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Trapez

Trapez

In der Geometrie hast Du vielleicht schon das Haus der Vierecke kennengelernt. Dort kannst Du viele verschiedene Vierecke wiederfinden, unter anderem auch das Trapez. Welche Eigenschaften ein Trapez hat, und wie Du die Höhe, die Fläche und den Umfang von dieser geometrischen Figur berechnen kannst, erfährst Du in dieser Erklärung.

Trapez – Definition

Jedes Rechteck oder Quadrat ist ein Trapez, aber nicht jedes Trapez ist ein Rechteck oder Quadrat. Warum ist das so?

Ein Trapez ist ein spezielles Viereck, bei dem mindestens zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Die parallelen Seiten heißen bei einem Trapez Grundseiten, wobei die längere Seite davon Basis genannt wird. Die zwei anderen Seiten sind die Schenkel.

Es gilt:

\[a\parallel c\]

Da bei einem Quadrat und einem Rechteck sogar alle jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel sind, erfüllen diese Figuren auch die Eigenschaften eines Trapezes.

Die Beschriftung eines Trapezes ist immer gleich:

  • Die Beschriftung der 4 Eckpunkten erfolgt mit Großbuchstaben gegen den Uhrzeigersinn: \(A,\,B,\,C,\,D\)
  • Die Beschriftung der 4 Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben: \(a,\,b,\,c,\,d\)
  • Ein Trapez hat 4 Winkel, welche mit griechischen Kleinbuchstaben beschriftet werden: \(\alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\delta\)
  • Die beiden Diagonalen werden mit \(e,\,f\) beschriftet.
  • Weitere Strecken im Trapez sind die Höhe \(h\) und die Mittelparallele \(m\).

Trapez Trapez Definition StudySmarterAbb. 2 - Trapez Definition

Trapez – Eigenschaften

Um ein Trapez analysieren zu können, musst Du einige Eigenschaften des Trapezes kennen.

Die Innenwinkelsumme eines Trapezes beträgt \(360^\circ\) und berechnet sich aus den aufsummierten Winkeln des Trapezes.

Es gilt:

\[\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ\]

Die Winkel eines Trapezes können unterschiedlich groß sein, solange sie aufsummiert gleich 360° ergeben. Die Diagonalen eines Trapezes weisen ebenfalls Besonderheiten auf. Während bei anderen Vierecken wie dem Parallelogramm die beiden Diagonalen gleich lang sind, können die beiden Diagonalen hier unterschiedlich lang sein.

Die beiden Diagonalen eines Trapezes \(e\) und \(f\) lassen sich mithilfe folgender Formel berechnen:

\begin {align}e&=\sqrt {\frac {{\color{#1478c8}a}\cdot {\color{#8363e2}d}^{2}+{\color{#1478c8}a}^{2}\cdot {\color{#fa3273}c}-{\color{#1478c8}a}\cdot {\color{#fa3273}c}^{2}-{\color{#fa3273}c}\cdot {\color{#00dcb4}b}^{2}}{{\color{#1478c8}a}-{\color{#fa3273}c}}}\hspace{0.5cm} (\text{für}\, a\neq c) \\[0.2cm]f&=\sqrt {\frac {{\color{#1478c8}a}\cdot {\color{#00dcb4}b}^{2}+{\color{#1478c8}a}^{2}\cdot {\color{#fa3273}c}-{\color{#1478c8}a}\cdot {\color{#fa3273}c}^{2}-{\color{#fa3273}c}\cdot {\color{#8363e2}d}^{2}}{{\color{#1478c8}a}-{\color{#fa3273}c}}}\hspace{0.5cm} (\text{für}\, a\neq c)\end{align}

Trapez Trapez Eigenschaften - Diagonale StudySmarterAbb. 3 - Trapez Eigenschaften - Diagonale

Bevor Du die Berechnung der Diagonalen beginnst, solltest Du immer überprüfen, welche der Seiten parallel und damit die Grundseiten sind. Anschließend musst Du überprüfen, ob die Grundseiten gleichlang sind.

Wie Du bei gleichlangen Grundseiten die Diagonale berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Diagonale Rechteck“.

Trapez – Aufgabe 1

Berechne die beiden Diagonalen des Trapezes mit den Seitenlängen \(a=9\, cm,\,b=5\, cm,\,c=1\, cm\,\, \text{und}\,\, d=\text{6,4}\, cm\).

Lösung

Du solltest die Diagonalen nacheinander berechnen.

Zunächst berechnest Du die Diagonale \(e\). Dafür setzt Du die Werte in die Formel für die Diagonale \(e\) ein und berechnest diese dann.

Die Diagonale \(e\) verbindet immer die Eckpunkte \(A\) und \(C\) und die Diagonale \(f\) immer die Eckpunkte \(B\) und \(D\).

\begin {align}e&=\sqrt {\frac {a\cdot d^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot b^{2}}{a-c}} \\[0.2 cm]e&=\sqrt {\frac {9\cdot \text{6,4}^{2}+9^{2}\cdot 1-9\cdot 1^{2}-1\cdot 5^{2}}{9-1}} \\[0.2 cm]e&=\sqrt {\frac {\text{368,64}+81-9-25}{8}} \\[0.2 cm]e&=\sqrt {\frac {\text{415,64}}{8}}\\[0.2cm]e&\approx\text{7,208}\,[cm]\end{align}

Nachdem Du die Diagonale \(e\) berechnet hast, kannst Du nun die Diagonale \(f\) berechnen. Setze die Dir gegebenen Werte in die Formel für die Diagonale \(f\) ein und berechne diese.

\begin{align}f&=\sqrt {\frac {a\cdot b^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot d^{2}}{a-c}} \\[0.2 cm]f&=\sqrt {\frac {9\cdot 5^{2}+9^{2}\cdot 1-9\cdot 1^{2}-1\cdot \text{6,4}^{2}}{9-1}} \\[0.2 cm]f&=\sqrt {\frac {225+81-9- \text{40,96}}{8}} \\[0.2 cm]f&=\sqrt{\frac{\text{256,04}}{8}}\\[0.2cm]f&\approx\text{5,657}\, [cm]\end{align}

Die Diagonale \(e\) ist rund \(\text{7,208}\, cm\) lang und die Diagonale \(f\) rund \(\text{5,657}\, cm\) lang.

Trapez – Arten

Von Trapezen gibt es unterschiedliche Arten. Wie beim Dreieck gibt es das unregelmäßige bzw. ungleichschenklige Trapez, das gleichschenklige Trapez und das rechtwinklige Trapez.

ungleichschenkliges Trapezgleichschenkliges Trapezrechtwinkliges Trapez
Bei einem ungleichmäßigen Trapez sind die Schenkel unterschiedlich lang und die Winkel im Trapez alle unterschiedlich groß.Ein gleichschenkliges Trapez besitzt zwei gleich lange Schenkel und mindestens zwei gleich große Winkel.Das rechtwinklige Trapez besitzt mindestens zwei rechte Winkel. Die Besonderheit dieses Trapezes ist, dass die Höhe gleich der Seite \(b\) ist, also \(h=b\).

Trapez ungleichschenkliges Trapez StudySmarterAbb. 4 - ungleichschenkliges Trapez

Trapez gleichschenkliges Trapez StudySmarterAbb. 5 - gleichschenkliges Trapez

Trapez rechtwinkliges Trapez StudySmarterAbb. 6 - rechtwinkliges Trapez

Ein Blick auf das Haus der Vierecke verrät Dir noch weitere spezielle Trapeze. Das Quadrat, das Rechteck, das Parallelogramm und die Raute zählen zu diesen speziellen Trapezen. Sie alle besitzen mindestens ein Paar parallele Seiten und erfüllen somit die Definition des Trapezes.

Trapez – Berechnungen

Du kannst in einem Trapez verschiedene Berechnungen durchführen. Wichtig ist, dass Du weißt, wie Du den Umfang und den Flächeninhalt eines Trapezes berechnest. Des Weiteren wirst Du häufig die Höhe des Trapezes bestimmen müssen.

Trapez Umfang berechnen

Jede geometrische Figur besitzt einen Umfang. Diese lässt sich häufig durch das Aufsummieren der Seiten der Figur berechnen.

Der Umfang \(U\) eines Trapezes berechnet sich aus der Summe der Seitenlängen des Trapezes.

Es gilt:

\[U=a+b+c+d\]

Für den Umfang eines Trapezes gibt es also keine speziellere Formel. Du nutzt die allgemeine Formel zur Berechnung des Umfangs.

Mehr zum Umfang eines Trapezes erfährst Du in der Erklärung „Umfang Trapez“.

Trapez Fläche berechnen

Auch einen Flächeninhalt besitzt jede geometrische Figur. Wie Du die Flächenberechnung eines Trapezes durchführst, erfährst Du jetzt.

Der Flächeninhalt \(A\) eines Trapezes mit der Höhe \(h\) und den parallelen Grundseiten \(a\) und \(c\) kannst Du mit folgender Formel berechnen:

\begin{align}A&=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (a+c)\\[0.1cm] &=m\cdot h\end{align}

Außerdem kannst Du den Flächeninhalt eines Trapezes über das Produkt der Mittelparallele \(m\) und der Höhe \(h\) berechnen.

In der Erklärung „Flächeninhalt Trapez“ wird Dir erklärt, wie Du diese Formel anwendest und herleitest.

Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen, benötigst Du die Höhe des Trapezes. Wie Du diese berechnest, erfährst Du jetzt.

Trapez Höhe berechnen

Die Höhe eines Trapezes steht immer senkrecht zu den beiden Grundseiten \(a\) und \(c\).

Du kannst die Höhe \(h\) eines Trapezes über verschiedene Formeln berechnen.

  1. Mithilfe der heronischen Formel kannst Du die Höhe berechnen.\begin{align} h&=\frac {2}{|a-c|}\cdot \sqrt {s\cdot (s-|a-c|)\cdot (s-b)\cdot (s-d)}\hspace{0.5cm} (\text{für}\, a\neq c) \\[0.3cm]\text{mit}\, s&=\frac {|a-c|+b+d}{2}\end{align}
  2. Du kannst die Formel des Flächeninhaltes \(A\) nach \(h\) umstellen und erhältst \[h=\frac {2\cdot A}{a+c}\]
  3. Die Höhe eines Trapezes kannst Du auch über das Produkt eines Schenkels mit einem der anliegenden Winkel berechnen. \[h=b\cdot \sin(\beta )=b\cdot \sin(\gamma )=d\cdot \sin(\delta )=d\cdot \sin(\alpha )\]

Welche Formel Du für die Berechnung der Höhe jetzt benutzt, ist abhängig von der Aufgabe und den gegebenen Werten. Wenn Du den Flächeninhalt berechnen sollst und vorher die Höhe benötigst, ist es nicht zielführend die Formel mit dem Flächeninhalt zu nutzen.

Trapez – Aufgabe 2

Berechne die Höhe \(h\) des Trapezes \(ABCD\) mit den Seitenlängen \(a=8\,cm,\, b=5\,cm,\, c=5\,cm\) und \(d=4\,cm\) und den rechten Winkeln an dem Schenkel \(d\).

Trapez Berechnung der Höhe Aufgabe StudySmarterAbb. 7 - Berechnung der Höhe eines Trapez Aufgabe

Lösung

Du kannst die Höhe hier über zwei Wege berechnen.

1. Variante: heronische Formel

Zu Beginn berechnest Du erst einmal das \(s\) mit der Formel \(s=\frac {|a-c|+b+d}{2}\).

\begin{align}s&=\frac {|a-c|+b+d}{2}\\[0.2cm]s&=\frac {|8-5|+5+4}{2} \\[0.2cm]s&=\frac{12}{2}\\[0.2cm]s&=6\end{align}

Danach setzt Du das \(s\) und alle anderen Werte in die Formel zur Berechnung der Höhe \(h\) ein.

\begin{align}h&=\frac {2}{|a-c|}\cdot \sqrt {s\cdot (s-|a-c|)\cdot (s-b)\cdot (s-d)} \\h&=\frac {2}{|8-5|}\cdot \sqrt {6\cdot (6-|8-5|)\cdot (6-5)\cdot (6-4)} \\h&=\frac {2}{3}\cdot \sqrt {6\cdot 3\cdot 1 \cdot 2} \\h&=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{36} \\h&=4\,[cm]\end{align}

2. Variante: Winkel

Zuerst suchst Du Dir den Schenkel raus, für welchen Du einen anliegenden Winkel gegeben hast. In dieser Aufgabe ist Dir ein rechter Winkel an dem Schenkel \(d\) gegeben. Dann setzt Du diese Werte in die Formel ein und berechnest die Höhe \(h\).

\begin{align}h&=d\cdot \sin(\alpha ) \\h&=4\cdot \sin{(90^{\circ})} \\h&=4\,[cm]\end{align}

Die Höhe des Trapezes beträgt \(4\, cm\).

Trapez – Das Wichtigste

  • Das Trapez ist ein spezielles Viereck, bei dem mindestens zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Die parallelen Seiten werden bei einem Trapez Grundseiten genannt, die zwei anderen Seiten sind die Schenkel.Es gilt:\[a\parallel c\]
  • Die Innenwinkelsumme eines Trapezes beträgt \(360^\circ\) und berechnet sich aus den aufsummierten Winkeln des Trapezes.

    Es gilt:

    \[\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}\]

  • Die beiden Diagonalen eines Trapezes e und f lassen sich mithilfe folgender Formel berechnen:

    \begin {align}e&=\sqrt {\frac {a\cdot d^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot b^{2}}{a-c}}\hspace{0.5cm} (\text{für}\, a\neq c) \\[0.2cm]f&=\sqrt {\frac {a\cdot b^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot d^{2}}{a-c}}\hspace{0.5cm} (\text{für}\, a\neq c)\end{align}

  • Es existieren drei Arten von Trapezen, das ungleichschenklige Trapez, das gleichschenklige Trapez und das rechtwinklige Trapez. Besondere Trapeze sind das Quadrat, das Rechteck, das Parallelogramm und die Raute.

  • Der Umfang eines Trapezes berechnet sich aus der Summe der Länge der Seiten des Trapezes.

    Es gilt:

    \[U=a+b+c+d\]

  • Der Flächeninhalt eines Trapezes mit Höhe \(h\) und den parallelen Seiten \(a\) und \(c\) lässt sich mit folgender Formel berechnen:

    \[A=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (a+c)=m\cdot h\]

  • Die Höhe eines Trapezes kannst Du über verschiedene Formeln berechnen. Eine davon ist es die Höhe eines Trapezes über das Produkt eines Schenkels mit einem der anliegenden Winkel zu berechnen. \[h=b\cdot \sin(\beta )=b\cdot \sin(\gamma )=d\cdot \sin(\delta )=d\cdot \sin(\alpha )\]

Häufig gestellte Fragen zum Thema Trapez

Der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet sich mit der Formel A = 1/2 ⋅ h ⋅ (a-c) = m ⋅ h. Dabei steht h für die Höhe a und c für die parallelen Seiten des Trapezes und m für die Mittelparallele.

Für den Umfang summierst Du alle Seitenlängen auf. Es gilt: U = a + b + c + d.

Ein achsensymmetrisches Trapez wird auch gleichschenkliges Trapez genannt, wobei nicht jedes gleichschenklige Trapez achsensymmetrisch ist.

Du kannst den Flächeninhalt eines Trapezes mit folgender Formel berechnen: A = 1/2 ⋅ h ⋅ (a-c) = m ⋅ h. Den Umfang kannst Du mit U = a + b + c + d berechnen. Für die Höhe eines Trapezes gibt es verschiedene Formeln, unter anderem h = b ⋅ sin(β) = b ⋅ sin(γ) = d ⋅ sin(δ) = d ⋅ sin(α).

Die Schenkel eines Trapezes sind die beiden Seiten, welche keine parallele Seite haben. Also sind die Schenkel die beiden Seiten, welche nicht die Grundseiten des Trapezes sind.

Finales Trapez Quiz

Frage

Was ist ein Trapez?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Trapez ist ein spezielles Viereck, welches ein Paar parallele Seiten besitzt.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes?

Antwort anzeigen

Antwort

\[A=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (a-c)\]

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Innenwinkelsumme eines Trapezes?

Antwort anzeigen

Antwort

\[\alpha+\beta+\gamma+\delta=360°\]

Frage anzeigen

Frage

Gebe die Formel zur Berechnung der Diagonale e eines Trapezes an.

Antwort anzeigen

Antwort

\[e=\sqrt {\frac {a\cdot d^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot b^{2}}{a-c}}\]

Frage anzeigen

Frage

Gebe die Formel zur Berechnung der Diagonale f eines Trapezes an.

Antwort anzeigen

Antwort

\[f=\sqrt {\frac {a\cdot b^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot d^{2}}{a-c}}\]

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum jedes Rechteck ein Trapez ist, aber nicht jedes Trapez ein Rechteck.

Antwort anzeigen

Antwort

Jedes Trapez hat mindestens ein Paar parallele Seiten. Bei einem Rechteck gibt es sogar zwei Paar paralleler Seiten, also gilt ein Rechteck als Trapez. Da aber nicht jedes Trapez zwei Paar paralleler Seiten besitzt, ist nicht jedes Trapez ein Rechteck.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Vierecke, welche ein Trapez sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm

Frage anzeigen

Frage

Stelle alle Arten eines Trapezes dar und beschrifte sie.

Antwort anzeigen

Antwort

unregelmäßiges Trapez:



gleichschenkliges Trapez:



rechtwinkliges Trapez:


Frage anzeigen

Frage

Gib die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Trapezes an

Antwort anzeigen

Antwort

\[U=a+b+c+d\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die drei Formeln zur Berechnung der Höhe eines Trapezes.

Antwort anzeigen

Antwort

heronischen Formel:

\begin{align} h&=\frac {2}{|a-c|}\cdot \sqrt {s\cdot (s-|a-c|)\cdot (s-b)\cdot (s-d)}\hspace{0.5cm} (\text{für}\, a\neq c) \\[0.2cm] \text{mit}\, s&=\frac {|a-c|+b+d}{2}\end{align}

umgestellter Flächeninhalt:

\[h=\frac {2\cdot A}{a+c}\]

Schenkel mit einem der anliegenden Winkel: 

\[h=b\cdot \sin(\beta )=b\cdot \sin(\gamma )=d\cdot \sin(\delta )=d\cdot \sin(\alpha )\]

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Diagonalen des Trapezes ABCD mit den Seitenlängen \(a=7\,cm,\, b=5\,cm,\, c=3\,cm\,\,\text{und}\,\,d=5\,cm\).

Antwort anzeigen

Antwort

Da es sich bei diesem Trapez um ein gleichschenkliges Trapez handelt, weil \(b=d=5\,cm\), sind die Diagonalen gleichlang und Du brauchst nur eine berechnen.

Du setzt alle Dir gegebenen Werte in eine der Formeln für die Diagonalen ein und berechnest dann die Diagonale.

\begin {align} 
e&=\sqrt {\frac {a\cdot d^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot b^{2}}{a-c}} \\[0.2 cm] 
e&=\sqrt {\frac {7\cdot 5^{2}+7^{2}\cdot 3-7\cdot 3^{2}-3\cdot 5^{2}}{7-3}} \\[0.2 cm] 
e&=\sqrt {\frac {184}{4}} \\[0.2 cm] 
e&=\sqrt {46}\\[0.2cm] 
e&\approx\text{6,782}\,[cm] 
\end{align}

Die Diagonalen haben eine Länge von rund 6,782 cm.

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