Was ein Kreis ist, weißt du sicherlich schon lange. Aber was hat es mit einem Kreisbogen auf sich? Wenn du mehr über den Kreisbogen wissen möchtest, bist du hier genau richtig!
Der Kreisbogen b ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises k und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises k.
Der Kreisbogen ist daher der Umfang eines Kreisausschnitts.
Abbildung 1: Kreis k mit Kreisbogen b
Was genau es mit dieser Definition auf sich hat, erklären wir dir in den nächsten Kapiteln des Artikels.
Kreisbogen – Erklärung
Bevor du lernst, wie man die Länge eines Kreisbogens berechnet, lernst du in diesem Abschnitt erst einmal die Grundlagen zum Kreisbogen und seine Herleitung kennen.
Kreisbogen – Grundlagen
Der Kreisbogen gehört zu den Kreisteilen. Zu dem Thema Kreisteile haben wir bereits einen eigenen Artikel verfasst. Wenn du dich also auch für die anderen Teile eines Kreises außer dem Kreisbogen interessierst, solltest du in diesem Artikel unbedingt vorbeischauen.
Der Kreisbogen wird in der Mathematik mit einem b bezeichnet. Das hast du bereits oben in der Definition gesehen.
Ein Kreisbogen entsteht, indem zwei Punkte, die auf einem Kreis k liegen, entlang des Verlaufs des Kreises miteinander verbunden werden. Der Kreisbogen liegt also auf der Kreislinie des Kreises.
Damit unterscheidet sich der Kreisbogen von der Kreissehne s. Die Kreissehne verbindet die beiden Punkte auf dem Kreis auf direktem Weg miteinander. Die Kreissehne liegt daher nicht auf der Kreislinie.
Der Unterschied zwischen dem Kreisbogen b und der Kreissehne s wird in der folgenden Abbildung 2 noch einmal verdeutlicht:
Abbildung 2: Unterschied Kreisbogen und Kreissehne
Der Kreisbogen b kann auch mit 
bezeichnet werden, die Kreissehne s auch mit 
.
Kreisbogen – Herleitung
Wie du gelernt hast, ist der Kreisbogen b ein Anteil des Umfangs vom gesamten Kreis. Die Herleitung der Formel für den Kreisbogen baut daher auf der Formel für den Gesamtumfang U für den Kreis auf.
Die Formel für den gesamten Umfang eines Kreises lautet
Dabei entspricht der Durchmesser d dem doppelten Radius r. Es gilt also
Die Formel für den Kreisbogen b erweitert die oben genannte Formel für den Umfang vom Kreis lediglich um den Faktor 
:
Der Kreisbogen b wird daher definiert als
Das liegt daran, dass durch den Faktor 
angegeben wird, welchen Anteil der Kreisbogen b am Gesamtumfang U vom Kreis hat. Der Winkel
gibt an, wie groß der Mittelpunktswinkel ist.
Der Mittelpunktswinkel ist der Winkel, der zwischen den beiden Radien des Kreises, die durch die Punkte A bzw. B verlaufen, liegt.
Nimm an, der Mittelpunktswinkel 
von einem Kreis beträgt 
. Grafisch dargestellt sieht der Kreisbogen b für diesen Kreis folgendermaßen aus:
Abbildung 3: Kreisbogen b mit halbem Umfang
Du siehst, dass sich der Kreisbogen b bei einem Mittelpunktswinkel von 
genau über die Hälfte des Umfangs des Kreises erstreckt. Dadurch ist die Länge des Kreisbogens genau halb so lang wie der Umfang vom gesamten Kreis.
Das wird in der Formel des Kreisbogens b zum Ausdruck gebracht, indem der Mittelpunktswinkel 
in Relation zum 
-Winkel gesetzt wird. Wenn du den Umfang für einen gesamten Kreis berechnen möchtest, dann beträgt der Mittelpunktswinkel 
.
Da gilt 
, kannst du den Teil 
bei der Umfangsberechnung eines ganzen Kreises weglassen.
Es folgt:
Das entspricht genau der Hälfte des Umfangs des Kreises.
Nimm nun an, dass für den Mittelpunktswinkel 
des Kreises gilt: 
Grafisch dargestellt sieht der Kreisbogen b für diesen Kreis folgendermaßen aus:
Abbildung 4: Kreisbogen b mit einem Viertel Umfang
Du siehst, dass sich der Kreisbogen b bei einem Mittelpunktswinkel von 
genau über ein Viertel des Umfangs des Kreises erstreckt. Dadurch ist die Länge des Kreisbogens genau ein Viertel so lang wie der Umfang vom Kreis insgesamt.
Das wird in der Formel des Kreisbogens b zum Ausdruck gebracht, indem der Mittelpunktswinkel 
vom Kreis in Relation zum 
-Winkel gesetzt wird.
Wenn du den Umfang für einen gesamten Kreis berechnen möchtest, dann beträgt der Mittelpunktswinkel .
Da gilt , kannst du den Teil bei der Umfangsberechnung eines ganzen Kreises weglassen.
Es folgt:
Das entspricht genau einem Viertel des Umfangs des Kreises.
Kreisbogen – Formel
Es gibt zwei Formeln für den Kreisbogen, die dir helfen ihn zu berechnen. Eine der Formeln berechnet den Kreisbogen b auf Basis des Radius r des Kreises, die andere Formel verwendet den Durchmesser d des Kreises zur Berechnung des Kreisbogens.
Es reicht eigentlich, wenn du dir eine der beiden Formeln für den Kreisbogen merkst, da du den Radius leicht ermitteln kannst, wenn der Durchmesser vom Kreis gegeben ist und umgekehrt.
Sind der Mittelpunktswinkel 
im Gradmaß und der Radius r von einem Kreis gegeben, dann gilt für den Kreisbogen b des Kreises:
Sind der Mittelpunktswinkel 
im Gradmaß und der Durchmesser d von einem Kreis gegeben, dann gilt für den Kreisbogen b des Kreises:
Falls du den Mittelpunktswinkel 
nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß gegeben hast, musst du den Winkel zunächst in die Einheit Gradmaß umrechnen.
Wenn du mehr zum Gradmaß und Bogenmaß wissen möchtest, solltest du einen Blick in unsere dazugehörigen Artikel werfen!
Zur Erinnerung: Mit der folgenden Formel kannst du Winkel, die im Bogenmaß angegeben sind, ins Gradmaß umrechnen:
Alpha ist dabei der Winkel im Gradmaß. Für die Berechnung des Winkels im Bogenmaß muss die Formel einfach nur nach x aufgelöst werden. So erhältst du das berechnete Bogenmaß.
Kreisbogen berechnen – Formel umstellen
Die Formel für den Kreisbogen kannst du auch verwenden, um den Radius r, den Durchmesser d oder den Mittelpunktswinkel 
des Kreises zu bestimmen. Dafür ist es nötig, die Formel für den Kreisbogen umzustellen. Wie das funktioniert, lernst du im folgenden Abschnitt.
Formel für den Kreisbogen nach dem Radius auflösen
Abbildung 5: Radius des Kreises
Zuerst soll die Formel für den Kreisbogen b nach dem Radius r des Kreises aufgelöst werden.
Die Ausgangsformel sieht folgendermaßen aus:
Um die Formel nach dem Radius r aufzulösen, wird sie mit 
multipliziert und durch 
dividiert. Dadurch ergibt sich für den Radius r die folgende Definition.
Die Formel für den Radius r lautet:
Formel für den Kreisbogen nach dem Durchmesser auflösen
Abbildung 6: Durchmesser des Kreises
Als Nächstes soll die Formel für den Kreisbogen b nach dem Durchmesser d vom Kreis aufgelöst werden.
Die Ausgangsformel sieht folgendermaßen aus:
Um die Formel nach dem Durchmesser d aufzulösen, wird sie mit 
multipliziert und durch 
dividiert.
Dadurch ergibt sich für den Durchmesser d die folgende Definition.
Die Formel für den Durchmesser d lautet:
Formel für den Kreisbogen nach dem Mittelpunktswinkel auflösen
Abbildung 7: Mittelpunktswinkel des Kreises
Zum Schluss soll die Formel für den Kreisbogen b nach dem Mittelpunktswinkel 
vom Kreis aufgelöst werden.
Die Ausgangsformel sieht wieder folgendermaßen aus:
Um die Formel nach dem Mittelpunktswinkel 
vom Kreis aufzulösen, wird sie erneut mit 
multipliziert, diesmal aber durch 
dividiert.
Dadurch ergibt sich für den Mittelpunktswinkel die folgende Definition.
Die Formel für den Mittelpunktswinkel lautet:
Kreisbogen berechnen – Beispiel
Da du nun die Formel zur Berechnung des Kreisbogens kennst, fällt es dir sicher leicht, das folgende Beispiel nachzuvollziehen.
Bestimme die Länge des Kreisbogens b von einem Kreis mit dem Radius 
und dem Mittelpunktswinkel 
.
Die Formel für die Länge des Kreisbogens b lautet:
In diese Formel werden im nächsten Schritt die Werte für den Radius und den Mittelpunktswinkel des Kreises eingesetzt:
Der Kreisbogen b ist daher etwa 31,42 cm lang.
Kreisbogen – Übungsaufgaben
Super! Du hast jetzt alles, was du über Kreisbögen wissen musst gelernt!
In den vier abschließenden Übungsaufgaben kannst du nun dein Wissen zum Thema Kreisbogen überprüfen.
Aufgabe 1
Berechne die Länge des Kreisbogens b eines Kreises, wenn der Radius r und der Mittelpunktswinkel 
vom Kreis folgende Größen haben:
Lösung
Die Formel zur Bestimmung der Länge des Kreisbogens b lautet:
Daher folgt:
Der Kreisbogen b des Kreises ist etwa 3,49 cm lang.
Aufgabe 2
Berechne die Länge des Radius r eines Kreises, wenn der Kreisbogen b und der Mittelpunktswinkel 
vom Kreis folgende Größen haben:
Lösung
Die nach dem Radius r umgestellte Formel für den Kreisbogen lautet:
Daher folgt:
Der Radius r des Kreises beträgt etwa 6,37 cm.
Aufgabe 3
Berechne die Länge des Durchmessers d eines Kreises, wenn der Kreisbogen b und der Mittelpunktswinkel in der Einheit Bogenmaß vom Kreis folgende Größen haben:
Lösung
Zuerst wird die Größe des Winkels vom Bogenmaß ins Gradmaß mit der folgenden Formel umgerechnet:
Daraus resultiert:
Die nach dem Durchmesser d umgestellte Formel für den Kreisbogen lautet:
Daher folgt:
Der Durchmesser d vom Kreis beträgt etwa 13,37 cm.
Aufgabe 4
Berechne den Mittelpunktswinkel 
eines Kreises, wenn der Kreisbogen b und der Radius r vom Kreis folgende Größen haben:
Lösung
Die nach dem Mittelpunktswinkel 
umgestellte Formel für den Kreisbogen lautet:
Daraus folgt:
Der Mittelpunktswinkel 
vom Kreis ist etwa 76,39° groß.
Kreisbogen – Das Wichtigste auf einen Blick
- Der Kreisbogen b ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises k und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises k.
- Die Formel für den Kreisbogen b kann nach dem Radius r, dem Durchmesser d und dem Mittelpunktswinkel a aufgelöst werden.
- Die Formel für den Kreisbogen b lautet:
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