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Höhensatz

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Mathe

Neben dem Satz des Pythagoras gibt es noch zwei weitere Sätze, die hilfreiche Aussagen über Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken liefern. Diese sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Alle drei Sätze sind vom griechischen Mathematiker Euklid bereits im 3. Jahrhundert vor Christus erwähnt worden und seitdem auch für Alltagsaufgaben sehr hilfreich.


In diesem Artikel kannst du dir die wichtigsten Informationen zum Höhensatz aneignen. Für den Satz des Pythagoras und den Kathetensatz findest du ebenfalls Artikel im Kapitel "die Satzgruppe des Pythagoras".


Höhensatz Dreiecke StudySmarter



Der Höhensatz - Definition


Der Höhensatz des Euklid lässt sich nur in rechtwinkligen Dreiecken anwenden. Er stellt eine Beziehung zwischen der Höhe h des Dreiecks und den beiden Hypotenusenabschnitten p und q her. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist ein Lot, dass von dem Scheitelpunkt des rechten Winkels auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Dabei teilt das Lot die Hypotenuse c in die beiden Abschnitte q und p.


Höhensatz Rechtwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 1: Rechtwinkliges Dreieck mit Höhe h


Erinnerung: die lange Seite eines rechtwinkligen Dreiecks wird Hypotenuse genannt. Die beiden kurzen Seiten sind die Katheten.


Höhensatz


Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck ABC mit Katheten a und b und Hypotenuse c. Die Höhe h zerlegt die Hypotenuse c in die zwei Hypotenusenabschnitte p und q.


Dann gilt: Höhensatz Definition Höhensatz Formel StudySmarter


Der Höhensatz bringt also die drei Strecken p, q und h in ein Verhältnis und besagt, dass das Quadrat mit der Seitenlänge h genauso groß ist wie ein Rechteck mit den Seitenlängen p und q. 


In einfachen Worten gesagt heißt das, dass wenn du ein Quadrat mit der Seitenlänge h zeichnest, der Flächeninhalt diese Quadrats genauso groß ist wie der eines Rechtecks mit den Seitenlängen p und q. Dieser Zusammenhang ist in der folgenden Abbildung dargestellt. 


Höhensatz Abbildung Höhensatz StudySmarterAbbildung 2: Höhensatz


Der Höhensatz beschreibt also bestimmte Größenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck.



Der Höhensatz - Beweis


Um den Höhensatz beweisen zu können, musst du den Satz des Pythagoras und die 1. binomische Formel kennen.


1. Binomische Formel:  


Höhensatz Erklärung Satz StudySmarterAbbildung 3: Rechtwinkliges Dreieck mit Höhe h und Höhenfußpunkt D


Das Dreieck ABC mit dem rechten Winkel lässt sich durch das Einzeichnen der Höhe h in die zwei kleineren Dreiecke ADC und DBC unterteilen. Beide Dreiecke besitzen ebenfalls einen rechten Winkel am Höhenfußpunkt D. Insgesamt gibt es jetzt also drei Dreiecke, die alle einen rechten Winkel haben: ABC, ADC und DBC.


Da jedes Dreieck rechtwinklig ist, lässt sich auf jedes der Satz des Pythagoras anwenden:


(Gleichung 1) für das Dreieck ABC


(Gleichung 2) für das Dreieck DBC


(Gleichung 3) für das Dreieck ADC


Die Hypotenuse c setzt sich durch die Hypotenusenabschnitte p und q zusammen. Diese Beziehung kann auch als Formel aufgestellt werden:


 


Diese Beziehung lässt sich auch ins Quadrat setzen. 


 


Mithilfe der 1. binomischen Formel kann die Klammern aufgelöst werden und man erhält die folgende Gleichung:


 (Gleichung 4)


Jetzt kann man die Gleichung 4 für c² in die Gleichung 1 einsetzen:



Als nächstes kann man auch a² und b² durch die Gleichungen 2 und 3 ersetzen, die mithilfe des Satzes des Pythagoras aufgestellt wurden:



Diese lange Gleichung kann nun vereinfacht werden:



Durch das Vereinfachen erhältst du schließlich den Höhensatz des Euklid.


Höhensatz Beweis des Höhensatzes StudySmarterAbbildung 4: Höhensatz



Der Höhensatz - Anwendung


Der Höhensatz ist nicht nur im Rahmen der Mathematik interessant, sondern hat auch wirklich Anwendung im Alltag: 


Aufgabe


Familie Müller möchte mit ihrem Wohnmobil in den Urlaub fahren, und plant die Route. Auf der Strecke befindet sich ein kleiner halbkreisförmiger Tunnel, der am Boden 6m breit ist, also an der höchsten Stelle in der Mitte 3m. 


Passt das Wohnmobil durch den Tunnel, wenn es 2,75m hoch und 2,3m breit ist? Oder muss Familie Müller den Umweg über die Autobahn nehmen?


Lösung


Veranschaulichen wir uns die Situation erstmal in einer Skizze:


Höhensatz Anwendungsaufgabe StudySmarterAbbildung 5: Skizze


Interessant ist also, ob das Wohnmobil an den oberen Kanten an die Tunnelwand stößt, oder ob die Höhe an diesen Stellen reicht. 


Der Tunnel ist laut Angabe halbkreisförmig. Daher kann nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck eingefügt werden:


Höhensatz Anwendungsaufgabe StudySmarterAbbildung 6: Rechtwinkliges Dreieck im Tunnel


Da das Wohnmobil exakt durch die Mitte des Tunnels fahren soll, können wir mit der Angabe zur Breite des Tunnels und der Breite des Wohnmobils die Länge der Strecken p und q berechnen.


 und damit ist  


Nutzen wir jetzt den Höhensatz, können wir berechnen, wie hoch der Tunnel an der Stelle ist, an der die Kanten des Wohnmobils durchfahren würden.


 


Da das Wohnmobil 2,75 m hoch ist, würde es theoretisch gerade durch den Tunnel passen. 

Wahrscheinlich wäre es aber trotzdem schlauer, den Umweg zu wählen.



Der Höhensatz - Umkehrung


Der Höhensatz lässt sich auch umkehren:


Umkehrung des Höhensatzes


Gegeben sei das Dreieck ABC mit Seiten a, b und c sowie der Höhe h, die durch den Punkt C auf die Seite c gefällt wurde. Die Höhe h teilt die Seite c in die zwei Abschnitte p und q. Zudem gilt die Beziehung Höhensatz Definition Umkehrung Höhensatz StudySmarter.


Dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig, wobei der rechte Winkel am Punkt C liegt. 


Der Höhensatz liefert also auch die Möglichkeit herauszufinden, ob es sich bei einem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handeln, wenn bestimmte Seitenlängen gegeben sind.


Der Beweis der Umkehrung des Höhensatzes verläuft im Prinzip genau umgekehrt wie der Beweis des Höhensatzes.



Der Höhensatz - Beispielaufgaben



Aufgabe 1


Berechne die Höhe h in einem Dreieck mit p = 3cm und q = 7cm.


Lösung


Hier müssen die Werte für p und q einfach in die Formel des Höhensatzes eingefügt werden: 





Aufgabe 2


Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 10 cm. Die Länge des Hypotenusenabschnittes p beträgt 5 cm. Wie lang ist die Strecke q? 


Lösung


Hier muss im ersten Schritt die Formel des Höhensatzes umgestellt werden, sodass die Unbekannte q alleine steht. Dann musst du wieder die Werte für h und p in die Formel eintragen und berechnen:





Höhensatz - Das Wichtigste

  • Der Höhensatz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Höhe h genauso groß ist, wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten p und q
  • Der Höhensatz lautet daher:
  • Der Höhensatz lässt sich auch umkehren. Durch diese Umkehrung lässt sich bestimmen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.


Häufig gestellte Fragen zum Thema Höhensatz

Der Höhensatz des Euklid lautet h² = p · q. 

Das heißt, dass das Quadrat der Höhe das gleiche Ergebnis hat, wie das Produkt der Abschnitte p und q auf der Hypothenuse.

Der Höhensatz beschreibt die Größenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck. Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat aus der Höhe h genauso groß ist wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten p und q.

Der Höhensatz des Euklid kann in einem rechtwinkeligen Dreieck angewendet werden.

Finales Höhensatz Quiz

Frage

Bestimme die Höhe h in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Hypotenusenabschnitten p = 27cm und q= 3cm 

Antwort anzeigen

Antwort

h = 9 cm

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 10 cm. Die Länge des Hypotenusenabschnittes p beträgt 5 cm. Wie lang ist die Strecke q ? 


Antwort anzeigen

Antwort

q = 20cm

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 15 cm. Die Länge des Hypotenusenabschnittes q beträgt 3 cm. Wie lang ist die Strecke p?

Antwort anzeigen

Antwort

p = 75 cm

Frage anzeigen

Frage

In wie viele rechtwinklige Dreiecke wird ein rechtwinkliges Dreieck durch die Höhe h geteilt?

Antwort anzeigen

Antwort

2

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 12 cm. Der Hypotenusenabschnitt q ist 4 cm lang.


Wie lang ist die Hypotenuse c?

Antwort anzeigen

Antwort

c = 40 cm

Frage anzeigen

Frage

In wie viele Abschnitte teilt die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks die Hypotenuse?

Antwort anzeigen

Antwort

2 Abschnitte

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 12 cm. Die Länge des Hypotenusenabschnittes p beträgt 3 cm. 


Wie lang ist die Strecke q?

Antwort anzeigen

Antwort

q = 48 cm

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 20 cm. Die Länge des Hypotenusenabschnittes p beträgt 10 cm. Wie lang ist die Strecke q?

Antwort anzeigen

Antwort

q = 40 cm

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 30 cm. Der Hypotenusenabschnitt p ist 15 cm lang.


Wie lang ist die Hypotenuse c?

Antwort anzeigen

Antwort

c = 75 cm

Frage anzeigen
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