Jeder Kreis hat einen Mittelpunkt. Aber wie kannst Du den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises konstruieren?
Abbildung 1: Kreis ohne Mittelpunkt
In Abbildung 1 siehst Du einen Kreis, dessen Mittelpunkt nicht eingezeichnet ist. Du kannst den Mittelpunkt abschätzen. Dann ist er aber nicht genau. Um den Mittelpunkt exakt zu bestimmen, kannst Du ein Dreieck verwenden, sodass der Kreis ein Umkreis des Dreiecks ist.
Abbildung 2: Kreis als Umkreis eines Dreiecks
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks ist der Mittelpunkt des Kreises.
Abbildung 3: Mittelpunkt des Kreises
Für ein Dreieck gibt es verschiedene Kreise: Umkreis, Inkreis, Ankreise und den Feuerbachkreis. Hier hast Du bereits ein Beispiel gesehen, wie Du den Umkreis verwenden kannst.
Kreise am Dreieck – Umkreis eines Dreiecks
Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Die drei Eckpunkte des Dreiecks liegen auf dem Umkreis.
Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis u, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft.
Sein Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc der Dreiecksseiten a, b und c.
Abbildung 4: Umkreis U des Dreiecks ABC
Umkreis eines Dreiecks konstruieren
Den Umkreis eines Dreiecks kannst Du konstruieren, indem Du die Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks zeichnest und den Schnittpunkt dieser bestimmst. Eine genaue Konstruktionsbeschreibung mit Beispielen findest Du in der Erklärung "Umkreis eines Dreiecks".
Umkreismittelpunkt
Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Er hat von allen drei Ecken des Dreiecks denselben Abstand. Je nach Art des Dreiecks liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und somit der Umkreismittelpunkt an verschiedenen Stellen.
Umkreismittelpunkt eines spitzwinkligen Dreiecks
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Umkreismittelpunkt) eines spitzwinkligen Dreiecks liegt im Dreieck selber. Ein Beispiel dafür findest Du in Abbildung 4.
Umkreismittelpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks
Für ein stumpfwinkliges Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. In Abbildung 5 siehst Du ein stumpfwinkliges Dreieck mit Umkreis und Umkreismittelpunkt.
Abbildung 5: Umkreis eines stumpfwinkligen Dreiecks
Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks
Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten genau der Mittelpunkt der Hypotenuse des Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt liegt also in der Mitte der Hypotenuse.
Die Hypotenuse ist in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Sie ist gleichzeitig auch die längste Seite.
Abbildung 6: Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks
Und immer, wenn es einen Kreis und einen Mittelpunkt gibt, gibt es auch einen Radius.
Umkreisradius
Du kannst den Umkreisradius ausrechnen.
Für ein Dreieck ABC mit Winkeln α, β, γ und Umkreis U ist der Radius des Umkreises:
Ausführliche Informationen zum Umkreis, Umkreismittelpunkt und Umkreisradius findest Du in der Erklärung "Umkreis eines Dreiecks".
Kreise am Dreieck – Inkreis eines Dreiecks
Jedes Dreieck besitzt auch einen Inkreis. Dieser Kreis liegt innerhalb des Dreiecks.
Der Inkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis i, welcher innerhalb des Dreiecks liegt und alle drei Seiten a, b, c an einer Stelle von innen berührt.
Der Mittelpunkt M des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden , und .
Abbildung 7: Inkreis i des Dreiecks ABC
Eine Seite wird berührt, wenn der Kreis an dieser Seite ankommt, also in einem Punkt denselben Wert hat, wie die Seite, sie aber nicht schneidet, also nicht durch die Seite hindurchgeht.
Inkreis eines Dreiecks konstruieren
Um den Inkreis eines Dreiecks zu konstruieren, zeichnest Du zuerst mindestens zwei Winkelhalbierende des Dreiecks. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises. Du kannst auch alle drei Winkelhalbierenden zeichnen.
Um den Inkreis zu zeichnen, fehlt noch der Radius. Dazu zeichnest Du ein Lot senkrecht zu einer Seite des Dreiecks durch den Mittelpunkt. Der Abstand des Schnittpunktes des Lots mit der Seite zum Mittelpunkt ist der Radius des Inkreises.
Abbildung 8: Inkreis konstruieren
Eine ausführliche Beschreibung zur Konstruktion eines Inkreises im Dreieck findest Du in der Erklärung "Inkreis eines Dreiecks".
Merke Dir auf jeden Fall: Für den Inkreis benötigst Du den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Inkreisradius berechnen
Du kannst den Radius des Inkreises eines Dreiecks auch berechnen. Dazu benötigst Du den Flächeninhalt des Dreiecks, sowie die Seitenlängen.
Den Radius r des Inkreises I eines Dreiecks ABC kannst Du mit der Formel
berechnen. Dabei ist der Flächeninhalt des Dreiecks und a, b, c sind die Dreiecksseiten.
Du möchtest genauer wissen, wie Du den Radius eines Inkreises berechnest? Dann sieh Dir die Erklärung "Inkreis eines Dreiecks" an.
Ankreise Dreieck – Übersicht
Neben dem Inkreis und dem Umkreis besitzt ein Dreieck auch Ankreise. Genau drei sogar.
Der Ankreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis a, welcher außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen, sowie die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berührt.
Der Mittelpunkt M des Ankreises ist der Schnittpunkt der zwei Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegendem Winkels.
Abbildung 9: Ankreis eines Dreiecks
An jeder Seite des Dreiecks existiert ein Ankreis.
Abbildung 10: die drei Ankreise eines Dreiecks
Wie Du einen Ankreis konstruierst, kannst Du in der Erklärung "Ankreis eines Dreiecks" nachlesen.
Kreise am Dreieck – Feuerbachkreis
Der Feuerbachkreis ist ein ganz besonderer Kreis des Dreiecks. Er beinhaltet neun spezielle Punkte eines Dreiecks. Deswegen wird er auch 9-Punkt-Kreis genannt.
Auf dem Feuerbachkreis eines Dreiecks liegen zum einen die drei Mittelpunkte der Seiten a, b und c. Außerdem befinden sich die drei Schnittpunkte der Höhen mit den Dreiecksseiten auf dem Feuerbachkreis. Betrachtest Du dann den Höhenschnittpunkt H, so liegen auch die drei Mittelpunkte zwischen Höhenschnittpunkt und Eckpunkten des Dreiecks auf dem Kreis.
In Abbildung 11 siehst Du den Feierbachkreis für ein Dreieck ABC. In der Abbildung sind nur die Punkte eingezeichnet, die auf dem Kreis liegen. Die Geraden, die für die Konstruktion benötigt werden, wurden weggelassen.
Abbildung 11: Feuerbachkreis
Neben den bereits genannten Eigenschaften erfüllt der Feuerbachkreis noch weitere:
Sein Mittelpunkt M liegt genau in der Mitte zwischen dem Schnittpunkt MU der Mittelsenkrechten (Umkreismittelpunkt) und dem Höhenschnittpunkt H. Diese Eigenschaft benötigst Du, wenn Du den Feuerbachkreis konstruieren willst. Mit ihr bestimmst Du den Mittelpunkt M.
Abbildung 12: Feuerbachkreis mit Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt
Wie kannst Du nun vorgehen, wenn den Feuerbachkreis eines Dreiecks konstruieren willst?
Zuerst konstruierst Du die Höhen des Dreiecks und damit die Höhenfußpunkte Ha, Hb, Hc sowie den Höhenschnittpunkt H. Dann kannst Du die Seitenmittelpunkte Ma, Mb, Mc bestimmen. Es fehlen noch die Mittelpunkte zwischen den Eckpunkten und dem Höhenschnittpunkt H. Wenn Du auch diese konstruiert hast, sind bereits alle 9 Punkte, die auf dem Feuerbachkreis liegen, bekannt. Um den Kreis zu zeichnen, fehlt aber noch der Mittelpunkt des Kreises. Dazu konstruierst Du den Schnittpunkt MU der Mittelsenkrechten. Genau in der Mitte zwischen MU und H liegt der Mittelpunkt M des Feuerbachkreises.
Aufgabe 1
Konstruiere den Umkreis u des Dreiecks ABC aus Abbildung 13.
Abbildung 13: Dreieck ABC
Lösung
Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Deswegen konstruierst Du zuerst die Mittelsenkrechten.
Abbildung 14: Dreieck ABC mit Mittelsenkrechten
Jetzt stellst Du Deinen Zirkel genau so ein, dass der Umkreisradius der Abstand zwischen dem Mittelpunkt M und einem Eckpunkt (A, B oder C) ist. Dann zeichnest Du den Kreis u.
Abbildung 15: Umkreis u des Dreiecks ABC
Aufgabe 2
Konstruiere den Inkreis i des Dreiecks ABC aus Abbildung 16.
Abbildung 16: Dreieck ABC
Lösung
Zuerst konstruierst Du die Winkelhalbierenden. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt M des Inkreises.
Abbildung 17: Dreieck ABC mit Winkelhalbierenden
Jetzt konstruierst Du eine Senkrechte zu einer Dreiecksseite durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und zeichnest den Schnittpunkt S der Senkrechten mit der Dreiecksseite ein. Der Abstand vom Punkt S zum Punkt M ist der Radius des Inkreises.
Abbildung 18: Abstand M zu S als Radius des Inkreises
Schließlich zeichnest Du den Inkreis i mit Deinem Zirkel.
Abbildung 19: Dreieck ABC mit Inkreis i
Kreis am Dreieck – Das Wichtigste
- Besondere Kreise am Dreieck sind der Umkreis, der Inkreis, die Ankreise und der Feuerbachkreis.
- Der Umkreis u eines Dreiecks verläuft durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks.
- Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks.
- Der Inkreis i eines Dreiecks berührt alle drei Dreiecksseiten.
- Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
- Ein Ankreis liegt außerhalb des Dreiecks und berührt eine Dreiecksseite sowie die Verlängerungen der beiden anderen Dreiecksseiten.
- Der Mittelpunkt des Ankreises ist der Schnittpunkt der zwei Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegendem Winkels.
- Der Feuerbachkreis eines Dreiecks verläuft durch die Mittelpunkte der Dreiecksseiten, die Höhenfußpunkte und die Mittelpunkte der Strecken von den Eckpunkten zum Höhenschnittpunkt.
- Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises ist der Mittelpunkt zwischen dem Umkreismittelpunkt und dem Höhenschnittpunkt.
Nachweise
- Kemnitz (2013). Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. Vieweg+Teubner Verlag.
- Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
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