Stochastik

Bei einem Glücksspiel werden Zahlen gezogen. Für  eine 1 werden 2€, für eine 3 3€ und für eine 10 10€ ausgezahlt. Die Wahrscheinlichkeiten für eine 1 ist 0,3, für eine 3  0,2 und für eine 10  0,05. Der Einsatz pro Spiel beträgt 2 Euro. 

Bei allen anderen Zahlen, gibt es keinen Gewinn.

1.  Berechne den Erwartungswert E(X)
2. Bestimme den Gewinn für eine 3, so dass das Spiel fair ist.
3. Für wen würde sich das Spiel lohnen, wenn man den Gewinn für die Zahl 1 um einen Euro erhöhen würde?

Berechne mit Hilfe der Binomialverteilung!

Bei einem Test gibt es 12 Fragen mit jeweils drei Antworten, von denen nur eine richtig ist. Der Schüler kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er

1. genau fünf richtige Antworten?
2. mindestens zehn richtige Antworten?
3. höchstens eine richtige Antwort?
4. mehr als neun richtige Antworten?

Marc Wettermann arbeit als Meteorologe beim Fernsehen. Zu seinen Aufgaben gehört es statistische Daten des Wetters zu erheben. Darunter versteht sein Arbeitgeber den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung. Für eine Woche erhält er folgende Werte der Temperatur (Runde auf zwei Stellen nach dem Komma):

Montag: 6,4°C

Dienstag: 6,3°C

Mittwoch: 4,2°C

Donnerstag: 5,0°C

Freitag: 7,3°C

Samstag: 3,2°C

Sonntag: 5,1°C

Bestimme die geforderten Werte für die Woche. Marc gibt diese Aufgabe an seine drei Mitarbeiter, die mit verschiedenen Werten wiederkommen. Welcher der Mitarbeiter hat recht?

Peter kommt in der Dunkelheit nach Hause und möchte die Tür aufsperren. An seinem Schlüsselbund hat er 4 Schlüssel, die er in der Dunkelheit nicht unterscheiden kann. Wenn er einen Schlüssel versucht hat, merkt er sich das und versucht den nächsten. Berechne, wie viele Schlüssel er im Durchschnitt probieren muss, um die Tür aufsperren zu können.

Varianz einer Binomialverteilung!

Ein Glücksrad mit vier gleichgroßen Feldern (rot, blau, gelb, grün) wird 20-mal gedreht.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gedrehten blauen Felder an. Berechne die Varianz dieser Zufallsvariablen!

Ein Glücksrad besteht aus drei Feldern. Einem Roten mit einem Gewinn von 20€, das einen Kreisanteil von 72° einnimmt, einem 144° großen blauen Feld mit einem Gewinn von 10€ und einem Nietenfeld der Größe 144°. Ein Spiel kostet 5€, lohnt sich das Spiel?

Du fährst jeden Tag mit dem Bus in die Schule und schreibst dir jeden Tag auf, wie viel Verspätung der Bus hat. Du erhälst folgende Werte: 

Tag 1: 6 Minuten 

Tag 2: 1 Minute

Tag 3: 4 Minuten

Tag 4: 2 Minuten 

Tag 5: 7 Minuten

1. Berechne die Varianz
2. Wie würde sich die Varianz verändern, wenn der Bus an Tag 3 nur 3 Minuten, aber an Tag 5 = 8 Minuten Verspätung hätte?

Wie werden bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm dargestellt?

In einer Schulklasse sind 12 Mädchen und 18 Jungen. Die Schülerinnen und Schüler werden befragt, ob sie lieber Schokolade oder Chips essen. 8 Mädchen bevorzugen Schokolade. Von den Jungen essen 10 lieber Chips.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein befragtes Kind lieber Schokolade isst.

In einer Schulklasse sind 12 Mädchen und 18 Jungen. Die Schülerinnen und Schüler werden befragt, ob sie lieber Schokolade oder Chips essen. 8 Mädchen bevorzugen Schokolade. Von den Jungen essen 10 lieber Chips.

Untersuchen, ob die Ereignisse „Mädchen“ und „Schokolade“ stochastisch unabhängig sind.

Bei der Produktion eines Spielzeugs für Kinder können zwei Fehler auftreten. 10 % der produzierten Spielzeuge haben einen Funktions- fehler (F1), 20 % haben einen Farbfehler (F2). 25 % aller Spielzeuge haben mindestens einen Fehler

Überprüfe die Ereignisse F1 und F2 auf stochastische Unabhängigkeit

Eine Fernsehredaktion will wissen, wie bekannt ihre neue Sendung „Wissenschaft für alle“ ist, und hat deshalb eine Umfrage durchgeführt. 45 % der Befragten waren männlich, 15 % der befragten Personen gaben an, dass sie die Sendung kennen. Unter denjenigen, die die Sendung kannten, waren 40 % männlich.

Eine befragte Person ist männlich. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie die Sendung kannte.

Was ergeben die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen?

Per Losverfahren werden zwei Schüler einer Klasse ausgewählt, die gemeinsam den Vortrag über ein Klassenprojekt halten müssen. In der Klasse sind 12 Mädchen und 15 Jungen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst der Name eines Jungen und dann der eines Mädchens gezogen wird.

Beim Würfeln seien die Ereignisse A = {6} und B = {2; 4; 6} definiert. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B. Interpretieren Sie das Ergebnis.

A und B seien stochastisch unabhängig, es gelte P(A) = 0,4. 

Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten von A und B betrage 0,1. 

Wie groß ist P(B)?

Eine Firma stellt Volleybälle her. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass 12% aller produzierten Bälle fehlerhaft sind. In der Endkontrolle werden 15 Bälle zufällig ausgewählt und kontrolliert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit 

1. sind genau vier Bälle fehlerhaft? 
2. sind höchstens 5 Bälle fehlerhaft? 
3.  sind mehr als vier Bälle fehlerhaft? 
4.  sind mindestens zwei, aber weniger als fünf Bälle fehlerhaft?

Eine Maschine produziert Bleche mit einer Dicke von durchschnittlich 0,9 mm. Die Standardabweichung beträgt 0,05 mm. 

Berechnen Sie den Prozentsatz der Bleche, die dicker als 0,75 mm sind.

Bearbeite die folgende Aufgabe!

Ein großes Möbelhaus hat in seinem Sortiment einen Kleiderschrank, bei dem für den Zusammenbau 48 Schrauben der Sorte A und 21 Schauben der Sorte B benötigt werden. Vom Lieferanten der Schrauben weiß man, dass 3% der Schrauben von Sorte A und 4% von Sorte B Fehler aufweisen und nicht für den Zusammenbau geeignet sind.

1.  Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ausreichend fehlerfreie Schrauben von Typ A vorhanden sind, wenn der Bausatz 50 Schrauben der Sorte A enthält.
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 25 Schrauben der Sorte B, die der Bausatz enthält nicht ausreichen um den Schrank komplett zusammen zu bauen.
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Schrank unter den in a. und b. gegebenen Voraussetzungen aufgebaut werden?
4. Gib dem Möbelhaus auf Basis deiner Ergebnisse eine sinnvolle Empfehlung für die Anzahl der im Bausatz beigefügten Schrauben von Typ A und B.

Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten!

Ein Fußballer hat beim Elfmeterschießen eine Trefferquote von 75%

1. Wie wahrscheinlich ist es, dass er bei 10 Versuchen mindestens 8-mal trifft?
2. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass er höchstens 5 von 10 Schüssen trifft.
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mehr als 8 aber weniger als 12 von 15 Elfmetern?
4. Durch intensives Training konnte er seine Erfolgsquote um 10% steigern. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass er von 20 Elfmetern mehr als 4 vergibt?

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)

a. 6, 9, 10, 8, 7

b. 1,1; 0,9; 1,3; 1,3; 1,4

c. 20, 18, 16, 22, 21, 17

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)

a. 1, 3, 2, 2.5, 1, 2,5

b. 0.5, 0.4, 0.5, 0.7, 0.4, 0.5

c. 25, 26, 23, 23, 24, 23

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)

a. 0, 0, 1, 2, 0, 3

b. 0.8, 0.7, 0.8, 0.9, 0.6, 0.4

c. 50, 53, 51, 52, 50, 50

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen

a. 2, 3, 1, 3, 3, 1, 2, 1

b. 0.2, 0.3, 0.2, 0.1, 0.2

c. 20, 21, 18, 18, 23, 20

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen

a. 3, 5, 1, 2, 2, 5

b. 0.8, 0.7, 0.9, 0.9, 0.7

c. 50, 55, 53, 52, 40, 50

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen

a. 5, 6, 4, 8, 5, 8

b. 0.5, 0.6, 0.6, 0.5, 0.8

c. 55, 65, 65, 75, 60, 70

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen

a. 7, 12, 9, 12, 11, 9  

b. 0.4, 0.4, 0.5, 0.4, 0.3

c. 89, 95, 88, 87, 91, 90

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen

a. 8, 9, 10, 6, 7, 8  

b. 0.1, 0, 0.2, 0.2, 0

c. 71, 72, 77, 77, 78, 75

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) 

a. 2; 1; 3; 5; 6; 7

b. 51; 58; 55; 59; 52

c. 14; 18; 15; 17; 19; 21; 22

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen

a. 2, 3, 5, 2, 4, 2

b. 0,3; 0,4; 0,5; 0,5; 0,3

c. 28; 27, 29, 31, 30, 29

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen

a. 7, 8, 6, 5, 9, 7

b. 0,7; 0,8; 0,7; 0,6; 0,7

c. 33; 35; 34; 36; 32; 34

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen

a. 6, 10, 3, 7, 4, 6

b. 0,01; 0,05; 0,04; 0,06; 0,04

c. 82, 84, 83, 85, 82, 88

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen

a. 5, 6, 4, 6, 5, 4

b. 0,5; 0,3; 0,8; 0,7; 0,2

c. 66; 68; 65; 65; 67; 65