Geradengleichung in Parameterform

Die Erde dreht sich um sich selbst. Die Drehachse ist dabei eine unendlich lange gerade Linie, eine Gerade

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Wie eine solche Gerade in der analytischen Geometrie aussieht und aufgestellt wird, wird Dir in dieser Erklärung näher gebracht.

    Geraden in Parameterform – Erklärung

    Eine Gerade gibt es im Themenfeld der Analysis und im Themenfeld der analytischen Geometrie. Die Gerade in der Analysis wird durch eine lineare Funktion dargestellt.

    Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form f(x) = mx+t mit Df = .

    Dabei stellt m die Steigung der Gerade und t den y-Achsenabschnitt dar.

    In dem oben genannten Beispiel, dreht sich die Erde um eine Drehachse, die im Zentrum, also in der Mitte der Erde ist. Eine solche Gerade kann auch eine Symmetrieachse darstellen, wo sich die Erde in der Mitte spiegelt. Das könnte dann folgendermaßen aussehen.

    Geradengleichung in Parameterform  Gerade als Symmetrieachse StudySmarterAbbildung 2: Gerade als Symmetrieachse

    Die Erde liegt ja aber im Raum und auch eine Geradeg:x kann in der Ebene und im Raum liegen. Wie sie im Raum und in der Ebene aussieht, erfährst Du in diesem Abschnitt.

    Eine Gerade g:x ist in der analytischen Geometrie eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.

    Geradengleichung der Gerade g:x in Parameterform:

    g:x=a+r·b

    a=Stützvektor der Geradeg:x, der aus dem Ursprung zu einem bestimmten Punkt verläuft, auf dem die Gerade aufgebaut ist.

    b=Richtungsvektor der Gerade g:x gibt vom Stützvektor aus die Richtung der Gerade vor.

    Eine Gerade g:x in Parameterform im zweidimensionalen Koordinatensystem:

    g:x=a1a2+r·b1b2

    Eine Gerade g:x in Parameterform im dreidimensionalen Koordinatensystem:

    g:x=a1a2a3+r·b1b2b3

    Eine Gerade kann in einem zweidimensionalen und dreidimensionalen Koordinatensystem liegen.

    Gerade g:x im zweidimensionalen Koordinatensystem:

    Geradengleichung in Parameterform Gerade im zweidimensionalen Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 3: Gerade im zweidimensionalen Koordinatensystem

    Gerade g:x im dreidimensionalen Koordinatensystem:

    Geradengleichung in Parameterform Gerade im dreidimensionalen Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 4: Gerade im dreidimensionalen Koordinatensystem

    Zwei Punkte-Form – Vektoren

    Die Zwei Punkte-Form der Geradengleichung ist eine besondere Form, die Geradengleichung in Parameterform aufzustellen.

    Bei der Zwei Punkte-Form werden zwei Punkte benötigt, um eine Geradengleichung in Parameterform aufzustellen.

    Beide diese Punkte sind Ortsvektoren, die dem Ursprung entspringen und bei dieser Methode, wird aus den beiden Punkten ein Stütz- und ein Richtungsvektor gemacht.

    Die zwei Punkte liegen auf der Gerade.

    Es werden zwei Punkte verwendet, weil diese zwei Punkte einer Gerade verbunden werden müssen.

    Stell Dir vor, Du musst von Nürnberg nach München fahren in einer geraden Strecke. Der eine Punkt A der Gerade ist der Nürnberger Hauptbahnhof und der zweite Punkt B ist der Münchener Hauptbahnhof. Die Zugstrecke ist der Gerade g:x, die gebildet werden muss.

    Jetzt erfährst Du, wie Du diese Gerade aufstellst.

    Zwei Punkte-Form einer Gerade im zweidimensionalen Koordinatensystem.

    Geradengleichung in Parameterform Zwei Punkte-Form StudySmarterAbbildung 5: Zwei Punkte-Form

    Eine Geradengleichung musst Du vorerst einen Stützvektor verwenden, auf dem der Richtungsvektor aufbaut.

    Zurück zu dem Beispiel mit der Zugstrecke. Bevor Du in den Zug am Nürnberger Hauptbahnhof einsteigst, musst Du erst zum Bahnhof laufen. Dieser Weg, den Du läufst, ist im Theoretischen der Stützvektor. Wenn Du an dem Nürnberger Hauptbahnhof angekommen bist, berechnest Du noch die vorgegebene Richtung zum Hauptbahnhof in München. Das ist dann der Richtungsvektor, der die Gerade vorgibt. Dafür ziehst Du den Punkt B (Hauptbahnhof München) vom Punkt A (Hauptbahnhof Nürnberg) ab.

    Also ergibt sich diese Geradengleichung:

    g:x=aStützvektor /Weg zum Hbf Nürnberg+ r·ABRichtungsvektor / Richtung Nürnberg - München

    Für die Berechnung der Gerade gibt es auch andere Formen, die weiter verwendet werden.

    Es gibt vier Methoden, um einer Geradengleichung in Parameterform in mithilfe von zwei Punkten A und B aufzustellen.

    ParameterformMethode
    1. Methodeg:x=a+r·ABAls Stützvektor wird der Punkt A verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor AB gebildet, in dem der Vektor a vom Vektor b abgezogen wird.
    2. Methodeg:x=a+r·BAAls Stützvektor wird der Punkt A verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor BA gebildet, in dem der Vektor b vom Vektor a abgezogen wird.
    3. Methodeg:x=b+r·ABAls Stützvektor wird der Punkt B verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor AB gebildet, in dem der Vektor a vom Vektor b abgezogen wird.
    4. Methodeg:x=b+r·BAAls Stützvektor wird der Punkt B verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor BA gebildet, in dem der Vektor b vom Vektor a abgezogen wird.

    AB=b-a=b1-b2b2-a2

    Wie sieht die Gerade von dem Hauptbahnhof in Nürnberg bis zum Hauptbahnhof in München in Parameterform nun aus?

    Geradengleichung aufstellen Parameterform – zweidimensionales Koordinatensystem

    Die erste Methode verwendet den Punkt A als ihren Stützvektor a und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor AB genutzt.

    Aufgabe 1

    Stelle die Gerade g:x vom Nürnberger Hauptbahnhof am PunktA(2|3)bis zum Münchener Hauptbahnhof am Punkt B(4|2)auf mithilfe der Methode eins.

    Lösung

    Zuerst wird der Vektor AB gebildet, in dem Vektor a von Vektor b abgezogen wird.

    AB=b-a=42-23=4-22-3=2-1

    Der Vektor AB ist:

    AB=2-1

    Dann setzt Du den Vektor a als Stützvektor und den Vektor AB als Richtungsvektor in die Geradengleichung ein.

    g:x=a+r·AB

    g:x=23+r·2-1

    Die aufgestellte Geradengleichung in Parameterform vom Hauptbahnhof in Nürnberg bis München ist somit g:x.

    g:x=23+r·2-1

    Geradengleichung in Parameterform Aufstellen einer Geradengleichung StudySmarterAbbildung 6: Aufstellen einer Geradengleichung

    Dasselbe Prinzip kann auch bei Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem durchgeführt werden.

    Geradengleichung aufstellen Parameterform – dreidimensionales Koordinatensystem

    Bei einer Gerade im dreidimensionalen Koordinatensystem haben die Vektoren drei skalare Größen. Der Vorgang bleibt allerdings gleich und es werden dieselben Methoden verwendet.

    Die Zwei-Punkte-Form im dreidimensionalen Koordinatensystem mit den Punkten A(1|-4|5) und B(2|0|-5).

    Geradengleichung in Parameterform Zwei Punkte-Form im dreidimensionalen Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 7: Zwei Punkte-Form im dreidimensionalen Koordinatensystem

    Zunächst bekommst Du eine Beispielaufgabe zu der Methode eins.

    Die erste Methode verwendet den Punkt A als ihren Stützvektor a und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor AB.

    Aufgabe 2

    Stelle einer Gerade g:x mithilfe der Methode eins und den Punkten A(1|-4|5) und B(2|0|-5)auf.

    Lösung

    Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode eins wird der Vektor AB benötigt, welcher jetzt berechnet wird. Der Vektor AB wird erstellt, indem der Vektor a vom Vektor b abgezogen wird.

    AB=b-a=20-5-1-45=2-10-(-4)-5-5=14-10

    Der Vektor AB ist:

    AB=14-10

    Nun werden Stützvektor a und Richtungsvektor AB in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die fertige Gerade g:x.

    g:x=a+r·AB

    g:x=1-45+r·14-10

    Geradengleichung in Parameterform Geradengleichung in Parameterform aufstellen StudySmarterAbbildung 8: Geradengleichung in Parameterform aufstellen

    Die zweite Methode verwendet den Punkt A als ihren Stützvektor a und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor BA. Zu der Methode wird ebenfalls eine Beispielaufgabe berechnet.

    Aufgabe 3

    Stelle einer Gerade g:x auf mithilfe von Methode zwei und den Punkten A(1|-4|5) und B(2|0|-5).

    Lösung

    Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode zwei wird der Vektor BA benötigt. Jetzt wird der Vektor BA berechnet.

    BA=a-b=1-45-20-5=1-2-4-05-(-5)=-1-410

    Der Vektor BA ist:

    BA=-1-410

    Jetzt werden Stützvektor a und Richtungsvektor BA in die Geradengleichung für die Parameterform eingesetzt und Du erhältst die Gerade g:x.

    g:x=a+r·BA

    g:x=20-5+r·-1-410

    Geradengleichung in Parameterform Aufstellen einer Geradengleichung in Parameterform StudySmarterAbbildung 9: Aufstellen einer Geradengleichung in Parameterform

    Die Methode drei funktioniert ähnlich wie Methode eins. Bei der Methode wird der Punkt B als Stützvektor b verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor AB.

    Aufgabe 4

    Stelle einer Gerade g:x auf mithilfe der Punkte A(1|-4|5) und B(2|0|-5) und Methode drei.

    Lösung

    Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode drei wird der Vektor AB benötigt. Der Vektor AB wird erstellt, in dem der Vektor a vom Vektor b abgezogen wird.

    AB=b-a=20-5-1-45=2-10-(-4)-5-5=14-10

    Der Vektor AB ist:

    AB=14-10

    Nun werden Stützvektor b und Richtungsvektor AB in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade g:x in Parameterform.

    g:x=b+r·AB

    g:x=20-5+r·14-10

    Geradengleichung in Parameterform Geradengleichung in Parameterform aufstellen StudySmarterAbbildung 10: Geradengleichung in Parameterform aufstellen

    Die vierte Methode verwendet den Punkt B als ihren Stützvektor b und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor BA.

    Aufgabe 5

    Stelle einer Gerade g:x auf mithilfe der Methode vier und den Punkten A(1|-4|5) und B(2|0|-5).

    Lösung

    Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode vier wird der Vektor BA benötigt.

    BA=a-b=1-45-20-5=1-2-4-05-(-5)=-1-410

    Der Vektor BA ist:

    BA=-1-410

    Jetzt werden Stützvektor b und Richtungsvektor BA in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade g:x.

    g:x=b+r·BA

    g:x=20-5+r·-1-410

    Geradengleichung in Parameterform Geradengleichung aufstellen mit zwei Punkte-Form StudySmarterAbbildung 11: Geradengleichung aufstellen mit zwei Punkte-Form

    Du siehst also: Man kommt auf viele verschiedenen Arten zum Ziel!

    Geradengleichung in Parameterform umwandeln – Vektoren

    Eine Geradengleichung in Parameterform, kann auch erstellt werden, indem eine Geradengleichung in Koordinatenform umgeformt wird.

    Wenn Du die Gerade g:x in Koordinatenform umformen möchtest, musst Du folgende Schritte befolgen:

    • Es wird eine Koordinatenform vorgegeben.

    ax1+bx2=d

    • Versuche jetzt zwei mögliche Punkte P1 und P2 auf der Geradeg:x in Koordinatenform zu finden. Das machst Du, indem Du Dir die Zahlen vor dem x anschaust und die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen. Du rechnest jetzt also d geteilt durch a oder b.

    da oder db

    • In der Regel macht man dann einen Punkt P(n1|0|0), mit dem Ergebnis der Rechnung da als n1. Das Ergebnis der Rechnung db kommt als n2an die zweite Stelle des PunktesP(0|n2|0).
    • Diese Punkte P1 und P2 werden als Vektoren ound a eingesetzt.

    E:x=o+r·a

    Versuche Dich jetzt einmal an einem Beispiel.

    Aufgabe 6

    Wandle die Ebene x1+2x2=8 in Koordinatenform in eine Ebene in Parameterform um.

    Lösung

    Zuerst teilst Du die 8 durch die einzelnen Zahlen vor dem x, um herauszufinden, welche Zahlen in den Punkt P gehören.

    d:a=n1 8:1=8d:b=n2 8:2=4

    Hier erhältst Du die Zahlen 8 und 4. Diese werden nun in die drei Punkte an den Stellen eingesetzt, denen sie entspringen und der restliche Teil wird mit Nullen aufgefüllt.

    Das führt zu den Punkten O(8|0|0) ; A(0|4|0).

    Diese Punkte werden in die Rohform der Ebenengleichung in Parameterform eingesetzt.

    g:x=o+r·a=800+r·040

    Durch das Einsetzen erhältst Du die Ebenengleichung g:x=800+r·040 in Parameterform.

    Geradengleichung in Parameterform umwandeln – Aufgaben

    Jetzt hast Du gelernt, wie eine Geradengleichung in Parameterform aufgestellt wird. Dein Wissen kannst Du nun mit den Übungsaufgaben überprüfen.

    Aufgabe 7

    Stelle die Gerade g:x auf mithilfe der oben genannten Methode eins und den Punkten A(-1|5) und B(8|-2).

    Lösung

    Zuerst wird der Vektor AB gebildet, in dem Vektor a von Vektor b abgezogen wird.

    AB=b-a=8-2--15=8-(-1)-2-5=9-7

    Der Vektor AB ist:

    AB=9-7

    Dann setzt Du den Vektor a als Stützvektor und den Vektor AB als Richtungsvektor in die Geradengleichung ein. Dann erhältst Du die Gerade g:x.

    g:x=a+r·AB

    g:x=-15+r·9-7

    Aufgabe 8

    Stelle die Gerade g:x auf mithilfe der Methode zwei und den Punkten A(3|-3) und B(-2|-7).

    Lösung

    Zuerst wird der Vektor BA gebildet, in dem Vektor b von Vektor a subtrahiert wird.

    BA=a-b=3-3--2-7=3-(-2)(-3)-(-7)=54

    Der Vektor BA ist:

    BA=54

    Dann setzt Du den Vektor a als Stützvektor und den Vektor BA als Richtungsvektor in die Geradengleichung ein und Du erhältstg:x.

    g:x=a+r·BA

    g:x=3-3+r·54

    Aufgabe 9

    Stelle einer Gerade g:x auf mithilfe der Methode drei und den Punkten A(1|3|3) und B(-2|1|3).

    Lösung

    Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode drei wird der Vektor AB benötigt, welcher jetzt berechnet wird.

    AB=b-a=-213-133=-2-11-33-3=-3-20

    Der Vektor AB ist AB=-3-20.

    Nun werden Stützvektor b und Richtungsvektor AB in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade g:x.

    g:x=b+r·AB

    g:x=-213+r·-3-20

    Aufgabe 10

    Stelle einer Gerade g:x auf mithilfe der Methode vier und den Punkten A(2|0|0) und B(1|5|6).

    Lösung

    Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode vier wird der Vektor BA benötigt, welcher jetzt berechnet wird.

    BA=a-b=200-156=2-10-50-6=1-5-6

    Der Vektor BA ist BA=1-5-6.

    Jetzt werden Stützvektor b und Richtungsvektor BA in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade g:x.

    g:x=b+r·BA

    g:x=156+r·1-5-6

    Aufgabe 11

    Wandle die Koordinatenform der Gerade g:x in eine Gerade in Parameterform um.

    2x1+3x2=4

    Lösung

    Für diesen Vorgang benötigst Du drei Punkte P, die auf der Geradeg:x liegen. Die findest Du heraus, in dem Du den Skalar hinter dem Gleichheitszeichen durch die Zahlen vor dem x teilst.

    d:a=n1 4:2=2d:b=n2 4:3=43

    Diese Zahlen werden dann in die Punkte O und A eingesetzt.

    O(2|0|0) A(0|43|0)

    Diese Punkte setzt Du in die Rohform der Parameterform ein.

    E:x=o+r·a=200+r·0430

    Das führt zu der Geradeg:x :

    E:x=200+r·0430

    Geradengleichung in Parameterform – Das Wichtigste

    • Eine Gerade g:x ist in der analytischen Geometrie eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.
    • Geradengleichung der Gerade g:x in Parameterform:

    g:x=a+r·b

    a=Stützvektor der Gerade.g:x

    b=Richtungsvektor der Gerade g:x.

    • Bei der Zwei Punkte-Form werden zwei Punkte benötigt, um eine Geradengleichung in Parameterform aufzustellen. Beide diese Punkte sind Ortsvektoren, die dem Ursprung entspringen und bei dieser Methode, wird aus den beiden Punkten ein Stütz- und ein Richtungsvektor gemacht.
      ParameterformMethode
      1. Methodeg:x=a+r·ABAls Stützvektor wird der Punkt A verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor AB gebildet, in dem der Vektor a vom Vektor b abgezogen wird.
      2. Methodeg:x=a+r·BAAls Stützvektor wird der Punkt A verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor BA gebildet, in dem der Vektor b vom Vektor a abgezogen wird.
      3. Methodeg:x=b+r·ABAls Stützvektor wird der Punkt B verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor AB gebildet, in dem der Vektor a vom Vektor b abgezogen wird.
      4. Methodeg:x=b+r·BAAls Stützvektor wird der Punkt B verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor BA gebildet, in dem der Vektor b vom Vektor a abgezogen wird.

    Nachweise

    1. Pfeffer (1995): Lineare Algebra für Fachoberschule. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft.
    2. Adams (2021): Lineare Algebra 1.
    3. Witting (1968): Vektoren in der analytischen Geometrie. Vieweg+Teubner Verlag. Wiesbaden.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Geradengleichung in Parameterform

    Wie stellt man eine Geradengleichung mit zwei Punkten auf?

    Beide diese Punkte sind Ortsvektoren, die dem Ursprung entspringen und bei dieser Methode, wird aus den beiden Punkten ein Stütz- und ein Richtungsvektor gemacht.

    Welche Bedeutung haben die Parameter einer Geradengleichung?

    Geradengleichung einer Gerade in Parameterform:


    g:x=a+r x b


    a=Stützvektor der Gerade, der aus dem Ursprung zu einem bestimmten Punkt verläuft, auf dem die Gerade aufgebaut ist. 

    b=Richtungsvektor der Gerade gibt vom Stützvektor aus die Richtung der Gerade vor. 

    Wie kann man eine Geradengleichung bestimmen?

    Eine Geradengleichung kannst Du bestimmen, indem Du zwei Punkte auf der Gerade markierst und mithilfe der zwei Punkte Form die Gerade aufstellst.

    Beide diese Punkte sind Ortsvektoren, die dem Ursprung entspringen und bei dieser Methode, wird aus den beiden Punkten ein Stütz- und ein Richtungsvektor gemacht.

    Was ist eine Parameterform einer Geraden? 

    Die Parameterform einer Geradengleichung ist eine Art und Weise eine Gerade in der analytischen Geometrie, also im zweidimensionalen und dreidimensionalen Koordinatensystem darzustellen.

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