Abstand paralleler Geraden

Stell Dir vor, Du läufst auf einem Bürgersteig an einer Straße entlang und Dein bester Freund läuft gegenüber auf der anderen Straßenseite. Nun fragst Du Dich, an welcher Stelle Ihr zwei stehen müsstet, dass Ihr den kürzesten Abstand zwischen Euch herstellen könnt. Dieser Abstand wäre dann der kürzeste Abstand zwischen zwei Parallelen, also zwischen den zwei Bürgersteigen der Straße, auf welchen Ihr steht.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Abstand paralleler Geraden Motivationsbild StudySmarterAbbildung 1: Du und Dein bester Freund an einer Straße

    Die folgende Erklärung bringt Dir bei, wie Du den kürzesten Abstand zwischen zwei Parallelen herausfindest.

    Abstand zweier paralleler Geraden – Definition

    Der Abstand zwischen zwei Parallelen ist die Länge der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten auf den Geraden. Diese kürzeste Verbindung ist eine Strecke zwischen zwei Punkten auf jeweils einer der parallelen Geraden.

    Abstand paralleler Geraden allgemeine Darstellung StudySmarterAbbildung 2: allgemeine Darstellung des Abstandes

    In höheren Klassenstufen wird der Abstand mit einem kleinen d abgekürzt. Dieses d steht für distance, was aus dem Englischen übersetzt Abstand bedeutet.

    In der oben liegenden Abbildung, sowie in kommenden Abbildungen, werden die zwei parallelen Geraden immer als f und g bezeichnet. Das sind allgemeine Bezeichnungen für Geraden. Du stehst dabei auf der Geraden f und Dein bester Freund auf der Geraden g.

    Abstand paralleler Geraden – Erklärung

    Bei der Abstandsbestimmung zwischen zwei Parallelen gibt es zwei Möglichkeiten, die kürzeste Verbindung herauszufinden. Du kannst es entweder mit dem Geodreieck ablesen oder ein Lot konstruieren und dabei den Abstand bestimmen.

    Abstand mit dem Geodreieck bestimmen – Beispiel

    Um den Abstand mit dem Geodreieck ablesen zu können, benötigst Du ein Geodreieck und zwei vorgegebene parallele Geraden.

    Abstand paralleler Geraden 2 vorgegebene Parallelen StudySmarterAbbildung 3: vorgegeben parallele Geraden

    Als Erstes suchst Du Dir auf einer der beiden Geraden einen Punkt aus, an dem Du das Geodreieck anlegen möchtest. Dabei spielt es keine Rolle, wo der Punkt auf der Geraden liegt, da sich der Abstand zwischen zwei Parallelen nie verändert. Er bleibt also immer gleich, egal wo der Punkt ist. Dadurch ist es auch egal, auf welcher der beiden Geraden der Punkt liegt.

    Dieser Punkt ist der Punkt, an den Du Dich auf dem Bürgersteig stellst, sodass Du mit Deinem besten Freund den kürzesten Abstand herausfinden kannst.

    Abstand paralleler Geraden Punkt auf einer Gerade StudySmarterAbbildung 4: Punkt auf einer Geraden

    Nachdem Du den Punkt eingezeichnet hast, nimmst Du das Geodreieck und legst es mit der 0 an den Punkt an. Allerdings muss die gerade Markierung auf dem Geodreieck, welche von der 0 rechtwinkligen Spitze des Geodreiecks verläuft, auf der Geraden f liegen.

    Abstand paralleler Geraden Abstand mit dem Geodreieck abmessen StudySmarterAbbildung 5: Abstand mit dem Geodreieck abmessen

    Zeichne Dir, bevor Du den Abstand abliest, am besten eine Verbindungslinie zwischen den zwei parallelen Geraden ein. Das verdeutlicht den gefundenen Abstand. Mit dem Geodreieck kannst Du anschließend den Abstand zwischen den zwei Geraden f und g als 3 cm ablesen. Dort, wo das Geodreieck die Gerade g schneidet, sollte Dein bester Freund stehen, sodass ihr den kürzesten Abstand zueinander habt.

    Abstandsmessung mit einem Lot – Lotfußpunkt

    Für die Abstandsmessung mit einem Lot benötigst Du einen Zirkel und ein Geodreieck. Die folgende Erklärung zur Konstruktion eines Lots kannst Du auf jede Gerade anwenden, wie sie Dir hier gezeigt wird.

    Bei der Abstandsmessung mit einem Lot wird im Normalfall ein Lineal verwendet, um die konstruierten Punkte zu verbinden und den Abstand zu messen. Vielleicht hasst Du aber nur ein Geodreieck zur Hand, welches denselben Zweck erfüllt.

    Genauso wie bei der Abstandsmessung mit dem Geodreieck suchst Du Dir als Erstes einen Punkt auf einer der beiden Geraden. Dabei spielt es keine Rolle, welche Gerade Du wählst oder wo der Punkt liegt, Du solltest aber genug Platz haben, um Kreise mit einem Zirkel ziehen zu können. Der Punkt, den Du Dir hier aussuchst, heißt Lotfußpunkt, da er sozusagen den Fuß des Lots darstellt.

    Abstand paralleler Geraden Punkt für Lotkonstruktion StudySmarterAbbildung 6: Punkt für die Konstruktion des Lots

    In diesen Punkt stichst Du mit Deinem Zirkel ein und ziehst einen Kreis mit einem Radius, welchen Du Dir aussuchen kannst. Er sollte allerdings nicht zu groß und auch nicht zu klein sein.

    Abstand paralleler Geraden Kreis um den Punkt A StudySmarterAbbildung 7: Kreis um den Punkt A

    Als nächsten Schritt markierst Du Dir die Stellen, an welchen der Kreis die Gerade f schneidet und stichst mit Deinem Zirkel in beide Punkte. Um diese 2 sogenannten Schnittpunkte ziehst Du jeweils einen Kreis mit dem gleichen Radius, wobei sich die zwei neuen Kreise schneiden müssen. Es ist wichtig, dass sich die zwei Kreise schneiden und den gleichen Radius haben, sonst konstruierst Du nicht das Lot auf die Gerade f durch den Punkt A.

    Die Kreise um die zwei neu entstandenen Punkte B und C schneiden sich auf jeden Fall, wenn der Radius der Kreise genauso lang ist wie der Abstand zwischen den zwei Punkten B und C.

    Abstand paralleler Geraden Kreise für Lotkonstruktion StudySmarterAbbildung 7: Kreise für die Lotkonstruktion

    Wenn die zwei neuen Kreise einen passenden Radius haben, haben diese zwei Kreise 2 Schnittpunkte miteinander. Als vorletzten Schritt verbindest Du diese 2 Schnittpunkte und hast damit erfolgreich ein Lot auf die Gerade f durch den Punkt A gefällt.

    Abstand paralleler Geraden gefälltes Lot auf den Punkt A StudySmarterAbbildung 8: gefälltes Lot auf den Punkt A

    Abschließend nimmst Du Dein Geodreieck, legst es mit der 0 an den Punkt A an und misst am Lot entlang.


    Aufgrund der Übersichtlichkeit werden hier die Hilfskreise ausgeblendet.

    Abstand paralleler Geraden Abstand mit dem Geodreieck messen StudySmarterAbbildung 9: Abstand mit dem Geodreieck messen

    Somit hast Du durch das Fällen des Lots und Ablesen mit dem Geodreieck den Abstand als 6 cm herausgefunden.

    Abstand paralleler Geraden – Aufgaben mit Lösungen

    In diesem Abschnitt der Erklärung findest Du ein paar Übungsaufgaben, um das Gelernte zu vertiefen. Die Übungen werden auf Kästchenpapier eingezeichnet, sodass Du die Geraden nachzeichnen und die Aufgaben mitmachen kannst.

    Aufgabe

    Konstruiere das Lot auf eine der beiden parallelen Geraden f oder g und lese den Abstand zwischen ihnen ab.

    Lösung

    Abstand paralleler Geraden Geraden zu Aufgabe 1 StudySmarterAbbildung 10: gegebene Geraden f und g

    Als Erstes brauchst Du einen Punkt auf einer Geraden. Dabei ist es egal, wo der Punkt auf der Gerade liegt oder welche Gerade Du wählst.

    Abstand paralleler Geraden Punkt auf Gerade f StudySmarterAbbildung 11: Punkt für die Lotkonstruktion

    Anschließend stichst Du mit Deinem Zirkel im Punkt A ein und ziehst einen Kreis um diesen Punkt. Den Radius darfst Du Dir dabei selbst aussuchen, er sollte aber nicht zu groß oder zu klein sein.

    Abstand paralleler Geraden Kreis um Punkt A StudySmarterAbbildung 12: Kreis um Punkt A

    Dieser erste Kreis schneidet die Gerade f an zwei Stellen. Markiere als Nächstes diese zwei Punkte, stich wieder mit dem Zirkel in diese Punkte ein und ziehe um beide jeweils einen Kreis. Diese zwei neuen Kreise müssen denselben Radius haben.

    Abstand paralleler Geraden Hilfskreise für die Lotkonstruktion StudySmarterAbbildung 13: Hilfskreise für die Lotkonsruktion

    Wie Du siehst, schneiden sich die zwei Kreise. Wenn Du diese Schnittpunkte miteinander verbindest, hast Du das Lot fertig konstruiert.

    Abstand paralleler Geraden Lot l StudySmarterAbbildung 14: gefälltes Lot l

    Abschließend kannst Du Dein Geodreieck mit der 0 an den Punkt A anlegen, um den Abstand zwischen den zwei parallelen Geraden ablesen zu können.

    Abstand paralleler Geraden Abstand mit dem Geodreieck ablesen StudySmarterAbbildung 15: Abstand mit dem Geodreieck ablesen

    Damit hast Du den Abstand zwischen den zwei parallelen Geraden als 4 cm herausgefunden.

    Aufgabe

    Lies den Abstand zwischen den zwei parallelen Geraden f und g ab, indem Du nur Dein Geodreieck verwendest.

    Lösung

    Abstand paralleler Geraden vorgegebene parallele Geraden StudySmarterAbbildung 16: zwei gegebene parallele Geraden

    Als Erstes benötigst Du einen Punkt, an den Du das Geodreieck anlegen kannst, um den Abstand ablesen zu können.

    Abstand paralleler Geraden Hilfspunkt A auf Gerade f StudySmarterAbbildung 17: Punkt A auf Gerade f

    An diesen Punkt A legst Du nun das Geodreieck mit der 0 an. Dabei muss die Linie, welche auf dem Geodreieck von der 0 gerade zur Spitze verläuft, genau auf der Geraden f liegen.

    Abstand paralleler Geraden Abstand mit dem Geodreieck abmessen StudySmarterAbbildung 18: Abstand mit dem Geodreieck abmessen

    Abschließend verbindest Du die zwei Geraden und liest den Abstand ab. Dieser ist zwischen den zwei parallelen Geraden f und g 6 cm lang.

    Abstand paralleler Geraden – Das Wichtigste

    • Du kannst den Abstand zwischen zwei Parallelen mit 2 Methoden bestimmen: mit der Konstruktion eines Lots und mit dem Geodreieck
    • Für das Lot benötigst Du einen Zirkel und ein Geodreieck
    • Wenn Du ein Lot konstruieren sollst, sind 3 Schritte wichtig: einen Punkt auf einer der Geraden bestimmen und einen Kreis um diesen ziehen, zwei gleich große Kreise um die Schnittpunkte ziehen, das Lot durch die Schnittpunkte der zwei Kreise zeichnen
    • Wenn Du den Abstand zwischen zwei Parallelen nur mit einem Geodreieck messen sollst, ist es wichtig, dass die 0-Linie auf der Gerade liegt, auf der auch der Punkt ist
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Abstand paralleler Geraden

    Wann sind Geraden parallel? 

    Geraden sind parallel, wenn sie sich niemals schneiden und immer den gleichen Abstand zueinander haben.

    Wie bestimmt man den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden? 

    Den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden bestimmst Du entweder durch Anlegen des Geodreiecks oder durch die Konstruktion eines Lots.

    Wie bestimmt man den Abstand paralleler Geraden ohne Vektoren? 

    Den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden bestimmst Du ohne Vektoren, indem du entweder dein Geodreieck an eine Parallele anlegst oder das Lot auf eine Parallele konstruierst.

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