StudySmarter: Besser Lernen
4.5 • +22k Bewertungen
Mehr als 22 Millionen Downloads
Kostenlos
Jeder Kreis hat einen Mittelpunkt. Aber wie kannst Du den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises konstruieren?
Entdecke über 50 Millionen kostenlose Lernmaterialien in unserer App.
Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken
Jetzt kostenlos anmeldenNie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.
Jetzt kostenlos anmeldenJeder Kreis hat einen Mittelpunkt. Aber wie kannst Du den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises konstruieren?
In Abbildung 1 siehst Du einen Kreis, dessen Mittelpunkt nicht eingezeichnet ist. Du kannst den Mittelpunkt abschätzen. Dann ist er aber nicht genau. Um den Mittelpunkt exakt zu bestimmen, kannst Du ein Dreieck verwenden, sodass der Kreis ein Umkreis des Dreiecks ist.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks ist der Mittelpunkt des Kreises.
Für ein Dreieck gibt es verschiedene Kreise: Umkreis, Inkreis, Ankreise und den Feuerbachkreis. Hier hast Du bereits ein Beispiel gesehen, wie Du den Umkreis verwenden kannst.
Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Die drei Eckpunkte des Dreiecks liegen auf dem Umkreis.
Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis u, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft.
Sein Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc der Dreiecksseiten a, b und c.
Den Umkreis eines Dreiecks kannst Du konstruieren, indem Du die Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks zeichnest und den Schnittpunkt dieser bestimmst. Eine genaue Konstruktionsbeschreibung mit Beispielen findest Du in der Erklärung "Umkreis eines Dreiecks".
Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Er hat von allen drei Ecken des Dreiecks denselben Abstand. Je nach Art des Dreiecks liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und somit der Umkreismittelpunkt an verschiedenen Stellen.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Umkreismittelpunkt) eines spitzwinkligen Dreiecks liegt im Dreieck selber. Ein Beispiel dafür findest Du in Abbildung 4.
Für ein stumpfwinkliges Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. In Abbildung 5 siehst Du ein stumpfwinkliges Dreieck mit Umkreis und Umkreismittelpunkt.
Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten genau der Mittelpunkt der Hypotenuse des Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt liegt also in der Mitte der Hypotenuse.
Die Hypotenuse ist in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Sie ist gleichzeitig auch die längste Seite.
Und immer, wenn es einen Kreis und einen Mittelpunkt gibt, gibt es auch einen Radius.
Du kannst den Umkreisradius ausrechnen.
Für ein Dreieck ABC mit Winkeln α, β, γ und Umkreis U ist der Radius des Umkreises:
Ausführliche Informationen zum Umkreis, Umkreismittelpunkt und Umkreisradius findest Du in der Erklärung "Umkreis eines Dreiecks".
Jedes Dreieck besitzt auch einen Inkreis. Dieser Kreis liegt innerhalb des Dreiecks.
Der Inkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis i, welcher innerhalb des Dreiecks liegt und alle drei Seiten a, b, c an einer Stelle von innen berührt.
Der Mittelpunkt M des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden , und .
Eine Seite wird berührt, wenn der Kreis an dieser Seite ankommt, also in einem Punkt denselben Wert hat, wie die Seite, sie aber nicht schneidet, also nicht durch die Seite hindurchgeht.
Um den Inkreis eines Dreiecks zu konstruieren, zeichnest Du zuerst mindestens zwei Winkelhalbierende des Dreiecks. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises. Du kannst auch alle drei Winkelhalbierenden zeichnen.
Um den Inkreis zu zeichnen, fehlt noch der Radius. Dazu zeichnest Du ein Lot senkrecht zu einer Seite des Dreiecks durch den Mittelpunkt. Der Abstand des Schnittpunktes des Lots mit der Seite zum Mittelpunkt ist der Radius des Inkreises.
Eine ausführliche Beschreibung zur Konstruktion eines Inkreises im Dreieck findest Du in der Erklärung "Inkreis eines Dreiecks".
Merke Dir auf jeden Fall: Für den Inkreis benötigst Du den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Du kannst den Radius des Inkreises eines Dreiecks auch berechnen. Dazu benötigst Du den Flächeninhalt des Dreiecks, sowie die Seitenlängen.
Den Radius r des Inkreises I eines Dreiecks ABC kannst Du mit der Formel
berechnen. Dabei ist der Flächeninhalt des Dreiecks und a, b, c sind die Dreiecksseiten.
Du möchtest genauer wissen, wie Du den Radius eines Inkreises berechnest? Dann sieh Dir die Erklärung "Inkreis eines Dreiecks" an.
Neben dem Inkreis und dem Umkreis besitzt ein Dreieck auch Ankreise. Genau drei sogar.
Der Ankreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis a, welcher außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen, sowie die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berührt.
Der Mittelpunkt M des Ankreises ist der Schnittpunkt der zwei Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegendem Winkels.
An jeder Seite des Dreiecks existiert ein Ankreis.
Wie Du einen Ankreis konstruierst, kannst Du in der Erklärung "Ankreis eines Dreiecks" nachlesen.
Der Feuerbachkreis ist ein ganz besonderer Kreis des Dreiecks. Er beinhaltet neun spezielle Punkte eines Dreiecks. Deswegen wird er auch 9-Punkt-Kreis genannt.
Auf dem Feuerbachkreis eines Dreiecks liegen zum einen die drei Mittelpunkte der Seiten a, b und c. Außerdem befinden sich die drei Schnittpunkte der Höhen mit den Dreiecksseiten auf dem Feuerbachkreis. Betrachtest Du dann den Höhenschnittpunkt H, so liegen auch die drei Mittelpunkte zwischen Höhenschnittpunkt und Eckpunkten des Dreiecks auf dem Kreis.
In Abbildung 11 siehst Du den Feierbachkreis für ein Dreieck ABC. In der Abbildung sind nur die Punkte eingezeichnet, die auf dem Kreis liegen. Die Geraden, die für die Konstruktion benötigt werden, wurden weggelassen.
Neben den bereits genannten Eigenschaften erfüllt der Feuerbachkreis noch weitere:
Sein Mittelpunkt M liegt genau in der Mitte zwischen dem Schnittpunkt MU der Mittelsenkrechten (Umkreismittelpunkt) und dem Höhenschnittpunkt H. Diese Eigenschaft benötigst Du, wenn Du den Feuerbachkreis konstruieren willst. Mit ihr bestimmst Du den Mittelpunkt M.
Wie kannst Du nun vorgehen, wenn den Feuerbachkreis eines Dreiecks konstruieren willst?
Zuerst konstruierst Du die Höhen des Dreiecks und damit die Höhenfußpunkte Ha, Hb, Hc sowie den Höhenschnittpunkt H. Dann kannst Du die Seitenmittelpunkte Ma, Mb, Mc bestimmen. Es fehlen noch die Mittelpunkte zwischen den Eckpunkten und dem Höhenschnittpunkt H. Wenn Du auch diese konstruiert hast, sind bereits alle 9 Punkte, die auf dem Feuerbachkreis liegen, bekannt. Um den Kreis zu zeichnen, fehlt aber noch der Mittelpunkt des Kreises. Dazu konstruierst Du den Schnittpunkt MU der Mittelsenkrechten. Genau in der Mitte zwischen MU und H liegt der Mittelpunkt M des Feuerbachkreises.
Aufgabe 1
Konstruiere den Umkreis u des Dreiecks ABC aus Abbildung 13.
Lösung
Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Deswegen konstruierst Du zuerst die Mittelsenkrechten.
Jetzt stellst Du Deinen Zirkel genau so ein, dass der Umkreisradius der Abstand zwischen dem Mittelpunkt M und einem Eckpunkt (A, B oder C) ist. Dann zeichnest Du den Kreis u.
Aufgabe 2
Konstruiere den Inkreis i des Dreiecks ABC aus Abbildung 16.
Lösung
Zuerst konstruierst Du die Winkelhalbierenden. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt M des Inkreises.
Jetzt konstruierst Du eine Senkrechte zu einer Dreiecksseite durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und zeichnest den Schnittpunkt S der Senkrechten mit der Dreiecksseite ein. Der Abstand vom Punkt S zum Punkt M ist der Radius des Inkreises.
Schließlich zeichnest Du den Inkreis i mit Deinem Zirkel.
Wenn Du einen Kreis zeichnen möchtest, der genau in einem Dreieck liegt, ist dies der Inkreis. Du zeichnest den Inkreis, indem Du zuerst die Winkelhalbierenden des Dreiecks konstruierst. Der Schnittpunkt dieser ist der Mittelpunkt des Inkreises. Für den Radius zeichnest Du eine Senkrechte zu einer Dreiecksseite durch den Mittelpunkt. Der Radius entspricht dem Abstand des Schnittpunktes der Senkrechten mit der Dreiecksseite und dem Mittelpunkt.
Der Kreis in einem Dreieck heißt Inkreis. Er berührt jede Seite des Dreiecks genau einmal.
Es gibt auch einen Umkreis. Dieser verläuft außerhalb des Dreiecks durch jeden Eckpunkt.
Wie definieren sich Mittelsenkrechten?
Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft.
Wo liegt der Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks?
auf der längsten Seite des Dreiecks
Wo liegt der Umkreismittelpunkt eines spitzwinkligen Dreiecks?
innerhalb des Dreiecks
Wo liegt der Umkreismittelpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks?
außerhalb des Dreiecks
Welchen Zusammenhang zwischen Inkreis und Umkreis gibt es beim gleichseitigen Dreieck?
Der Radius des Inkreises ist halb so groß, wie der Radius des Umkreises. Die Radien stehen im Verhältnis 1 zu 2 zueinander.
Wie groß ist der Inkreisradius eines gleichseitigen Dreiecks, wenn der Umkreisradius 10cm beträgt?
5cm
Du hast bereits ein Konto? Anmelden
Open in AppDie erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.
Speichere Erklärungen in deinem persönlichen Bereich und greife jederzeit und überall auf sie zu!
Mit E-Mail registrieren Mit Apple registrierenDurch deine Registrierung stimmst du den AGBs und der Datenschutzerklärung von StudySmarter zu.
Du hast schon einen Account? Anmelden