StudySmarter: Besser Lernen
4.5 • +22k Bewertungen
Mehr als 22 Millionen Downloads
Kostenlos
Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken
Jetzt kostenlos anmeldenNie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.
Jetzt kostenlos anmeldenDie Erde dreht sich um sich selbst. Die Drehachse ist dabei eine unendlich lange gerade Linie, eine Gerade.
Wie eine solche Gerade in der analytischen Geometrie aussieht und aufgestellt wird, wird Dir in dieser Erklärung näher gebracht.
Eine Gerade gibt es im Themenfeld der Analysis und im Themenfeld der analytischen Geometrie. Die Gerade in der Analysis wird durch eine lineare Funktion dargestellt.
Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form mit .
Dabei stellt m die Steigung der Gerade und t den y-Achsenabschnitt dar.
In dem oben genannten Beispiel, dreht sich die Erde um eine Drehachse, die im Zentrum, also in der Mitte der Erde ist. Eine solche Gerade kann auch eine Symmetrieachse darstellen, wo sich die Erde in der Mitte spiegelt. Das könnte dann folgendermaßen aussehen.
Die Erde liegt ja aber im Raum und auch eine Gerade kann in der Ebene und im Raum liegen. Wie sie im Raum und in der Ebene aussieht, erfährst Du in diesem Abschnitt.
Eine Gerade ist in der analytischen Geometrie eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.
Geradengleichung der Gerade in Parameterform:
=Stützvektor der Gerade, der aus dem Ursprung zu einem bestimmten Punkt verläuft, auf dem die Gerade aufgebaut ist.
=Richtungsvektor der Gerade gibt vom Stützvektor aus die Richtung der Gerade vor.
Eine Gerade in Parameterform im zweidimensionalen Koordinatensystem:
Eine Gerade in Parameterform im dreidimensionalen Koordinatensystem:
Eine Gerade kann in einem zweidimensionalen und dreidimensionalen Koordinatensystem liegen.
Gerade im zweidimensionalen Koordinatensystem:
Gerade im dreidimensionalen Koordinatensystem:
Die Zwei Punkte-Form der Geradengleichung ist eine besondere Form, die Geradengleichung in Parameterform aufzustellen.
Bei der Zwei Punkte-Form werden zwei Punkte benötigt, um eine Geradengleichung in Parameterform aufzustellen.
Beide diese Punkte sind Ortsvektoren, die dem Ursprung entspringen und bei dieser Methode, wird aus den beiden Punkten ein Stütz- und ein Richtungsvektor gemacht.
Die zwei Punkte liegen auf der Gerade.
Es werden zwei Punkte verwendet, weil diese zwei Punkte einer Gerade verbunden werden müssen.
Stell Dir vor, Du musst von Nürnberg nach München fahren in einer geraden Strecke. Der eine Punkt A der Gerade ist der Nürnberger Hauptbahnhof und der zweite Punkt B ist der Münchener Hauptbahnhof. Die Zugstrecke ist der Gerade , die gebildet werden muss.
Jetzt erfährst Du, wie Du diese Gerade aufstellst.
Zwei Punkte-Form einer Gerade im zweidimensionalen Koordinatensystem.
Eine Geradengleichung musst Du vorerst einen Stützvektor verwenden, auf dem der Richtungsvektor aufbaut.
Zurück zu dem Beispiel mit der Zugstrecke. Bevor Du in den Zug am Nürnberger Hauptbahnhof einsteigst, musst Du erst zum Bahnhof laufen. Dieser Weg, den Du läufst, ist im Theoretischen der Stützvektor. Wenn Du an dem Nürnberger Hauptbahnhof angekommen bist, berechnest Du noch die vorgegebene Richtung zum Hauptbahnhof in München. Das ist dann der Richtungsvektor, der die Gerade vorgibt. Dafür ziehst Du den Punkt B (Hauptbahnhof München) vom Punkt A (Hauptbahnhof Nürnberg) ab.
Also ergibt sich diese Geradengleichung:
Für die Berechnung der Gerade gibt es auch andere Formen, die weiter verwendet werden.
Es gibt vier Methoden, um einer Geradengleichung in Parameterform in mithilfe von zwei Punkten A und B aufzustellen.
Parameterform | Methode | |
1. Methode | Als Stützvektor wird der Punkt A verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor gebildet, in dem der Vektor vom Vektor abgezogen wird. | |
2. Methode | Als Stützvektor wird der Punkt A verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor gebildet, in dem der Vektor vom Vektor abgezogen wird. | |
3. Methode | Als Stützvektor wird der Punkt B verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor gebildet, in dem der Vektor vom Vektor abgezogen wird. | |
4. Methode | Als Stützvektor wird der Punkt B verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor gebildet, in dem der Vektor vom Vektor abgezogen wird. |
Wie sieht die Gerade von dem Hauptbahnhof in Nürnberg bis zum Hauptbahnhof in München in Parameterform nun aus?
Die erste Methode verwendet den Punkt A als ihren Stützvektor und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor genutzt.
Aufgabe 1
Stelle die Gerade vom Nürnberger Hauptbahnhof am Punktbis zum Münchener Hauptbahnhof am Punkt auf mithilfe der Methode eins.
Lösung
Zuerst wird der Vektor gebildet, in dem Vektor von Vektor abgezogen wird.
Der Vektor ist:
Dann setzt Du den Vektor als Stützvektor und den Vektor als Richtungsvektor in die Geradengleichung ein.
Die aufgestellte Geradengleichung in Parameterform vom Hauptbahnhof in Nürnberg bis München ist somit .
Dasselbe Prinzip kann auch bei Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem durchgeführt werden.
Bei einer Gerade im dreidimensionalen Koordinatensystem haben die Vektoren drei skalare Größen. Der Vorgang bleibt allerdings gleich und es werden dieselben Methoden verwendet.
Die Zwei-Punkte-Form im dreidimensionalen Koordinatensystem mit den Punkten und .
Zunächst bekommst Du eine Beispielaufgabe zu der Methode eins.
Die erste Methode verwendet den Punkt A als ihren Stützvektor und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor .
Aufgabe 2
Stelle einer Gerade mithilfe der Methode eins und den Punkten und auf.
Lösung
Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode eins wird der Vektor benötigt, welcher jetzt berechnet wird. Der Vektor wird erstellt, indem der Vektor vom Vektor abgezogen wird.
Der Vektor ist:
Nun werden Stützvektor und Richtungsvektor in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die fertige Gerade .
Die zweite Methode verwendet den Punkt A als ihren Stützvektor und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor . Zu der Methode wird ebenfalls eine Beispielaufgabe berechnet.
Aufgabe 3
Stelle einer Gerade auf mithilfe von Methode zwei und den Punkten und .
Lösung
Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode zwei wird der Vektor benötigt. Jetzt wird der Vektor berechnet.
Der Vektor ist:
Jetzt werden Stützvektor und Richtungsvektor in die Geradengleichung für die Parameterform eingesetzt und Du erhältst die Gerade .
Die Methode drei funktioniert ähnlich wie Methode eins. Bei der Methode wird der Punkt B als Stützvektor verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor .
Aufgabe 4
Stelle einer Gerade auf mithilfe der Punkte und und Methode drei.
Lösung
Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode drei wird der Vektor benötigt. Der Vektor wird erstellt, in dem der Vektor vom Vektor abgezogen wird.
Der Vektor ist:
Nun werden Stützvektor und Richtungsvektor in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade in Parameterform.
Die vierte Methode verwendet den Punkt B als ihren Stützvektor und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor .
Aufgabe 5
Stelle einer Gerade auf mithilfe der Methode vier und den Punkten und .
Lösung
Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode vier wird der Vektor benötigt.
Der Vektor ist:
Jetzt werden Stützvektor und Richtungsvektor in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade .
Du siehst also: Man kommt auf viele verschiedenen Arten zum Ziel!
Eine Geradengleichung in Parameterform, kann auch erstellt werden, indem eine Geradengleichung in Koordinatenform umgeformt wird.
Wenn Du die Gerade in Koordinatenform umformen möchtest, musst Du folgende Schritte befolgen:
Versuche Dich jetzt einmal an einem Beispiel.
Aufgabe 6
Wandle die Ebene in Koordinatenform in eine Ebene in Parameterform um.
Lösung
Zuerst teilst Du die 8 durch die einzelnen Zahlen vor dem x, um herauszufinden, welche Zahlen in den Punkt P gehören.
Hier erhältst Du die Zahlen 8 und 4. Diese werden nun in die drei Punkte an den Stellen eingesetzt, denen sie entspringen und der restliche Teil wird mit Nullen aufgefüllt.
Das führt zu den Punkten .
Diese Punkte werden in die Rohform der Ebenengleichung in Parameterform eingesetzt.
Durch das Einsetzen erhältst Du die Ebenengleichung in Parameterform.
Jetzt hast Du gelernt, wie eine Geradengleichung in Parameterform aufgestellt wird. Dein Wissen kannst Du nun mit den Übungsaufgaben überprüfen.
Aufgabe 7
Stelle die Gerade auf mithilfe der oben genannten Methode eins und den Punkten und .
Lösung
Zuerst wird der Vektor gebildet, in dem Vektor von Vektor abgezogen wird.
Der Vektor ist:
Dann setzt Du den Vektor als Stützvektor und den Vektor als Richtungsvektor in die Geradengleichung ein. Dann erhältst Du die Gerade .
Aufgabe 8
Stelle die Gerade auf mithilfe der Methode zwei und den Punkten und .
Lösung
Zuerst wird der Vektor gebildet, in dem Vektor von Vektor subtrahiert wird.
Der Vektor ist:
Dann setzt Du den Vektor als Stützvektor und den Vektor als Richtungsvektor in die Geradengleichung ein und Du erhältst.
Aufgabe 9
Stelle einer Gerade auf mithilfe der Methode drei und den Punkten und .
Lösung
Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode drei wird der Vektor benötigt, welcher jetzt berechnet wird.
Der Vektor ist .
Nun werden Stützvektor und Richtungsvektor in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade .
Aufgabe 10
Stelle einer Gerade auf mithilfe der Methode vier und den Punkten und .
Lösung
Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode vier wird der Vektor benötigt, welcher jetzt berechnet wird.
Der Vektor ist .
Jetzt werden Stützvektor und Richtungsvektor in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade .
Aufgabe 11
Wandle die Koordinatenform der Gerade in eine Gerade in Parameterform um.
Lösung
Für diesen Vorgang benötigst Du drei Punkte P, die auf der Gerade liegen. Die findest Du heraus, in dem Du den Skalar hinter dem Gleichheitszeichen durch die Zahlen vor dem x teilst.
Diese Zahlen werden dann in die Punkte O und A eingesetzt.
Diese Punkte setzt Du in die Rohform der Parameterform ein.
Das führt zu der Gerade :
=Stützvektor der Gerade.
=Richtungsvektor der Gerade .
Parameterform | Methode | |
1. Methode | Als Stützvektor wird der Punkt A verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor gebildet, in dem der Vektor vom Vektor abgezogen wird. | |
2. Methode | Als Stützvektor wird der Punkt A verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor gebildet, in dem der Vektor vom Vektor abgezogen wird. | |
3. Methode | Als Stützvektor wird der Punkt B verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor gebildet, in dem der Vektor vom Vektor abgezogen wird. | |
4. Methode | Als Stützvektor wird der Punkt B verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor gebildet, in dem der Vektor vom Vektor abgezogen wird. |
Beide diese Punkte sind Ortsvektoren, die dem Ursprung entspringen und bei dieser Methode, wird aus den beiden Punkten ein Stütz- und ein Richtungsvektor gemacht.
Geradengleichung einer Gerade in Parameterform:
g:x=a+r x b
a=Stützvektor der Gerade, der aus dem Ursprung zu einem bestimmten Punkt verläuft, auf dem die Gerade aufgebaut ist.
b=Richtungsvektor der Gerade gibt vom Stützvektor aus die Richtung der Gerade vor.
Eine Geradengleichung kannst Du bestimmen, indem Du zwei Punkte auf der Gerade markierst und mithilfe der zwei Punkte Form die Gerade aufstellst.
Beide diese Punkte sind Ortsvektoren, die dem Ursprung entspringen und bei dieser Methode, wird aus den beiden Punkten ein Stütz- und ein Richtungsvektor gemacht.
Die Parameterform einer Geradengleichung ist eine Art und Weise eine Gerade in der analytischen Geometrie, also im zweidimensionalen und dreidimensionalen Koordinatensystem darzustellen.
Du hast bereits ein Konto? Anmelden
Open in AppDie erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.
Speichere Erklärungen in deinem persönlichen Bereich und greife jederzeit und überall auf sie zu!
Mit E-Mail registrieren Mit Apple registrierenDurch deine Registrierung stimmst du den AGBs und der Datenschutzerklärung von StudySmarter zu.
Du hast schon einen Account? Anmelden