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Vektoren können sowohl subtrahiert als auch addiert werden. In diesem Artikel geht es um die Subtraktion von Vektoren. Das Vorgehen und was die Voraussetzungen dafür sind, wird dir im folgenden Schritt für Schritt erklärt.
Neben der Addition von Vektoren, kannst du Vektoren auch subtrahieren. Grundsätzlich hast du zwei Möglichkeiten bei der Vektorsubtraktion: grafisch oder rechnerisch.
Wichtig bei der Vektorsubtraktion ist, dass die zu subtrahierenden Vektoren die gleiche Struktur und die gleiche Dimension haben. Aber was bedeutet das eigentlich?
Vektoren können in zwei unterschiedliche Arten dargestellt werden: als Zeilenvektor oder als Spaltenvektor.
Ein Vektor ist als Zeilenvektor angegeben, wenn alle Komponenten nebeneinander stehen.
Außerdem gibt es noch Spaltenvektoren. Bei Spaltenvektoren liegen alle Komponenten übereinander.
Die Dimension eines Vektors ist abhängig von der Anzahl der Koordinaten. Während ein Vektor mit zwei Komponenten im zwei-Dimensionalen liegt, liegt ein Vektor
mit drei Komponenten im drei-Dimensionalen.
Zur Wiederholung: Die Komponenten eines Vektors sind seine x-, y- und gegebenenfalls z-Koordinaten.
Hier ein paar Beispielaufgaben dazu:
Aufgabe 1
Entscheide, ob man diese Vektoren in ihrer angegebenen Form subtrahieren kann.
1.
2.
3.
4.
Lösung
1.
In diesem Fall sind beide Vektoren Zeilenvektoren und haben 2 Komponenten. Aufgrund dessen haben sie die gleiche Struktur und die gleiche Dimension, was bedeutet, dass eine Subtraktion möglich ist.
2.
Hier sind beide Vektoren Zeilenvektoren, wodurch die erste Anforderung, die gleiche Struktur, schon erfüllt ist. Der Vektor
ist jedoch im zwei-Dimensionalen, während der Vektor
sich im drei-Dimensionalen befindet. Damit ist die zweite Anforderung, die gleiche Dimension, nicht erfüllt. Die Vektoren
können demnach nicht subtrahiert werden.
3.
In diesem Fall haben beide VektorenFalls du nach diesem Prinzip merkst, dass deine Vektoren nicht die gleiche Struktur und/oder die gleiche Dimension haben, kannst du sie so umwandeln, dass sie den Anforderungen entsprechen.
Einen Spaltenvektor in einen Zeilenvektor umzuwandeln oder andersherum ist einfach. Besonders, wenn die Vektoren noch nicht mit Zahlen, sondern allgemein aufgeschrieben werden, kannst du auf einen Blick erkennen, dass du den Vektor nur anders aufschreiben musst. Also anstatt von links nach rechts, von oben nach unten. Oder anstatt von oben nach unten, von links nach rechts.
Die Umwandlung von Zeilen- in Spaltenvektor sieht dann so aus:
Möchtest du Vektoren subtrahieren, kannst du dies sowohl grafisch als auch rechnerisch tun. Je nach Kontext kannst du entscheiden, welche Methode für dich die Bessere ist.
Die erste Variante, um zwei Vektoren zu subtrahieren, ist grafisch. Hier zeichnest du die beiden Vektoren, aber den zweiten mit umgedrehten Vorzeichen und verbindest dann den Fuß des einen Vektors mit der Spitze des anderen Vektors. So entsteht dann ein neuer Ergebnisvektor.
Die Spitze eines Vektors ist das Ende des Vektors, während der Fuß, dem Beginn des Vektors entspricht.
Schau dir das im Folgenden genauer an:
Stelle die Subtraktion zweier Vektoren grafisch dar.
Grafische Darstellung | Erklärung |
| Als Erstes zeichnest du dir den Vektor, von dem du subtrahieren willst, in ein Koordinatensystem ein.In diesem Fall zeichnest du also den Vektor Zur Erinnerung: Bei einer Subtraktion wird die erste Zahl Minuend und die zweite Zahl Subtrahend genannt. Das Ergebnis ist dann die Differenz. Es gilt also: Minuend – Subtrahend = Differenz |
| Danach zeichnest du den zweiten Vektor, den Subtrahend |
| Im nächsten Schritt kannst du den Fuß von |
Dieses Vorgehen funktioniert im drei-Dimensionalen genauso.
Achtung! Hier musst du – im Gegenteil zur Addition von Vektoren – etwas sehr Wichtiges beachten: Die Vorzeichen des Vektors müssen umgedreht werden, da du diesen subtrahieren willst und deshalb das Vorzeichen des zweiten Vektors negativ werden muss.
Die zweite Variante Vektoren zu subtrahieren ist rechnerisch. Diese Variante ist um einiges einfacher und schneller als die Variante mit dem Zeichnen. Hier musst du jeweils die Koordinaten der beiden Vektoren miteinander subtrahieren, um die Differenz der beiden Vektoren zu erhalten.
Während die Vektoraddition kommutativ ist, also die Reihenfolge der Komponenten egal ist, ist die Vektorsubtraktion nicht kommutativ. Hier ist die Reihenfolge sehr wichtig!
Hier eine Beispielaufgabe dazu:
Aufgabe 2
Berechne die Differenz der beiden Vektoren .
Lösung
Als Erstes solltest du diese Aufgabenstellung in eine Rechnung umwandeln. In diesem Fall ist der Vektor der Minuend und der Vektor
der Subtrahend.
Als Nächstes kannst du die beiden Vektoren zu einem Vektor zusammenfassen.
Zum Schluss musst du jetzt noch die zwei einzelnen Subtraktionen durchführen.
Die Differenz der Vektoren beträgt
.
In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen testen:
Aufgabe 3
Lösung
1. Als Erstes musst du dir überlegen, ob du diese Aufgabe überhaupt berechnen kannst. Beide Vektoren sind Spaltenvektoren und befinden sich im zwei-Dimensionalen. Das bedeutet, du kannst direkt mit dem Rechnen anfangen, da sie die gleiche Struktur und die gleiche Dimension haben. Als Nächstes setzt du die Werte in die Formel von oben ein.
Zum Schluss kannst du die Vektoren wieder zusammenfassen und den Ergebnisvektor ausrechnen.
Die Differenz der Vektoren beträgt
.
2. Auch hier musst du dir wieder überlegen, ob du die Aufgabe so überhaupt lösen kannst. Der erste Vektor ist ein Spaltenvektor, während der zweite Vektor ein Zeilenvektor ist. Sie haben also nicht die gleiche Struktur. Daher musst du beide Vektoren zuerst in die Form der Zeilenvektoren bringen. Dafür musst du den ersten Vektor anstatt von oben nach unten von links nach rechts aufschreiben.
Jetzt sind beide Vektoren Zeilenvektoren, jedoch hat Vektor zwei Komponenten, während Vektor
drei Komponenten hat. Sie befinden sich also in unterschiedlichen Dimensionen. Da die Dimension eines Vektors nicht geändert werden kann, ist diese Aufgabe nicht lösbar und somit auch kein Ergebnis.
Vektoren müssen für die Subtraktion gleicher Art und Dimension sein.
Bei Spaltenvektoren sind die Koordinaten von oben nach unten notiert.
Bei Zeilenvektoren sind die Koordinaten von links nach rechts notiert.
Zwei-Dimensionale Vektoren haben zwei Koordinaten.
Drei-Dimensionale Vektoren haben drei Koordinaten.
Zeichnerisch wird der Fuß des Minuenden mit der Spitze des Subtrahenden verbunden.
Rechnerisch werden die Vektoren zu einem Vektor zusammengefasst und die einzelnen Komponenten miteinander subtrahiert.
Es gilt:
Die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig und sollte nicht verändert werden (nicht kommutativ).
Eine Vektorsubtraktion ist, wenn ein Vektor von einem anderen Vektor subtrahiert, also minus genommen, wird. Ein Vektor wird also von einem anderen Vektor abgezogen.
Vektoren können subtrahiert werden, wenn sie die gleiche Struktur (Spaltenvektor oder Zeilenvektor) und die gleiche Dimension (zwei-Dimensional oder drei-Dimensional) haben.
Vektoren können subtrahiert werden. Es gibt 2 Möglichkeiten die Differenz zweier Vektoren zu erhalten: zeichnerisch oder rechnerisch.
Zwei Vektoren können auf zwei unterschiedliche Arten subtrahiert werden: zeichnerisch und rechnerisch.
1. Zeichnerisch wird der 1. Vektor in ein Koordinatensystem gezeichnet. Dann werden die Vorzeichen des zweiten Vektors umgekehrt und er wird an die Spitze des ersten Vektors gesetzt. Die Differenz ist der Verbindungsvektor vom Fuß des ersten Vektors zur Spitze des zweiten Vektors.
Rechnerisch gilt:
a - b = (a1|a2) - (b1|b2) = (a1 - b1|a2 - b2)
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