\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 200}\)
Den Goldenen Schnitt findest Du überall in Deinem Alltag. Zum Beispiel haben viel architektonische Bauwerke den Goldenen Schnitt inbegriffen, aber auch in der Kunst oder der Musik findest Du immer wieder den Goldenen Schnitt in der Einteilung von Gemälden oder Musikstücken. Aber was ist der Goldene Schnitt einfach erklärt und was hat es mit dem Goldenen Schnitt mathematisch auf sich? In dieser Erklärung erfährst Du nicht nur dies, sondern auch wie Du den Goldenen Schnitt berechnest und konstruierst.
Goldener Schnitt – einfach erklärt
Bevor Du mit dem Goldenen Schnitt anfängst, zu rechnen oder ihn zu konstruieren, solltest Du wissen, auf welchen Grundlagen der Goldene Schnitt beruht. Der Goldene Schnitt ist ein spezielles Teilungsverhältnis. Teilungsverhältnisse treten bei Strecken auf, welche von einem dritten Punkt innerhalb oder außerhalb der Strecke geteilt werden.
Wenn Du noch mehr zum Thema Teilungsverhältnis wissen möchtest, lies einmal in der Erklärung „Teilungsverhältnisse“ nach.
Goldener Schnitt – Definition & Formel
Auf latinisch heißt der Goldene Schnitt „proportio divina“. Ins Deutsche übersetzt bedeutet dies so viel wie göttliches Verhältnis.
Der Goldene Schnitt ist ein bestimmtes Teilungsverhältnis einer Strecke. Dabei wird die Gesamtstrecke \(a+b\) in zwei Teilstrecken \(a\) und \(b\) geteilt. Das Verhältnis von der gesamten Strecke \(a+b\) zur größeren Teilstrecke \(a\) ist dabei gleich dem Verhältnis der größeren Teilstrecke \(a\) zur kleineren Teilstrecke \(b\) ist.
Es gilt: \[\frac{\color{r}a}{\color{gr}b}=\frac{({\color{bl}a+b})}{\color{r}a}\]
In der Abbildung 1 siehst Du alle Strecken und Teilstrecken, welche für das Teilungsverhältnis Goldener Schnitt relevant sind. Für das Auge sieht das Verhältnis der beiden Teilstrecken \(a\) und \(b\) wie eine \(2\) zu \(1\) Teilung aus. Jedoch wird die Strecke \(a+b\) unter einer anderen Verhältniszahl, der Goldenen Zahl \(\phi\) (Phi), geteilt.
Abb. 1 - Goldener Schnitt Definition.
Goldener Schnitt – Zahl
Mit dem Goldenen Schnitt ist die Goldene Zahl \(\phi\) verbunden. Sie gibt das Teilverhältnis der Teilstrecke \(a\) zur Teilstrecke \(b\) des Goldenen Schnittes an.
Die Goldene Zahl \(\phi\) des Goldenen Schnitts entspricht dem Teilverhältnis \(\dfrac{a}{b}\). Für die Goldene Zahl \(\phi\) gilt:
\[\phi=\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}618\]
Das heißt, dass die Strecke \(a+b\) im Verhältnis des Goldenen Schnittes \(1\) zu \(1{,}618\) geteilt wird.
Um zu der Goldenen Zahl zu gelangen, führst Du ein paar Umformungen vom Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes durch. Sieh Dir dazu gerne die folgende Vertiefung an.
Als Erstes löst Du die Brüche auf, indem Du einmal mit \(a\) und einmal mit \(b\) erweiterst und danach kürzt.
\begin{align} \frac{a+b}{a}&=\frac{a}{b} &|&\cdot a \\[0.1cm]\frac{(a+b)\cdot \color{bl}{\not{a}}}{\not{a}} &=\frac{a \cdot \color{bl}a}{b} \\[0.1cm]a+b&=\frac{a^2}{b} &|&\cdot b \\[0.1cm](a+b)\cdot \color{gr}b &=\frac{a^2 \cdot \color{gr} \not{b}}{\not{b}} \\[0.1cm](a+b)\cdot b&=a^2 \\[0.1cm]ab+b^2&=a^2 \end{align}
Anschließend bringst Du das \(a^2\) auf die andere Seite und wendest die Mitternachtsformel an, wobei \(a\) hier als Variable angesehen wird.
\begin{align} {\color{bl}-1}a^2+a{\color{gr}b}+{\color{r}b^2}&=0 \\[0.1cm]a&=\frac{-{\color{gr}b}\pm\sqrt{{\color{gr}b}^2-4\cdot {\color{bl}(-1)} \cdot {\color{r}b^2}}}{2\cdot {\color{bl}(-1)}} \\[0.1cm]a&=\frac{-b\pm\sqrt{5b^2}}{-2} \\[0.1cm] a&=\frac{-b\pm b\sqrt{5}}{-2} \\[0.1cm]a&=-b\left(\frac{1\pm \sqrt{5}}{-2} \right)\end{align}
Bei einer quadratischen Gleichung gibt es meist zwei Lösungen. In diesem Fall rechnerisch ebenfalls, jedoch gibt es keine negativen Streckenlängen und dementsprechend entfällt die negative Lösung. Damit vereinfacht sich die Formel wie folgt:
\begin{align} a&=b\left(\frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right) &|&:b \\[0.1cm] \frac{a}{b}&=\frac{1+\sqrt 5}{2} \\[0.1cm] \phi=\frac{a}{b}&=\frac{1+\sqrt 5}{2} \end{align}
Somit ist die Goldene Zahl \(\phi=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\) und Du hast sie aus dem Goldenen Schnitt hergeleitet.
Goldener Schnitt – Beispiele
Zum Goldenen Schnitt gibt es verschiedene Beispiel aus der Natur. So unter anderem das Haus einer Schnecke. Dabei stehen die einzelnen Rillen des Schneckengehäuses im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Abb. 2 - Beispiel Schneckenhaus.
Du kannst den Goldenen Schnitt nicht nur in der Natur finden, sondern auch in vielen geometrischen Figuren, so unter anderem im fünfeckigen Pentagramm.
Abb. 3 - Beispiel fünfeckiges Pentagramm
Wie Du für diese Beispiele den Goldenen Schnitt berechnest und konstruierst, erfährst Du jetzt.
Goldener Schnitt Verhältnis – Goldener Schnitt berechnen
Den Goldenen Schnitt kannst Du wie alle Teilungsverhältnisse über die Formel \[\frac{a}{b}=\phi\] berechnen.
Aufgabe 1
Die Strecke \(a+b\) wird von dem Punkt \(T\) im Goldenen Schnitt geteilt. Die kürzere Teilstrecke \(b\) ist \(12\,m\) lang.
Berechne die Länge der Teilstrecke \(a\). Gib anschließend die Länge der Gesamtstrecke \(a+b\) an.
Lösung
Als Erstes stellst Du das Teilungsverhältnis auf.
\[\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt5}{2}\]
Jetzt stellst Du das Verhältnis nach \(a\) um.
\begin{align} \frac{a}{b}&=\frac{1+\sqrt5}{2} &|&\cdot b \\[0.1cm] a&=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\cdot b \\[0.1cm] a&=\frac{b+b\sqrt5}{2} \end{align}
Jetzt setzt Du den Wert für \(b\) ein.
\begin{align} a&=\frac{12+12\sqrt5}{2} \\[0.1cm] a&\approx 19{,}416\,m \end{align}
Zum Schluss rechnest Du die beiden Teilstrecken \(a\) und \(b\) noch zusammen.
\begin{align} a+b&=19{,}416\,m+12\,m=31{,}416\,m \end{align}
Die Teilstrecke \(a\) ist rund \(19{,}416\,m\) lang. Die gesamte Strecke \(a+b\) ist rund \(31{,}416\,m\) lang.
Goldener Schnitt – konstruieren
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Goldenen Schnitt zu konstruieren. Die folgenden drei Konstruktionen sind nur eine Auswahl aus vielen weiteren Möglichkeiten. Wie auch sonst beim Konstruieren benötigst Du einen Zirkel und ein Lineal.
Alle Grundlagen zur Konstruktion findest Du in der Erklärung „Konstruieren“.
Konstruktion mit Senkrechte
Den Goldenen Schnitt über eine Senkrechte zu konstruieren, ist eine schnelle Möglichkeit, um zum Goldenen Schnitt zu gelangen. Besonders kannst Du diese Konstruktion anwenden, wenn Du eine Strecke \(a+b\) vorgegeben hast.
| Konstruktionsschritte | Konstruktion |
| 1. Schritt: Konstruiere den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(a+b\), in dem Du eine Mittelsenkrechte konstruierst. | 
|
| 2. Schritt: Trage nun eine senkrechte Strecke \(c\) in Punkt \(B\) ab. Die Strecke \(c\) ist halb so lang wie die Strecke \(a+b\). Dafür konstruierst Du eine Senkrechte im Punkt \(B\) und trägst anschließend die Länge der Strecke auf der Senkrechten ab. | 
|
| 3. Schritt: Jetzt verbindest Du die Punkte \(A\) und \(C\). Anschließend zeichnest Du einen Kreis um \(C\) mit dem Radius der Strecke \(c\). Der Kreis schneidet die Strecke \(\overline{AC}\) im Punkt \(D\). | 
|
| 4. Schritt: Danach zeichnest Du einen Kreis um den Punkt \(A\) mit dem Radius der Strecke \(\overline{AD}\). Zum Schluss beschriftest Du den Schnittpunkt \(T\) des Kreises um \(A\) mit der Strecke \(a+b\). Der Punkt \(T\) teilt die Strecke \(a+b\) im Goldenen Schnitt. | 
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Konstruktion nach Euklid
Als ein bedeutender griechischer Mathematiker im \(3\). Jahrhundert vor Christus schrieb Euklid von Alexandria einige bedeutende Werke der Mathematik. Er beschäftigte sich mit vielen verschiedenen Themen, unter anderem auch dem Goldenen Schnitt. Für den Goldenen Schnitt entwickelte Euklid eine andere Konstruktionsweise.
| Konstruktionsschritte | Konstruktion |
| 1. Schritt: Konstruiere zuerst die Mittelsenkrechte der Strecke \(a+b\). | 
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| 2. Schritt: Trage nun eine senkrechte Strecke in Punkt \(A\) ab. Die Strecke \(c\) ist halb so lang wie die Strecke \(a+b\). Dafür konstruierst Du eine Senkrechte im Punkt \(A\) und trägst anschließend die Länge der Strecke auf der Senkrechten ab. | 
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| 3. Schritt: Zeichne einen Kreis um \(C\) mit dem Radius \(\overline{BC}\). Dieser schneidet die Verlängerung der Strecke \(c\) im Punkt \(D\). | 
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| 4. Schritt: Zum Schluss zeichnest Du einen Kreis um \(A\) mit dem Radius \(\overline{AD}\). Dieser Kreis schneidet die Strecke \(a+b\) im Punkt \(T\). Der Punkt \(T\) teilt die Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes. | 
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Konstruktion nach Odom
Diese Konstruktionsweise des Goldenen Schnittes entdeckte der US-amerikanische Künstler George Odom (\(1941\)-\(2010\)) im Jahre \(1983\). Sie beruht auf der Konstruktion eines gleichseitigen Dreieckes mit Umkreis.
| Konstruktionsschritte | Konstruktion |
| 1. Schritt: Als Erstes konstruierst Du ein gleichseitiges Dreieck \(XYZ\) mit den Seiten \(x,\,y,\,z\). | 
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| 2. Schritt: Jetzt konstruierst Du den Umkreis \(k_U\) des gleichseitigen Dreieckes. | 
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| 3. Schritt: Konstruiere nun den Mittelpunkt der beiden Seiten \(x\) und \(y\). Die Mittelpunkte der Seiten werden mit \(A\) und \(T\) benannt. | 
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| 4. Schritt: Zum Schluss verbindest Du \(A\) und \(T\). Die Verlängerung der Strecke \(a\) schneidet den Umkreis des Dreieckes im Punkt \(B\). Der Punkt \(T\) teilt die Strecke \(a+b\) im Verhältnis des Goldenen Schnittes. | 
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Diese Konstruktionen sind nur eine Auswahl an möglichen Konstruktionen des Goldenen Schnittes. Im engen Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt steht auch eine Zahlenfolge, genauer gesagt die Fibonacci-Zahlenfolge.
Goldener Schnitt – Fibonacci
Fibonacci war ein italienischer Rechenmeister in Pisa. In seiner Lebenszeit erforschte er die Zahlentheorie und entdeckte dabei die Fibonacci-Zahlenfolge, die im engen Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt steht.
Die Fibonacci-Zahlenfolge ist eine unendliche Zahlenfolge, bei welcher die beiden vorhergehenden Zahlen addiert die nächste Zahl ergeben. Dabei streben zwei aufeinanderfolgende Zahlen der Folge das Verhältnis des Goldenen Schnittes an.
Fibonacci-Zahlenfolge: \[0,\,1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,21,\,34,\,55,\,89,\,144,\,233,\,377,\, ...\]
Es gilt: \[f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2} \hspace{2cm}\]
mit \(f_0=0\) und \(f_1=1\) gilt: \(n\geq 2\)
Für die Zahlenfolge gilt: \[\lim_{x\to\infty} \frac{f_{n}}{f_{n-1}}=\phi\approx 1{,}618\]Also nähert sich das Verhältnis von zwei aufeinander folgenden Fibonacci Zahlen dem Goldenen Schnitt.
Funfact: Fibonacci soll aufgrund des Vermehrungsverhalten von Häschen auf die Fibonacci-Zahlenfolge gestoßen sein.
In den zugehörigen Karteikarten findest Du Übungsaufgaben und Wissensfragen rund um das Thema des Goldenen Schnittes. Schau dort gerne vorbei!
Goldener Schnitt – Das Wichtigste
- Der Goldene Schnitt ist ein bestimmtes Teilungsverhältnis einer Strecke. Dabei wird die Gesamtstrecke \(a+b\) in zwei Teilstrecken \(a\) und \(b\) geteilt. Das Verhältnis von der gesamten Strecke \(a+b\) zur größeren Teilstrecke \(a\) ist dabei gleich dem Verhältnis der größeren Teilstrecke \(a\) zur kleineren Teilstrecke \(b\) ist.
\[\frac{\color{r}a}{\color{gr}b}=\frac{({\color{bl}a+b})}{\color{r}a}\]
Das Teilverhältnis \(\dfrac{a}{b}\) wird durch die Goldene Zahl \(\phi\) beschrieben.\[\phi=\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}618\]
Die Gesamtstrecke wird somit in einem Verhältnis von \(1\) zu \(1{,}618\) geteilt.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Goldenen Schnitt zu konstruieren, unter anderem das Verfahren von Euklid oder Odom.
Die Fibonacci-Zahlenfolge ist eine unendliche Zahlenfolge, bei welcher die beiden vorhergehenden Zahlen addiert die nächste Zahl ergeben. Dabei streben zwei aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Folge das Verhältnis \(\phi\) des Goldenen Schnittes an.
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