Additionsverfahren

Algebra

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Du fragst dich, wie genau man zwei Gleichungen addieren kann und was das bringen soll?

Dieser Artikel hilft dir beim Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen mithilfe des Additionsverfahrens. Wir erklären dir, wie das Umformen und das Addieren funktioniert, um am Ende ein sinnvolles Ergebnis für x und y zu finden.

Additionsverfahren Gleichung StudySmarter

Grundlagen für das Additionsverfahren

Um dich endgültig an die Berechnung von linearen Gleichungssystemen mit dem Additionsverfahren zu machen, musst du ein paar Grundlagen auffrischen. Sieh dir dazu am besten auch die Artikel zum Thema lineare Gleichungen, lineare Funktion, Äquivalenzumformungen und lineare Gleichungssysteme genauer an.

Additionsverfahren: Lineare Gleichungen

Wir wollen trotzdem kurz die wichtigsten Informationen zu linearen Gleichungen an dieser Stelle wiederholen.

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form $a \cdot x + b = 0$ (mit nur einer Variablen) oder $a \cdot x + b \cdot y + c = 0$ (mit zwei Variablen).

Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.

Die lineare Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Gerade darstellen.

Linearen Gleichungen sind also Gleichungen, die als Variable nur ein x (oder auch jeden anderen Buchstaben) enthalten, jedoch kein x², x³ oder andere Variablen mit Potenzen.

Schauen wir uns ein kurzes Beispiel dazu an.

Diese Gleichung ist eine typische lineare Gleichung. Sie enthält ein einfaches x (in seiner ersten Potenz) und ist somit geradlinig.

$x - 3 = 10$

Andere Gleichungen enthalten auch das x als Variable, jedoch in einer anderen Form (wie etwa $x^{2}, x^{3} o d e r \sqrt{x}$ ). Ist das x also nicht linear, sondern taucht in höheren Potenzen ( $x^{2}, x^{3}$ ) oder unter der Wurzel ( $\sqrt{x}$ ) auf, dann handelt es sich um keine linearen Gleichungen.

Eine lineare Gleichung kann auf zwei Arten aufgeschrieben werden. Man unterscheidet zwischen der Allgemeinen Form und der Normalform.

Form

Bedeutung

Allgemeine Form

a x + b = 0

Diese Form ist oft der Definitionsmaßstab (auch bei anderen Gleichungsformen).

x ist die Variable; a und b sind Platzhalter für Zahlen.

Beispiel: $3 x - 7 = 0$

Normalform

y = m x + t

Man findet diese Form vor allem als Gleichung einer linearen Funktion.

In der Normalform kommen bereits zwei Variablen vor, x und y.

m und t sind ebenfalls nur Platzhalter für Zahlen, beide stehen in der Gleichung der linearen Funktion allerdings für unterschiedliche Dinge: m ist die Steigung und t ist der y-Achsenabschnitt.

Beispiel: $y = 2 x - 5$

Additionsverfahren: Die lineare Funktion

Eine lineare Gleichung kann in der Form einer linearen Funktion auch grafisch dargestellt werden. Sie bildet eine Gerade ab.

Hier ist die Funktion $y = 2 x - 2$ visualisiert.

Additionsverfahren Lineare Funktion StudySmarter Abbildung 1: Lineare Funktion

Grafisch ist hier eine Gerade zu sehen, an die man die Steigung $m = 2$ und den Achsenabschnitt $t = - 2$ antragen kann.

Additionsverfahren: Äquivalenzumformung

Gleichungen kann man mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer Variable auflösen.

Das bedeutet, man bringt das x allein auf eine Seite des Gleichheitszeichens und den Rest auf die andere Seite. Du kannst dabei die gleiche Zahl auf beiden Seiten addieren beziehungsweise subtrahieren. Oder du multiplizierst/dividierst die gleiche Zahl außer Null beidseitig.

Unter der Äquivalenzumformung versteht man die Umwandlung einer Gleichung (oder Ungleichung) in eine andere Gleichung (oder Ungleichung), welche dieselbe Lösungsmenge hat.

Bei linearen Gleichungen sind Äquivalenzumformungen zum Beispiel Rechnungen, die du gleichzeitig auf beiden Seiten des "=" vornimmst:

Du nimmst also links des Gleichheitszeichens eine Vereinfachung vor (zum Beispiel -3x), welche du dann ganz genauso auf der rechten Seite übernehmen musst.
Diese Umformungen zeigt man mit einem geraden Strich, der hinter der Gleichung steht, an.

$\begin{matrix} 2 y - 1 & = & 6 x + 3 & | + 1 \\ 2 y - 1 + 1 & = & 6 x + 3 + 1 \\ 2 y & = & 6 x + 4 & | : 2 \\ 2 y : 2 & = & (6 x + 4) : 2 \\ y & = & 3 x + 2 \end{matrix}$

Die Rechenoperation muss immer auf beiden Seiten ausgeführt werden und kann durch einen senkrechten Strich angekündigt werden.

Genauere Grundlagen zu Äquivalenzumformungen erfährst du im Artikel zur Äquivalenzumformung.

Additionsverfahren: Lineare Gleichungssysteme

Bei einem Gleichungssystem betrachtest du mehrere lineare Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten. In Bezug auf das Additionsverfahren handelt es sich um zwei lineare Gleichungen mit genau zwei Unbekannten.

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen ist ein System der Form

$\begin{matrix} I . & a_{1} \cdot x + b_{1} & = & c_{1} \cdot y + d_{1} \\ I I . & a_{2} \cdot x + b_{2} & = & c_{2} \cdot y + d_{2} \end{matrix}$

mit den Zahlen $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}, d_{1}, d_{2} \in ℝ$ .

Ein lineares Gleichungssystem stellt also zwei lineare Gleichungen in Beziehung. Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems beinhaltet all diejenigen Paare (x, y), die gleichzeitig beide Gleichungen erfüllen.

Man kann sich lineare Gleichungssysteme grafisch vorstellen, dazu benötigt es nur ein bisschen Vorarbeit:

Die beiden Gleichungen des Gleichungssystems kann man in die Normalform ( $y = m x + t$ ) umwandeln. In dieser Funktionsform kann man die Gleichungen einfach grafisch darstellen und bekommt eine Vorstellung von dem Gleichungssystem.

Additionsverfahren lineares Gleichungssystem grafisch StudySmarter Abbildung 2: Lineares Gleichungssystem grafisch

Die Lösung des Gleichungssystems ist also der Schnittpunkt, den du in der Abbildung sehen kannst. Er ist das einzige Koordinatenpaar (x, y), das beide Funktionen gemeinsam haben.

Wenn du jetzt die Lösung des Gleichungssystems mithilfe des Additionsverfahrens oder anderer Möglichkeiten berechnest, dann ermittelst du den x-Wert und den y-Wert des Schnittpunktes der zwei Funktionen.

Lösen von linearen Gleichungssystemen – Das Additionsverfahren

Weiter geht es mit den Grundlagen zum Additionsverfahren, mit dem du dann endlich lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen lösen kannst.

Beim Additionsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du eine Variable durch Addition der beiden Gleichungen eliminierst.

Beim Additionsverfahren musst du, wie der Name schon sagt, eine Addition durchführen. Dafür bringst du die Koeffizienten einer der Variablen in den beiden Gleichungen auf eine Zahl und ihre Gegenzahl.

Der Koeffizient ist die Zahl vor der Variable. (zum Beispiel $2 x$ oder $\frac{1}{4} y$ )

Gegenzahlen sind Zahlen mit dem gleichen Wert, aber unterschiedlichen Vorzeichen. (5 ist die Gegenzahl von -5, -2 von 2 und $\frac{1}{4}$ von $- \frac{1}{4}$ )

Man geht immer in den folgenden Schritten vor:

Du bringst die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen.
Die beiden Gleichungen addierst du miteinander.
Die erhaltene Gleichung löst du nach der verbliebenen Variable auf und berechnest ihre Lösung.
Den berechneten Wert für die erste Variable setzt du in eine der Ausgangsgleichungen ein und löst diese nach der zweiten Variable auf. Somit hast du für beide Variablen eine Lösung.
Probe: Setze die Werte der Variablen in eine der Gleichungen vom Anfang ein und berechne die linke und rechte Seite.
Gib dein Ergebnis als Lösungsmenge an.

Bekommt man bei der Probe auf beiden Seiten die gleichen Zahlen heraus, ist die Lösung richtig.

Erhält man zwei unterschiedliche Zahlen, dann ist die Gleichung und damit das Ergebnis falsch und irgendwo hat sich ein Fehler eingeschlichen.

Ein beispielhaftes Gleichungssystem zeigt dir, wie das Ganze funktioniert.

Aufgabe 1

Zu Beginn hast du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten gegeben. Sie sind die Ausgangsgleichungen und werden als römisch I. und II. bezeichnet.

$\begin{matrix} I . & 2 y - x & = & 5 \\ I I . & 3 x - 1 & = & 4 y \end{matrix}$

1. Schritt: Du bringst die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen.

Du wählst dir das x als Variable aus und bringst den Koeffizienten von x aus der Ausgangsgleichung $I .$ auf die Gegenzahl von 3 ( $3 x i n I I .$ ).

Das erreichst du, indem du I. durch eine Äquivalenzumformung umstellst und damit $- x$ auf $- 3 x$ bringst.

$\begin{matrix} I . & 2 y - x & = & 5 & | \cdot 3 \\ (2 y - x) \cdot 3 & = & 5 \cdot 3 \\ I .' & 6 y - 3 x & = & 15 \end{matrix}$

2. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen ( $I .' u n d I I .$ ) miteinander. Dafür schreibst du einfach die jeweiligen Terme der linken Seite als Summe. Setze dann das "=" Zeichen und addiere die Terme der rechten Seite.

$\begin{matrix} 6 y - 3 x & + 3 x - 1 & = & 15 & + 4 y \\ I .' & I I . & I .' & I I . \end{matrix}$

3. Schritt: Diese erhaltene Gleichung löst du nach der verbliebenen Variable (y) auf und berechnest ihre Lösung. Das x fliegt durch unsere vorherigen Umformungen und die Addition raus. Es bleibt nur noch eine Gleichung mit einer Variablen y übrig.

Diese kannst du jetzt lösen und bekommst ein Ergebnis für y.

$\begin{matrix} 6 y - 3 x + 3 x - 1 & = & 15 + 4 y \\ 6 y - 1 & = & 15 + 4 y & | - 4 y \\ 2 y - 1 & = & 15 & | + 1 \\ 2 y & = & 16 & | : 2 \\ y & = & 8 \end{matrix}$

4. Schritt: Setze den berechneten Wert für die erste Variable y in eine der Ausgangsgleichungen ein und löse diese nach der zweiten Variable (x) auf. Somit hast du für beide Variablen eine Lösung. Du setzt den Wert für y in die Ausgangsgleichung $I .$ ein und löst sie nach x auf.

$\begin{matrix} y in I . \to & 2 \cdot 8 - x & = & 5 \\ 16 - x & = & 5 & | - 16 \\ - x & = & - 11 & | \cdot (- 1) \\ x & = & 11 \end{matrix}$

5. Schritt Probe: Setze die Werte der Variablen in eine der Gleichungen von Beginn ein und berechne die linke und rechte Seite. Du wählst die einfachere Gleichung der beiden Anfangsgleichungen (in diesem Beispiel $I .$ ) und setzt $x = 11$ und $y = 8$ darin ein.

$\begin{matrix} I . & 2 y - x & = & 5 \\ 2 \cdot 8 - 11 & = & 5 \\ 16 - 11 & = & 5 \\ 5 & = & 5 \end{matrix} \begin{matrix} ✅ \end{matrix}$

Die Lösung ist richtig, das bedeutet, du hast richtig gerechnet!

6. Schritt: Gib das Ergebnis als Lösungsmenge an.

$L = {(11 | 8)}$

Sonderfälle beim Lösen mit dem Additionsverfahren

Das Ziel des Additionsverfahrens ist, dass du für beide Variablen einen genauen Wert herausbekommst. Dann ist das Gleichungssystem nämlich eindeutig gelöst.

Es kann jedoch auch in zwei besonderen Fällen vorkommen, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig ist. Das Gleichungssystem hat dann keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Diese beiden Fälle werden hier noch mal kurz näher erklärt.

Sonderfall 1: keine Lösung

Es kann vorkommen, dass ein Gleichungssystem gar keine Lösung für seine Variablen besitzt. In diesem Fall sind die beiden Graphen der Funktionen parallel, es gibt also keinen Schnittpunkt.

Additionsverfahren Sonderfall keine Lösung StudySmarter Abbildung 3: Lineares Gleichungssystem ohne Lösung

Auch rechnerisch kannst du diesen Sonderfall nach dem üblichen Vorgehen bestimmen.

Aufgabe 2

Gesucht ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

$\begin{matrix} I . & 2 x - 7 & = & y \\ I I . & - 2 y + 4 x & = & 8 \end{matrix}$

Lösung

1. Schritt: Bringe die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen. Hier nehmen wir das x und multiplizieren die erste Gleichung mit $- 2$

( $2 x$ wird zu $- 4 x$ und damit zur Gegenzahl von 4).

$\begin{matrix} I . & 2 x - 7 & = & y & | \cdot (- 2) \\ (2 x - 7) \cdot (- 2) & = & y \cdot (- 2) \\ I .' & - 4 x + 14 & = & - 2 y \end{matrix}$

2. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen ( $I .' u n d I I .$ ) miteinander.

$\begin{matrix} - 4 x + 14 & - 2 y + 4 x & = & - 2 y & + 8 \\ I .' & I I . & I .' & I I . \end{matrix}$

3. Schritt: Löse die Gleichung nach der verbliebenen Variable y auf.

$\begin{matrix} - 4 x + 14 - 2 y + 4 x & = & - 2 y + 8 \\ - 2 y + 14 & = & - 2 y + 8 & | + 2 y \\ 14 & \neq & 8 & ❌ \end{matrix}$

Für y kann kein eindeutiges Ergebnis bestimmt werden. Außerdem geht die Gleichung nicht auf, denn sie ist falsch. Das bedeutet, dass dieses Gleichungssystem keine Lösung hat, da für alle Werte, die wir eingeben, die Gleichung falsch ist.

4. Schritt: Weiter rechnen kannst du jetzt nicht mehr. Abschließend muss nur noch die Lösungsmenge angegeben werden. Da es keine Lösungen gibt, ist die Lösungsmenge leer:

$L = \emptyset$

Sonderfall 2: unendlich viele Lösungen

Es ergeben sich unendlich viele Lösungen für ein Gleichungssystem, wenn die Funktionsgraphen genau aufeinanderliegen. Das ist dann der Fall, wenn die Gleichungen identisch sind.

Additionsverfahren Sonderfall unendlich viele Lösungen StudySmarter Abbildung 4: Lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen

Rechnerisch erkennst du den Sonderfall auf diese Weise:

Aufgabe 3

Löse das folgende Gleichungssystem.

$\begin{matrix} I . & 2 x - y & = & 5 \\ I I . & 4 x - 10 & = & 2 y \end{matrix}$

Lösung

1. Schritt: Du bringst die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen. In diesem Fall wählst du den Koeffizienten der Variable x und multiplizierst die gesamte Gleichung $I .$ mit $- 2$ .

$\begin{matrix} I . & 2 x - y & = & 5 & | \cdot (- 2) \\ (2 x - y) \cdot (- 2) & = & 5 \cdot (- 2) \\ I .' & - 4 x + 2 y & = & - 10 \end{matrix}$

2. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen ( $I .' u n d I I .$ ) miteinander.

$\begin{matrix} - 4 x + 2 y & + 4 x - 10 & = & - 10 & + 2 y \\ I .' & I I . & I .' & I I . \end{matrix}$

3. Schritt: Die erhaltene Gleichung löst du nach der verbliebenen Variable y auf und berechnest deren Lösung.

$\begin{matrix} - 4 x + 2 y + 4 x - 10 & = & - 10 + 2 y \\ 2 y - 10 & = & 2 y - 10 & | - 2 y \\ - 10 & = & - 10 & ✅ \end{matrix}$

Die Gleichung kann nicht nach y aufgelöst werden und damit auch kein eindeutiges Ergebnis für y bestimmt werden. Die verbliebene Gleichung geht allerdings auf, denn $- 10 = - 10$ ist richtig.

Das bedeutet, dass du jede Zahl als Lösung einsetzen könntest, das Gleichungssystem ist immer richtig.

4. Schritt: Die Berechnung ist so weit abgeschlossen. Jetzt musst du nur noch die Lösungsmenge angeben.

Nachdem du alles einsetzen kannst, ist die Lösungsmenge gleich der Definitionsmenge der Gleichung.

$L = D$

Übungsaufgabe zum Additionsverfahren

Damit du das Additionsverfahren weiter vertiefen kannst, beweise dein Können doch gerne an dieser Übungsaufgabe.

Aufgabe 4

Gesucht ist die Lösung des linearen Gleichungssystems:

$\begin{matrix} I . & 6 x + 5 y & = & - 36 \\ I I . & - 7 x + 3 y & = & - 11 \end{matrix}$

Lösung

1. Schritt: Bringe die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen.

$\begin{matrix} I . & 6 x + 5 y & = & - 36 & | \cdot 3 \\ I .' & 18 x + 15 y & = & - 108 \\ I I . & - 7 x + 3 y & = & - 11 & | \cdot (- 5) \\ I I .' & 35 x - 15 y & = & 55 \end{matrix}$

2. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen ( $I .' u n d I I .'$ ) miteinander.

$\begin{matrix} 18 x + 15 y + 35 x - 15 y & = & - 108 + 55 \end{matrix}$

3. Schritt: Löse die erhaltene Gleichung nach der verbliebenen Variable auf.

$\begin{matrix} 18 x + 15 y + 35 x - 15 y & = & - 108 + 55 \\ 53 x & = & - 53 & | : 53 \\ x & = & - 1 \end{matrix}$

4. Schritt: Setze den berechneten Wert für die erste Variable ( $x = - 1$ ) in eine der Ausgangsgleichungen ein und löse diese nach der zweiten Variable (y) auf. Somit hast du für beide Variablen eine Lösung.

$\begin{matrix} I . & 6 x + 5 y & = & - 36 \\ 6 \cdot (- 1) + 5 y & = & - 36 \\ 5 y - 6 & = & - 36 & | + 6 \\ 5 y & = & - 30 & | : 5 \\ y & = & - 6 \end{matrix}$

5. Schritt Probe: Setze die Werte der Variablen in eine der Gleichungen von Beginn ein und berechne die linke und rechte Seite.

Wähle die einfachere Gleichung der beiden Anfangsgleichungen (hier egal, wir nehmen II.) und setze $x = - 1$ und $y = - 6$ ein.

$\begin{matrix} I I . & - 7 x + 3 y & = & - 11 \\ - 7 \cdot (- 1) + 3 \cdot (- 6) & = & - 11 \\ 7 - 18 & = & - 11 \\ - 11 & = & - 11 & ✅ \end{matrix}$

6. Schritt: Gib das Ergebnis der Lösungsmenge an.

$L = {(- 1 | - 6)}$

Additionsverfahren - Das Wichtigste

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form $a x + b = 0$ . Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.
Lineare Gleichungen können in der Allgemeinen Form oder Normalform dargestellt werden und mithilfe der Äquivalenzumformung umgeformt werden.
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen ist ein System der Form: $\begin{matrix} I . & a_{1} x + b_{1} & = & c_{1} y + d_{1} \\ I I . & a_{2} x + b_{2} & = & c_{2} y + d_{2} \end{matrix}$
Beim Additionsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du eine Variable durch Addition eliminierst. Dafür bringst du die Koeffizienten einer der Variablen in den beiden Gleichungen auf eine Zahl und ihre Gegenzahl.
Vorgehen beim Additionsverfahren:
- 1. Schritt: Du bringst die Koeffizienten (= Zahl vor der Variable) einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen (zum Beispiel 5 und -5).
- 2. Schritt: Die beiden Gleichungen addierst du miteinander.
- 3. Schritt: Die erhaltene Gleichung löst du nach der verbliebenen Variable auf und berechnest ihre Lösung.
- 4. Schritt: Den berechneten Wert für die erste Variable setzt du in eine der Ausgangsgleichungen ein und löst diese nach der zweiten Variable auf. Somit hast du für beide Variablen eine Lösung.
- 5. Schritt Probe: Setze die Werte der Variablen in eine der Gleichungen von Beginn ein und berechne die linke und rechte Seite.
- 6. Schritt: Gib dein Ergebnis als Lösungsmenge an.
Ein lineares Gleichungssystem kann auch keine oder unendlich viele Lösungen haben.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du eine Variable durch Addition der beiden Gleichungen entfernst. Anschließend berechnest du die übrig gebliebene Variable mithilfe von Äquivalenzumformungen. Als Letztes kannst du damit dann die gesamte Lösung des Gleichungssystems ausrechnen.

Du erkennst, dass du das Additionsverfahren anwenden kannst, wenn eine der Variablen in den beiden Gleichungen leicht auf ihre Zahl und ihre jeweilige Gegenzahl zu bringen sind.

Gleichungen dürfen immer umgeformt werden, solange links und rechts die gleiche Rechenoperation vorgenommen wird. Das ist bei der Addition von Gleichungen der Fall.

Eine Addition macht natürlich nur Sinn, wenn eine der Variablen in den Gleichungen als Zahl und Gegenzahl vorkommt und damit rausfliegt.

Eine Gleichung mit zwei Unbekannten kann nur mithilfe eines Gleichungssystem mit mehreren Gleichungen gelöst werden.

Ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann man wiederum mithilfe des Additionsverfahrens, des Einsetzungsverfahrens, des Gleichungsverfahrens, das Gauß-Algorithmus oder der graphischen Lösung lösen.

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