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Winkel

Ein abhebendes Flugzeug, eine Tür, ein Dach. Diese drei Dinge haben alle eine Sache gemeinsam: Sie bilden entweder mit sich selbst oder mit dem Boden/der Wand einen bestimmten Winkel. Diese Winkel können definiert, gemessen, gezeichnet und berechnet werden. Im Laufe dieses Artikels wirst Du eine Übersicht über all diese Punkte bekommen und so die Grundlagen der Winkel in der Mathematik erlernen.

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Ein abhebendes Flugzeug, eine Tür, ein Dach. Diese drei Dinge haben alle eine Sache gemeinsam: Sie bilden entweder mit sich selbst oder mit dem Boden/der Wand einen bestimmten Winkel. Diese Winkel können definiert, gemessen, gezeichnet und berechnet werden. Im Laufe dieses Artikels wirst Du eine Übersicht über all diese Punkte bekommen und so die Grundlagen der Winkel in der Mathematik erlernen.

Winkel – Grundlagen

Bevor Du lernst, Winkel zu zeichnen oder zu messen, muss erst einmal geklärt werden, was ein Winkel überhaupt ist.

Winkel – Definition

Dein Schulbus fährt an mehreren Haltestellen vorbei. An Bushaltestelle \(A\) steigt eine Freundin von Dir ein, dann wirst Du an Bushaltestelle \(S\) direkt vor Deinem Haus aufgesammelt. Anschließend muss der Bus abbiegen und fährt dann noch Bushaltestelle \(B\) an. So ist ein Winkel entstanden.

Winkel Anwendungsbeispiel StudySmarterAbbildung 1: Winkel Anwendungsbeispiel

Dieser Sachverhalt kann aber auch mathematisch ausgedrückt werden.

Ein Winkel \(\alpha\) entsteht, wenn sich zwei Halbgeraden \(g\) und \(h\) einen gemeinsamen Anfangspunkt \(S\) teilen.

Der Punkt \(S\) wird dann als Scheitel des Winkels und die Halbgeraden \(g\) und \(h\) als Schenkel bezeichnet.

Ein Winkel \( \alpha\) kann auch am Schnittpunkt \(S\) zweier Geraden oder in einem gemeinsamen Anfangspunkt \(S\) zweier Strecken entstehen.

Der Weg von Dir zur Bushaltestelle \(A\) ist der 1. Schenkel, während der Weg zur Bushaltestelle \(B\) der 2. Schenkel ist. Der Scheitel \(S\) ist dann die Bushaltestelle vor Deinem Haus.

Die Schenkel werden auch immer so nummeriert, wie eine Drehung des Strahls um den Scheitel \(S\) entgegen dem Uhrzeigersinn.

Winkel Bezeichnung StudySmarterAbb. 2 - Winkel Bezeichnung.

Winkel – Darstellung

Dementsprechend wird ein Winkel auch mit ebendieser Drehung, nämlich einem Kreisbogen, der den Scheitelpunkt als Mittelpunkt und die Schenkel als Begrenzung hat, gekennzeichnet.

Winkel Darstellung Kreisbogen StudySmarterAbb. 3 - Kreisbogen Winkel.

Die Länge des gemalten Kreisbogens gibt auch noch die Größe des Winkels an. Ein sogenannter Vollwinkel entspricht dabei einer ganzen Umdrehung, also einem ganzen Kreis. Wenn Du diesen Kreis dann beispielsweise in 4 gleich große Teile aufteilst, dann entspricht die Größe eines Winkels \( \alpha = \frac{1}{4} \, \text{Umdrehung}\).

Winkel Sektoren Kreis StudySmarterAbb. 4 - Kreis in Sektoren aufteilen.

Diese Schreibweise ist jedoch sehr kompliziert. Deshalb wird der Kreis in \(360\) Stücke aufgeteilt, die alle sogenannte \( 1^\circ\) groß sind.

Merke: Die Größe des Winkels ist unabhängig vom Radius des Kreissektors und von der Schenkellänge.

\( ^\circ \) (Grad) ist die Einheit, in der ein Winkel angegeben wird. \( 1^\circ\) entspricht der Größe von einem von \(360\) gleich großen Teilen eines Kreises.

Der Kreis sieht mit der offiziellen Bezeichnung also so aus:
Winkel Darstellung Kreissektoren StudySmarterAbb. 5 - Kreis in Sektoren mit Grad.

Winkel – Benennung

Der Winkel muss nun auch noch benannt werden. Dafür gibt es grundsätzlich drei verschiedene Optionen:

1. Griechische Kleinbuchstaben
2. Drei Punkte
3. Zwei Strahlen
Wenn für zwei Winkel der gleiche griechische Buchstabe verwendet wird, dann sind diese gleich groß.

Der 1. Punkt muss immer auf dem ersten Schenkel liegen, der 2. Punkt ist immer der Scheitelpunkt und der 3. Punkt muss auf dem zweiten Schenkel liegen.

Der erste Schenkel wird zuerst genannt, dann folgt, durch ein Komma abgetrennt, die Bezeichnung des zweiten Schenkels.

\(\alpha ,\, \beta , \, \gamma ,\, \delta , \, \dots \)\( \sphericalangle ASB, \, \sphericalangle BSA, \, \dots\)\(\sphericalangle (g,\, h), \, \sphericalangle (h, \, g), \, \dots \)

Winkel Bennenung StudySmarter

Winkel Bennenung StudySmarter

Winkel Bennenung StudySmarter

Winkel Bennenung StudySmarter

Winkel Benennung StudySmarter

Winkel Benennung StudySmarter

Winkel – verschiedene Winkel: Übersicht

Jetzt weißt Du schon, was ein Winkel ist und kennst die verschiedenen Arten, wie Du ihn benennen kannst. Ein Winkel ist jedoch nicht immer gleich ein Winkel. Je nach Größe des Winkels haben diese jedoch noch einen speziellen Namen. Des Weiteren gibt es verschiedene Arten von Winkeln an zwei Geraden.

Winkelarten

Winkel bekommen je nach ihrer Größe noch einen speziellen Namen. Im Folgenden findest Du eine Tabelle mit einer Übersicht der verschiedenen Winkelarten.

Winkelart
Abbildung
Nullwinkel
\[ \alpha = 0^\circ\]

Winkel Nullwinkel StudySmarter

spitzer Winkel
\[ 0^\circ \, < \, \alpha \, < \, 90^\circ\]

Winkel spitzer Winkel StudySmarter

rechter Winkel
\[\alpha = 90^\circ\]

Ein rechter Winkel wird mit einem Punkt innerhalb des Kreisbogens dargestellt.

Winkel rechter Winkel StudySmarter

stumpfer Winkel
\[90^\circ \, < \, \alpha \, < \, 180^\circ\]

Winkel Stumpfer Winkel StudySmarter

gestreckter Winkel
\[\alpha = 180^\circ\]

Winkel gestreckter Winkel StudySmarter

überstumpfer Winkel
\[180^\circ \, < \, \alpha \, < \, 360^\circ\]

Winkel überstumpfer Winkel StudySmarter

Vollwinkel
\[\alpha = 360^\circ\]

Winkel Vollwinkel StudySmarter

Wenn Du mehr über die verschiedenen Winkelarten erfahren willst, lese im Artikel „Winkelarten“ die Details nach.

Winkel zwischen Geraden

Wenn sich zwei oder drei Geraden schneiden, so entstehen vier bis acht Winkel. Nun gibt es einige Zusammenhänge zwischen den entstehenden Winkeln. Diese Zusammenhänge kannst Du in der folgenden Tabelle finden.

Namen der Winkel
Abbildung

Nebenwinkel

Zwei nebeneinander liegende Winkel bilden zusammen immer einen gestreckten Winkel.

\[\alpha + \beta = 180^\circ\]

Winkel Nebenwinkel StudySmarter

Zwei gegenüberliegende Winkel sind immer gleich groß.\[\alpha = \gamma\]

Winkel Scheitelwinkel StudySmarter

Zwei Winkel, die die gleiche Lage bezüglich der Parallelen haben, sind immer gleich groß.

\[\alpha = \alpha '\]

Winkel Stufenwinkel StudySmarter

Zwei Winkel, die die entgegengesetzte Lage bezüglich der Parallelen haben, sind immer gleich groß.

\[\alpha = \alpha '\]

Winkel Wechselwinkel StudySmarter

Mehr Infos und die genauen Regeln findest Du im Artikel „Winkel zwischen Geraden“.

Winkel – messen

Zum Messen von Winkeln benötigst Du nur ein Geodreieck. Dann kannst Du die folgenden Schritte schon befolgen:

Erklärung
Abbildung

1. Schritt

Je nach Richtung des Winkels musst Du jetzt die passende Winkelskala wählen. Die äußere Winkelskala gilt für Winkel, die gegen den Uhrzeigersinn verlaufen, während die innere Winkelskala für Winkel, die im Uhrzeigersinn verlaufen, gilt.

Winkel Geodreieck Winkelskala StudySmarter

2. Schritt

Lege jetzt das Geodreieck mit dem Nullpunkt auf den Scheitelpunkt \(S\) und mit der langen Seite auf den 1. Schenkel.

Winkel Winkel messen StudySmarter

3. Schritt

Dann kannst Du den Winkel an der vorher ausgewählten Skala ablesen.

Winkel Winkel messen StudySmarter

Winkel – zeichnen

Um einen Winkel zu zeichnen, brauchst Du ebenfalls nur ein Geodreieck. Dann musst Du folgende Schritte befolgen:

Erklärung
Abbildung
1. SchrittZeichne eine Halbgerade. Dabei ist die Länge und die Lage egal.

Winkel Winkel zeichnen StudySmarter

2. SchrittLege das Geodreieck so an, dass der Nullpunkt auf dem Anfangspunkt \(S\) der Halbgeraden liegt und die lange Seite des Geodreiecks zur Hälfte genau auf der Halbgeraden liegt.

Winkel Winkel zeichnen StudySmarter

3. SchrittMarkiere jetzt die Gradzahl, die der Größe Deines Winkels entspricht, mit einem Punkt.

Winkel Winkel zeichnen StudySmarter

4. SchrittVerbinde den Anfangspunkt \(S\) der Halbgeraden mit Deinem eben eingezeichneten Punkt.

Winkel Winkel zeichnen StudySmarter

5. SchrittZeichne den Kreisbogen in die Zeichnung ein, um den Winkel zu markieren.

Winkel Winkel zeichnen StudySmarter

Wenn Du wissen willst, was genau der Nullpunkt bei einem Geodreieck ist und Du insgesamt genauere Infos zum Messen und Zeichnen von Winkeln erhalten willst, schaue doch mal im Artikel „Winkel messen“ nach.

Winkel – Rechnen

Du kannst Winkel jedoch nicht nur messen und zeichnen, Du kannst mit ihnen auch rechnen. So können Winkel genauso addiert und subtrahiert werden, wie eine Zahl ohne Einheit. Das Grad-Zeichen wird zwar immer dazu geschrieben, ändert aber nichts an der Rechnung.

Wenn Du also \(128^\circ\) mit \(15^\circ\) subtrahieren sollst, so rechnest Du Folgendes:

\[128^\circ - 15^\circ = 113^\circ\]

Abgesehen von der Addition und Subtraktion mit den spezifischen Werten, kannst Du Winkel auch graphisch addieren und subtrahieren.

Wie Du Winkel graphisch addierst und subtrahierst und mit ihnen rechnest, auch wenn Du keine spezifischen Werte gegeben hast, erfährst Du im Artikel „Rechnen mit Winkeln“.

Winkel – berechnen

Grundsätzlich kannst Du nicht nur mit Winkeln rechnen, sondern auch die Winkel selbst berechnen. Dafür gibt es zwei verschiedene Optionen: Die Innenwinkelsumme und die Winkelfunktionen.

Winkel mithilfe der Innenwinkelsumme berechnen

Rechnen kannst Du mit Winkeln, insbesondere über die Innenwinkelsummen von geometrischen Formen.

Für die Innenwinkelsumme \(X\) eines Vieleckes mit \(n\) Ecken gilt folgende Formel:

\[X = (n - 2) \cdot 180^\circ\]

Die meist genutzten geometrischen Figuren sind jedoch das Dreieck und das Viereck. Nach dieser Formel hat ein Dreieck eine Innenwinkelsumme von \(180^\circ\) und ein Viereck eine Innenwinkelsumme von \(360^\circ\).

Mithilfe dieser Formeln kannst Du dann beispielsweise den Winkel einer Ecke berechnen, wenn die Winkel der anderen Ecken gegeben sind.

Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen

In einem rechtwinkligen Dreieck kannst Du, über die Winkelsumme hinaus, auch noch die Winkel über die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnen. Mit jeweils zwei gegebenen Seiten kannst Du so einen spezifischen Winkel berechnen.

Die Formeln für die Winkelfunktionen in einem rechtwinkligen Dreieck lauten:

\begin{align} sin(\alpha) &= \frac{{\color{#00dcb4}\text{Gegenkathete}}}{{\color{#1478c8}\text{Hypo}\text{tenuse}}} \\[0.2 cm] cos(\alpha) &= \frac{{\color{#fa3273}\text{Ankathete}}}{{\color{#1478c8}\text{Hypo}\text{tenuse}}} \\[0.2 cm] tan(\alpha) &= \frac{{\color{#00dcb4}\text{Gegenkathete}}}{{\color{#fa3273}\text{Ankathete}}} \end{align}

Je nach Dreieck können diese Formeln dann angepasst und angewendet werden.

Beispiele und Aufgaben zum Berechnen von Winkeln findest Du im Artikel „Winkel berechnen“.

Winkel – Das Wichtigste

  • Ein Winkel \(\alpha\) entsteht, wenn sich zwei Halbgeraden \(g\) und \(h\) einen gemeinsamen Anfangspunkt \(S\) teilen
  • Der Punkt \(S\) wird als Scheitel des Winkels und die Halbgeraden \(g\) und \(h\) als Schenkel bezeichnet
  • Ein Winkel \(\alpha\) wird mit einem Kreisbogen oder einem Kreissektor gekennzeichnet
  • \( 1^\circ\) entspricht der Größe von einem von \(360\) gleich großen Teilen eines Kreises
  • Ein Winkel \(\alpha\) kann wie folgt bezeichnet werden:
    • griechische Kleinbuchstaben: \(\alpha ,\, \beta , \, \gamma ,\, \delta , \, \dots \)
    • drei Punkte: \( \sphericalangle ASB, \, \sphericalangle BSA, \, \dots\)
    • zwei Strahlen: \(\sphericalangle (g,\, h), \, \sphericalangle (h, \, g), \, \dots \)
  • Es gibt folgende Winkelarten:
    • Nullwinkel
    • Spitzer Winkel
    • rechter Winkel
    • stumpfer Winkel
    • gestreckter Winkel
    • überstumpfter Winkel
    • Vollwinkel
  • Es gibt 4 verschiedene Arten von Winkeln zwischen zwei Geraden:
  • Beim Messen von Winkeln ist der wichtigste Schritt, herauszufinden, ob der Winkel im oder gegen den Uhrzeigersinn verläuft
  • Beim Zeichnen von Winkeln legst Du das Geodreieck mit dem Nullpunkt am Scheitel an und markierst die Gradzahl mit einem Punkt
  • Winkel können genauso wie Zahlen ohne Einheit addiert und subtrahiert werden.
  • Für die Innenwinkelsumme \(X\) von Vielecken mit n Ecken gilt folgende Formel: \[X = (n-2) \cdot 180^\circ\]
  • Die Formeln für die Winkelfunktionen in einem rechtwinkligen Dreieck lauten:

    \begin{align} sin(\alpha) &= \frac{{\color{#00dcb4}\text{Gegenkathete}}}{{\color{#1478c8}\text{Hypo}\text{tenuse}}} \\[0.2 cm] cos(\alpha) &= \frac{{\color{#fa3273}\text{Ankathete}}}{{\color{#1478c8}\text{Hypo}\text{tenuse}}} \\[0.2 cm] tan(\alpha) &= \frac{{\color{#00dcb4}\text{Gegenkathete}}}{{\color{#fa3273}\text{Ankathete}}} \end{align}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkel

Es gibt folgende Winkelarten:

  • Nullwinkel
  • Spitzer Winkel
  • rechter Winkel
  • stumpfer Winkel
  • gestreckter Winkel
  • überstumpfter Winkel
  • Vollwinkel

Du kannst einen Winkel messen, indem Du die folgenden Schritte befolgst:

  1. Finde heraus, ob ein Winkel im oder gegen den Uhrzeigersinn verläuft
  2. Je nach Richtung des Winkels musst Du jetzt die passende Winkelskala wählen. Die äußere Winkelskala gilt für Winkel, die gegen den Uhrzeigersinn verlaufen, während die innere Winkelskala für Winkel, die im Uhrzeigersinn verlaufen, gilt.
  3. Lege jetzt das Geodreieck mit dem Nullpunkt auf den Scheitelpunkt \(S\) und mit der langen Seite auf den 1. Schenkel.
  4. Dann kannst Du den Winkel an der vorher ausgewählten Skala ablesen.

Ein Winkel \(\alpha\) entsteht, wenn sich zwei Halbgeraden \(g\) und \(h\) einen gemeinsamen Anfangspunkt \(S\) teilen.

Der Punkt \(S\) wird dann als Scheitel des Winkels und die Halbgeraden \(g\) und \(h\) als Schenkel bezeichnet.

Mit einem Winkel kannst Du die Steigung von einem Objekt auf ein anderes bestimmen. So bildet zum Beispiel ein Flugzeug mit dem Boden einen Winkel. Im Alltag findest Du viele Winkel und auch in vielen berufen werden Winkel benötigt: Architekten/innen, Schreiner/innen oder Ingeneure/innen.

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