Select your language

Suggested languages for you:
Login Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Kugel

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Kugel

Für das Handballtraining benötigt Smilla einen Handball mit \(16\,\text{cm}\) Durchmesser. Sie hat bereits einen Handball Zuhause, ist sich aber unsicher, ob er die richtige Größe hat.

Smilla kann den Durchmesser des Balles nur schwer messen. Aber der Handball ist in der Geometrie eine Kugel.

Smilla erinnert sich an den Matheunterricht und ihr fällt ein, dass sie zuerst den Umfang des Balles messen und dann den Durchmesser der "Kugel" berechnen kann.

Kugel – Geometrie

Die Kugel ist ein geometrischer Körper. Sie ist dreidimensional.

Eine Kugel ist ein völlig runder geometrischer Körper. Die Punkte auf der Oberfläche der Kugel haben alle denselben Abstand zum Mittelpunkt.

Kugel Bild StudySmarterAbb. 1 - Kugel

Doch welche Eigenschaften hat eine Kugel?

Kugel Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften gelten für alle Kugeln:

  • Eine Kugel hat keine Ecken und Kanten.

  • Die Oberfläche einer Kugel ist krumm. Sie wird auch kurz als "Fläche" bezeichnet.

  • Jeder Punkt \(P\) auf der Oberfläche ist gleich weit vom Mittelpunkt \(M\) entfernt.

  • Eine Kugel hat unendlich viele Symmetrieebenen. Sie verlaufen alle durch den Mittelpunkt.

Jede Kugel hat auch Großkreise und Kleinkreise.

Ein Großkreis entsteht, wenn Du einen größtmöglichen Kreis auf der Kugeloberfläche zeichnest.

Der Mittelpunkt eines Großkreises auf der Kugel ist identisch mit dem Kugelmittelpunkt.

Jeder Kreis auf der Kugel, der seinen Mittelpunkt auf dem Mittelpunkt des Kreises hat, ist ein Großkreis.

Ein Großkreis teilt eine Kugel immer in zwei identische Hälften. Auf einer Kugel existieren unendlich viele Großkreise.Ein Kleinkreis ist hingegen jeder Kreis auf der Kugeloberfläche, der kein Großkreis ist.
Jeder Kreis auf einer Kugel, dessen Mittelpunkt nicht auf dem Kugelmittelpunkt liegt, ist ein Kleinkreis.
Auf einer Kugel existieren auch unendliche viele Kleinkreise.

Kugel Radius und Durchmesser

Jede Kugel hat einen Radius.

Der Abstand eines Punktes \(P\) auf der Oberfläche der Kugel zum Mittelpunkt \(M\) ist der Radius \(r\) der Kugel.

Der Radius einer Kugel bestimmt sie eindeutig.

Würdest Du bei einer Kugel von der einen Seite einmal durch den Mittelpunkt durch zur anderen Seite messen, erhältst Du den Durchmesser.

Der Durchmesser \(d\) einer Kugel entspricht dem doppelten Radius \(r\) der Kugel.

$$d=2·r$$

In Abbildung 2 ist der Radius und der Durchmesser einer Kugel eingezeichnet.

Kugel Radius Durchmesser StudySmarterAbb. 2 - Radius r und Durchmesser d einer Kugel

Umfang Kugel

Neben dem Radius und dem Durchmesser gibt es als wichtige Größe einer Kugel auch den Umfang. Der Umfang steht, wie bei einem Kreis, im direkten Zusammenhang mit dem Radius bzw. Durchmesser.

Die Strecke einmal um die Kugel herum auf Höhe des Mittelpunktes wird als Umfang \({\color{#00dcb4}U}\) bezeichnet. Er ist stets ein Kreis.

Für eine Kugel mit Radius \(r\) gilt:

$$U=2·\pi ·r$$

Kugel Umfang StudySmarterAbb. 3 - Umfang U einer Kugel

Du kannst die Formel für den Umfang auch mit dem Durchmesser angeben. Dann lautet sie: \(U=\pi ·d\)

Wundere Dich nicht, dass der Umfang der Kugel in Abbildung 3 nicht kreisförmig aussieht. Das liegt an der Zeichnung als Schrägbild.

Jeder Großkreis auf der Kugel gibt den Umfang der Kugel an.

Oberfläche Kugel

Die Oberfläche einer Kugel kannst Du, anders als bei anderen geometrischen Körpern, nicht als Netz zeichnen.

Die Größe der Oberfläche einer Kugel kannst Du berechnen. Sie wird als Oberflächeninhalt bezeichnet.

Der Oberflächeninhalt \(O\) einer Kugel mit Radius \(r\) ist

$$O=4·\pi ·r^2$$

In der Erklärung "Oberflächeninhalt Kugel" findest Du eine ausführliche Herleitung des Oberflächeninhalts der Kugel sowie Beispiele mit Aufgaben zur Berechnung der Oberfläche.

Volumen Kugel

Das Volumen einer Kugel gibt Dir die Größe des Rauminhaltes der Kugel an. Wenn Du Dich fragst "Wie viel passt in die Kugel?" gibt das Volumen Dir die Antwort.

Du kannst das Volumen der Kugel mit dem Radius berechnen.

Das Volumen \(V\) einer Kugel mit Radius \(r\) ist

$$V=\frac{4}{3} · \pi · r^3$$

Unter "Volumen Kugel" findest Du eine ausführliche Erklärung und Herleitung der Formel sowie Beispiele und Aufgaben.

Kugel zeichnen

Die Kugel kannst Du als Schrägbild zeichnen.

In der Erklärung "Schrägbild" kannst Du nachlesen, was ein Schrägbild ist und wie es allgemein gezeichnet wird.

Im folgenden Beispiel wird eine Kugel Schritt für Schritt als Schrägbild gezeichnet.

Zuerst zeichnest Du einen Kreis mit dem Radius \(r\), hier ist der Radius \(r=4\,\text{cm}\).

Kugel zeichnen StudySmarterAbb. 4 - Kreis zeichnen

Dann zeichnest Du vom Mittelpunkt des Kreises im \(45°\text{Winkel}\) "nach hinten" eine Strecke mit dem halben Radius als Länge. Hier ist die Strecke also \(2m\,\text{cm}\) lang.

Kugel zeichnen StudySmarterAbb. 5 - 45°-Winkel

Dasselbe kannst Du auch "nach vorne" zeichnen.

Kugel zeichnen StudySmarterAbb. 6 - Strecke "nach vorne"

Durch die Endpunkte \(C,\,D\) der eben gezeichneten Strecken und die Punkte \(A,\,B\) des Kreises zeichnest Du nun eine Ellipse.

Kugel zeichnen StudySmarterAbb. 7 - Ellipse zeichnen

Fertig ist das Schrägbild der Kugel.

Mit diesen Schritten kannst Du jede Kugel zeichnen, Du passt nur den Radius an.

Kugel berechnen

Von einer Kugel kannst Du verschiedene Werte berechnen. Weiter oben hast Du bereits erfahren, wie Du die Oberfläche und das Volumen einer Kugel berechnest.

Manchmal ist das Volumen oder die Oberfläche einer Kugel bekannt und Du willst den Radius berechnen.

Kugel Radius berechnen mit Volumen

Das Volumen einer Kugel ist gegeben. Du willst den Radius berechnen. Dazu stellst Du die Volumenformel nach dem Radius um.

\begin{array}{rcll}V&=&\frac{4}{3}\pi r^3 & |·\frac{3}{4} \\\frac{3}{4}V&=&\pi r^3 & |:\pi \\\frac{3}{4}·\frac{V}{\pi}&=&r^3&|\sqrt[3]{} \\\sqrt[3]{\frac{3}{4}·\frac{V}{\pi}}&=r\end{array}

Mit dieser neuen Formel kannst Du den Radius einer Kugel mit dem Volumen berechnen.

Aufgabe 1

Berechne den Radius \(r\) einer Kugel mit Volumen \(V=113\,\mathrm{cm}^3\).

Lösung

Du setzt den Wert für das Volumen in die Formel ein und rechnest dann aus:

\begin{array}{rcl}r & = & \sqrt[3]{\frac{3}{4}·\frac{V}{\pi}}\\& = & \sqrt[3]{\frac{3}{4}·\frac{113\,\text{cm}^3}{\pi}}\\& \approx & \sqrt[3]{\text{26,98 cm}^3} \\&\approx & 3\,\text{cm}\end{array}

Im Beispiel ziehst Du die Wurzel aus \(\text{cm}^3\). Dadurch ist die Einheit dann \(cm\),

Kugel Durchmesser berechnen mit Oberflächeninhalt

Den Durchmesser einer Kugel kannst Du natürlich bestimmen, indem Du den Radius verdoppelt. Dazu muss der Radius allerdings bekannt sein. Manchmal wird auch nach dem Durchmesser gefragt, ohne dass der Radius gegeben ist.

Aufgabe 2

Berechne den Durchmesser \(d\) einer Kugel mit Oberflächeninhalt \(O=531\,\text{cm}^2\).

Lösung

Zuerst stellst Du die Formel für den Oberflächeninhalt nach dem Radius um. Aus dem Radius berechnest Du dann den Durchmesser.

\begin{array}{rcll}O & = & 4·\pi ·r^2 & |:(4·\pi) \\\frac{O}{4·\pi} & = & r^2 & | \sqrt{} \\\sqrt{\frac{O}{4·\pi}} & = & r\end{array}

Jetzt setzt Du wie in Aufgabe 1 Werte ein und bestimmst den Radius.

\begin{align}r & = \sqrt{ \frac{531\, \text{cm}^2}{4·\pi}}\\&\approx \sqrt{\text{42,26 cm}^2} \\&\approx \text{6,5 cm}\end{align}

Schließlich verdoppelst Du den Radius, um den Durchmesser zu berechnen.

$$d=2·\text{6,5 cm}=13\, \text{cm}$$

Kugel als Rotationskörper

Stell Dir vor, eine ebene Fläche dreht sich sehr, sehr schnell um eine Achse. Dann entsteht ein Rotationskörper.

Ein Rotationskörper ist ein Körper, der von einer rotierenden ebenen Fläche um eine Rotationsachse gebildet wird.

Die Kugel ist ein Rotationskörper. Wenn ein Halbkreis um eine Achse rotiert, entsteht eine Kugel.

Die Achse ist dann der Durchmesser der Kugel.

Mehr zum Thema Rotationskörper kannst Du in der zugehörigen Erklärung erfahren.

Klicke einfach auf den Begriff, dann öffnet sich die Erklärung.

Kugelabschnitt, Kugelausschnitt und Kugelschicht

Nicht immer ist die gesamte Kugel vorhanden. Manchmal wird ein Teil der Kugel abgeschnitten. Dabei entstehen spezielle Kugelteile: der Kugelabschnitt, der Kugelausschnitt und die Kugelschicht. Sie sind in der folgenden Tabelle dargestellt und beschrieben. Außerdem findest Du dort die Formeln für das Volumen und die Oberfläche.Das kleine \(r\) steht in der Tabelle für den Radius der Kugel. Das große \(R\) ist der Radius des Kugelteils. Er kann berechnet werden mit

$$R=\sqrt{4(2r-h)}$$Dabei ist \(h\) stets die Höhe des Kugelteils wie in den Abbildungen.

Name KugelteilBildBeschreibungFormeln Volumen und Oberfläche

Kugelabschnitt

(Kugelsegment)

Kugel Kugelabschnitt StudySmarterAbb. 8 - Kugelabschnitt

Es wird mit einem Schnitt ein Teil der Kugel abgetrennt. Die Schnittfläche ist kreisförmig mit Radius \(R\).

Die Höhe des Kugelschnittes ist \(h\).

\(V=\frac{\pi}{6}h(3R^2+h^2)\)

\(O=\pi(2R^2+h^2\)

Kugelausschnitt

(Kugelsektor)

Kugel Kugelausschnitt StudySmarterAbb. 9 - Kugelausschnitt

Ein Kugelausschnitt entsteht, indem kegelförmig vom Kugelmittelpunkt bis zur Oberfläche abgetrennt wird. Der "Boden" ist ein Kugelabschnitt mit Radius \(R\) und Höhe \(h\).

\(V=\frac{2}{3}\pi r^2h\)

\(O=\pi r(2h+R)\)

Kugelschicht

(Kugelzone)

Kugel Kugelschicht StudySmarterAbb. 10 - Kugelschicht

Eine Kugelschicht entsteht, indem von einer Kugel zwei Kugelabschnitte mit Radius \(R_1\) und \(R_2\) abgetrennt werden.

\(V=\frac{\pi}{6}(3{R_1}^2+3{R_2}^2+h^2)\)

\( O=\pi ({R_1}^2+{R_2}^2+{R_3}^2)\)

Kugel Aufgaben

Die folgenden Aufgaben kannst Du verwenden, um das Rechnen an Kugeln zu üben.

Aufgabe 3

Eine Kugel hat einen Radius von \(r=6\,\text{cm}\). Berechne:

a) den Umfang

b) den Oberflächeninhalt

c) das Volumen

Lösung

a)

Die Formel für den Umfang einer Kugel lautet

$$U=2 \pi r$$

Du setzt den Radius in die Formel ein:

\begin{align}U&=2 \pi · 6\,\text{cm} \\&= \text{37,7 cm}\end{align}

b)

Den Oberflächeninhalt einer Kugel kannst Du mit dieser Formel berechnen:

$$O=4\pi r^2$$

Für den Radius setzt Du die Zahl ein:

\begin{align}O&=4\pi·(6\,\text{cm})^2 \\&=\text{452,39 cm}^2\end{align}

c)

Die Formel für das Volumen einer Kugel ist

$$V=\frac{4}{3} \pi r^3$$Auch hier setzt Du für den Radius den Wert ein:

\begin{align}V&=\frac{4}{3} \pi · (6\,\text{cm})^3 \\&=\text{904,78 cm}^3\end{align}

In Teilaufgabe b) und c) wird die Radiusangabe mit der Einheit eingeklammert, da sowohl die Zahl als auch die Einheit potenziert wird.

Aufgabe 4

Smilla misst den Umfang ihres Handballs. Sie notiert \(\text{50,3 cm}\).

Bestimme den Durchmesser des Handballs.

Lösung

Um mit dem Umfang einer Kugel den Durchmesser zu bestimmen, verwendest Du die Formel für den Umfang von Kugeln und stellst sie nach dem Radius um. Aus dem Radius kannst Du dann den Durchmesser berechnen.

\begin{array}{clll}U & =& 2\pi r & |:2 \\\frac{U}{2} &=& \pi r &|:\pi \\\frac{U}{2\pi} &=& r\end{array}

Jetzt setzt Du den Wert für den Umfang ein.\begin{align}r&=\frac{\text{50,3 cm}}{2\pi} \\&=8\,\text{cm}\end{align}

Der Durchmesser ist \(d=2r\).

$$d=2·8\,\text{cm}=16\,\text{cm}$$

Smillas Handball hat einen Durchmesser von \(16\,\text{cm}\). Er ist passend für ihr Handballtraining.

Kugel – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Eine Kugel ist ein völlig runder geometrischer Körper mit Radius \(r\).
  • Die wichtigste Kugel-Eigenschaft ist:
    • Jeder Punkt \(P\) auf der Oberfläche ist gleich weit vom Mittelpunkt \(M\) entfernt.
  • Wichtige Formeln sind:
    • Umfang Kugel: \(U=2 \pi r\)
    • Oberfläche Kugel: \(O=4 \pi r^2\)
    • Volumen Kugel: \(V=\frac{4}{3} \pi r^3\)
  • Die Kugel kannst Du als Schrägbild zeichnen.

Nachweise

  1. Böer et al. (2008). mathe live 10 E, Mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
  2. Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kugel

Um die Oberfläche O einer Kugel zu berechnen, benötigst Du den Radius r. Dann ist O=4·π·r².

Für das Volumen V einer Kugel benötigst Du den Radius r.

Dann berechnest Du das Volumen mit dieser Formel: V=4/3·π·r³

Um die Masse einer Kugel berechnen zu können, musst Du wissen, aus welchem Material die Kugel ist und die Dichte des Materials kennen. Die Dichte eines Materials kannst Du meist aus Tabellen ablesen oder sie ist gegeben. 

Die Masse erhältst Du dann, indem Du das Volumen der Kugel mit der Dichte multiplizierst.

Um mit dem Volumen einer Kugel auf den Radius zu kommen, verwendest Du die Formel für das Volumen einer Kugel: V=4/3·π·r³

Diese Formel stellst Du nach dem Radius um und erhältst: r=∛(3/4·V/π)

Finales Kugel Quiz

Frage

Wie wird das Volumen einer Kugel berechnet? 

Gib die Formel an.

Antwort anzeigen

Antwort

Für eine Kugel mit Radius \(r\) gilt für das Volumen \(V\):

$$V=\frac{4}{3} · \pi · r^3$$

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Oberfläche einer Kugel berechnet?

Gib die Formel an.

Antwort anzeigen

Antwort

Für eine Kugel mit Radius \(r\) ist die Formel für die Oberfläche \(O\):

$$O=4· \pi ·r^2$$

Frage anzeigen

Frage

Der Radius einer aufblasbaren Kugel verdoppelt sich. 


Wie groß ist nun das Volumen \(V_{neu}\) der Kugel im Vergleich zum Ausgangszustand?

Antwort anzeigen

Antwort

Neuer Radius \(r_{neu} = 2 · r \) 


\begin{align} V_{neu} &= \frac{4}{3} · \pi · {r_{neu}}^3 \\ & = \frac{4}{3} · \pi · {(2r)}^3 \\ & = \frac{4}{3} · \pi · 8·r^3 \\ & = 8 · \frac{4}{3} · \pi ·r^3 \\ & = 8·V \end{align}


Das Volumen ist achtmal so groß. 

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius \(r=5\,\text{cm}\).

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}
V &=\frac{4}{3}·\pi·(5 \text{cm})^3 \\
& =\text{523,6 cm}^3
\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Das Volumen einer Kugel beträgt 2 500 cm³. Berechne den Radius der Kugel.

Antwort anzeigen

Antwort

Du stellst die Formel für das Volumen einer Kugel nach dem Radius um.

\begin{align}
V &=\frac{4}{3}·\pi·r^3 \\
\Rightarrow r &=\sqrt[3]{\frac{3}{4}·\frac{V}{\pi}
\end{align}


Einsetzen liefert:

\begin{align}
r &=\sqrt[3]{\frac{3}{4}·\frac{2500\,\text{cm}^3}{\pi}

&=\text{8,42 cm}
\end{align}


Der Radius der Kugel beträgt \(\text{8,42 cm}\). 

Frage anzeigen

Frage

Der Radius einer Kugel beträgt \(\text{8,42 cm}\). 

Berechne die Oberfläche der Kugel.


Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align} O &= 4·\pi·r^2 \\ &=4·\pi·{(\text{8,42 cm})}^2 \\ &=\text{890,91 cm}^2 \end{align}
Die Oberfläche beträgt \(\text{890,91 cm}^2\).


Frage anzeigen

Frage

Für eine Kugel ist die Rechnung \(4·\pi·r^2\) gegeben. Was wird mit dieser Rechnung bestimmt? Wähl aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Oberfläche

Frage anzeigen

Frage

Welche Größe bestimmt eine Kugel eindeutig. 

Gib den Namen an.

Antwort anzeigen

Antwort

Radius

Frage anzeigen

Frage

Für eine Kugel ist die Rechnung \(\frac{4}{3}·\pi·r^3\) gegeben. Was wird mit dieser Rechnung bestimmt? Wähl aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Volumen

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was der Radius einer Kugel ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Radius einer Kugel ist der Abstand ihres Mittelpunktes von der Oberfläche.

Frage anzeigen

Frage

Ein vollkommen runder geometrischer Körper heißt ...

Gib das richtige Wort an.

Antwort anzeigen

Antwort

Kugel

Frage anzeigen

Frage

Der Radius einer Kugel ist \(r\). 

Wähl die Formel für den Umfang \(U\) aus.

Antwort anzeigen

Antwort

$$U=2\pi r$$

Frage anzeigen

Frage

Gib den Namen von diesem Kugelteil an.


Antwort anzeigen

Antwort

Kugelabschnitt

Frage anzeigen

Frage

Gib den Namen von diesem Kugelteil an.


Antwort anzeigen

Antwort

Kugelausschnitt

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften hat eine Kugel? 

Wähl aus.

Antwort anzeigen

Antwort

rund

Frage anzeigen

60%

der Nutzer schaffen das Kugel Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.