Für das Handballtraining benötigt Smilla einen Handball mit \(16\,\text{cm}\) Durchmesser. Sie hat bereits einen Handball Zuhause, ist sich aber unsicher, ob er die richtige Größe hat.
Smilla kann den Durchmesser des Balles nur schwer messen. Aber der Handball ist in der Geometrie eine Kugel.
Smilla erinnert sich an den Matheunterricht und ihr fällt ein, dass sie zuerst den Umfang des Balles messen und dann den Durchmesser der "Kugel" berechnen kann.
Kugel – Geometrie
Die Kugel ist ein geometrischer Körper. Sie ist dreidimensional.
Eine Kugel ist ein völlig runder geometrischer Körper. Die Punkte auf der Oberfläche der Kugel haben alle denselben Abstand zum Mittelpunkt.
Abb. 1 - Kugel
Doch welche Eigenschaften hat eine Kugel?
Kugel Eigenschaften
Die folgenden Eigenschaften gelten für alle Kugeln:
Eine Kugel hat keine Ecken und Kanten.
Die Oberfläche einer Kugel ist krumm. Sie wird auch kurz als "Fläche" bezeichnet.
Jeder Punkt \(P\) auf der Oberfläche ist gleich weit vom Mittelpunkt \(M\) entfernt.
Eine Kugel hat unendlich viele Symmetrieebenen. Sie verlaufen alle durch den Mittelpunkt.
Jede Kugel hat auch Großkreise und Kleinkreise.
Ein Großkreis entsteht, wenn Du einen größtmöglichen Kreis auf der Kugeloberfläche zeichnest.
Der Mittelpunkt eines Großkreises auf der Kugel ist identisch mit dem Kugelmittelpunkt.
Jeder Kreis auf der Kugel, der seinen Mittelpunkt auf dem Mittelpunkt des Kreises hat, ist ein Großkreis.
Ein Großkreis teilt eine Kugel immer in zwei identische Hälften. Auf einer Kugel existieren unendlich viele Großkreise.Ein Kleinkreis ist hingegen jeder Kreis auf der Kugeloberfläche, der kein Großkreis ist.
Jeder Kreis auf einer Kugel, dessen Mittelpunkt nicht auf dem Kugelmittelpunkt liegt, ist ein Kleinkreis.
Auf einer Kugel existieren auch unendliche viele Kleinkreise.
Kugel Radius und Durchmesser
Jede Kugel hat einen Radius.
Der Abstand eines Punktes \(P\) auf der Oberfläche der Kugel zum Mittelpunkt \(M\) ist der Radius \(r\) der Kugel.
Der Radius einer Kugel bestimmt sie eindeutig.
Würdest Du bei einer Kugel von der einen Seite einmal durch den Mittelpunkt durch zur anderen Seite messen, erhältst Du den Durchmesser.
Der Durchmesser \(d\) einer Kugel entspricht dem doppelten Radius \(r\) der Kugel.
$$d=2·r$$
In Abbildung 2 ist der Radius und der Durchmesser einer Kugel eingezeichnet.
Abb. 2 - Radius r und Durchmesser d einer Kugel
Umfang Kugel
Neben dem Radius und dem Durchmesser gibt es als wichtige Größe einer Kugel auch den Umfang. Der Umfang steht, wie bei einem Kreis, im direkten Zusammenhang mit dem Radius bzw. Durchmesser.
Die Strecke einmal um die Kugel herum auf Höhe des Mittelpunktes wird als Umfang \({\color{#00dcb4}U}\) bezeichnet. Er ist stets ein Kreis.
Für eine Kugel mit Radius \(r\) gilt:
$$U=2·\pi ·r$$
Abb. 3 - Umfang U einer Kugel
Du kannst die Formel für den Umfang auch mit dem Durchmesser angeben. Dann lautet sie: \(U=\pi ·d\)
Wundere Dich nicht, dass der Umfang der Kugel in Abbildung 3 nicht kreisförmig aussieht. Das liegt an der Zeichnung als Schrägbild.
Jeder Großkreis auf der Kugel gibt den Umfang der Kugel an.
Oberfläche Kugel
Die Oberfläche einer Kugel kannst Du, anders als bei anderen geometrischen Körpern, nicht als Netz zeichnen.
Die Größe der Oberfläche einer Kugel kannst Du berechnen. Sie wird als Oberflächeninhalt bezeichnet.
Der Oberflächeninhalt \(O\) einer Kugel mit Radius \(r\) ist
$$O=4·\pi ·r^2$$
In der Erklärung "Oberflächeninhalt Kugel" findest Du eine ausführliche Herleitung des Oberflächeninhalts der Kugel sowie Beispiele mit Aufgaben zur Berechnung der Oberfläche.
Volumen Kugel
Das Volumen einer Kugel gibt Dir die Größe des Rauminhaltes der Kugel an. Wenn Du Dich fragst "Wie viel passt in die Kugel?" gibt das Volumen Dir die Antwort.
Du kannst das Volumen der Kugel mit dem Radius berechnen.
Das Volumen \(V\) einer Kugel mit Radius \(r\) ist
$$V=\frac{4}{3} · \pi · r^3$$
Unter "Volumen Kugel" findest Du eine ausführliche Erklärung und Herleitung der Formel sowie Beispiele und Aufgaben.
Kugel zeichnen
Die Kugel kannst Du als Schrägbild zeichnen.
In der Erklärung "Schrägbild" kannst Du nachlesen, was ein Schrägbild ist und wie es allgemein gezeichnet wird.
Im folgenden Beispiel wird eine Kugel Schritt für Schritt als Schrägbild gezeichnet.
Zuerst zeichnest Du einen Kreis mit dem Radius \(r\), hier ist der Radius \(r=4\,\text{cm}\).
Abb. 4 - Kreis zeichnen
Dann zeichnest Du vom Mittelpunkt des Kreises im \(45°\text{Winkel}\) "nach hinten" eine Strecke mit dem halben Radius als Länge. Hier ist die Strecke also \(2m\,\text{cm}\) lang.
Abb. 5 - 45°-Winkel
Dasselbe kannst Du auch "nach vorne" zeichnen.
Abb. 6 - Strecke "nach vorne"
Durch die Endpunkte \(C,\,D\) der eben gezeichneten Strecken und die Punkte \(A,\,B\) des Kreises zeichnest Du nun eine Ellipse.
Abb. 7 - Ellipse zeichnen
Fertig ist das Schrägbild der Kugel.
Mit diesen Schritten kannst Du jede Kugel zeichnen, Du passt nur den Radius an.
Kugel berechnen
Von einer Kugel kannst Du verschiedene Werte berechnen. Weiter oben hast Du bereits erfahren, wie Du die Oberfläche und das Volumen einer Kugel berechnest.
Manchmal ist das Volumen oder die Oberfläche einer Kugel bekannt und Du willst den Radius berechnen.
Kugel Radius berechnen mit Volumen
Das Volumen einer Kugel ist gegeben. Du willst den Radius berechnen. Dazu stellst Du die Volumenformel nach dem Radius um.
\begin{array}{rcll}V&=&\frac{4}{3}\pi r^3 & |·\frac{3}{4} \\\frac{3}{4}V&=&\pi r^3 & |:\pi \\\frac{3}{4}·\frac{V}{\pi}&=&r^3&|\sqrt[3]{} \\\sqrt[3]{\frac{3}{4}·\frac{V}{\pi}}&=r\end{array}
Mit dieser neuen Formel kannst Du den Radius einer Kugel mit dem Volumen berechnen.
Aufgabe 1
Berechne den Radius \(r\) einer Kugel mit Volumen \(V=113\,\mathrm{cm}^3\).
Lösung
Du setzt den Wert für das Volumen in die Formel ein und rechnest dann aus:
\begin{array}{rcl}r & = & \sqrt[3]{\frac{3}{4}·\frac{V}{\pi}}\\& = & \sqrt[3]{\frac{3}{4}·\frac{113\,\text{cm}^3}{\pi}}\\& \approx & \sqrt[3]{\text{26,98 cm}^3} \\&\approx & 3\,\text{cm}\end{array}
Im Beispiel ziehst Du die Wurzel aus \(\text{cm}^3\). Dadurch ist die Einheit dann \(cm\),
Kugel Durchmesser berechnen mit Oberflächeninhalt
Den Durchmesser einer Kugel kannst Du natürlich bestimmen, indem Du den Radius verdoppelt. Dazu muss der Radius allerdings bekannt sein. Manchmal wird auch nach dem Durchmesser gefragt, ohne dass der Radius gegeben ist.
Aufgabe 2
Berechne den Durchmesser \(d\) einer Kugel mit Oberflächeninhalt \(O=531\,\text{cm}^2\).
Lösung
Zuerst stellst Du die Formel für den Oberflächeninhalt nach dem Radius um. Aus dem Radius berechnest Du dann den Durchmesser.
\begin{array}{rcll}O & = & 4·\pi ·r^2 & |:(4·\pi) \\\frac{O}{4·\pi} & = & r^2 & | \sqrt{} \\\sqrt{\frac{O}{4·\pi}} & = & r\end{array}
Jetzt setzt Du wie in Aufgabe 1 Werte ein und bestimmst den Radius.
\begin{align}r & = \sqrt{ \frac{531\, \text{cm}^2}{4·\pi}}\\&\approx \sqrt{\text{42,26 cm}^2} \\&\approx \text{6,5 cm}\end{align}
Schließlich verdoppelst Du den Radius, um den Durchmesser zu berechnen.
$$d=2·\text{6,5 cm}=13\, \text{cm}$$
Kugel als Rotationskörper
Stell Dir vor, eine ebene Fläche dreht sich sehr, sehr schnell um eine Achse. Dann entsteht ein Rotationskörper.
Ein Rotationskörper ist ein Körper, der von einer rotierenden ebenen Fläche um eine Rotationsachse gebildet wird.
Die Kugel ist ein Rotationskörper. Wenn ein Halbkreis um eine Achse rotiert, entsteht eine Kugel.
Die Achse ist dann der Durchmesser der Kugel.
Mehr zum Thema Rotationskörper kannst Du in der zugehörigen Erklärung erfahren.
Klicke einfach auf den Begriff, dann öffnet sich die Erklärung.
Kugelabschnitt, Kugelausschnitt und Kugelschicht
Nicht immer ist die gesamte Kugel vorhanden. Manchmal wird ein Teil der Kugel abgeschnitten. Dabei entstehen spezielle Kugelteile: der Kugelabschnitt, der Kugelausschnitt und die Kugelschicht. Sie sind in der folgenden Tabelle dargestellt und beschrieben. Außerdem findest Du dort die Formeln für das Volumen und die Oberfläche.Das kleine \(r\) steht in der Tabelle für den Radius der Kugel. Das große \(R\) ist der Radius des Kugelteils. Er kann berechnet werden mit
$$R=\sqrt{4(2r-h)}$$Dabei ist \(h\) stets die Höhe des Kugelteils wie in den Abbildungen.
| Name Kugelteil | Bild | Beschreibung | Formeln Volumen und Oberfläche |
Kugelabschnitt (Kugelsegment) |  Abb. 8 - Kugelabschnitt
| Es wird mit einem Schnitt ein Teil der Kugel abgetrennt. Die Schnittfläche ist kreisförmig mit Radius \(R\). Die Höhe des Kugelschnittes ist \(h\). | \(V=\frac{\pi}{6}h(3R^2+h^2)\) \(O=\pi(2R^2+h^2\) |
Kugelausschnitt (Kugelsektor) |  Abb. 9 - Kugelausschnitt
| Ein Kugelausschnitt entsteht, indem kegelförmig vom Kugelmittelpunkt bis zur Oberfläche abgetrennt wird. Der "Boden" ist ein Kugelabschnitt mit Radius \(R\) und Höhe \(h\). | \(V=\frac{2}{3}\pi r^2h\) \(O=\pi r(2h+R)\) |
Kugelschicht (Kugelzone) |  Abb. 10 - Kugelschicht
| Eine Kugelschicht entsteht, indem von einer Kugel zwei Kugelabschnitte mit Radius \(R_1\) und \(R_2\) abgetrennt werden. | \(V=\frac{\pi}{6}(3{R_1}^2+3{R_2}^2+h^2)\) \( O=\pi ({R_1}^2+{R_2}^2+{R_3}^2)\) |
Kugel Aufgaben
Die folgenden Aufgaben kannst Du verwenden, um das Rechnen an Kugeln zu üben.
Aufgabe 3
Eine Kugel hat einen Radius von \(r=6\,\text{cm}\). Berechne:
a) den Umfang
b) den Oberflächeninhalt
c) das Volumen
Lösung
a)
Die Formel für den Umfang einer Kugel lautet
$$U=2 \pi r$$
Du setzt den Radius in die Formel ein:
\begin{align}U&=2 \pi · 6\,\text{cm} \\&= \text{37,7 cm}\end{align}
b)
Den Oberflächeninhalt einer Kugel kannst Du mit dieser Formel berechnen:
$$O=4\pi r^2$$
Für den Radius setzt Du die Zahl ein:
\begin{align}O&=4\pi·(6\,\text{cm})^2 \\&=\text{452,39 cm}^2\end{align}
c)
Die Formel für das Volumen einer Kugel ist
$$V=\frac{4}{3} \pi r^3$$Auch hier setzt Du für den Radius den Wert ein:
\begin{align}V&=\frac{4}{3} \pi · (6\,\text{cm})^3 \\&=\text{904,78 cm}^3\end{align}
In Teilaufgabe b) und c) wird die Radiusangabe mit der Einheit eingeklammert, da sowohl die Zahl als auch die Einheit potenziert wird.
Aufgabe 4
Smilla misst den Umfang ihres Handballs. Sie notiert \(\text{50,3 cm}\).
Bestimme den Durchmesser des Handballs.
Lösung
Um mit dem Umfang einer Kugel den Durchmesser zu bestimmen, verwendest Du die Formel für den Umfang von Kugeln und stellst sie nach dem Radius um. Aus dem Radius kannst Du dann den Durchmesser berechnen.
\begin{array}{clll}U & =& 2\pi r & |:2 \\\frac{U}{2} &=& \pi r &|:\pi \\\frac{U}{2\pi} &=& r\end{array}
Jetzt setzt Du den Wert für den Umfang ein.\begin{align}r&=\frac{\text{50,3 cm}}{2\pi} \\&=8\,\text{cm}\end{align}
Der Durchmesser ist \(d=2r\).
$$d=2·8\,\text{cm}=16\,\text{cm}$$
Smillas Handball hat einen Durchmesser von \(16\,\text{cm}\). Er ist passend für ihr Handballtraining.
Kugel – Das Wichtigste auf einen Blick
- Eine Kugel ist ein völlig runder geometrischer Körper mit Radius \(r\).
- Die wichtigste Kugel-Eigenschaft ist:
- Jeder Punkt \(P\) auf der Oberfläche ist gleich weit vom Mittelpunkt \(M\) entfernt.
- Wichtige Formeln sind:
- Umfang Kugel: \(U=2 \pi r\)
- Oberfläche Kugel: \(O=4 \pi r^2\)
- Volumen Kugel: \(V=\frac{4}{3} \pi r^3\)
- Die Kugel kannst Du als Schrägbild zeichnen.
Nachweise
- Böer et al. (2008). mathe live 10 E, Mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
- Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
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