Additionsverfahren

Du fragst dich, wie genau man zwei Gleichungen addieren kann und was das bringen soll?

Additionsverfahren Additionsverfahren

Erstelle Lernmaterialien über Additionsverfahren mit unserer kostenlosen Lern-App!

  • Sofortiger Zugriff auf Millionen von Lernmaterialien
  • Karteikarten, Notizen, Übungsprüfungen und mehr
  • Alles, was du brauchst, um bei deinen Prüfungen zu glänzen
Kostenlos anmelden
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Dieser Artikel hilft dir beim Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen mithilfe des Additionsverfahrens. Wir erklären dir, wie das Umformen und das Addieren funktioniert, um am Ende ein sinnvolles Ergebnis für x und y zu finden.

    Additionsverfahren Gleichung StudySmarter

    Grundlagen für das Additionsverfahren

    Um dich endgültig an die Berechnung von linearen Gleichungssystemen mit dem Additionsverfahren zu machen, musst du ein paar Grundlagen auffrischen. Sieh dir dazu am besten auch die Artikel zum Thema lineare Gleichungen, lineare Funktion, Äquivalenzumformungen und lineare Gleichungssysteme genauer an.

    Additionsverfahren: Lineare Gleichungen

    Wir wollen trotzdem kurz die wichtigsten Informationen zu linearen Gleichungen an dieser Stelle wiederholen.

    Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Forma·x+b=0(mit nur einer Variablen) oder a·x+b·y+c=0 (mit zwei Variablen).

    Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.

    Die lineare Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Gerade darstellen.

    Linearen Gleichungen sind also Gleichungen, die als Variable nur ein x (oder auch jeden anderen Buchstaben) enthalten, jedoch kein x², x³ oder andere Variablen mit Potenzen.

    Schauen wir uns ein kurzes Beispiel dazu an.

    Diese Gleichung ist eine typische lineare Gleichung. Sie enthält ein einfaches x (in seiner ersten Potenz) und ist somit geradlinig.

    x-3=10

    Andere Gleichungen enthalten auch das x als Variable, jedoch in einer anderen Form (wie etwa x2, x3 oder x). Ist das x also nicht linear, sondern taucht in höheren Potenzen (x2, x3) oder unter der Wurzel (x) auf, dann handelt es sich um keine linearen Gleichungen.

    Eine lineare Gleichung kann auf zwei Arten aufgeschrieben werden. Man unterscheidet zwischen der Allgemeinen Form und der Normalform.

    FormBedeutung

    Allgemeine Form

    ax+b=0

    Diese Form ist oft der Definitionsmaßstab (auch bei anderen Gleichungsformen).

    x ist die Variable; a und b sind Platzhalter für Zahlen.

    Beispiel:3x-7=0

    Normalform

    y=mx+t

    Man findet diese Form vor allem als Gleichung einer linearen Funktion.

    In der Normalform kommen bereits zwei Variablen vor, x und y.

    m und t sind ebenfalls nur Platzhalter für Zahlen, beide stehen in der Gleichung der linearen Funktion allerdings für unterschiedliche Dinge: m ist die Steigung und t ist der y-Achsenabschnitt.

    Beispiel:y=2x-5

    Additionsverfahren: Die lineare Funktion

    Eine lineare Gleichung kann in der Form einer linearen Funktion auch grafisch dargestellt werden. Sie bildet eine Gerade ab.

    Hier ist die Funktiony=2x-2visualisiert.

    Additionsverfahren Lineare Funktion StudySmarterAbbildung 1: Lineare Funktion

    Grafisch ist hier eine Gerade zu sehen, an die man die Steigungm=2und den Achsenabschnittt=-2antragen kann.

    Additionsverfahren: Äquivalenzumformung

    Gleichungen kann man mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer Variable auflösen.

    Das bedeutet, man bringt das x allein auf eine Seite des Gleichheitszeichens und den Rest auf die andere Seite. Du kannst dabei die gleiche Zahl auf beiden Seiten addieren beziehungsweise subtrahieren. Oder du multiplizierst/dividierst die gleiche Zahl außer Null beidseitig.

    Unter der Äquivalenzumformung versteht man die Umwandlung einer Gleichung (oder Ungleichung) in eine andere Gleichung (oder Ungleichung), welche dieselbe Lösungsmenge hat.

    Bei linearen Gleichungen sind Äquivalenzumformungen zum Beispiel Rechnungen, die du gleichzeitig auf beiden Seiten des "=" vornimmst:

    • Du nimmst also links des Gleichheitszeichens eine Vereinfachung vor (zum Beispiel -3x), welche du dann ganz genauso auf der rechten Seite übernehmen musst.
    • Diese Umformungen zeigt man mit einem geraden Strich, der hinter der Gleichung steht, an.

    2y-1=6x+3|+12y-1+1=6x+3+12y=6x+4|:22y:2=(6x+4):2y=3x+2

    Die Rechenoperation muss immer auf beiden Seiten ausgeführt werden und kann durch einen senkrechten Strich angekündigt werden.

    Genauere Grundlagen zu Äquivalenzumformungen erfährst du im Artikel zur Äquivalenzumformung.

    Additionsverfahren: Lineare Gleichungssysteme

    Bei einem Gleichungssystem betrachtest du mehrere lineare Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten. In Bezug auf das Additionsverfahren handelt es sich um zwei lineare Gleichungen mit genau zwei Unbekannten.

    Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen ist ein System der Form

    I.a1·x+b1=c1·y+d1II.a2·x+b2=c2·y+d2

    mit den Zahlen a1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, d2 .

    Ein lineares Gleichungssystem stellt also zwei lineare Gleichungen in Beziehung. Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems beinhaltet all diejenigen Paare (x, y), die gleichzeitig beide Gleichungen erfüllen.

    Man kann sich lineare Gleichungssysteme grafisch vorstellen, dazu benötigt es nur ein bisschen Vorarbeit:

    Die beiden Gleichungen des Gleichungssystems kann man in die Normalform (y=mx+t) umwandeln. In dieser Funktionsform kann man die Gleichungen einfach grafisch darstellen und bekommt eine Vorstellung von dem Gleichungssystem.

    Additionsverfahren lineares Gleichungssystem grafisch StudySmarterAbbildung 2: Lineares Gleichungssystem grafisch

    Die Lösung des Gleichungssystems ist also der Schnittpunkt, den du in der Abbildung sehen kannst. Er ist das einzige Koordinatenpaar (x, y), das beide Funktionen gemeinsam haben.

    Wenn du jetzt die Lösung des Gleichungssystems mithilfe des Additionsverfahrens oder anderer Möglichkeiten berechnest, dann ermittelst du den x-Wert und den y-Wert des Schnittpunktes der zwei Funktionen.

    Lösen von linearen Gleichungssystemen – Das Additionsverfahren

    Weiter geht es mit den Grundlagen zum Additionsverfahren, mit dem du dann endlich lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen lösen kannst.

    Beim Additionsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du eine Variable durch Addition der beiden Gleichungen eliminierst.

    Beim Additionsverfahren musst du, wie der Name schon sagt, eine Addition durchführen. Dafür bringst du die Koeffizienten einer der Variablen in den beiden Gleichungen auf eine Zahl und ihre Gegenzahl.

    Der Koeffizient ist die Zahl vor der Variable. (zum Beispiel 2x oder 14y)

    Gegenzahlen sind Zahlen mit dem gleichen Wert, aber unterschiedlichen Vorzeichen. (5 ist die Gegenzahl von -5, -2 von 2 und 14von -14)

    Man geht immer in den folgenden Schritten vor:

    1. Du bringst die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen.
    2. Die beiden Gleichungen addierst du miteinander.
    3. Die erhaltene Gleichung löst du nach der verbliebenen Variable auf und berechnest ihre Lösung.
    4. Den berechneten Wert für die erste Variable setzt du in eine der Ausgangsgleichungen ein und löst diese nach der zweiten Variable auf. Somit hast du für beide Variablen eine Lösung.
    5. Probe: Setze die Werte der Variablen in eine der Gleichungen vom Anfang ein und berechne die linke und rechte Seite.
    6. Gib dein Ergebnis als Lösungsmenge an.

    Bekommt man bei der Probe auf beiden Seiten die gleichen Zahlen heraus, ist die Lösung richtig.

    Erhält man zwei unterschiedliche Zahlen, dann ist die Gleichung und damit das Ergebnis falsch und irgendwo hat sich ein Fehler eingeschlichen.

    Ein beispielhaftes Gleichungssystem zeigt dir, wie das Ganze funktioniert.

    Aufgabe 1

    Zu Beginn hast du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten gegeben. Sie sind die Ausgangsgleichungen und werden als römisch I. und II. bezeichnet.

    I.2y-x=5II.3x-1=4y

    1. Schritt: Du bringst die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen.

    Du wählst dir das x als Variable aus und bringst den Koeffizienten von x aus der AusgangsgleichungI.auf die Gegenzahl von 3 (3x in II.).

    Das erreichst du, indem du I. durch eine Äquivalenzumformung umstellst und damit-xauf-3x bringst.

    I.2y-x=5| ·3(2y-x)·3=5·3I.'6y-3x=15

    2. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen (I.' und II.) miteinander. Dafür schreibst du einfach die jeweiligen Terme der linken Seite als Summe. Setze dann das "=" Zeichen und addiere die Terme der rechten Seite.

    6y-3x+3x-1=15+4yI.'II.I.'II.

    3. Schritt: Diese erhaltene Gleichung löst du nach der verbliebenen Variable (y) auf und berechnest ihre Lösung. Das x fliegt durch unsere vorherigen Umformungen und die Addition raus. Es bleibt nur noch eine Gleichung mit einer Variablen y übrig.

    Diese kannst du jetzt lösen und bekommst ein Ergebnis für y.

    6y-3x+3x-1=15+4y6y-1=15+4y |-4y2y-1=15 |+12y=16 | :2y=8

    4. Schritt: Setze den berechneten Wert für die erste Variable y in eine der Ausgangsgleichungen ein und löse diese nach der zweiten Variable (x) auf. Somit hast du für beide Variablen eine Lösung. Du setzt den Wert für y in die Ausgangsgleichung I.ein und löst sie nach x auf.

    y in I. 2·8-x=516-x=5|-16-x=-11| ·(-1)x=11

    5. Schritt Probe: Setze die Werte der Variablen in eine der Gleichungen von Beginn ein und berechne die linke und rechte Seite. Du wählst die einfachere Gleichung der beiden Anfangsgleichungen (in diesem BeispielI.) und setztx=11undy=8darin ein.

    I.2y-x=52·8-11=516-11=55=5

    Die Lösung ist richtig, das bedeutet, du hast richtig gerechnet!

    6. Schritt: Gib das Ergebnis als Lösungsmenge an.

    L={(11|8)}

    Sonderfälle beim Lösen mit dem Additionsverfahren

    Das Ziel des Additionsverfahrens ist, dass du für beide Variablen einen genauen Wert herausbekommst. Dann ist das Gleichungssystem nämlich eindeutig gelöst.

    Es kann jedoch auch in zwei besonderen Fällen vorkommen, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig ist. Das Gleichungssystem hat dann keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Diese beiden Fälle werden hier noch mal kurz näher erklärt.

    Sonderfall 1: keine Lösung

    Es kann vorkommen, dass ein Gleichungssystem gar keine Lösung für seine Variablen besitzt. In diesem Fall sind die beiden Graphen der Funktionen parallel, es gibt also keinen Schnittpunkt.

    Additionsverfahren Sonderfall keine Lösung StudySmarterAbbildung 3: Lineares Gleichungssystem ohne Lösung

    Auch rechnerisch kannst du diesen Sonderfall nach dem üblichen Vorgehen bestimmen.

    Aufgabe 2

    Gesucht ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

    I.2x-7=yII.-2y+4x=8

    Lösung

    1. Schritt: Bringe die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen. Hier nehmen wir das x und multiplizieren die erste Gleichung mit-2

    (2xwird zu-4xund damit zur Gegenzahl von 4).

    I.2x-7=y|·(-2)(2x-7)·(-2)=y·(-2)I.'-4x+14=-2y

    2. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen (I.' und II.) miteinander.

    -4x+14-2y+4x=-2y+8I.'II.I.'II.

    3. Schritt: Löse die Gleichung nach der verbliebenen Variable y auf.

    -4x+14-2y+4x=-2y+8-2y+14=-2y+8|+2y148

    Für y kann kein eindeutiges Ergebnis bestimmt werden. Außerdem geht die Gleichung nicht auf, denn sie ist falsch. Das bedeutet, dass dieses Gleichungssystem keine Lösung hat, da für alle Werte, die wir eingeben, die Gleichung falsch ist.

    4. Schritt: Weiter rechnen kannst du jetzt nicht mehr. Abschließend muss nur noch die Lösungsmenge angegeben werden. Da es keine Lösungen gibt, ist die Lösungsmenge leer:

    L=

    Sonderfall 2: unendlich viele Lösungen

    Es ergeben sich unendlich viele Lösungen für ein Gleichungssystem, wenn die Funktionsgraphen genau aufeinanderliegen. Das ist dann der Fall, wenn die Gleichungen identisch sind.

    Additionsverfahren Sonderfall unendlich viele Lösungen StudySmarterAbbildung 4: Lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen

    Rechnerisch erkennst du den Sonderfall auf diese Weise:

    Aufgabe 3

    Löse das folgende Gleichungssystem.

    I.2x-y=5II.4x-10=2y

    Lösung

    1. Schritt: Du bringst die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen. In diesem Fall wählst du den Koeffizienten der Variable x und multiplizierst die gesamte GleichungI.mit-2.

    I.2x-y=5|·(-2)(2x-y)·(-2)=5·(-2)I.'-4x+2y=-10

    2. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen (I.' und II.) miteinander.

    -4x+2y+4x-10=-10+2yI.'II.I.'II.

    3. Schritt: Die erhaltene Gleichung löst du nach der verbliebenen Variable y auf und berechnest deren Lösung.

    -4x+2y+4x-10=-10+2y2y-10=2y-10|-2y-10=-10

    Die Gleichung kann nicht nach y aufgelöst werden und damit auch kein eindeutiges Ergebnis für y bestimmt werden. Die verbliebene Gleichung geht allerdings auf, denn-10 = -10ist richtig.

    Das bedeutet, dass du jede Zahl als Lösung einsetzen könntest, das Gleichungssystem ist immer richtig.

    4. Schritt: Die Berechnung ist so weit abgeschlossen. Jetzt musst du nur noch die Lösungsmenge angeben.

    Nachdem du alles einsetzen kannst, ist die Lösungsmenge gleich der Definitionsmenge der Gleichung.

    L=D

    Übungsaufgabe zum Additionsverfahren

    Damit du das Additionsverfahren weiter vertiefen kannst, beweise dein Können doch gerne an dieser Übungsaufgabe.

    Aufgabe 4

    Gesucht ist die Lösung des linearen Gleichungssystems:

    I.6x+5y=-36II.-7x+3y=-11

    Lösung

    1. Schritt: Bringe die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen.

    I.6x+5y=-36|·3I.'18x+15y=-108II.-7x+3y=-11|·(-5)II.'35x-15y=55

    2. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen (I.' und II.') miteinander.

    18x+15y+35x-15y=-108+55

    3. Schritt: Löse die erhaltene Gleichung nach der verbliebenen Variable auf.

    18x+15y+35x-15y=-108+5553x=-53| :53x=-1

    4. Schritt: Setze den berechneten Wert für die erste Variable (x=-1) in eine der Ausgangsgleichungen ein und löse diese nach der zweiten Variable (y) auf. Somit hast du für beide Variablen eine Lösung.

    I.6x+5y=-366·(-1)+5y=-365y-6=-36|+65y=-30| :5y=-6

    5. Schritt Probe: Setze die Werte der Variablen in eine der Gleichungen von Beginn ein und berechne die linke und rechte Seite.

    Wähle die einfachere Gleichung der beiden Anfangsgleichungen (hier egal, wir nehmen II.) und setzex=-1undy=-6ein.

    II.-7x+3y=-11-7·(-1)+3·(-6)=-117-18=-11-11=-11

    6. Schritt: Gib das Ergebnis der Lösungsmenge an.

    L={(-1|-6)}

    Additionsverfahren - Das Wichtigste

    • Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form ax+b=0. Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.
    • Lineare Gleichungen können in der Allgemeinen Form oder Normalform dargestellt werden und mithilfe der Äquivalenzumformung umgeformt werden.
    • Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen ist ein System der Form: I.a1x+b1=c1y+d1II.a2x+b2=c2y+d2
    • Beim Additionsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du eine Variable durch Addition eliminierst. Dafür bringst du die Koeffizienten einer der Variablen in den beiden Gleichungen auf eine Zahl und ihre Gegenzahl.
    • Vorgehen beim Additionsverfahren:
      • 1. Schritt: Du bringst die Koeffizienten (= Zahl vor der Variable) einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen (zum Beispiel 5 und -5).
      • 2. Schritt: Die beiden Gleichungen addierst du miteinander.
      • 3. Schritt: Die erhaltene Gleichung löst du nach der verbliebenen Variable auf und berechnest ihre Lösung.
      • 4. Schritt: Den berechneten Wert für die erste Variable setzt du in eine der Ausgangsgleichungen ein und löst diese nach der zweiten Variable auf. Somit hast du für beide Variablen eine Lösung.
      • 5. Schritt Probe: Setze die Werte der Variablen in eine der Gleichungen von Beginn ein und berechne die linke und rechte Seite.
      • 6. Schritt: Gib dein Ergebnis als Lösungsmenge an.
    • Ein lineares Gleichungssystem kann auch keine oder unendlich viele Lösungen haben.
    Additionsverfahren Additionsverfahren
    Lerne mit 0 Additionsverfahren Karteikarten in der kostenlosen StudySmarter App

    Wir haben 14,000 Karteikarten über dynamische Landschaften.

    Mit E-Mail registrieren

    Du hast bereits ein Konto? Anmelden

    Häufig gestellte Fragen zum Thema Additionsverfahren

    Wie geht das Additionsverfahren?

    Beim Additionsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du eine Variable durch Addition der beiden Gleichungen entfernst. Anschließend berechnest du die übrig gebliebene Variable mithilfe von Äquivalenzumformungen. Als Letztes kannst du damit dann die gesamte Lösung des Gleichungssystems ausrechnen. 

    Wie erkennt man ein Additionsverfahren?

    Du erkennst, dass du das Additionsverfahren anwenden kannst, wenn eine der Variablen in den beiden Gleichungen leicht auf ihre Zahl und ihre jeweilige Gegenzahl zu bringen sind.

    Warum darf man zwei Gleichungen addieren?

    Gleichungen dürfen immer umgeformt werden, solange links und rechts die gleiche Rechenoperation vorgenommen wird. Das ist bei der Addition von Gleichungen der Fall.

    Eine Addition macht natürlich nur Sinn, wenn eine der Variablen in den Gleichungen als Zahl und Gegenzahl vorkommt und damit rausfliegt.

    Wie löse ich Gleichungen mit zwei Unbekannten?

    Eine Gleichung mit zwei Unbekannten kann nur mithilfe eines Gleichungssystem mit mehreren Gleichungen gelöst werden. 

    Ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann man wiederum mithilfe des Additionsverfahrens, des Einsetzungsverfahrens, des Gleichungsverfahrens, das Gauß-Algorithmus oder der graphischen Lösung lösen.

    Entdecken Lernmaterialien mit der kostenlosen StudySmarter App

    Kostenlos anmelden
    1
    Über StudySmarter

    StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.

    Erfahre mehr
    StudySmarter Redaktionsteam

    Team Mathe Lehrer

    • 13 Minuten Lesezeit
    • Geprüft vom StudySmarter Redaktionsteam
    Erklärung speichern

    Lerne jederzeit. Lerne überall. Auf allen Geräten.

    Kostenfrei loslegen

    Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

    Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

    Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

    • Karteikarten & Quizze
    • KI-Lernassistent
    • Lernplaner
    • Probeklausuren
    • Intelligente Notizen
    Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

    Alle Inhalte freischalten mit einem kostenlosen StudySmarter-Account.

    • Sofortiger Zugriff auf Millionen von Lernmaterialien.
    • Karteikarten, Notizen, Übungsprüfungen, AI-tools und mehr.
    • Alles, was du brauchst, um bei deinen Prüfungen zu bestehen.
    Second Popup Banner