Vektoren können sowohl subtrahiert als auch addiert werden. In diesem Artikel geht es um die Subtraktion von Vektoren. Das Vorgehen und was die Voraussetzungen dafür sind, wird dir im folgenden Schritt für Schritt erklärt.
Vektoren subtrahieren – Voraussetzungen
Neben der Addition von Vektoren, kannst du Vektoren auch subtrahieren. Grundsätzlich hast du zwei Möglichkeiten bei der Vektorsubtraktion: grafisch oder rechnerisch.
Wichtig bei der Vektorsubtraktion ist, dass die zu subtrahierenden Vektoren die gleiche Struktur und die gleiche Dimension haben. Aber was bedeutet das eigentlich?
Vektoren können in zwei unterschiedliche Arten dargestellt werden: als Zeilenvektor oder als Spaltenvektor.
Ein Vektor ![]()
ist als Zeilenvektor angegeben, wenn alle Komponenten nebeneinander stehen.
![]()
Außerdem gibt es noch Spaltenvektoren. Bei Spaltenvektoren liegen alle Komponenten übereinander.
![]()
Die Dimension eines Vektors ist abhängig von der Anzahl der Koordinaten. Während ein Vektor ![]()
mit zwei Komponenten im zwei-Dimensionalen liegt, liegt ein Vektor ![]()
mit drei Komponenten im drei-Dimensionalen.
![]()
Zur Wiederholung: Die Komponenten eines Vektors sind seine x-, y- und gegebenenfalls z-Koordinaten.
Hier ein paar Beispielaufgaben dazu:
Aufgabe 1
Entscheide, ob man diese Vektoren ![]()
in ihrer angegebenen Form subtrahieren kann.
1. ![]()
2. ![]()
3. ![]()
4. ![]()
Lösung
1.
In diesem Fall sind beide Vektoren ![]()
Zeilenvektoren und haben 2 Komponenten. Aufgrund dessen haben sie die gleiche Struktur und die gleiche Dimension, was bedeutet, dass eine Subtraktion möglich ist.
2.
Hier sind beide Vektoren ![]()
Zeilenvektoren, wodurch die erste Anforderung, die gleiche Struktur, schon erfüllt ist. Der Vektor ![]()
ist jedoch im zwei-Dimensionalen, während der Vektor ![]()
sich im drei-Dimensionalen befindet. Damit ist die zweite Anforderung, die gleiche Dimension, nicht erfüllt. Die Vektoren ![]()
können demnach nicht subtrahiert werden.
3.
In diesem Fall haben
beide Vektoren ![]()
drei Komponenten, befinden sich also im drei-Dimensionalen und sind demnach in der
gleichen Dimension. Die
Struktur der Vektoren ist jedoch eine andere, da der Vektor
![]()
ein Spaltenvektor ist, während der Vektor
![]()
ein Zeilenvektor ist. Diese beiden Vektoren
![]()
lassen sich also nicht subtrahieren.4.Hier sind
beide Vektoren ![]()
Spaltenvektoren und haben drei Komponenten. Das bedeutet, die
Struktur und die Dimension sind gleich: Die Vektoren
![]()
können subtrahiert werden.
Falls du nach diesem Prinzip merkst, dass deine Vektoren nicht die gleiche Struktur und/oder die gleiche Dimension haben, kannst du sie so umwandeln, dass sie den Anforderungen entsprechen.
Umwandeln der Schreibweise der Vektoren
Einen Spaltenvektor in einen Zeilenvektor umzuwandeln oder andersherum ist einfach. Besonders, wenn die Vektoren noch nicht mit Zahlen, sondern allgemein aufgeschrieben werden, kannst du auf einen Blick erkennen, dass du den Vektor nur anders aufschreiben musst. Also anstatt von links nach rechts, von oben nach unten. Oder anstatt von oben nach unten, von links nach rechts.
Die Umwandlung von Zeilen- in Spaltenvektor sieht dann so aus:
![]()
Das Gleiche gilt auch für zwei-dimensionale Vektoren:
![]()
Vektoren subtrahieren – Graphisch und rechnerisch
Möchtest du Vektoren subtrahieren, kannst du dies sowohl grafisch als auch rechnerisch tun. Je nach Kontext kannst du entscheiden, welche Methode für dich die Bessere ist.
Vektoren graphisch subtrahieren
Die erste Variante, um zwei Vektoren ![]()
zu subtrahieren, ist grafisch. Hier zeichnest du die beiden Vektoren, aber den zweiten mit umgedrehten Vorzeichen und verbindest dann den Fuß des einen Vektors mit der Spitze des anderen Vektors. So entsteht dann ein neuer Ergebnisvektor.
Die Spitze eines Vektors ist das Ende des Vektors, während der Fuß, dem Beginn des Vektors entspricht.
Schau dir das im Folgenden genauer an:
Stelle die Subtraktion zweier Vektoren ![]()
grafisch dar.
Grafische Darstellung | Erklärung |
 Abbildung 1: Vektor a
| Als Erstes zeichnest du dir den Vektor, von dem du subtrahieren willst, in ein Koordinatensystem ein.In diesem Fall zeichnest du also den Vektor ![]() .Zur Erinnerung: Bei einer Subtraktion wird die erste Zahl Minuend und die zweite Zahl Subtrahend genannt. Das Ergebnis ist dann die Differenz. Es gilt also: Minuend – Subtrahend = Differenz |
 Abbildung 2: negativer Vektor b
| Danach zeichnest du den zweiten Vektor, den Subtrahend ![]() , in das Koordinatensystem ein.Dabei solltest du darauf achten, dass du dort startest, wo der erste Vektor ![]() endet. Außerdem müssen die Vorzeichen des Subtrahenden durch das Minuszeichen erst noch umgekehrt werden. |
 Abbildung 3: Vektorsubtraktion
| Im nächsten Schritt kannst du den Fuß von ![]() , also des ersten Vektors, mit der Spitze von ![]() , also des zweiten Vektors, verbinden. Diese Verbindung ist die Differenz und somit der "neue" Vektor. |
Dieses Vorgehen funktioniert im drei-Dimensionalen genauso.
Achtung! Hier musst du – im Gegenteil zur Addition von Vektoren – etwas sehr Wichtiges beachten: Die Vorzeichen des Vektors 
müssen umgedreht werden, da du diesen subtrahieren willst und deshalb das Vorzeichen des zweiten Vektors negativ werden muss.
Vektoren rechnerisch subtrahieren
Die zweite Variante Vektoren zu subtrahieren ist rechnerisch. Diese Variante ist um einiges einfacher und schneller als die Variante mit dem Zeichnen. Hier musst du jeweils die Koordinaten der beiden Vektoren miteinander subtrahieren, um die Differenz der beiden Vektoren zu erhalten.
Subtraktion zweier Vektoren ![]()
:
![]()
beziehungsweise im zwei-dimensionalen
![]()
Während die Vektoraddition kommutativ ist, also die Reihenfolge der Komponenten egal ist, ist die Vektorsubtraktion nicht kommutativ. Hier ist die Reihenfolge sehr wichtig!
Hier eine Beispielaufgabe dazu:
Aufgabe 2
Berechne die Differenz der beiden Vektoren ![]()
.
Lösung
Als Erstes solltest du diese Aufgabenstellung in eine Rechnung umwandeln. In diesem Fall ist der Vektor ![]()
der Minuend und der Vektor ![]()
der Subtrahend.
![]()
Als Nächstes kannst du die beiden Vektoren zu einem Vektor zusammenfassen.
![]()
Zum Schluss musst du jetzt noch die zwei einzelnen Subtraktionen durchführen.
![]()
Die Differenz der Vektoren ![]()
beträgt ![]()
.
Vektoren subtrahieren – Beispiel
In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen testen:
- Berechne die Differenz der beiden Vektoren
![]()
. - Berechne die Differenz der beiden Vektoren
![]()
.
Lösung
1. Als Erstes musst du dir überlegen, ob du diese Aufgabe überhaupt berechnen kannst. Beide Vektoren sind Spaltenvektoren und befinden sich im zwei-Dimensionalen. Das bedeutet, du kannst direkt mit dem Rechnen anfangen, da sie die gleiche Struktur und die gleiche Dimension haben. Als Nächstes setzt du die Werte in die Formel von oben ein.
![]()
Zum Schluss kannst du die Vektoren wieder zusammenfassen und den Ergebnisvektor ausrechnen.
![]()
Die Differenz der Vektoren ![]()
beträgt ![]()
.
2. Auch hier musst du dir wieder überlegen, ob du die Aufgabe so überhaupt lösen kannst. Der erste Vektor ist ein Spaltenvektor, während der zweite Vektor ein Zeilenvektor ist. Sie haben also nicht die gleiche Struktur. Daher musst du beide Vektoren zuerst in die Form der Zeilenvektoren bringen. Dafür musst du den ersten Vektor anstatt von oben nach unten von links nach rechts aufschreiben.
![]()
Jetzt sind beide Vektoren Zeilenvektoren, jedoch hat Vektor ![]()
zwei Komponenten, während Vektor ![]()
drei Komponenten hat. Sie befinden sich also in unterschiedlichen Dimensionen. Da die Dimension eines Vektors nicht geändert werden kann, ist diese Aufgabe nicht lösbar und somit auch kein Ergebnis.
Vektorsubtraktion – Das Wichtigste
Vektoren müssen für die Subtraktion gleicher Art und Dimension sein.
Bei Spaltenvektoren sind die Koordinaten von oben nach unten notiert.
Bei Zeilenvektoren sind die Koordinaten von links nach rechts notiert.
Zwei-Dimensionale Vektoren haben zwei Koordinaten.
Drei-Dimensionale Vektoren haben drei Koordinaten.
Zeichnerisch wird der Fuß des Minuenden mit der Spitze des Subtrahenden verbunden.
Rechnerisch werden die Vektoren zu einem Vektor zusammengefasst und die einzelnen Komponenten miteinander subtrahiert.
Es gilt: ![]()
Die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig und sollte nicht verändert werden (nicht kommutativ).
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