Verlust Elsass-Lothringens wirkten demütigend auf Frankreich

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Motive für die europäische Einigung 

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  • Diskreditierung des Nationalismus angesichts des Leids und der materiellen Schäden infolge des Zweiten Weltkriegs
  • Schutz vor expansiver Außenpolitik der Sowjetunion
  • schwindende Bedeutung der europäischen Staaten im Zuge des Ost-West-Konflikts
  • Notwendigkeit des Wiederaufbaus in Europa
  • Möglichkeit der Kontrolle Westdeutschlands
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Das jüdische Volk vor der römischen Eroberung

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Die Bezeichnung Juden steht ursprünglich für die Einwohner von Juda, eines Teilreichs von Israel. Im weiteren Sinn umfasst der Begriff die Angehörigen des gesamten jüdischen Volks und der jüdischen Religion.

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Wie erging es Christen und Juden unter muslimischer Herrschaft? (7. - 9. Jahrhundert)

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Zwischen dem 7. und 9. Jahrhundert breitete sich der Islam über den Vorderen Orient aus. Zwar konnte sich das Byzantinische Reich gegen eine vollständige arabische Eroberung verteidigen, verlor aber im 7. Jahrhundert die Provinzen Syrien und Palästina. 


Nach muslimischem Recht wurden Christen und Juden toleriert. Gegen Zahlung einer Kopfsteuer konnten sie relativ frei ihre eigene Religion ausüben und die heiligen Stätten besuchen.

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Was war die Bilanz der Kreuzzüge?

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  • Verfehlen der Ziele der Kreuzzugsbewegung: kein dauerhafter Bestand der Kreuzfahrerstaaten
  • Dominanz machtpolitischer Interessen über religiöse Motive
  • vertiefte Kluft zwischen römischer und griechisch orthodoxer Kirche
  • Anwachsen des Antijudaismus
  • wachsender religiöser Fanatismus bei Christen und Muslime
  • Verarmung vieler Kreuzritter, die Kosten für Kreuzzug selbst trugen
  • Ansehensverlust der Kirche
  • Intensivierung der Kontakte zwischen Orient und Okzident
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Was versteht man unter Zionismus?

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Unter Zionismus versteht man eine im späten 19. Jahrhundert entstehende religiös-politische Bewegung, die die Errichtung eines jüdischen Staats in Palästina und damit das Ende der Diaspora zum Ziel hatte

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Was waren die Ursachen der Suezkrise (1956)?

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Nach dem Sturz des ägyptischen Königs Faruk wurde General Nasser 1954 Staatspräsident, der sich als Vorkämpfer einer panarabischen Einheit betrachtete. Unterstützung erhielt er von der Sowjetunion. Sein Beschluss einer Verstaatlichung des Suezkanals löste 1956 eine internationale Krise aus.

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Was war die Politik von Israel, Frankreich und Großbritannien während der Suezkrise?

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Israel, das sich durch den aggressiven Nationalismus Nassers bedroht sah,griff Ägypten an, französische sowie britische Truppen besetzten die Kanalzone.

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Was war die Haltung der USA und der Sowjetunion während der Suezkrise?

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Beide lehnten den Angriff auf Ägypten ab

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Wodurch wurde in der Suezkrise eine Waffenruhe erwirkt?

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Durch die Forderung der Vollversammlung der Vereinigten Nationen, die mehrheitlich den Rückzug der israelischen Truppen forderte

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Wieso wandte sich Ägypten immer stärker von der Sowjetunion ab?

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Vor allem wegen der problematischen Lage der ägyptischen Wirtschaft.

Zusätzlich war Ägyptens Präsident Sadat der Auffassung, dass die Halbinsel Sinai nur diplomatisch zurückzubekommen sei, da die militärische Übermacht Israels zu signifikant war.

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Was bedeutet "Intifada"?

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Erhebung oder Abschüttelung. Konkret steht er für Aufstände der Palästinenser gegen die israelische Besatzungsherrschaft.

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Was ist die Hamas?

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Die Hamas ist eine arabisch-fundamentalistische Palästinenserorganisation. Ihre Ziele sind die Beseitigung des Staats Israel und die Errichtung eines islamischen Gottesstaats in Palästina. Die 1987 gegründete Hamas trat in Konkurrenz zur moderater gewordenen PLO.

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Wieso ist der Friedensprozess im Camp David gescheitert (2000)?

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  • keine Einigung über den Status Jerusalems
  • fehlende Bereitschaft Israels, alle besetzten Gebiete (und jüdischen Siedlungen) aufzugeben
  • israelische Ablehnung eines Rückkehrrechts für die palästinensischen Flüchtlinge
  • auf beiden Seiten fehlende Kompromissbereitschaft wegen innenpolitischen Drucks von Radikalen
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