Mathe

f'(x) =  1 / cos(x)²

f'(x)=  -sin(x) +3*cos(3*x)
f''(x)= -cos(x) - 9*sin(3*x)
f'''(x)=  sin(x) - 27*cos(3*x)

1. f'(x) = 3*cos(x)
2. f'(x) = cos(x)² - sin(x)²
3. f'(x) = 6*sin(3x)

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

Zwei Funktionen g(x) und h(x) können zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie verkettet. Der Term der einen Funktion wird dabei in die Variable der anderen Funktion eingesetzt. Aufgrund der Verknüpfungsreihenfolge spricht man von einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion. Bei der mathematischen Schreibweise f = g ° h (lies: f ist die Verkettung von g mit h) ist die Reihenfolge wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion immer die einzusetzende (innere) Funktion ist.

Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit Ableitung der inneren Funktion (oder kurz: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“).

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert. Sie geben Ihnen wichtige Hinweise auf den Verlauf des Graphen und auf
Möglichkeiten, Funktionsterme näherungsweise zu vereinfachen. Man unterscheidet drei Typen.

Mithilfe der allgemeinen Sinusfunktion lassen sich harmonische Schwingungen, stehende und laufende harmonische Wellen, aber auch die Bewegungen von Körpern auf Kreisbahnen mathematisch beschreiben. Ferner besteht ein enger Zusammenhang zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion einerseits und der e-Funktion andererseits.

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

Wendestellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion seine Krümmung wechselt (von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt).

Ist f ''(x0) = 0 und wechselt f '' an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat der Graph Gf an dieser Stelle einen Wendepunkt.

f ''(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I linksgekrümmt.

f ''(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I rechtsgekrümmt.

Es ist sinnvoll, die folgende Zusammenstellung häufig auftretender Grenzwerte zu lernen. Sie gestattet zusammen mit den

Grenzwertsätzen eine schnelle Bestimmung von Grenzwerten.

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

Vorgehensweise
Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung überprüfen, ob f ''(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
bei VZW: Wendepunkt
kein VZW: kein Wendepunkt

Schritt 1: 1., 2. und 3. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung den Funktionswert f '''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f '''(x0) ≠ 0: Wendepunkt
f '''(x0) = 0: keine Aussage möglich

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert.

Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion.

f '(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf fällt streng monoton in I

f '(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf steigt streng monoton in I.

Extremstellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion die Steigung null und damit eine waagrechte
Tangente besitzt. Außerdem ändert sich an dieser Stelle das Monotonieverhalten
(von steigend zu fallend oder umgekehrt).

Tiefpunkt, Hochpunkt, Terrassenpunkt

VZW von − nach + : relatives Minimum bei x0

VZW von + nach − : relatives Maximum bei x0

Kein VZW

Schritt 1: 1. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung überprüfen, ob f '(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
− nach + : relatives Minimum bei x0
+ nach − : relatives Maximum bei x0
kein VZW: Terrassenpunkt

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung den Funktionswert f ''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f ''(x0) > 0: relatives Minimum bei x0
f ''(x0) < 0: relatives Maximum bei x0
f ''(x0) = 0: Terrassenpunkt möglich

Man erhält sie, indem man den Funktionsterm gleich null setzt, also f(x) = 0, und diese Gleichung nach x auflöst.

f(x)= ln x

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

Unter der Betragsfunktion von f(x) versteht man die Funktion | f(x) | .

Der Graph der Betragsfunktion |f(x)| entsteht aus dem Graphen der Funktion f(x), indem alle unterhalb der x-Achse liegenden Teile des Graphen an der x-Achse nach oben gespiegelt werden.

Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

• Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
• x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
  im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.

Zählergrad ist kleiner als Nennergrad

Zählergrad ist größer als Nennergrad

Z.B durch Linearfaktorzerlegung

f(x)=mx + t

Steigung m

Achsenabschnitt t

Gerade mit folgenden Eigenschaften:

• Sie verläuft von links unten nach rechts oben, wenn m > 0, bzw. von links oben nach rechts unten, wenn m < 0.
• Sie schneidet die y-Achse im Punkt (0 | t) und die x-Achse im Punkt (−t/ m | 0).
• Für | m | > 1 verläuft sie steiler als die Winkelhalbierende der jeweiligen Quadranten, für | m | < 1 flacher.