Inhaltsverzeichnis▼
- Was ist ein Trapez?
- Welche Arten von Trapezen gibt es?
- Flächeninhalt des Trapezes
- Trapez-Rechner
- Umfang des Trapezes
- Die Mittellinie des Trapezes
- Höhe und fehlende Größen berechnen
- Trapez oder Parallelogramm?
- Typische Rechenfehler beim Trapez
- Übungsaufgaben
- Karteikarten
- Das Wichtigste
- Häufige Fragen
- Quellen
Was ist ein Trapez?
Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten. Diese parallelen Seiten a und c heißen Grundseiten, die beiden anderen Seiten b und d sind die Schenkel. Der senkrechte Abstand zwischen den Grundseiten ist die Höhe h. Damit gehört das Trapez zur Familie der Vierecke.
Die parallelen Seiten liegen sich gegenüber und laufen nie zusammen, egal wie weit man sie verlängert. Meist zeichnet man die längere Grundseite a unten und die kürzere Grundseite c oben. Die Schenkel b und d verbinden die Enden der beiden Grundseiten und dürfen unterschiedlich lang und schräg sein, solange die Figur ein geschlossenes Viereck bleibt.
Wichtig für alle Rechnungen ist die Höhe h. Sie ist nicht die Länge eines Schenkels, sondern der senkrechte Abstand der beiden Grundseiten. Nur bei einem rechtwinkligen Trapez fällt ein Schenkel mit der Höhe zusammen. Über 40 Millionen Lernende nutzen StudySmarter, um solche Grundbegriffe der Geometrie sicher für Klassenarbeit und Klausur zu beherrschen.
Trapez lernen?
Welche Arten von Trapezen gibt es?
Es gibt drei wichtige Arten von Trapezen: das gleichschenklige Trapez mit zwei gleich langen Schenkeln (b = d, achsensymmetrisch), das rechtwinklige Trapez, bei dem ein Schenkel senkrecht auf den Grundseiten steht und zugleich die Höhe ist, und das allgemeine Trapez ohne besondere Symmetrie. Alle teilen dieselbe Flächenformel.
Die Einteilung hilft dir vor allem beim Rechnen. Beim gleichschenkligen Trapez sind die beiden Schenkel gleich lang und die Figur ist achsensymmetrisch, ähnlich wie ein gleichschenkliges Dreieck. Beim rechtwinkligen Trapez sparst du dir Arbeit, weil ein Schenkel direkt die Höhe liefert. Das allgemeine Trapez hat keine dieser Zusatzeigenschaften.
| Art | Besonderheit | Symmetrie | Nutzen beim Rechnen |
|---|---|---|---|
| Gleichschenkliges Trapez | Schenkel gleich lang (b = d) | achsensymmetrisch | Höhe per Pythagoras berechenbar |
| Rechtwinkliges Trapez | ein Schenkel senkrecht zu a und c | keine | dieser Schenkel ist die Höhe h |
| Allgemeines Trapez | keine besonderen Seiten oder Winkel | keine | Höhe muss gegeben oder konstruiert sein |
Ein Parallelogramm, ein Rechteck und ein Quadrat haben jeweils zwei Paar paralleler Seiten und erfüllen damit die Trapez-Bedingung automatisch. Sie sind also Sonderfälle des Trapezes. Daneben gibt es das symmetrische und das überschlagene Trapez, die in der Schule seltener vorkommen.
Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes?
Der Flächeninhalt eines Trapezes ist A = ½ · (a + c) · h. Man addiert die beiden parallelen Grundseiten a und c, multipliziert die Summe mit der Höhe h und halbiert das Ergebnis. Die Formel gilt für jedes Trapez, egal ob gleichschenklig, rechtwinklig oder allgemein.
Die Formel lässt sich anschaulich herleiten: Legt man ein zweites, um 180° gedrehtes Trapez an das erste an, entsteht ein Parallelogramm mit der Grundseite a + c und der Höhe h. Dessen Fläche ist (a + c) · h. Weil das Parallelogramm aus zwei gleichen Trapezen besteht, ist ein Trapez halb so groß, also A = ½ · (a + c) · h.
Gegeben ist ein Trapez mit a = 8 cm, c = 4 cm und h = 5 cm. Zuerst die Grundseiten addieren: a + c = 8 + 4 = 12. Dann mit der Höhe multiplizieren: 12 · 5 = 60. Zum Schluss halbieren: A = 60 / 2 = 30. Der Flächeninhalt beträgt also 30 cm².
Trapez-Rechner für Fläche, Umfang und Mittellinie
Mit dem Trapez-Rechner gibst du die beiden Grundseiten a und c sowie die Höhe h ein und erhältst sofort den Flächeninhalt und die Mittellinie. Trägst du zusätzlich die Schenkel b und d ein, berechnet der Rechner auch den Umfang. So kannst du deine eigenen Rechenwege direkt überprüfen.
A = ½ · (a + c) · h, m = (a + c) / 2 und U = a + b + c + d. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand der Grundseiten, nicht die Länge eines Schenkels.
Wie berechnet man den Umfang eines Trapezes?
Der Umfang eines Trapezes ist die Summe aller vier Seitenlängen: U = a + b + c + d. Anders als bei der Fläche spielt die Höhe hier keine Rolle. Du brauchst also die beiden Grundseiten a und c und die beiden Schenkel b und d.
Beim gleichschenkligen Trapez sind die Schenkel gleich lang, also b = d, dann vereinfacht sich der Umfang zu U = a + c + 2 · b. Bei einem rechtwinkligen Trapez sind die Schenkel meist verschieden lang, sodass du beide Werte einzeln addieren musst.
Ein gleichschenkliges Trapez hat a = 10 cm, c = 4 cm und die Schenkel b = d = 5 cm. Der Umfang ist U = 10 + 5 + 4 + 5 = 24 cm. Über die Kurzform gerechnet: U = a + c + 2 · b = 14 + 10 = 24 cm.
Was ist die Mittellinie eines Trapezes?
Die Mittellinie eines Trapezes verbindet die Mitten der beiden Schenkel. Sie verläuft parallel zu den Grundseiten und ist genau so lang wie deren Mittelwert: m = (a + c) / 2. Mit ihr lässt sich die Fläche besonders kurz schreiben als A = m · h.
Die Mittellinie ist ein praktischer Zwischenwert. Kennst du m und die Höhe h, sparst du dir das Halbieren in der Flächenformel, weil m schon der halbe Mittelwert von a und c ist. Umgekehrt gilt: Ist die Mittellinie bekannt, kannst du auf die Summe der Grundseiten zurückrechnen, denn a + c = 2 · m.
Für a = 8 cm und c = 4 cm ist die Mittellinie m = (8 + 4) / 2 = 6 cm. Mit h = 5 cm folgt die Fläche direkt als A = m · h = 6 · 5 = 30 cm², dasselbe Ergebnis wie mit der ausführlichen Formel.
Wie berechnet man die Höhe und fehlende Größen?
Um die Höhe eines Trapezes aus der Fläche zu bestimmen, stellst du die Flächenformel um: h = 2 · A / (a + c). Beim gleichschenkligen Trapez findest du die Höhe auch über den Satz des Pythagoras, wenn Schenkel und Grundseiten bekannt sind.
Fehlt in einer Aufgabe die Höhe, aber Fläche und Grundseiten sind gegeben, verdoppelst du die Fläche und teilst durch die Summe der Grundseiten. Für A = 30 cm², a = 8 cm und c = 4 cm ergibt sich h = 2 · 30 / (8 + 4) = 60 / 12 = 5 cm.
Ist ein gleichschenkliges Trapez mit a = 10 cm, c = 4 cm und Schenkel b = 5 cm gegeben, fällt links und rechts je ein Überhang von (a − c) / 2 = 3 cm an. Der Schenkel bildet mit diesem Überhang und der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck. Nach Pythagoras ist h = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 cm.
Bei einem rechtwinkligen Trapez ist die Höhe geschenkt, weil der senkrechte Schenkel direkt die Höhe ist. Fehlt dort der schräge Schenkel, findest du ihn ebenfalls über Pythagoras aus der Höhe und der Differenz der Grundseiten.
Trapez, Parallelogramm oder Raute?
Der Unterschied zwischen Trapez und Parallelogramm liegt in der Zahl der parallelen Seitenpaare: Ein Trapez hat mindestens eines, ein Parallelogramm zwei. Jedes Parallelogramm ist also ein Trapez, aber nicht jedes Trapez ist ein Parallelogramm. Die Raute ist wiederum ein Sonderfall des Parallelogramms.
Diese Einordnung erklärt, warum die Vierecke ineinander verschachtelt sind. Sobald ein zweites Paar Seiten parallel wird, aus dem Trapez ein Parallelogramm, und wenn zusätzlich alle Seiten gleich lang sind, eine Raute. Die folgende Tabelle stellt die drei Vierecke gegenüber.
| Viereck | Parallele Seiten | Besonderheit | Flächenformel |
|---|---|---|---|
| Trapez | mindestens 1 Paar | Grundseiten a, c parallel | A = ½ · (a + c) · h |
| Parallelogramm | 2 Paare | gegenüberliegende Seiten gleich | A = a · h |
| Raute | 2 Paare | alle vier Seiten gleich lang | A = ½ · e · f |
Auch das Drachenviereck gehört zu den besonderen Vierecken, hat aber im Allgemeinen keine parallelen Seiten und ist deshalb kein Trapez. Ein Blick auf die parallelen Seiten verrät dir immer, welche Figur vorliegt.
Welche Rechenfehler passieren beim Trapez am häufigsten?
Die häufigsten Rechenfehler beim Trapez sind der Schenkel statt der Höhe in der Flächenformel, das vergessene Halbieren und das Verwechseln von Mittellinie und Summe der Grundseiten. Wer die Höhe als senkrechten Abstand versteht und am Ende die Einheit prüft, vermeidet fast alle Punktabzüge.
Diese drei Stolperfallen tauchen in Klassenarbeiten immer wieder auf. Wenn du sie kennst, rechnest du das Trapez sicher durch.
Die Höhe h ist der senkrechte Abstand der Grundseiten, nicht die Länge eines schrägen Schenkels. Nur beim rechtwinkligen Trapez fallen beide zusammen. Wer bei einem schrägen Trapez den Schenkel einsetzt, bekommt eine zu große Fläche.
In A = ½ · (a + c) · h wird am Ende halbiert. Wer nur (a + c) · h rechnet, erhält die doppelte Fläche, nämlich die des ergänzten Parallelogramms. Die Mittellinie m = (a + c) / 2 enthält das Halbieren bereits.
Es gilt m = (a + c) / 2, also der halbe Wert der Summe. Setzt man versehentlich m = a + c, ist die Mittellinie doppelt so groß und die Fläche A = m · h stimmt nicht mehr. Prüfe daher, ob m wirklich zwischen a und c liegt.
Übungsaufgaben zum Trapez
Fünf Übungsaufgaben zum Trapez decken Definition, Flächenformel, Umfang, Mittellinie und die Höhe im gleichschenkligen Trapez ab. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst, klappe dann die Lösung auf und vergleiche deinen Rechenweg Schritt für Schritt mit der Musterlösung.
A = ½ · (8 + 4) · 5 = ½ · 12 · 5 = 30 cm².
m = (8 + 4) / 2 = 6 cm. Damit ist auch A = m · h = 6 · 5 = 30 cm².
U = a + b + c + d = 10 + 5 + 4 + 5 = 24 cm.
h = 2 · A / (a + c) = 2 · 30 / 12 = 60 / 12 = 5 cm.
Überhang: (a − c) / 2 = 3 cm. Höhe: h = √(5² − 3²) = √16 = 4 cm.
Karteikarten zum Trapez
Sechs Karteikarten zu den wichtigsten Punkten rund um das Trapez, von der Definition über die Flächenformel bis zu Umfang und Mittellinie. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen durch das Set.
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Trapez, das Wichtigste
Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten a und c. Die Fläche ist A = ½ · (a + c) · h, der Umfang U = a + b + c + d und die Mittellinie m = (a + c) / 2. Man unterscheidet das gleichschenklige, das rechtwinklige und das allgemeine Trapez.
- Definition: Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Grundseiten a ‖ c.
- Fläche: A = ½ · (a + c) · h = m · h.
- Umfang: U = a + b + c + d (alle vier Seiten addieren).
- Mittellinie: m = (a + c) / 2, parallel zu den Grundseiten.
- Höhe aus Fläche: h = 2 · A / (a + c).
Häufige Fragen zum Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten. Die parallelen Seiten a und c heißen Grundseiten, die beiden anderen Seiten b und d sind die Schenkel. Der senkrechte Abstand zwischen den Grundseiten ist die Höhe h.
Der Flächeninhalt eines Trapezes ist A = ½ · (a + c) · h. Man addiert die beiden parallelen Grundseiten a und c, multipliziert mit der Höhe h und halbiert das Ergebnis. Für a = 8, c = 4 und h = 5 ergibt sich A = ½ · 12 · 5 = 30.
Wenn Fläche und Grundseiten bekannt sind, stellt man die Flächenformel um: h = 2A / (a + c). Für A = 30, a = 8 und c = 4 ergibt sich h = 60 / 12 = 5.
Die Mittellinie m verbindet die Mitten der beiden Schenkel, verläuft parallel zu den Grundseiten und ist so lang wie deren Mittelwert: m = (a + c) / 2. Mit ihr lautet die Fläche kurz A = m · h.
Man unterscheidet das gleichschenklige Trapez (beide Schenkel gleich lang, achsensymmetrisch), das rechtwinklige Trapez (ein Schenkel steht senkrecht auf den Grundseiten und ist zugleich die Höhe) und das allgemeine Trapez ohne besondere Symmetrie.
Der Umfang ist die Summe aller vier Seiten: U = a + b + c + d. Für a = 10, c = 4 und die Schenkel b = d = 5 ergibt sich U = 10 + 5 + 4 + 5 = 24.
Ein Trapez hat mindestens ein Paar paralleler Seiten, ein Parallelogramm zwei Paare. Jedes Parallelogramm ist also ein Sonderfall des Trapezes, aber nicht jedes Trapez ist ein Parallelogramm.
Quellen
Die fachlichen Inhalte orientieren sich an etablierter Fachliteratur und universitären Lehrmaterialien:
- Trapez (Geometrie) (Definition, Eigenschaften, Flächen- und Umfangsformeln). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Universität Bayreuth, Lehrstuhl Mathematik und ihre Didaktik: Übung zum Flächeninhalt von Trapezen (Lernumgebung, PDF). btmdx1.mat.uni-bayreuth.de (PDF)
- Mathe-Lexikon: Flächeninhalt des Trapezes (Herleitung über das Parallelogramm). mathe-lexikon.at