Vektoren können sowohl subtrahiert als auch addiert werden. In diesem Artikel geht es um die Subtraktion von Vektoren. Das Vorgehen und was die Voraussetzungen dafür sind, wird Dir im folgenden Schritt für Schritt erklärt.
Vektorsubtraktion – Wann kann man Vektoren subtrahieren?
Damit sich zwei Vektoren addieren/subtrahieren lassen, müssen sie beide die gleiche Dimension besitzen.Die Dimension eines Vektors \(\vec a\) bezeichnet die Anzahl seiner Einträge. Der Vektor \(\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\) besitzt die Dimension 2.
Vektoren subtrahieren – Graphisch und rechnerisch
A) \[\begin{pmatrix}5 \\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}3 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-3 \\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13 \\4\end{pmatrix}\]
B) \[\begin{pmatrix}-8 \\11\\1\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}5 \\7\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8-5 \\11-7\\1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13 \\4\\-1\end{pmatrix}\]
Vektoren graphisch subtrahieren
Die erste Variante, um zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) zu subtrahieren, ist graphisch. Hier zeichnest Du die beiden Vektoren, aber den zweiten mit umgedrehten Vorzeichen und verbindest dann den Fuß des einen Vektors mit der Spitze des anderen Vektors. So entsteht dann ein neuer Ergebnisvektor.
Die Spitze eines Vektors ist das Ende des Vektors, während der Fuß, dem Beginn des Vektors entspricht.
Schau Dir das im Folgenden genauer an:
Stelle die Subtraktion zweier Vektoren \(\vec a = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec b = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\) graphisch dar.
Grafische Darstellung | Erklärung |
 Abbildung 1: Vektor a
| Als Erstes zeichnest Du Dir den Vektor, von dem Du subtrahieren willst, in ein Koordinatensystem ein.In diesem Fall zeichnest Du also den Vektor \(\vec a = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\).Zur Erinnerung: Bei einer Subtraktion wird die erste Zahl Minuend und die zweite Zahl Subtrahend genannt. Das Ergebnis ist dann die Differenz. Es gilt also: Minuend – Subtrahend = Differenz |
 Abbildung 2: negativer Vektor b
| Danach zeichnest Du den zweiten Vektor, den Subtrahend \(\vec b\), in das Koordinatensystem ein.Dabei solltest Du darauf achten, dass Du dort startest, wo der erste Vektor \(\vec a\) endet. Außerdem müssen die Vorzeichen des Subtrahenden durch das Minuszeichen erst noch umgekehrt werden. \(-\vec b = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}\) |
 Abbildung 3: Vektorsubtraktion
| Im nächsten Schritt kannst du den Fuß von \(\vec a\), also des ersten Vektors, mit der Spitze von \(\vec b\), also des zweiten Vektors, verbinden. Diese Verbindung ist die Differenz und somit der "neue" Vektor. |
Dieses Vorgehen funktioniert im drei-Dimensionalen genauso.
Achtung! Hier musst du – im Gegenteil zur Addition von Vektoren – etwas sehr Wichtiges beachten: Die Vorzeichen des Vektors 
müssen umgedreht werden, da du diesen subtrahieren willst und deshalb das Vorzeichen des zweiten Vektors negativ werden muss.
Vektoren rechnerisch subtrahieren
Die zweite Variante Vektoren zu subtrahieren ist rechnerisch. Diese Variante ist um einiges einfacher und schneller als die Variante mit dem Zeichnen. Hier musst Du jeweils die Koordinaten der beiden Vektoren miteinander subtrahieren, um die Differenz der beiden Vektoren zu erhalten.
Subtraktion zweier Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\):
\[\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{pmatrix}\]
beziehungsweise im zwei-dimensionalen
\[\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}\]
Berechne die Differenz der beiden Vektoren \(\vec a=\begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\) .
Lösung
\[\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-5\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\]
Vektoren subtrahieren – Aufgaben mit Lösungen
In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen testen:
Aufgabe 1
Berechne die Differenz der Vektoren \(\vec a=\begin{pmatrix}12\\6\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)
Lösung:
\[\begin{pmatrix}12\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12-3\\6-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}\]
Aufgabe 2
Berechne die Differenz der Vektoren \(\vec a=\begin{pmatrix}8\\3\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}\)
Lösung:
\[\begin{pmatrix}8\\3\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-5\\3-1\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}\]
Aufgabe 3
Berechne die Differenz der Vektoren \(\vec a=\begin{pmatrix}-3\\1\\14\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}\)
Lösung:
\[\begin{pmatrix}-3\\1\\14\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3-2\\1-(-3)\\14-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\4\\12\end{pmatrix}\]
Vektorsubtraktion – Das Wichtigste
Vektoren müssen für die Subtraktion gleicher Art und Dimension sein.
Vektoren lassen sich graphisch durch Zusammensetzen der Pfeile addieren und subtrahieren
Für die Vektorsubtraktion gilt die folgende Rechenregel:\[\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}\]
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