Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Mittelparallele

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Mittelparallele

Wusstest du, dass die gestrichelte Farbbahnmarkierung in der Mitte einer geraden Straße eine Mittelparallele darstellt? Und wieso? Das sehen wir uns gemeinsam an.

Mittelparallele Flaticon Straße StudySmarter

Die Mittelparallele ist genauso wie die Kreislinie, die Winkelhalbierende, die Mittelsenkrechte und ein Parallelenpaar ein geometrischer Ort.

Zur Erinnerung: Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.

Mittelparallele Definition

Die Mittelparallele ist eine Gerade, die zwischen zwei parallelen Geraden – also zwischen einem Parallelenpaarliegt und zu beiden Geraden parallel ist. Sie schneidet also die Geraden nie, zwischen denen sie liegt.

Auf der Mittelparallele liegen also alle Punkte, die denselben Abstand zum Parallelenpaar haben.

Daher kann man die Mittelparallele als geometrischer Ort wie folgt definieren:

Die Mittelparallele m des Parallelenpaares g und h ist die Menge aller Punkte aus der Ebene, die denselben Abstand d zu g und zu h haben, für die gilt: Mittelparallele Formel Abstand Definition StudySmarter.

Mittelparallele Mittelparallele StudySmarter

Abbildung 1: Mittelparallele m zum Parallelenpaar g und h

Es gibt noch eine weitere Definition der Mittelparallelen als geometrischen Ort. Sie ist die Menge aller Mittelpunkte von Kreisen, die die Geraden g und h berühren, sie aber nicht schneiden.

Mittelparallele Definition Mittelparallele StudySmarter

Abbildung 2: Definition der Mittelparallele als geometrischer Ort

Super, damit weißt du bereits, was genau eine Mittelparallele ist. Sehen wir uns als Nächstes an, wie wir sie zusammen zeichnen können.

Mittelparallele konstruieren zwei Geraden

Mithilfe eines Zirkels und eines Lineals lässt sich die Mittelparallele in wenigen Schritten konstruieren. Gern kannst du mithilfe der folgenden Anleitung direkt selbst eine Mittelparallele zeichnen!

Hinweis: Für die Konstruktion der Mittelparallele solltest du wissen, wie man eine Mittelsenkrechte konstruiert und ein Lot fällt. Das kannst du in unserer Zusammenfassung zum Thema Mittelsenkrechte konstruieren nachlesen!

KonstruktionsbeschreibungKonstruktionsbild
Gegeben ist ein Parallelenpaar, bestehend aus den Geraden g und h.

Mittelparallele Mittelparallele konstruieren StudySmarter

Abbildung 3: Erster Schritt der Konstruktion
Wähle einen beliebigen Punkt P auf der Geraden g.

Du könntest auch einen Punkt auf der Geraden h wählen, das macht keinen Unterschied für die Konstruktion.

Mittelparallele Mittelparallele konstruieren StudySmarter

Abbildung 4: Zweiter Schritt der Konstruktion
Fälle nun das Lot durch den Punkt P auf die Gerade g.

Du erhältst nun auch einen Schnittpunkt des Lots und der Geraden h, welchen wir S nennen. Ein Lot kannst du mit deinem Geodreieck aufstellen.

Mittelparallele Mittelparallele konstruieren StudySmarter

Abbildung 5: Vorletzter Schritt zur Konstruktion
Konstruiere nun die Mittelsenkrechte m der Strecke . Sie ist die gesuchte Mittelparallele m zu den Geraden g und h. Hierbei kann dir wieder dein Geodreieck helfen.

Mittelparallele Mittelparallele konstruieren StudySmarter

Abbildung 6: Letzter Schritt zur Konstruktion

Mittelparallele Trapez berechnen

Vielleicht hast du bereits von der Mittelparallelen eines Trapezes gehört. Man nennt sie manchmal auch Mittellinie.

Die Mittelparallele m eines Trapezes ist eine Strecke, welche parallel zu den beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes verläuft und deren Anfangs- und Endpunkt die Mittelpunkte und der anderen beiden Seiten b und d sind.

Mittelparallele Mittelparallele eines Trapez StudySmarter

Abbildung 7: Mittelparallele eines Trapez

Die Mittelparallele eignet sich beispielsweise zur Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes.

Wenn du wissen möchtest, wie man die Mittellinie zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes nutzen kann, dann solltest du dir den Artikel Flächeninhalt Trapez anschauen.

Um nun die Länge der Mittelparallele bzw. Mittellinie zu berechnen, kannst du die folgende Formel verwenden:

Formel zur Berechnung der Mittellinie m in einem Trapez :

Mittelparallele Formel Mittellinie Trapez StudySmarter

Schau dir die Verwendung der Formel am besten am folgenden Beispiel an:

Aufgabe 1

Gegeben sei das Trapez , wobei die parallelen Seiten a und c sind, mit und .

Berechne die Länge der Mittelparallele m.

Lösung

Es müssen lediglich die Längen der Seiten a und c in die Formel eingesetzt werden:

Die Mittellinie m ist also lang.

Mittelparallele Mittelparallele eines Trapez StudySmarter

Abbildung 8: Mittelparallele des Trapezes

Mittelparallele Dreieck

Auch im Dreieck gibt es Mittelparallelen, insgesamt drei Stück. Sie verlaufen jeweils parallel zu einer Seite und ihre Anfangs- und Endpunkte sind die Mittelpunkte der beiden anderen Seiten.

Mittelparallele Mittelparallelen Dreieck StudySmarter

Abbildung 9: Mittelparallele eines Dreiecks

Sie umschließen zudem ein Dreieck, welches zum Dreieck ABC ähnlich ist.

Falls du nicht mehr genau weißt, was "ähnlich" bedeutet, kannst du dir den Artikel "Ähnlichkeit" anschauen!

Es gibt sogar einen Satz der Mittelparallelen im Dreieck. Dieser besagt, dass die Strecke durch die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks stets parallel zur dritten Seite ist - egal um welche Art von Dreieck es sich handelt.

Mittelparallele Übung

Um die in diesem Artikel gelernten Inhalte ein bisschen zu festigen, kannst du die folgende Aufgabe bearbeiten.

Aufgabe 2

Berechne die Länge der Mittelparallele eines Trapezes mit den folgenden Seitenlängen:

1.

2.

3.

Dabei sind a und c die beiden parallelen Seiten des Trapezes.

Lösung

1. Wir können die beiden Werte direkt in die gegebene Formel einsetzen:

2. Auch hier können wir die Formel nutzen:

3. Hier müssen wir ein bisschen aufpassen, denn: Die gegebenen Seitenlängen sind nicht in der gleichen Einheit! Es bietet sich an, beide Längen in die Einheit cm umzuwandeln:

Nun können wir aber wieder die Formel verwenden:

Befindest du dich bereits in der Oberstufe und hast die Mittelparallele im dreidimensionalen Raum betrachtet, so kannst du dir ebenfalls unsere Vertiefung zu diesem Thema ansehen.

Die Mittelparallele zweier Geraden im Dreidimensionalen

Sind zwei parallele Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem gegeben, so kann man eine Gleichung für die Mittelparallele m berechnen. Wie das funktioniert, soll an einem Beispiel verdeutlicht werden.

Gegeben seien die Geraden und ,

Zeige, dass g und h parallel sind und berechne die Mittelparallele m.

Wenn du nicht mehr weißt, wie man die gegenseitige Lage zweier Geraden im dreidimensionalen Raum überprüft, dann solltest du in den Artikel "Gegenseitige Lage von Geraden" schauen!

ErläuterungRechnung

Um zu überprüfen, ob g und h parallel sind, wird als Erstes überprüft, ob die beiden Richtungsvektoren in den Geradengleichungen linear abhängig oder linear unabhängig sind.Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, dann können die Geraden entweder identisch oder parallel sein.
Die beiden Richtungsvektoren sind linear abhängig, denn:
Dann wird die sogenannte Punktprobe gemacht, also überprüft, ob der Aufpunkt der Geraden g auf der Gerade h liegt.Liegt der Aufpunkt auf der Geraden h, so sind g und h identisch. Liegt er nicht auf h, so sind g und h parallel. Diesen Fall brauchen wir, um eine Mittelparallele bestimmen zu können.
Diese Gleichung hat keine Lösung. Es folgt also:
Nun wird die Mittelparallele berechnet:Da m parallel zu g und h sein soll, muss ihr Richtungsvektor linear abhängig zu den Richtungsvektoren von g und h sein. Der Einfachheit halber bietet es sich an, einfach den Richtungsvektor von g oder h zu nutzen.Wähle zum Beispiel den Richtungsvektor der Geraden g:
,
Zuletzt muss ein Punkt gefunden werden, der genau zwischen den Geraden g und h liegt.Ein möglicher Punkt, der sich leicht berechnen lässt, ist der Mittelpunkt der Strecke zwischen den Aufpunkten der Geraden g und h.
Damit haben wir die Mittelparallele berechnet.
,

Auch im Dreidimensionalen lassen sich die Geraden und die Mittelparallele darstellen. In der Abbildung 10 sind alle geometrischen Objekte noch einmal eingezeichnet.

Mittelparallele Gerade und Mittelparallele in 3D StudySmarter

Abbildung 10: Geraden und Mittelparallele in 3D

Zusammenfassend noch einmal die Schritte zur Berechnung der Mittelparallele zweier Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem:

  1. Prüfe, ob die gegebenen Geraden wirklich parallel sind. Dazu müssen die Richtungsvektoren linear abhängig sein und der Aufpunkt der einen Gerade darf nicht auf der anderen Gerade liegen.
  2. Berechne den Mittelpunkt M zwischen den beiden Aufpunkten der parallelen Geraden.
  3. Wähle als Richtungsvektor der Mittelparallelen den Richtungsvektor einer der parallelen Geraden.

Um diese Schritte einzuüben, gibt es auch hier noch eine Übungsaufgabe für dich:

Aufgabe

Überprüfe die Lage der folgenden Geraden und berechne die Mittelparallele.

und ,

Lösung

Schritt 1:

g und h sind parallel, denn ihre Richtungsvektoren sind linear abhängig:

Außerdem liegt der Aufpunkt der Geraden g nicht auf der Geraden h, denn die Punktprobe hat keine Lösung in :

Schritt 2:

Der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Aufpunkten lässt sich berechnen durch:

Schritt 3:

Mit einem der Richtungsvektoren von g oder h ergibt sich für die Mittelparallele die folgende Gleichung:

Mittelparallele - Das Wichtigste

  • Die Mittelparallele m des Parallelenpaares g und h ist die Menge aller Punkte aus der Ebene, die denselben Abstand zu g und zu h haben.
  • Im Zweidimensionalen kann man die Mittelparallele mithilfe von einem Geodreieck und einem Zirkel konstruieren.
  • Jedes Trapez hat eine Mittelparallele. Mit deren Länge kann man den Flächeninhalt berechnen.
  • Im Dreieck gibt es drei Mittelparallelen.
  • Für Mathe-Experten: Zu zwei parallelen Geraden im dreidimensionalen Raum kann man die Mittelparallele berechnen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mittelparallele

Um die Länge der Mittelparallelen eines Trapez zu berechnen, nutzt man die Formel: 

m = 0,5 · (a + c). Dabei sind a und c die beiden parallelen Seiten des Trapezes.

1. Prüfe, ob die gegebenen Geraden wirklich parallel sind. Dazu müssen die Richtungsvektoren linear abhängig sein und der Aufpunkt der einen Gerade darf nicht auf der anderen liegen.

2. Berechne den Mittelpunkt M zwischen den beiden Aufpunkten der parallelen Geraden.

3. Wähle als Richtungsvektor der Mittelparallelen den Richtungsvektor einer der parallelen Geraden.

Finales Mittelparallele Quiz

Frage

Definiere den Begriff Mittelparallele im zweidimensionalen Raum.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelparallele m des Parallelenpaars g und h ist die Menge aller Punkte aus der Ebene, die denselben Abstand zu g und zu h haben, also die Menge aller Punkte , für die gilt: d(x;g)=d(x;h)

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Mittelparallele im dreidimensionalen Raum.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelparallele m des Parallelenpaars g und h ist die Menge aller Punkte aus der Ebene, die denselben Abstand zu g und zu h haben, also die Menge aller Punkte , für die gilt: d(x;g)=d(x;h)

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie man die Mittelparallele zweier Geraden konstruieren kann.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Wähle einen beliebigen Punkt p auf der Geraden g.
  2. Fälle das Lot durch P auf die Gerade g. 
  3. Das Lot schneidet auch die Gerade h. Erhalte also den Schnittpunkt S auf h.
  4. Konstruiere die Mittelsenkrechte m der Strecke . Sie ist die gesuchte Mittelparallele.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was die Mittelparallele in einem Trapez ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelparallele m eines Trapezes ABCD ist eine Strecke, welche parallel zu den beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes verläuft und deren Anfangs- und Endpunkt die Mittelpunkte Mb und Md der anderen beiden Seiten b und d sind.



Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel zur Berechnung der Mittelparallelen in einem Trapez.

Antwort anzeigen

Antwort

Sind a und c die parallelen Seiten des Trapezes, so lautet die Formel:



Frage anzeigen

Frage

Wozu braucht man die Mittellinie in einem Trapez?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittellinie eines Trapez kann zur einfachen Berechnung des Flächeninhalts des Trapez genutzt werden. 

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Mittelparallelen gibt es im Dreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

3

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, was eine Mittelparallele in einem Dreieck ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Mittelparallele in einem Dreieck ist eine Strecke zwischen den Mittelpunkten zweier Dreiecksseiten. Sie verläuft parallel zur dritten Dreiecksseite.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen zur Berechnung der Mittelparallelen zweier Parallelen im dreidimensionalen Raum.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Prüfe, ob die gegebenen Geraden wirklich parallel sind. Dazu müssen die Richtungsvektoren linear abhängig sein und der Aufpunkt der einen Gerade darf nicht auf der anderen Gerade liegen.
  2. Berechne den Mittelpunkt M zwischen den beiden Aufpunkten der parallelen Geraden.
  3. Wähle als Richtungsvektor der Mittelparallelen den Richtungsvektor einer der parallelen Geraden.
Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum die Mittelparallele ein geometrischer Ort ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen. 


Alle Punkte auf einer Mittelparallelen erfüllen die Bedingung, dass sie denselben Abstand zu den parallelen Geraden haben. 


Zudem erfüllen sie die Bedingung, dass sie die Mittelpunkte von Kreisen sind, die beide parallele Geraden nur berühren, also nicht schneiden.

Frage anzeigen

Frage

Welche geometrische Figur umschließen die Mittelparallelen in einem Dreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Dreieck.

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Länge der Mittelparallelen des Trapezes ABCD mit parallelen Seiten b und d.


Dabei sind die folgenden Seitenlängen gegeben: 

b=4 cm

d=13,4 cm

Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen
Mehr zum Thema Mittelparallele
60%

der Nutzer schaffen das Mittelparallele Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.