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Punktspiegelung

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Punktspiegelung

Vielleicht hast Du schon einmal ein eigenes kleines Windrädchen aufgestellt, das sich im Wind dreht. Ähnlich wie die großen Gebilde, die Windkrafträder in größeren Windparks, besitzen diese Rotorblätter. Damit sie sich gleichmäßig im Wind drehen, besitzt ein Rad mehrere dieser Blätter, die sich um ein Zentrum drehen.

Punktspiegelung Punktspiegelung am Windrad StudySmarter

Schon befindest Du Dich mitten in der Thematik der Punktspiegelung. Würdest Du dieses Zentrum tatsächlich als Punkt wahrnehmen, so würden die Rotorblätter tatsächlich an diesem Zentrum gespiegelt. Was die Punktspiegelung konkret bedeutet, wirst Du in dieser Erklärung erfahren.

Punktspiegelung – Grundlagenwissen

In der Mathematik gibt es verschiedene Konstruktionen, die Du in der Geometrie verwenden kannst. Dabei kannst Du Dein Lineal, ein Geodreieck oder auch einen Zirkel verwenden. In manchen Aufgaben sind dann eventuell nur ein Teil der Hilfsmittel erlaubt. Bevor es an die Spiegelung von Punkten oder Geraden an einem Punkt gehen soll, werden Dir erst allgemeine Konstruktionen gezeigt, wie der Mittelpunkt einer Strecke.

Punktspiegelung – Konstruktionen

Möchtest Du den Mittelpunkt einer Strecke ermitteln, so misst Du mit Deinem Geodreieck oder Lineal ab, wie lang dieser Abstand zu den Endpunkten ist. Danach gehst Du von einem Punkt die Hälfte der Länge ab. Das ist dann Dein Mittelpunkt. Mit dem Zirkel kannst Du folgendermaßen vorgehen:

  • Du kannst von den beiden Eckpunkten jeweils einen Kreis zeichnen, der einen Radius besitzt, der mindestens die Hälfte der Strecke beträgt. Du kannst auch nur einen Halbkreis zeichnen, die zwei Kreise sollten sich zumindest in zwei Punkten schneiden.
  • Diese zwei Punkte verwendest Du, um eine Gerade durch diese zu zeichnen. Damit erhältst Du durch den Schnittpunkt der Geraden mit Deiner Strecke automatisch den Mittelpunkt der Strecke.

Punktspiegelung Mittelpunkt einer Strecke mit einem Zirkel StudySmarterAbbildung 1: Mittelpunkt einer Strecke mit einem Zirkel

Einen detaillierten Einblick in andere Konstruktionen aus der Geometrie findest Du auch in anderen Erklärungen. Möchtest Du erfahren wie Du mit einem Zirkel oder einem Geodreieck eine Senkrechte zu einer Geraden zeichnen kannst, so sieh Dir dazu gerne Lot konstruieren an. Eine Beschreibung verschiedener Konstruktionen aus der Geometrie findest Du unter Grundkonstruktionen. Ansonsten kannst Du Dich auch gerne über den Schwerpunkt eines Dreiecks informieren.

Punktspiegelung - Senkrechte in einem Punkt

Du kannst nicht nur den Mittelpunkt einer Strecke bestimmen, aber vor allem auch eine Senkrechte durch einen Punkt konstruieren. Dabei wirst Du den Fall kennenlernen, falls sich dieser Punkt auf der Geraden befindet.

Zuerst erstellst Du einen Kreis mit einem beliebigen Radius um den jeweiligen Punkt. Es ist wichtig, dass nun zwei Schnittpunkte mit der Geraden entstehen, in diesem Fall R und S. Danach zeichnest Du von diesen Punkten aus zwei Kreise mit demselben Radius, wichtig ist auch hier, dass sich die beiden in zwei Punkten schneiden. Auch dieses Mal verwendest Du diese Schnittpunkte als zwei Punkte auf der Lotgeraden, die Du jetzt zeichnen kannst.

Punktspiegelung Lot durch Punkt auf einer Geraden StudySmarterAbbildung 2: Lot durch Punkt auf einer Geraden

Falls Du ein Lot auf eine Gerade durch einen Punkt fällen möchtest, der sich nicht auf der Geraden befindet, zeichnest Du erst einen Kreis von diesem Punkt aus, der die Gerade in zwei Punkten schneidet. Danach setzt Du wieder zwei Kreise mit demselben Radius von diesen Punkten. Deren Schnittpunkte verwendest Du für die neue Lotgerade.

Nähere Informationen zu genau dem letztgenannten Vorgehen findest Du unter dem Artikel Achsenspiegelung oder Lot. Eine wichtige Anwendung findest Du in der Erklärung Achsenspiegelung.

Eigenschaften Punktspiegelung

Die Punktspiegelung gehört zu den drei wichtigen Transformationen eines Graphen, neben der Verschiebung eines Graphen und auch der Skalierung und Streckung um ein Zentrum. Wie nun auch die Rotorblätter eines Windrads immer dieselbe Form besitzen und sich um ein Zentrum drehen, erfährst Du in Bezug auf die Punktspiegelung.

Punktspiegelung – Definition

Die Punktspiegelung funktioniert ähnlich wie eine Achsenspiegelung allerdings an einem Punkt.

Die Punktspiegelung ist die Spiegelung an einem Punkt Z, wobei hierbei einem Punkt P in einem Raum ein Bildpunkt P' zugeordnet wird. Es können auch ganze Formen und Figuren an diesem Punkt gespiegelt werden.

Für eine Punktspiegelung ist dabei die Verbindungsstrecke zwischen und exakt gleich lange. Eine besondere Form der Punktspiegelung ist unter anderem der sogenannte Fixpunkt. Es gibt genau den einen Punkt, nämlich das Zentrum selbst, das sich gespiegelt wieder am selben Ort befindet. Außerdem werden die Geraden durch das Zentrum als Fixgeraden bezeichnet. Weiterhin wird jede beliebige Gerade g an einem Zentrum zu einer parallelen Bildgeraden g' gespiegelt.

Im Folgenden solltest Du die Begriffe Ursprung und Urpunkt unterscheiden. Der Ursprung ist der Punkt im Koordinatensystem. Der Urpunkt ist allerdings der zu spiegelnde Punkt. Bei einer Punkt- und Achsenspiegelung wird also ein Urpunkt auf einen Spiegelpunkt abgebildet.

Punktspiegelung – Kongruenzabbildungen

Bei einer Punktspiegelung handelt es sich um eine sogenannte Kongruenzabbildung. Das ist gegeben, falls die folgenden Eigenschaften gelten: geraden-, winkel- und längentreu.

Dabei sind also die Längen der Strecken nach der Spiegelung identisch, genauso wie die Winkel für eine Form wie ein Dreieck oder Viereck.

Betrachtest Du als Beispiel also ein Viereck, so...

  • bleiben die Strecken , , , identisch in ihrer Länge nach der Spiegelung.
  • werden die Winkel an den jeweiligen Punkten A, B, C und D ebenso gleich groß bleiben.

Für die Geradentreue gilt insgesamt, dass Geraden weiterhin Geraden bleiben und nicht zu einer anderen Form gespiegelt werden. Eine lineare Funktion wird also nicht zu einer quadratischen Funktion gespiegelt oder etwas anderes, sondern nur zu dieser linearen Funktion. Außerdem bleiben parallele oder orthogonale, also senkrechte Geraden in dieser Form bestehen.

Im Gegensatz zur Achsenspiegelung bleibt auch der Umlaufsinn erhalten. Die Punkte des Vierecks können nämlich mit oder gegen den Uhrzeigersinn platziert werden. In der Mathematik werden Punkte oftmals gegen den Uhrzeigersinn angeordnet. Somit ist das Original und sein Spiegelbild gleich orientiert und die Figuren insgesamt deckungsgleich.

Im folgenden Bild sind alle Winkel gleich, genauso wie die Längen der Strecken. Auch die Geradentreue und der Umlaufsinn bleibt erhalten.

Punktspiegelung Eigenschaften der Punktspiegelung StudySmarterAbbildung 3: Eigenschaften der Punktspiegelung

Kurz und knapp sind alle Eigenschaften der Punktspiegelung mit einem Vergleich zur Achsenspiegelung in dieser Tabelle enthalten:

PunktspiegelungErklärungAchsenspiegelung
LängentreuLängen von Strecken bleiben bei Spiegelung gleich.Längentreu
GeradentreuGeraden bleiben Geraden.Geradentreu
WinkeltreuWinkel bleiben gleich groß.Winkeltreu
Umlaufsinn verändert sich nichtPunkte von Flächen können gegen oder mit dem Uhrzeigersinn verlaufenUmlaufsinn ändert sich

Punktspiegelung im Koordinatensystem – Vorgehen

Falls Du bereits die Erklärung zur Achsenspiegelung gelesen hast, wird Dir auffallen, dass das Vorgehen zur Ermittlung des Spiegelpunkts für die Punktspiegelung mit weniger Aufwand zu erledigen ist. Dabei wird Dir gleich das Verfahren gezeigt für mehrere Punkte, respektive für eine Form. Falls es sich lediglich um einen Punkt handelt, benötigst Du Schritt 4 und 5 nicht.

  1. Zeichne eine Gerade g durch den zu spiegelnden Punkt A (auch Urpunkt A genannt) und den Spiegelpunkt Z.
  2. Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt Z und dem Radius . Es wird also am Spiegelpunkt P ein Kreis gesetzt, der den Radius besitzt wie die Länge der Strecke von A nach Z. Falls die zuvor gezeichnete Gerade diesen Kreis nicht schneidet, dann kannst Du die Gerade noch verlängern.
  3. Der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden g ist Dein Spiegelpunkt.
  4. Schritte 2 und 3 für weitere Punkte wiederholen.
  5. Verbinde die Spiegelpunkte wie Dein Urbild.

Falls Du ein Geodreieck verwenden möchtest, ist auch hierbei relativ schnell der Bildpunkt ermittelt.

  1. Zeichne auch hier eine Gerade g durch den Urpunkt und den Spiegelpunkt Z.
  2. Messe den Abstand zwischen Spiegelpunkt Z und Urpunkt A ab. Dazu kannst Du auch ein Lineal oder Dein Geodreieck verwenden.
  3. Trage denselben Abstand auf der anderen Seite ab. Dazu gehst Du denselben Abstand von Z aus in die andere Richtung. Das ist Dein Spiegelpunkt.

Punktspiegelung – Bildpunkt konstruieren

Es gibt grundsätzlich zwei verschiedene Varianten, um eine Punktspiegelung durchzuführen. Du kannst dafür Dein Geodreieck und einen Stift oder auch Deinen Zirkel verwenden.

Punktspiegelung mit Geodreieck

Wie Du bereits im vorherigen Kapitel gelernt hast, benötigst Du für die Aufgabe mit einem Geodreieck die Länge der Strecke zwischen dem Urpunkt und dem Spiegelpunkt Z. Diese Länge gehst Du dann in umgekehrter Richtung weiter. Dafür kannst Du aber auch ein Lineal verwenden.

Es soll der Punkt am Koordinatenursprung gespiegelt werden.

Dazu wird mit dem Geodreieck die Strecke zwischen Z und A abgemessen. Das ist in diesem Fall in etwa 5 cm. Danach wird dieser Abstand auf der anderen Seite von Z abgetragen und Du erhältst den Spiegelpunkt A'. Du kannst in diesem Fall auch eine Berechnung anstellen, was Du im nächsten Kapitel lernen wirst.

Punktspiegelung Punktspiegelung mit Geodreieck StudySmarterAbbildung 4: Punktspiegelung mit Geodreieck

Punktspiegelung mit Zirkel

Die Punktspiegelung mit einem Zirkel ist über bereits erwähnte Schritte schnell zu erledigen. Das nachfolgende Beispiel wird Dir diese Schritte noch einmal verdeutlichen.

Dir ist in folgender Aufgabe gegeben, dass Dein Urpunkt Q sich an den Koordinaten befindet. Dein Spiegelpunkt Z soll die Koordinaten besitzen. Spiegele nun den Punkt Q an Z.

Schritt 1:

Zeichne eine Gerade durch beide Punkte. Achte darauf, diese lang genug einzuzeichnen.

Punktspiegelung Punktspiegelung mit Zirkel (1) StudySmarterAbbildung 5: Punktspiegelung mit Zirkel (1)

Schritt 2:

Zeichne jetzt einen Kreis mit dem Radius der Länge der Strecke von Z bis Q. An dem damit erhaltenen weiteren Schnittpunkt befindet sich Dein Spiegelpunkt.

Punktspiegelung Punktspiegelung mit Zirkel (2) StudySmarterAbbildung 6: Punktspiegelung mit Zirkel (2)

Dein Spiegelpunkt ist also:

Punktspiegelung am Ursprung

Betrachtest Du Dein Windrad wieder etwas genauer und Du setzt das Zentrum bzw. die Drehachse an den Ursprung eines Koordinatensystems , so hast Du eine besondere Form der Punktspiegelung vor Augen. Diese Punktspiegelung wird auch als Raumspiegelung bzw. Inversion bezeichnet.

Eine Eigenschaft dieser speziellen Punktspiegelung ist folgende Beziehung:

Das bedeutet konkret, dass Du für die Punktspiegelung lediglich die Vorzeichen ändern kannst.

Ein paar Beispiele dafür sind Dir mit ihren Spiegelpunkten gegeben:

  • mit Spiegelpunkt
  • mit Spiegelpunkt

Punktspiegelung Punktspiegelung am Koordinatenursprung StudySmarterAbbildung 7: Punktspiegelung am Koordinatenursprung

Du kannst mit dieser Formel allerdings auch ganze Funktionen spiegeln. Dabei ist das folgende Beispiel auch dafür da, um Dir zu verdeutlichen, dass bei einer Punktspiegelung eine Gerade immer eine parallele Spiegelgerade erzeugt.

Hierbei soll die Funktion f am Koordinatenursprung gespiegelt werden. Verwende dazu die zuvor gelernte Formel für den Spiegelpunkt f'.

Zur Berechnung verwendest Du die zuvor gegebene Formel, hierbei für den Spiegelpunkt f'.

Dafür setzt Du also die Funktion f(x) ein und änderst die Vorzeichen. Dabei ist Dir die ursprüngliche Funktion in blau gegeben.

Das bedeutet, dass die gespiegelte Gerade hierbei also eine Parallele zu f(x) ist. In der Grafik wird zum Beispiel der Punkt zu gespiegelt. Beide Geraden besitzen die selbe Steigung , somit sind diese parallel zueinander. Sie unterscheiden sich nur durch den y-Achsenabschnitt -2 und 2.

Punktspiegelung Punktspiegelung am Ursprung mit Geraden StudySmarterAbbildung 8: Punktspiegelung am Ursprung mit Geraden

Punktsymmetrie - Kurvendiskussion

Eventuell hattest Du bereits Kurvendiskussionen in der Schule. Dabei geht es darum, Funktionen so genau wie möglich zu beschreiben, um auch später diese Funktion zeichnen und verschiedene Aussagen beweisen zu können. Dabei kannst Du unter anderem herausfinden, ob eine Funktion achsensymmetrisch ist oder eine Punktsymmetrie nachweisbar ist. Dabei kannst Du auch die zuvor genannte Formel verwenden, allerdings vergleichst Du die Funktion selbst und nicht mit einer anderen.

So ist zum Beispiel die nächste Funktion punktsymmetrisch, was Du beweisen kannst.

Nun verwendest Du die die rechte Seite und bestimmst, ob die beiden identisch sind.

Punktspiegelung - Aufgaben

Nachdem Du bereits einiges Theoretische praktisch in den Beispielen gesehen hast, bist Du nun selbst an der Reihe. Im Folgenden werden auch ein paar kleine Figuren gespiegelt. Viel Spaß!

Aufgabe 1

Nachfolgend ist Dir diese Figur gegeben, die am Punkt P gespiegelt werden soll. Diese Aufgabe ist mit dem Geodreieck/Lineal zu bearbeiten. Der Zirkel ist nicht zu verwenden. Du kannst das Koordinatensystem und die Punkte zum Beispiel auf Papier bearbeiten.

Punktspiegelung Punktspiegelung eines Dreiecks (Angabe) StudySmarterAbbildung 9: Punktspiegelung eines Dreiecks (Angabe)

Lösung

Zu Beginn zeichnest Du drei Geraden. Die eine geht durch den Punkt A und Z. Eine weitere durch B und Z bzw. C und Z. Du misst jeweils die Länge dieser Strecken ab und gehst in die entgegengesetzte Seite von Z, um den jeweiligen Bildpunkt zu markieren. Nachfolgend sind Dir die Ausgangsfigur in Blau, die Strecken in Grün und das gespiegelte Dreieck in Rosa gegeben.

Punktspiegelung Punktspiegelung eines Dreiecks (Lösung) StudySmarterAbbildung 10: Punktspiegelung eines Dreiecks (Lösung)

Aufgabe 2

In der kommenden Aufgabe gibt es wieder eine Figur. Nur dieses Mal ist die Aufgabe mit einem Zirkel zu lösen. Bearbeite diese Aufgabe doch auch gerne auf Papier oder in einem Zeichenprogramm Deiner Wahl.

Punktspiegelung Punktspiegelung eines Vierecks (Angabe) StudySmarterAbbildung 11: Punktspiegelung eines Vierecks (Angabe)

Lösung

In diesem Fall setzt Du Geraden, die in dem jeweiligen Punkt (also A, B, C oder D) und Z verlaufen. Danach zeichnest Du von Z aus 4 Kreise, welche den Radius des jeweiligen Punkts bis Z enthält. In violett ist Dir die gespiegelte Figur gegeben.

Punktspiegelung Punktspiegelung für ein Viereck (Lösung mit Geraden und Kreisen) StudySmarterAbbildung 12: Punktspiegelung für ein Viereck (Lösung mit Geraden und Kreisen)

Hier ist das Resultat übersichtlich ohne den Geraden und Kreisen als Hilfe gegeben.

Punktspiegelung Punktspiegelung für ein Viereck (Lösung) StudySmarterAbbildung 13: Punktspiegelung für ein Viereck (Lösung)

Punktspiegelung – Das Wichtigste

  • Die Punktspiegelung ist die Spiegelung an einem Punkt Z, wobei einem Punkt P ein Bildpunkt P' zugeordnet wird.
  • Die Punktspiegelung ist längen-, geraden- und winkeltreu.
  • Bei einer Punktspiegelung ändert sich der Umlaufsinn nicht, bei einer Achsenspiegelung schon.
  • Die Punktspiegelung mit einem Geodreieck funktioniert so: Zeichne eine Gerade durch den Spiegelpunkt und den Urpunkt. Messe die Länge dieser Strecke ab und trage diese auf die gegenüberliegende Seite ab.
  • Die Punktspiegelung mit einem Zirkel funktioniert so: Zeichne eine Gerade durch den Spiegelpunkt und den Urpunkt. Ziehe um den Spiegelpunkt einen Kreis, der durch den Urpunkt geht. Der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden ist Dein Spiegelpunkt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Punktspiegelung

Die Punktspiegelung ist die Spiegelung an einem Punkt Z, wobei hierbei einem Punkt P in einem Raum ein Bildpunkt P' zugeordnet wird. 

Eine Punktspiegelung kannst Du mit einem Geodreieck oder Zirkel durchführen. Für beide Varianten zeichnest Du eine Gerade durch den Urpunkt und den Spiegelpunkt. Für die Variante mit dem Geodreieck misst Du nun die Länge der Strecke zwischen dem Urpunkt und dem Spiegelpunkt ab und trägst diese Länge auf die andere Seite des Spiegelpunkts ab. Mit dem Zirkel würdest Du um den Spiegelpunkt Z mit dem Radius der Länge von Z bis zum Urpunkt einen Kreis zeichnen. Der Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis ergibt den Bildpunkt.

Eine Punktspiegelung im Gegensatz zur Achsenspiegelung erkennst Du ausschließlich dadurch, dass an einem Punkt eine Figur oder ein anderer Punkt gespiegelt wird. Bei einer Achsenspiegelung handelt es sich um eine Gerade als sogenannte Spiegelachse.

Bei einer Punktspiegelung handelt es sich um eine spezielle Form der Drehung. Wird allerdings eine Figur an einem Drehzentrum um 180 Grad gedreht, befindet sich die Figur an der Stelle, wo sie sich bei einer Punktspiegelung befinden würde. Eine Drehung um 180 Grad bezeichnet also eine Punktspiegelung.

Finales Punktspiegelung Quiz

Frage

Erkläre den Begriff der Punktspiegelung.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Punktspiegelung ist die Spiegelung eines Urpunkts an einem Spiegelpunkt Z, um einen Bildpunkt zu erhalten.

Frage anzeigen

Frage

Wie ermittelst Du den Mittelpunkt einer Strecke mit dem Geodreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

Du misst die Länge zwischen den beiden Endpunkten der Strecke. Nun gehst Du von einem Punkt aus entlang der Geraden für die Hälfte dieser Länge. Du erhältst damit den Mittelpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Wie ermittelst Du den Mittelpunkt einer Strecke mit dem Zirkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Von den beiden Endpunkten aus werden zwei Kreise gezeichnet, die den Radius mit mindestens der Hälfte der Strecke besitzen. Deren Schnittpunkte sind die Ausgangspunkte für eine Gerade. Der Schnittpunkt mit dieser Geraden und der Strecke ist der Mittelpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Wie ermittelst Du die Senkrechte zu einer Geraden an einem Punkt, der sich auf der Geraden befindet mit einem Geodreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

Du legst das Geodreieck so an, dass die 0-Linie auf der Geraden platziert wird, wobei die 0 sich im Punkt auf der Geraden befindet. Nun zeichnest Du an der langen Kante eine Gerade.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Fixpunkt bei einer Punktspiegelung?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Spiegelpunkt

Frage anzeigen

Frage

Was trifft auf die Punktspiegelung zu?

Antwort anzeigen

Antwort

Winkeltreu, geradentreu, längentreu, behält Umlaufsinn

Frage anzeigen

Frage

Was trifft bei der Spiegelung eines Dreiecks am Ursprung zu?

Antwort anzeigen

Antwort

Befindet sich das Urbild im ersten Quadranten, so befindet sich das gespiegelte Bild im dritten Quadranten.

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet die Geradentreue.

Antwort anzeigen

Antwort

Geraden bleiben Geraden.

Frage anzeigen

Frage

Wie bestimmst Du die Punktspiegelung mit dem Zirkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Du zeichnest eine Gerade g durch den Urpunkt A und den Spiegelpunkt Z. Danach zeichnest Du einen Kreis durch Z mit dem Radius . Der Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis ist Dein Bildpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Wie bestimmst Du die Punktspiegelung mit dem Geodreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

Zeichne eine Gerade g durch den Urpunkt und den Spiegelpunkt Z. Messe die Länge der Strecke vom Urpunkt zum Spiegelpunkt Z. Dieselbe Strecke auf der anderen Seite von Z abtragen. Damit erhältst Du den Bildpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Gegenteil eines Bildpunkts?

Antwort anzeigen

Antwort

Urpunkt

Frage anzeigen

Frage

Ein Punkt mit der x-Koordinate -2 und der y-Koordinate 7 wird am Ursprung gespiegelt. Wie lauten die Koordinaten des Bildpunkts?

Antwort anzeigen

Antwort

x-Koordinate: 2

y- Koordinate: -7

Frage anzeigen

Frage

Es gibt einen Urpunkt und einen Spiegelpunkt. Bestimme den Bildpunkt.




Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Durch welche Formel kannst Du den Bildpunkt erhalten, wenn der Spiegelpunkt der Ursprung ist?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Nach der Punktspiegelung sind Urfigur und Bildfigur...

Antwort anzeigen

Antwort

deckungsgleich und gleich orientiert.

Frage anzeigen
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