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Kreisbogen

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Mathe

Was ein Kreis ist, weißt du sicherlich schon lange. Aber was hat es mit einem Kreisbogen auf sich? Wenn du mehr über den Kreisbogen wissen möchtest, bist du hier genau richtig!

Der Kreisbogen b ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises k und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises k.

Der Kreisbogen ist daher der Umfang eines Kreisausschnitts.

Kreisbogen Definition StudySmarter

Abbildung 1: Kreis k mit Kreisbogen b

Was genau es mit dieser Definition auf sich hat, erklären wir dir in den nächsten Kapiteln des Artikels.

Kreisbogen – Erklärung

Bevor du lernst, wie man die Länge eines Kreisbogens berechnet, lernst du in diesem Abschnitt erst einmal die Grundlagen zum Kreisbogen und seine Herleitung kennen.

Kreisbogen – Grundlagen

Der Kreisbogen gehört zu den Kreisteilen. Zu dem Thema Kreisteile haben wir bereits einen eigenen Artikel verfasst. Wenn du dich also auch für die anderen Teile eines Kreises außer dem Kreisbogen interessierst, solltest du in diesem Artikel unbedingt vorbeischauen.

Der Kreisbogen wird in der Mathematik mit einem b bezeichnet. Das hast du bereits oben in der Definition gesehen.

Ein Kreisbogen entsteht, indem zwei Punkte, die auf einem Kreis k liegen, entlang des Verlaufs des Kreises miteinander verbunden werden. Der Kreisbogen liegt also auf der Kreislinie des Kreises.

Damit unterscheidet sich der Kreisbogen von der Kreissehne s. Die Kreissehne verbindet die beiden Punkte auf dem Kreis auf direktem Weg miteinander. Die Kreissehne liegt daher nicht auf der Kreislinie.

Der Unterschied zwischen dem Kreisbogen b und der Kreissehne s wird in der folgenden Abbildung 2 noch einmal verdeutlicht:

Kreisbogen Erklärung Unterschied Kreisbogen Kreissehne StudySmarter

Abbildung 2: Unterschied Kreisbogen und Kreissehne

Der Kreisbogen b kann auch mit bezeichnet werden, die Kreissehne s auch mit .

Kreisbogen – Herleitung

Wie du gelernt hast, ist der Kreisbogen b ein Anteil des Umfangs vom gesamten Kreis. Die Herleitung der Formel für den Kreisbogen baut daher auf der Formel für den Gesamtumfang U für den Kreis auf.

Die Formel für den gesamten Umfang eines Kreises lautet

Kreisbogen Umfang Kreis Formel StudySmarter

Dabei entspricht der Durchmesser d dem doppelten Radius r. Es gilt also Kreisbogen Durchmesser Formel StudySmarter

Die Formel für den Kreisbogen b erweitert die oben genannte Formel für den Umfang vom Kreis lediglich um den Faktor Kreisbogen Formel Faktor StudySmarter:

Der Kreisbogen b wird daher definiert als

Kreisbogen Formel StudySmarter

Das liegt daran, dass durch den Faktor Kreisbogen Formel Faktor StudySmarter angegeben wird, welchen Anteil der Kreisbogen b am Gesamtumfang U vom Kreis hat. Der Winkel gibt an, wie groß der Mittelpunktswinkel ist.

Der Mittelpunktswinkel ist der Winkel, der zwischen den beiden Radien des Kreises, die durch die Punkte A bzw. B verlaufen, liegt.

Nimm an, der Mittelpunktswinkel von einem Kreis beträgt . Grafisch dargestellt sieht der Kreisbogen b für diesen Kreis folgendermaßen aus:

Kreisbogen Kreisbogen Herleitung StudySmarter

Abbildung 3: Kreisbogen b mit halbem Umfang

Du siehst, dass sich der Kreisbogen b bei einem Mittelpunktswinkel von genau über die Hälfte des Umfangs des Kreises erstreckt. Dadurch ist die Länge des Kreisbogens genau halb so lang wie der Umfang vom gesamten Kreis.

Das wird in der Formel des Kreisbogens b zum Ausdruck gebracht, indem der Mittelpunktswinkel in Relation zum -Winkel gesetzt wird. Wenn du den Umfang für einen gesamten Kreis berechnen möchtest, dann beträgt der Mittelpunktswinkel .

Da gilt Kreisbogen Formel Faktor StudySmarter, kannst du den Teil Kreisbogen Formel Faktor StudySmarter bei der Umfangsberechnung eines ganzen Kreises weglassen.

Es folgt:

Kreisbogen Formel Herleitung StudySmarter

Das entspricht genau der Hälfte des Umfangs des Kreises.

Nimm nun an, dass für den Mittelpunktswinkel des Kreises gilt:

Grafisch dargestellt sieht der Kreisbogen b für diesen Kreis folgendermaßen aus:

Kreisbogen Herleitung StudySmarter

Abbildung 4: Kreisbogen b mit einem Viertel Umfang

Du siehst, dass sich der Kreisbogen b bei einem Mittelpunktswinkel von genau über ein Viertel des Umfangs des Kreises erstreckt. Dadurch ist die Länge des Kreisbogens genau ein Viertel so lang wie der Umfang vom Kreis insgesamt.

Das wird in der Formel des Kreisbogens b zum Ausdruck gebracht, indem der Mittelpunktswinkel vom Kreis in Relation zum -Winkel gesetzt wird.

Wenn du den Umfang für einen gesamten Kreis berechnen möchtest, dann beträgt der Mittelpunktswinkel .

Da gilt , kannst du den Teil Kreisbogen Formel Faktor StudySmarter bei der Umfangsberechnung eines ganzen Kreises weglassen.

Es folgt:

Kreisbogen Formel Herleitung Erklärung StudySmarter

Das entspricht genau einem Viertel des Umfangs des Kreises.

Kreisbogen – Formel

Es gibt zwei Formeln für den Kreisbogen, die dir helfen ihn zu berechnen. Eine der Formeln berechnet den Kreisbogen b auf Basis des Radius r des Kreises, die andere Formel verwendet den Durchmesser d des Kreises zur Berechnung des Kreisbogens.

Es reicht eigentlich, wenn du dir eine der beiden Formeln für den Kreisbogen merkst, da du den Radius leicht ermitteln kannst, wenn der Durchmesser vom Kreis gegeben ist und umgekehrt.

Sind der Mittelpunktswinkel im Gradmaß und der Radius r von einem Kreis gegeben, dann gilt für den Kreisbogen b des Kreises:

Kreisbogen Formel Radius StudySmarter

Sind der Mittelpunktswinkel im Gradmaß und der Durchmesser d von einem Kreis gegeben, dann gilt für den Kreisbogen b des Kreises:

Kreisbogen Formel Durchmesser StudySmarter

Falls du den Mittelpunktswinkel nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß gegeben hast, musst du den Winkel zunächst in die Einheit Gradmaß umrechnen.

Wenn du mehr zum Gradmaß und Bogenmaß wissen möchtest, solltest du einen Blick in unsere dazugehörigen Artikel werfen!

Zur Erinnerung: Mit der folgenden Formel kannst du Winkel, die im Bogenmaß angegeben sind, ins Gradmaß umrechnen:

Kreisbogen Bogenmaß StudySmarter

Alpha ist dabei der Winkel im Gradmaß. Für die Berechnung des Winkels im Bogenmaß muss die Formel einfach nur nach x aufgelöst werden. So erhältst du das berechnete Bogenmaß.

Kreisbogen berechnen – Formel umstellen

Die Formel für den Kreisbogen kannst du auch verwenden, um den Radius r, den Durchmesser d oder den Mittelpunktswinkel des Kreises zu bestimmen. Dafür ist es nötig, die Formel für den Kreisbogen umzustellen. Wie das funktioniert, lernst du im folgenden Abschnitt.

Formel für den Kreisbogen nach dem Radius auflösen

Kreisbogen Formel umstellen Radius des Kreises StudySmarter

Abbildung 5: Radius des Kreises

Zuerst soll die Formel für den Kreisbogen b nach dem Radius r des Kreises aufgelöst werden.

Die Ausgangsformel sieht folgendermaßen aus:

Kreisbogen Formel umstellen StudySmarter

Um die Formel nach dem Radius r aufzulösen, wird sie mit multipliziert und durch dividiert. Dadurch ergibt sich für den Radius r die folgende Definition.

Die Formel für den Radius r lautet:

Kreisbogen Formel umstellen StudySmarter

Formel für den Kreisbogen nach dem Durchmesser auflösen

Kreisbogen Formel umstellen StudySmarter

Abbildung 6: Durchmesser des Kreises

Als Nächstes soll die Formel für den Kreisbogen b nach dem Durchmesser d vom Kreis aufgelöst werden.

Die Ausgangsformel sieht folgendermaßen aus:

Kreisbogen Formel umstellen StudySmarter

Um die Formel nach dem Durchmesser d aufzulösen, wird sie mit multipliziert und durch dividiert.

Dadurch ergibt sich für den Durchmesser d die folgende Definition.

Die Formel für den Durchmesser d lautet:

Kreisbogen Formel umstellen StudySmarter

Formel für den Kreisbogen nach dem Mittelpunktswinkel auflösen

Kreisbogen Kreisbogen Formel umstellen StudySmarter

Abbildung 7: Mittelpunktswinkel des Kreises

Zum Schluss soll die Formel für den Kreisbogen b nach dem Mittelpunktswinkel vom Kreis aufgelöst werden.

Die Ausgangsformel sieht wieder folgendermaßen aus:

Kreisbogen Formel umstellen StudySmarter

Um die Formel nach dem Mittelpunktswinkel vom Kreis aufzulösen, wird sie erneut mit multipliziert, diesmal aber durch dividiert.

Dadurch ergibt sich für den Mittelpunktswinkel die folgende Definition.

Die Formel für den Mittelpunktswinkel lautet:

Kreisbogen Formel umstellen Mittelpunktswinkel StudySmarter

Kreisbogen berechnen – Beispiel

Da du nun die Formel zur Berechnung des Kreisbogens kennst, fällt es dir sicher leicht, das folgende Beispiel nachzuvollziehen.

Bestimme die Länge des Kreisbogens b von einem Kreis mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel .

Die Formel für die Länge des Kreisbogens b lautet:

Kreisbogen Formel StudySmarter

In diese Formel werden im nächsten Schritt die Werte für den Radius und den Mittelpunktswinkel des Kreises eingesetzt:

Kreisbogen Formel Beispiel StudySmarter

Der Kreisbogen b ist daher etwa 31,42 cm lang.

Kreisbogen – Übungsaufgaben

Super! Du hast jetzt alles, was du über Kreisbögen wissen musst gelernt!Kreisbogen Übungsaufgaben StudySmarter

In den vier abschließenden Übungsaufgaben kannst du nun dein Wissen zum Thema Kreisbogen überprüfen.

Aufgabe 1

Berechne die Länge des Kreisbogens b eines Kreises, wenn der Radius r und der Mittelpunktswinkel vom Kreis folgende Größen haben:

Kreisbogen Formel Beispiel Übungsaufgaben StudySmarter

Lösung

Die Formel zur Bestimmung der Länge des Kreisbogens b lautet:

Kreisbogen Formel Lösung Übungsaufgaben StudySmarter

Daher folgt:

Kreisbogen Formel Lösung Übungsaufgaben StudySmarter

Der Kreisbogen b des Kreises ist etwa 3,49 cm lang.

Aufgabe 2

Berechne die Länge des Radius r eines Kreises, wenn der Kreisbogen b und der Mittelpunktswinkel vom Kreis folgende Größen haben:

Kreisbogen Formel Aufgabe Übungsaufgaben StudySmarter

Lösung

Die nach dem Radius r umgestellte Formel für den Kreisbogen lautet:

Kreisbogen Formel Lösung Übungsaufgaben StudySmarter

Daher folgt:

Kreisbogen Formel Lösung Übungsaufgaben Beispiel StudySmarter

Der Radius r des Kreises beträgt etwa 6,37 cm.

Aufgabe 3

Berechne die Länge des Durchmessers d eines Kreises, wenn der Kreisbogen b und der Mittelpunktswinkel in der Einheit Bogenmaß vom Kreis folgende Größen haben:

Kreisbogen Formel Übungsaufgaben StudySmarter

Lösung

Zuerst wird die Größe des Winkels vom Bogenmaß ins Gradmaß mit der folgenden Formel umgerechnet:

Kreisbogen Formel Lösung Übungsaufgaben StudySmarter

Daraus resultiert:

Kreisbogen Formel Lösung Übungsaufgaben StudySmarter

Die nach dem Durchmesser d umgestellte Formel für den Kreisbogen lautet:

Kreisbogen Formel Lösung Übungsaufgaben StudySmarter

Daher folgt:

Kreisbogen Formel Lösung Übungsaufgaben StudySmarter

Der Durchmesser d vom Kreis beträgt etwa 13,37 cm.

Aufgabe 4

Berechne den Mittelpunktswinkel eines Kreises, wenn der Kreisbogen b und der Radius r vom Kreis folgende Größen haben:

Kreisbogen Formel Übungsaufgaben StudySmarter

Lösung

Die nach dem Mittelpunktswinkel umgestellte Formel für den Kreisbogen lautet:

Kreisbogen Formel Lösung Übungsaufgaben StudySmarter

Daraus folgt:

Kreisbogen Formel Lösung Übungsaufgaben StudySmarter

Der Mittelpunktswinkel vom Kreis ist etwa 76,39° groß.

Kreisbogen – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der Kreisbogen b ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises k und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises k.
  • Die Formel für den Kreisbogen b kann nach dem Radius r, dem Durchmesser d und dem Mittelpunktswinkel a aufgelöst werden.
  • Die Formel für den Kreisbogen b lautet:

Kreisbogen

Der Kreisbogen wird aus dem Radius bzw. Durchmesser des Kreises und dem Mittelpunktswinkel des Kreises berechnet. Der Kreisbogen ist ein Teil des Umfangs des Kreises. 

Der Kreisbogen liegt auf dem Kreis. Er ergibt sich, in dem zwei Punkte, die auf dem Kreis liegen, entlang des Kreisverlaufs miteinander verbunden werden. 

Der Radius eines Kreises kann bestimmt werden, indem die Formel für den Kreisbogen b nach dem Radius r aufgelöst wird. Dafür muss zudem der Mittelpunktswinkel gegeben sein. 

Den Umfang eines Kreisausschnitts aus dem Radius bzw. Durchmesser des Kreises und dem Mittelpunktswinkel des Kreises berechnet. Er wird auch als Kreisbogen bezeichnet. 

Finales Kreisbogen Quiz

Frage

Gib an, wie die mathematische Bezeichnung für den Kreisbogen lautet.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreisbogen wird mit einem bezeichnet. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel für die Berechnung des Kreisbogens b, die auf dem Radius r basiert.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel lautet: 


Frage anzeigen

Frage

Vereinfache die Formel für die Berechnung des Kreisbogens b:




Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel kann durch Kürzen vereinfacht werden zu:




Frage anzeigen

Frage

Gib an, welche Einheit der Mittelpunktswinkel in der Formel für den Kreisbogen b haben sollte.


Antwort anzeigen

Antwort

Der Winkel sollte im Gradmaß vorliegen. Wenn der Winkel im Bogenmaß angegeben ist, muss er vor der Nutzung der Formel in das Gradmaß umgerechnet werden. 

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, worauf die Formel für den Kreisbogen b basiert.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel basiert auf der Formel für den Umfang U des Kreises

Frage anzeigen

Frage

Vergleiche den Kreisbogen b und die Kreissehne s

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Kreissehne und dem Kreisbogen handelt es sich um Kreisteile

Ein Kreisbogen entsteht, indem zwei Punkte, die auf einem Kreis k liegen, entlang des Verlaufs des Kreises miteinander verbunden werden. Der Kreisbogen liegt also auf der Kreislinie des Kreises. 

Die Kreissehne hingegen verbindet die beiden Punkte auf dem Kreis auf direktem Weg miteinander und liegt daher nicht auf der Kreislinie. 

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was ein Kreisbogen ist. 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreisbogen b ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises k und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises k. Der Kreisbogen ist daher der Umfang eines Kreisausschnitts


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Länge des Kreisbogens b, wenn für den Radius r und den Mittelpunktswinkel  des Kreises gilt:


Antwort anzeigen

Antwort


Der Kreisbogen b ist etwa 8,38 cm lang. 


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Größe des Mittelpunktswinkels , wenn für den Kreisbogen b und den Radius r eines Kreises gilt:




Antwort anzeigen

Antwort


Der Winkel ist etwa 23,87 ° groß. 

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum die folgende Gleichung gültig ist:


 
Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich um die beiden Formeln für den Kreisbogen b. Die eine Formel basiert auf der Berechnung des Kreisbogens mit dem Radius r, die andere berechnet den Kreisbogen auf Basis des Durchmessers d. 

Da für das Verhältnis zwischen Durchmesser und Radius gilt , gilt auch die Gleichung.


Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum Thema Kreisbogen kurz zusammen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Der Kreisbogen b ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises k und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises k. 
  • Die Formel für den Kreisbogen b lautet:  
  • Die Formel für den Kreisbogen b kann nach dem Radius r, dem Durchmesser d und dem Mittelpunktswinkel  aufgelöst werden.  


Frage anzeigen

Frage

Beurteile, wie groß der Mittelpunktswinkel sein muss, damit der Kreisbogen b genau die Hälfte des Umfangs U des Kreises beträgt.

Antwort anzeigen

Antwort

Für den Mittelpunktswinkel muss gelten , da das Verhältnis von 180° zu 360° genau  beträgt. 


Frage anzeigen

Frage

​Bewerte, ob die Länge eines Kreisbogens b größer sein kann als der Umfang U des Kreises.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, das ist nicht möglich, da es sich bei dem Kreisbogen b um einen Teil des Umfangs des Kreises handelt. Der Kreisbogen b kann daher höchstens so groß sein wie der Umfang U des Kreises. 

Frage anzeigen

Frage

Gib die nach dem Durchmesser d aufgelöste Formel des Kreisbogens an.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Stelle die nach dem Radius r aufgelöste Formel des Kreisbogens dar.

Antwort anzeigen

Antwort

 


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