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Winkel

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Winkel

In diesem Artikel erfährst du, was ein Winkel ist. Dazu wirst du eine formale Definition kennenlernen. Außerdem erfährst du, wann du Winkel benötigst.

Das Thema Winkel ist ein Thema aus dem Fach Mathematik. Dort wird es in das Gebiet Geometrie und genauer dem Bereich geometrische Figuren zugeordnet.

Was ist ein Winkel? – Definition

Ein Winkel kann auf verschiedene Arten definiert werden. Du lernst im Folgenden eine Definition kennen, die dir erklärt, wie ein Winkel entsteht.

Gegeben sind zwei Halbgeraden g und h mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S.

Ein Winkel entsteht, wenn die erste Halbgerade g um den gemeinsamen Anfangspunkt S gegen den Uhrzeigersinn (also im mathematischen Uhrzeigersinn) gedreht wird, bis sie auf der zweiten Halbgerade h liegt.

Der Winkel ist die Fläche, die beim Drehen der Halbgerade g überstrichen wird.

S heißt auch Scheitel des Winkels und die Halbgeraden g und h heißen Schenkel des Winkels.

Diese Definition klingt im ersten Moment vielleicht schwierig, aber mit den folgenden Abbildungen verstehst du sie bestimmt. Hier siehst du im Übrigen die Entstehung eines 45°-Winkels.

Abbildung 1: Ausgangslage

Abbildung 2: Hier wird die Halbgerade g um den Scheitelpunkt S gedreht

Abbildung 3: Fertiger 45°-Winkel

Notation eines Winkels

Um einen Winkel formal richtig zu notieren, gibt es zwei Möglichkeiten:

  • durch die Angabe der beiden Halbgeraden g und h. Dabei wird immer diejenige Halbgerade zuerst angegeben, die gedreht wurde
  • durch die Angabe des Scheitelpunkts S und der zwei Punkte A und B, durch die die Halbgeraden verlaufen. Dabei steht der Scheitelpunkt S immer in der Mitte, und der Punkt A, durch den die Halbgerade g verläuft, als erstes

Abbildung 4: Zwei Methoden der Winkelnotation

Zudem werden Winkel meist mit griechischen Buchstaben benannt.

Abbildung 5: Beschriftung einiger Winkel

Wie werden Winkel gemessen?

Die Größe eines Winkels wird in der Einheit Grad gemessen und mit dem Symbol ° notiert. Die Einheit heißt zwar genauso wie die Einheit der Temperatur, hat aber damit nicht unbedingt viel zu tun.

Ein Vollwinkel, also ein Winkel, der entsteht, wenn die Halbgerade g einmal im Kreis gedreht wird, bis sie wieder auf sich selber zum liegen kommt, hat 360°. Genauso hat ein Kreis 360°.

Im Artikel Winkel messen kannst du nochmal ganz genau nachlesen, wie du Winkel richtig misst.

Weitere Winkelarten, wie den rechten Winkel, den sumpfen Winkel und den spitzen Winkel findest du außerdem im Artikel Winkelarten.

Wieso rechnen wir mit 360°?

Vielleicht hast du dich schon einmal gefragt, warum man eine so krumme Zahl als Vollwinkel gewählt hat und nicht etwa 1000° oder zumindest 500°.

Das hat historische Gründe und ist auf die Babylonier zurückzuführen. Sie nutzten das Sexagesimalsystem, das auf der Zahl 60 beruht, und 60 verschiedene Ziffern bzw. Zeichen umfasst. Dieses System nutzten sie beispielsweise auch, um die Zeit zu messen. Deshalb hat auch heute noch eine Stunde 60 Minuten und eine Minute 60 Sekunden.

Hinweis: Wir nutzen heute das Dezimalsystem, das auf der Zahl 10 beruht und die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 umfasst.

Soweit logisch, aber warum dann 360° und nicht 60°?

Hier ist man sich nicht ganz sicher, es gibt aber zwei vorherrschende Vermutungen:

Die erste hat wiederum mit der Zeit zu tun.

Es reichte natürlich auch früher nicht, nur Sekunden und Minuten zu messen. Es gab ebenfalls Stunden, Tage, Monate und Jahre. Ein Tag hat bekanntlich 24 Stunden, ein Monat in manchen Kulturen genau 30 Tage, und ein Jahr 12 Monate.

360 ist nun die kleinste Zahl, die von all den genannten Zahlen - 12, 24, 30 und 60 - geteilt wird.

Übrigens: die Zahl 360 hat insgesamt 24 Teiler! Kannst du sie alle berechnen? Die Lösung findest du auf einer der Karteikarten zu diesem Thema.

Die zweite Vermutung kommt aus dem Bereich der Geometrie.

Die einfachste geometrische Form ist ein Dreieck, genauer ein gleichseitiges Dreieck, welches bereits von den Babyloniern genutzt wurde. Jeder Winkel in einem gleichseitigen Dreieck ist 60° groß - diese Winkelgröße hat wiederum historische Gründe.

Legt man nun 6 gleichseitige Dreiecke so aneinander, dass in der Mitte ein Kreis entsteht, dann kommt man dort auf 6x60°=360°

Mittelpunktswinkel in einem regelmäßigen Sechseck

Wie werden Winkel berechnet?

Die Antwort auf diese Frage wird dir im Artikel Winkel berechnen erklärt. Schau doch mal dort vorbei!

Winkel zwischen zwei Geraden

Wenn du mehr über Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel erfahren möchtest, dann findest du hierzu hilfreiche Artikel im Kapitel Winkel zwischen zwei Geraden. Außerdem gibt es dort eine Erklärung, wie du den Schnittwinkel zweier Geraden berechnen kannst.

Winkel - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein Winkel ist die Fläche zwischen zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Anfangspunkt
  • Dabei heißt der gemeinsame Anfangspunkt Scheitelpunkt und die beiden Halbgeraden Scheitel des Winkels
  • Es gibt zwei verschiedene Arten, Winkel mathematisch korrekt zu notieren
  • Winkel werden in der Einheit Grad gemessen und mit dem Symbol ° notiert
  • Dass ein Vollwinkel 360° hat, kann auf die Babylonier zurückgeführt werden

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkel

Ein 45 Grad Winkel ist genau halb so groß wie ein 90 Grad Winkel. Einen 90 Grad Winkel findet man z.B. an der Ecke eines rechteckigen Tisches. Ein 45 Grad Winkel ist dann genau die Hälfte davon.

Finales Winkel Quiz

Frage

Beschreibe, wie Nebenwinkel entstehen. 


Antwort anzeigen

Antwort

Nebenwinkel entstehen dadurch, dass sich zwei Geraden schneiden. Es entsteht eine Geradenkreuzung mit vier Winkel. Winkel, die an dieser Geradenkreuzung nebeneinander liegen, sind Nebenwinkel. 

Frage anzeigen

Frage


Gib an, wie viele Nebenwinkelpaare entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden.
Antwort anzeigen

Antwort

Es ergeben sich insgesamt 4 Nebenwinkelpaare.

Frage anzeigen

Frage

α und β sind Nebenwinkel. Es ist bekannt, dass α 33° beträgt. Bestimme die Größe von β.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Größe des Winkels β beträgt 147°.


Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Vorteile, die Du hast, wenn Du Winkelgrößen mithilfe Deines Wissens über Winkelpaare berechnest, anstatt sie mit dem Geodreieck auszumessen. 

Antwort anzeigen

Antwort

  1. geringerer Zeitaufwand
  2. genauere Ergebnisse
Frage anzeigen

Frage

Benenne die vier Arten von Winkelpaaren, die an Schnittpunkten von Geraden entstehen. 

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Nebenwinkel
  2. Scheitelwinkel
  3. Stufenwinkel
  4. Wechselwinkel
Frage anzeigen

Frage

Wie bezeichnest Du einen 180°-Winkel auch?

Antwort anzeigen

Antwort

gestreckter Winkel

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wann Scheitelwinkel entstehen

Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkel entstehen, wenn sich mindestens zwei Geraden an einem Punkt schneiden.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Besonderheit von Scheitelwinkeln
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Antwort

Ist ein Winkel ein Scheitelwinkel von einem anderen Winkel, so sind die beiden Winkel gleich groß

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wie viele Scheitelwinkelpaare entstehen, wenn sich vier Geraden an einem Punkt schneiden


Antwort anzeigen

Antwort

Es entstehen vier Scheitelwinkelpaare. 

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich beim Winkel δ um einen Scheitelwinkel vom Winkel α handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, der Winkel δ ist ein Scheitelwinkel vom Winkel α. Die beiden Winkel liegen genau gegenüber voneinander.  

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Punkte zum Thema Scheitelwinkel zusammen.


Antwort anzeigen

Antwort

  • Scheitelwinkel entstehen, wenn sich mindestens zwei Geraden an einem Punkt schneiden. 
  • Gegenüberliegende Winkel an dieser Geradenkreuzung sind Scheitelwinkel voneinander. 
  • Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Frage anzeigen

Frage

Welche Winkelart baut auf dem Prinzip der Scheitelwinkel auf?

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Antwort

Die Wechselwinkel

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff "Winkel".

Antwort anzeigen

Antwort

Gegeben sind zwei Halbgeraden g und h mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. Ein Winkel entsteht, wenn die erste Halbgerade g um den gemeinsamen Anfangspunkt S gegen den Uhrzeigersinn (also im mathematischen Uhrzeigersinn) gedreht wird, bis sie auf der zweiten Halbgerade h liegt.


Der Winkel ist die Fläche, die beim Drehen der Halbgerade g überstrichen wird. 


S heißt auch Scheitel des Winkels und die Halbgeraden g und h heißen Schenkel des Winkels.


Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man die beiden Halbgeraden, die einen Winkel einschließen?

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Antwort

Man nennt sie Schenkel des Winkels.

Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man den Punkt, in dem sich die Schenkel des Winkels schneiden?

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Antwort

Diesen Punkt nennt man Scheitelpunkt oder Scheitel des Winkels.

Frage anzeigen

Frage

In welcher Einheit werden Winkel gemessen?

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Antwort

Grad

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Frage

Wie groß ist ein Vollwinkel?

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Antwort

Ein Vollwinkel hat 360°

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Frage

Auf welches Volk kann die Eigenschaft zurückgeführt werden, dass ein Vollwinkel 360° hat?

Antwort anzeigen

Antwort

​Auf die Babylonier

Frage anzeigen

Frage

Wo entstehen Winkel?

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Antwort

Winkel enstehen an der Schnittstelle zweier Geraden

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Frage

In welcher Einheit werden Winkel angegeben?

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Antwort

Garad

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Frage

Welche Werte können Winkel annehmen?

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Antwort

Werte zwischen 90° und 180°

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Frage

Wie viel Grad hat ein rechter Winkel?

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Antwort

60°

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Frage

Welche Arten von Schnittwinkeln gibt es?

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Antwort

spitze Winkel

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Frage

Wie kannst du deinen Wert beim Messen eines Schnittwinkels überprüfen?

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Antwort

Wenn dein Wert beispielsweise unter 90° ist, muss es ein spitzer Winkel sein und sollte auch dementsprechend aussehen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Nullwinkel?

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Antwort

Ein Nullwinkel ist, wie der Name vermuten lässt, einen Winkel von 0 Grad. Im Prinzip kannst du hier gar keinen Winkel erkennen, da die beiden Schenkel direkt übereinander liegen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein spitzer Winkel?

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Antwort

Ein spitzer Winkel ist ein Winkel zwischen 0 und 90 Grad und wird eben wegen der Form der Neigung spitz genannt. Es ist also auf jeden Fall ein sichtbarer Winkel vorhanden, aber der Winkel ist gleichzeitig auch nicht so groß wie ein Viertel des Kreises.


Frage anzeigen

Frage

Was ist ein rechter Winkel?

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Antwort

Ein rechter Winkel ist ein Winkel von genau 90 Grad. Üblicherweise kannst du ihn mit einem Punkt innerhalb des Winkels markieren. Beim rechten Winkel liegen die Schenkel genau senkrecht aufeinander. Bildlich kannst du dir vorstellen, dass das genau ein Viertel eines Kreises ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein stumpfer Winkel?

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Antwort

Ein stumpfer Winkel ist ein Winkel, dessen Neigung zwischen 90 und 180 Grad liegt. Es findet also mehr als eine Vierteldrehung, aber weniger als eine halbe Drehung statt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein gestreckter Winkel?

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Antwort

Ein gestreckter Winkel ist ein Winkel von genau 180 Grad. Dadurch zeigen die Schenkel genau in die entgegengesetzte Richtung. Sie bilden also eine Gerade. Der Winkel ist dann genauso groß wie die Hälfte eines Kreises.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein überstumpfer Winkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein überstumpfer Winkel hat eine Neigung zwischen 180 und 360 Grad. Das ist dann mehr als eine halbe Drehung, aber weniger als eine ganze Drehung.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Vollwinkel?

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Antwort

Ein Vollwinkel ist ein Winkel, bei dem ein kompletter Kreis gezogen wurde, weshalb der Winkel 360 Grad hat. Auch beim Vollwinkel liegen die Schenkel aufeinander und zeigen in dieselbe Richtung, genau wie bei einem Nullwinkel.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Scheitelwinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen am Schnittpunkt zwischen den Geraden vier verschiedene Winkel. Hierbei sind die gegenüberliegenden Winkel immer gleich groß; man bezeichnet sie als Scheitelwinkel.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Nebenwinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann werden zwei benachbarte Winkel immer als Nebenwinkel bezeichnet. Die Summe aus einem Winkel und einem seiner Nebenwinkel, beziehungsweise die Summer zweier Nebenwinkel, ergibt immer 180 Grad, also einen gestreckten Winkel.

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Frage

Was ist ein Stufenwinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn zwei parallele Geraden von einer weiteren Geraden geschnitten werden, können Verhältnisse zwischen den Winkeln der verschiedenen Schnittpunkte ausgemacht werden. Es bilden sich unter anderem Stufenwinkel. Stufenwinkel sind die Winkel, die voneinander versetzt auf derselben Seite der Schnittpunkte liegen. Sie sind immer gleich groß. 

Frage anzeigen

Frage

Was sind Wechselwinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Wechselwinkel entstehen, wenn zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden. Ein Wechselwinkel ist im Prinzip wie ein Scheitelwinkel, nur am anderen Schnittpunkt. Wechselwinkel sind gleich groß.

Frage anzeigen

Frage

Mit welchen zwei Methoden lassen sich fehlende Winkel berechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Fehlende Winkel lassen sich einerseits in allen beliebigen Vielecken durch die Winkelinnensumme berechnen und in rechtwinkligen Dreiecken mit den Winkelfunktionen.

Frage anzeigen

Frage

Zähle die drei Schritte zur Berechnung eines Winkels in einem beliebigen Vieleck auf.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Wenn nötig die Winkelinnensumme berechnen
  2. Formel für die Winkelsumme aufstellen und nach dem gesuchten Winkel umstellen
  3. gegebene Werte einsetzen und Formel ausrechnen
Frage anzeigen

Frage

Womit lassen sich fehlende Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

In einem rechtwinkligen Dreieck lassen sich fehlende Winkel mithilfe der Winkelfunktionen berechnen.

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Frage

Wie heißt die in einem rechtwinkligen Dreieck dem rechten Winkel gegenüberstehende Seite?

Antwort anzeigen

Antwort

Diese Seite heißt Hypotenuse.

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Frage

Welche Punkte solltest Du bei der Berechnung von Winkeln mithilfe der Winkelfunktionen beachten?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Die Längen, die in den Berechnungen benutzt werden, müssen wimmer in den gleichen Einheiten angegeben werden
  • Für den Winkel werden Gradzahlen eingesetzt
  • Beim Eingeben in den Taschenrechner sollte dieser immer in DEG (DegreeI eingestellt sein
Frage anzeigen

Frage

Welche vier Winkelsätze gibt es?

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Antwort

Scheitelwinkelsatz

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Frage

Wie lautet die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes?

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Antwort

Wenn Wechselwinkel gleich groß sind, sind die Geraden parallel. 

Frage anzeigen

Frage

Mit Hilfe welcher Winkelsätze kannst Du den Wechselwinkelsatz herleiten?

Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkelsatz

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wann Wechselwinkel entstehen.

Antwort anzeigen

Antwort

Wechselwinkel entstehen, wenn zwei parallele Geraden von einer dritten geschnitten werden.

Frage anzeigen

Frage

Wie definieren sich Scheitelwinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Schneiden sich zwei Geraden, so heißen gegenüberliegender Winkelpaare Scheitelwinkel. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Es gilt: α=α'.

Frage anzeigen

Frage

Wie definieren sich Nebenwinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Schneiden sich zwei Geraden, so heißen benachbarte Winkelpaare Nebenwinkel. Nebenwinkel ergeben zusammen immer 180°.

 Es gilt: α+β=180°.

Frage anzeigen

Frage

Welche Beschriftungen hat ein herkömmliches Geodreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

Nullpunkt, innere und äußere Winkelskala, 45° und 90° Hilfslinie.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Winkelskalas hat ein Geodreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

2, die Innere und die Äußere.

Frage anzeigen

Frage

Wann wird die innere Winkelskala zum Winkel messen benutzt?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn der Winkel im Uhrzeigersinn verläuft.

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Frage

Wann wird die äußere Winkelskala zum Winkel messen benutzt?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn der Winkel gegen den Uhrzeigersinn veläuft.

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