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Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion unter Verwendung der Quotientenregel!


f(x) = tan(x) = sin(x) / cos (x)

f'(x) =  1 / cos(x)²

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Bestimme die ersten drei Ableitungen der folgenden Funktion!


 f(x)= cos(x) + sin(3*x)

f'(x)=  -sin(x) +3*cos(3*x)
f''(x)= -cos(x) - 9*sin(3*x)
f'''(x)=  sin(x) - 27*cos(3*x)

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Berechne die erste Ableitung!


  1. f(x)= 3*sin(x) + 4
  2. f(x)= sin(x) * cos(x)
  3. f(x)= -2*cos(3x)
  1. f'(x) = 3*cos(x)
  2. f'(x) = cos(x)² - sin(x)²
  3. f'(x) = 6*sin(3x)

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Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

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Beschreiben Sie was man unter dem Term verkettete Funktion versteht!

Zwei Funktionen g(x) und h(x) können zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie verkettet. Der Term der einen Funktion wird dabei in die Variable der anderen Funktion eingesetzt. Aufgrund der Verknüpfungsreihenfolge spricht man von einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion. Bei der mathematischen Schreibweise f = g ° h (lies: f ist die Verkettung von g mit h) ist die Reihenfolge wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion immer die einzusetzende (innere) Funktion ist.

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Wie lautet die Merkregel zur Kettenregel?

Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit Ableitung der inneren Funktion (oder kurz: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“).

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Was sind Asymptoten?

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert. Sie geben Ihnen wichtige Hinweise auf den Verlauf des Graphen und auf
Möglichkeiten, Funktionsterme näherungsweise zu vereinfachen. Man unterscheidet drei Typen.

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Was lässt sich mit der Sinusfunktion beschreiben?

Mithilfe der allgemeinen Sinusfunktion lassen sich harmonische Schwingungen, stehende und laufende harmonische Wellen, aber auch die Bewegungen von Körpern auf Kreisbahnen mathematisch beschreiben. Ferner besteht ein enger Zusammenhang zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion einerseits und der e-Funktion andererseits.

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Was sind Trigonometrische Funktionen?

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

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Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

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Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

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Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

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Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

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Was sind Wendepunkte?

Wendestellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion seine Krümmung wechselt (von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt).

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Wann hat ein Graph einen Wendepunkt?

Ist f ''(x0) = 0 und wechselt f '' an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat der Graph Gf an dieser Stelle einen Wendepunkt.

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Wann ist ein Graph linksgekrümmt?

f ''(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I linksgekrümmt.

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Wann ist ein Graph rechtsgekrümmt?

f ''(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I rechtsgekrümmt.

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Wieso ist es sinnvoll die Zusammenstellung häufig auftretender Grenzwerte zu lernen?

Es ist sinnvoll, die folgende Zusammenstellung häufig auftretender Grenzwerte zu lernen. Sie gestattet zusammen mit den

Grenzwertsätzen eine schnelle Bestimmung von Grenzwerten.

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Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

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Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

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Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

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Was ist ein Terrassenpunkt?

Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

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Wie kann das Krümmungsverhalten einer Funktion mithilfe einer Krümmungstabelle bestimmt werden?

Vorgehensweise
Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung überprüfen, ob f ''(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
bei VZW: Wendepunkt
kein VZW: kein Wendepunkt

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Gib die Schritte zur Bestimmung der Wendepunkte mithilfe der 3. Ableitung an.

Schritt 1: 1., 2. und 3. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung den Funktionswert f '''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f '''(x0) ≠ 0: Wendepunkt
f '''(x0) = 0: keine Aussage möglich

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Was sind Asymptoten?

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert.

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Was versteht man unter Monotonie?

Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion.

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Wann ist ein Graph streng monoton fallend?

f '(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf fällt streng monoton in I

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Wann ist ein Graph streng monoton wachsend?

f '(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf steigt streng monoton in I.

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Was sind Extremstellen?

Extremstellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion die Steigung null und damit eine waagrechte
Tangente
besitzt. Außerdem ändert sich an dieser Stelle das Monotonieverhalten
(von steigend zu fallend oder umgekehrt).

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Welche drei Arten von Extremstellen werden unterschieden?

Tiefpunkt, Hochpunkt, Terrassenpunkt

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Wann liegt ein Tiefpunkt vor?

VZW von − nach + : relatives Minimum bei x0

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Wann liegt ein Hochpunkt vor?

VZW von + nach − : relatives Maximum bei x0

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Wann liegt ein Terrassenpunkt vor?

Kein VZW

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Wie kann das Monotonieverhalten und die Extrempunkte mithilfe einer Monotonietabelle bestimmt werden?

Schritt 1: 1. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung überprüfen, ob f '(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
− nach + : relatives Minimum bei x0
+ nach − : relatives Maximum bei x0
kein VZW: Terrassenpunkt

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Wie können Extrempunkte mithilfe der 2. Ableitung bestimmt werden?

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung den Funktionswert f ''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f ''(x0) > 0: relatives Minimum bei x0
f ''(x0) < 0: relatives Maximum bei x0
f ''(x0) = 0: Terrassenpunkt möglich

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Wie berechnet man eine Nullstelle?

Man erhält sie, indem man den Funktionsterm gleich null setzt, also f(x) = 0, und diese Gleichung nach x auflöst.

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Wie lautet die natürliche Logarithmusfunktion?

f(x)= ln x

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Welche Nullstelle besitzt die natürlich Logarithmusfunktion?

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

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Was versteht mann unter der Betragsfunktion von f(x)?

Unter der Betragsfunktion von f(x) versteht man die Funktion | f(x) | .

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Wie entsteht der Graph der Betragsfunktion | f(x) |?

Der Graph der Betragsfunktion |f(x)| entsteht aus dem Graphen der Funktion f(x), indem alle unterhalb der x-Achse liegenden Teile des Graphen an der x-Achse nach oben gespiegelt werden.

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Was gibt eine Nullstellen des Nenners v(x) einer gebrochenrationalen Funktion noch an?

Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

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Wann ist eine Nullstellen des Zählers u(x) eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion?

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

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Wann ist eine Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

  • Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
  • x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
    im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.

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Wann spricht man von einer echt gebrochenrationaler Funktion?

Zählergrad ist kleiner als Nennergrad

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Wann spricht man von einer unecht gebrochenrationaler Funktion?

Zählergrad ist größer als Nennergrad

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Wie können Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermittelt werden?

Z.B durch Linearfaktorzerlegung

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Was versteht man unter einer linearen Funktion?

f(x)=mx + t

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Wie wird der Wert m einer linearen Funktion noch bezeichnet?

f(x)=mx + t

Steigung m

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Wie wird der Wert t einer linearen Funktion noch bezeichnet?

f(x)=mx + t

Achsenabschnitt t

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Welche Eigenschaften hat der Graph einer linearen Funktion?

Gerade mit folgenden Eigenschaften:

  • Sie verläuft von links unten nach rechts oben, wenn m > 0, bzw. von links oben nach rechts unten, wenn m < 0.
  • Sie schneidet die y-Achse im Punkt (0 | t) und die x-Achse im Punkt (−t/ m | 0).
  • Für | m | > 1 verläuft sie steiler als die Winkelhalbierende der jeweiligen Quadranten, für | m | < 1 flacher.

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