Höhensatz

Neben dem Satz des Pythagoras gibt es noch zwei weitere Sätze, die hilfreiche Aussagen über Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken liefern. Diese sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Alle drei Sätze sind vom griechischen Mathematiker Euklid bereits im 3. Jahrhundert vor Christus erwähnt worden und seitdem auch für Alltagsaufgaben sehr hilfreich.

Höhensatz Höhensatz

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Für den Satz des Pythagoras und den Kathetensatz findest du ebenfalls Artikel im Kapitel die Satzgruppe des Pythagoras.

    Höhensatz Dreiecke StudySmarter

    Höhensatz – Definition

    Der Höhensatz des Euklid lässt sich nur in rechtwinkligen Dreiecken anwenden. Er stellt eine Beziehung zwischen der Höhe h des Dreiecks und den beiden Hypotenusen-Abschnitten p und q her. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist ein Lot, das von dem Scheitelpunkt des rechten Winkels auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Dabei teilt das Lot die Hypotenuse c in die beiden Abschnitte q und p.

    Höhensatz Rechtwinkliges Dreieck Anwendung StudySmarter

    Abbildung 1: Rechtwinkliges Dreieck mit Höhe h

    Erinnerung: Die lange Seite eines rechtwinkligen Dreiecks wird Hypotenuse genannt. Die beiden kurzen Seiten sind die Katheten.

    Höhensatz

    Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck ABC mit Katheten a und b und Hypotenuse c. Die Höhe h zerlegt die Hypotenuse c in die zwei Hypotenusen-Abschnitte p und q.

    Dann gilt: Höhensatz Definition Höhensatz Formel StudySmarter

    Der Höhensatz bringt also die drei Strecken p, q und h in ein Verhältnis und besagt, dass das Quadrat mit der Seitenlänge h genauso groß ist wie ein Rechteck mit den Seitenlängen p und q.

    In einfachen Worten gesagt heißt das, dass, wenn du ein Quadrat mit der Seitenlänge h zeichnest, der Flächeninhalt dieses Quadrats genauso groß ist wie der eines Rechtecks mit den Seitenlängen p und q.Dieser Zusammenhang ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

    Höhensatz Abbildung Anwendung Formel StudySmarter

    Abbildung 2: Höhensatz

    Der Höhensatz beschreibt also bestimmte Größenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Höhensatz – Beweis

    Um den Höhensatz beweisen zu können, musst du den Satz des Pythagoras und die 1. binomische Formel kennen.

    Der Satz des Pythagoras: Höhensatz Satz des Pythagoras Formel StudySmarter.

    1. Binomische Formel: Höhensatz Binomische Formel StudySmarter.

    Höhensatz Erklärung Anwendung StudySmarter

    Abbildung 3: Rechtwinkliges Dreieck mit Höhe h und Höhenfußpunkt D

    Das Dreieck ABC mit dem rechten Winkel lässt sich durch das Einzeichnen der Höhe h in die zwei kleineren Dreiecke ADC und DBC unterteilen. Beide Dreiecke besitzen ebenfalls einen rechten Winkel am Höhenfußpunkt D. Insgesamt gibt es jetzt also drei Dreiecke, die alle einen rechten Winkel haben: ABC, ADC und DBC.

    Da jedes Dreieck rechtwinklig ist, lässt sich auf jedes der Satz des Pythagoras anwenden:

    Höhensatz Satz des Pythagoras Formel StudySmarter (Gleichung 1) für das Dreieck ABC

    Höhensatz Satz des Pythagoras Formel StudySmarter (Gleichung 2) für das Dreieck DBC

    Höhensatz Satz des Pythagoras Formel StudySmarter (Gleichung 3) für das Dreieck ADC

    Die Hypotenuse c setzt sich durch die Hypotenusen-Abschnitte p und q zusammen. Diese Beziehung kann auch als Formel aufgestellt werden:

    Höhensatz Beweis StudySmarter

    Diese Beziehung lässt sich auch ins Quadrat setzen:

    Höhensatz Beweis StudySmarter

    Mithilfe der 1. binomischen Formel kann die Klammer aufgelöst werden und man erhält die folgende Gleichung:

    Höhensatz Beweis StudySmarter (Gleichung 4)

    Jetzt kann man die Gleichung 4 für c² in die Gleichung 1 einsetzen:

    Höhensatz Beweis StudySmarter

    Als Nächstes kann man auch a² und b² durch die Gleichungen 2 und 3 ersetzen, die mithilfe des Satzes des Pythagoras aufgestellt wurden:

    Höhensatz Beweis StudySmarter

    Diese lange Gleichung kann nun vereinfacht werden:

    Höhensatz Beweis StudySmarter

    Höhensatz Beweis StudySmarter

    Höhensatz Beweis StudySmarter

    Höhensatz Beweis StudySmarter

    Durch das Vereinfachen erhältst du schließlich den Höhensatz des Euklid:

    Höhensatz Beweis des Höhensatzes StudySmarter

    Abbildung 4: Höhensatz

    Höhensatz – Anwendung

    Der Höhensatz ist nicht nur im Rahmen der Mathematik interessant, sondern findet auch Anwendung im Alltag:

    Aufgabe

    Familie Müller möchte mit ihrem Wohnmobil in den Urlaub fahren, und plant die Route. Auf der Strecke befindet sich ein kleiner halbkreisförmiger Tunnel, der am Boden 6 m breit ist, also an der höchsten Stelle in der Mitte 3 m.

    Passt das Wohnmobil durch den Tunnel, wenn es 2,75 m hoch und 2,30 m breit ist? Oder muss Familie Müller den Umweg über die Autobahn nehmen?

    Lösung

    Veranschaulichen wir uns die Situation zunächst in einer Skizze:

    Höhensatz Anwendung Aufgabe StudySmarter

    Abbildung 5: Skizze

    Interessant ist also, ob das Wohnmobil an den oberen Kanten an die Tunnelwand stößt, oder ob die Höhe an diesen Stellen reicht.

    Der Tunnel ist laut Angabe halbkreisförmig. Daher kann nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck eingefügt werden:

    Höhensatz Anwendung Aufgabe StudySmarterAbbildung 6: Rechtwinkliges Dreieck im Tunnel

    Da das Wohnmobil exakt durch die Mitte des Tunnels fahren soll, können wir mit der Angabe zur Breite des Tunnels und der Breite des Wohnmobils die Länge der Strecken p und q berechnen:

    q=12·6 m-2,3 m=1,85 m und damit ist p=c-q=6 m-1,85 m=4,15 m.

    Nutzen wir jetzt den Höhensatz, können wir berechnen, wie hoch der Tunnel an der Stelle ist, an der die Kanten des Wohnmobils durchfahren würden:

    h2=p·q=4,15 m·1,85 m=7,6775 m2h=7,6775 m22,77 m

    Da das Wohnmobil 2,75 m hoch ist, würde es theoretisch gerade durch den Tunnel passen.

    Wahrscheinlich wäre es aber trotzdem schlauer, den Umweg zu wählen.

    Höhensatz – Umkehrung

    Der Höhensatz lässt sich auch umkehren:

    Umkehrung des Höhensatzes

    Gegeben sei das Dreieck ABC mit Seiten a, b und c sowie der Höhe h, die durch den Punkt C auf die Seite c gefällt wurde. Die Höhe h teilt die Seite c in die zwei Abschnitte p und q. Zudem gilt die Beziehung Höhensatz Definition Umkehrung Höhensatz StudySmarter.

    Dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig, wobei der rechte Winkel am Punkt C liegt.

    Der Höhensatz liefert also auch die Möglichkeit herauszufinden, ob es sich bei einem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, wenn bestimmte Seitenlängen gegeben sind.

    Der Beweis der Umkehrung des Höhensatzes verläuft im Prinzip genau umgekehrt wie der Beweis des Höhensatzes.

    Höhensatz – Aufgaben

    Aufgabe 1

    Berechne die Höhe h in einem Dreieck mit p = 3 cm und q = 7 cm.

    Lösung

    Hier müssen die Werte für p und q einfach in die Formel des Höhensatzes eingefügt werden:

    Höhensatz Anwendung Aufgabe StudySmarter

    Aufgabe 2

    Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 10 cm. Die Länge des Hypotenusen-Abschnittes p beträgt 5 cm. Wie lang ist die Strecke q?

    Lösung

    Hier muss im ersten Schritt die Formel des Höhensatzes umgestellt werden, sodass die Unbekannte q allein steht. Dann musst du wieder die Werte für h und p in die Formel eintragen und berechnen:

    Höhensatz Anwendung Aufgabe StudySmarter

    Höhensatz – Das Wichtigste

    • Der Höhensatz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Höhe h genauso groß ist, wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusen-Abschnitten p und q.
    • Der Höhensatz lautet daher: Höhensatz Formel StudySmarter.
    • Der Höhensatz lässt sich auch umkehren. Durch diese Umkehrung lässt sich bestimmen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Höhensatz

    Wie lautet der Höhensatz?

    Der Höhensatz des Euklid lautet h² = p · q. 

    Das heißt, dass das Quadrat der Höhe das gleiche Ergebnis hat, wie das Produkt der Abschnitte p und q auf der Hypothenuse.

    Wann benutze ich den Höhensatz?

    Der Höhensatz beschreibt die Größenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck. Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat aus der Höhe h genauso groß ist wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten p und q.

    Wann gilt der Höhensatz?

    Der Höhensatz des Euklid kann in einem rechtwinkeligen Dreieck angewendet werden.

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