Punktspiegelung

Vielleicht hast Du schon einmal ein eigenes kleines Windrädchen aufgestellt, das sich im Wind dreht. Ähnlich wie die großen Gebilde, die Windkrafträder in größeren Windparks, besitzen diese Rotorblätter. Damit sie sich gleichmäßig im Wind drehen, besitzt ein Rad mehrere dieser Blätter, die sich um ein Zentrum drehen.

Schon befindest Du Dich mitten in der Thematik der Punktspiegelung. Würdest Du dieses Zentrum tatsächlich als Punkt wahrnehmen, so würden die Rotorblätter tatsächlich an diesem Zentrum gespiegelt. Was die Punktspiegelung konkret bedeutet, wirst Du in dieser Erklärung erfahren.

Punktspiegelung – Grundlagenwissen

In der Mathematik gibt es verschiedene Konstruktionen, die Du in der Geometrie verwenden kannst. Dabei kannst Du Dein Lineal, ein Geodreieck oder auch einen Zirkel verwenden. In manchen Aufgaben sind dann eventuell nur ein Teil der Hilfsmittel erlaubt. Bevor es an die Spiegelung von Punkten oder Geraden an einem Punkt gehen soll, werden Dir erst allgemeine Konstruktionen gezeigt, wie der Mittelpunkt einer Strecke.

Punktspiegelung – Konstruktionen

Möchtest Du den Mittelpunkt einer Strecke ermitteln, so misst Du mit Deinem Geodreieck oder Lineal ab, wie lang dieser Abstand zu den Endpunkten ist. Danach gehst Du von einem Punkt die Hälfte der Länge ab. Das ist dann Dein Mittelpunkt. Mit dem Zirkel kannst Du folgendermaßen vorgehen:

• Du kannst von den beiden Eckpunkten jeweils einen Kreis zeichnen, der einen Radius besitzt, der mindestens die Hälfte der Strecke beträgt. Du kannst auch nur einen Halbkreis zeichnen, die zwei Kreise sollten sich zumindest in zwei Punkten schneiden.
• Diese zwei Punkte verwendest Du, um eine Gerade durch diese zu zeichnen. Damit erhältst Du durch den Schnittpunkt der Geraden mit Deiner Strecke automatisch den Mittelpunkt der Strecke.

Abbildung 1: Mittelpunkt einer Strecke mit einem Zirkel

Punktspiegelung – Senkrechte in einem Punkt

Du kannst nicht nur den Mittelpunkt einer Strecke bestimmen, aber vor allem auch eine Senkrechte durch einen Punkt konstruieren. Dabei wirst Du den Fall kennenlernen, falls sich dieser Punkt auf der Geraden befindet.

Falls Du ein Lot auf eine Gerade durch einen Punkt fällen möchtest, der sich nicht auf der Geraden befindet, zeichnest Du erst einen Kreis von diesem Punkt aus, der die Gerade in zwei Punkten schneidet. Danach setzt Du wieder zwei Kreise mit demselben Radius von diesen Punkten. Deren Schnittpunkte verwendest Du für die neue Lotgerade.

Eigenschaften Punktspiegelung

Die Punktspiegelung gehört zu den drei wichtigen Transformationen eines Graphen, neben der Verschiebung eines Graphen und auch der Skalierung und Streckung um ein Zentrum. Wie nun auch die Rotorblätter eines Windrads immer dieselbe Form besitzen und sich um ein Zentrum drehen, erfährst Du in Bezug auf die Punktspiegelung.

Punktspiegelung – Definition

Die Punktspiegelung funktioniert ähnlich wie eine Achsenspiegelung allerdings an einem Punkt.

Für eine Punktspiegelung ist dabei die Verbindungsstrecke zwischen $[P,Z]$ und $[Z,P\text{'}]$ exakt gleich lange. Eine besondere Form der Punktspiegelung ist unter anderem der sogenannte Fixpunkt. Es gibt genau den einen Punkt, nämlich das Zentrum selbst, das sich gespiegelt wieder am selben Ort befindet. Außerdem werden die Geraden durch das Zentrum als Fixgeraden bezeichnet. Weiterhin wird jede beliebige Gerade g an einem Zentrum zu einer parallelen Bildgeraden g' gespiegelt.

Im Folgenden solltest Du die Begriffe Ursprung und Urpunkt unterscheiden. Der Ursprung ist der Punkt $\left(0\right|0)$ im Koordinatensystem. Der Urpunkt ist allerdings der zu spiegelnde Punkt. Bei einer Punkt- und Achsenspiegelung wird also ein Urpunkt auf einen Spiegelpunkt abgebildet.

Punktspiegelung – Kongruenzabbildungen

Bei einer Punktspiegelung handelt es sich um eine sogenannte Kongruenzabbildung. Das ist gegeben, falls die folgenden Eigenschaften gelten: geraden-, winkel- und längentreu.

Dabei sind also die Längen der Strecken nach der Spiegelung identisch, genauso wie die Winkel für eine Form wie ein Dreieck oder Viereck.

Betrachtest Du als Beispiel also ein Viereck, so...

• bleiben die Strecken $\left[AB\right]$, $\left[BC\right]$, $\left[CD\right]$, $\left[DA\right]$ identisch in ihrer Länge nach der Spiegelung.
• werden die Winkel an den jeweiligen Punkten A, B, C und D ebenso gleich groß bleiben.

Für die Geradentreue gilt insgesamt, dass Geraden weiterhin Geraden bleiben und nicht zu einer anderen Form gespiegelt werden. Eine lineare Funktion wird also nicht zu einer quadratischen Funktion gespiegelt oder etwas anderes, sondern nur zu dieser linearen Funktion. Außerdem bleiben parallele oder orthogonale, also senkrechte Geraden in dieser Form bestehen.

Im Gegensatz zur Achsenspiegelung bleibt auch der Umlaufsinn erhalten. Die Punkte des Vierecks können nämlich mit oder gegen den Uhrzeigersinn platziert werden. In der Mathematik werden Punkte oftmals gegen den Uhrzeigersinn angeordnet. Somit ist das Original und sein Spiegelbild gleich orientiert und die Figuren insgesamt deckungsgleich.

Im folgenden Bild sind alle Winkel gleich, genauso wie die Längen der Strecken. Auch die Geradentreue und der Umlaufsinn bleibt erhalten.

Abbildung 3: Eigenschaften der Punktspiegelung

Kurz und knapp sind alle Eigenschaften der Punktspiegelung mit einem Vergleich zur Achsenspiegelung in dieser Tabelle enthalten:

Punktspiegelung im Koordinatensystem – Vorgehen

Falls Du bereits die Erklärung zur Achsenspiegelung gelesen hast, wird Dir auffallen, dass das Vorgehen zur Ermittlung des Spiegelpunkts für die Punktspiegelung mit weniger Aufwand zu erledigen ist. Dabei wird Dir gleich das Verfahren gezeigt für mehrere Punkte, respektive für eine Form. Falls es sich lediglich um einen Punkt handelt, benötigst Du Schritt 4 und 5 nicht.

1. Zeichne eine Gerade g durch den zu spiegelnden Punkt A (auch Urpunkt A genannt) und den Spiegelpunkt Z.
2. Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt Z und dem Radius $r=\hspace{0.17em}\left[AZ\right]$. Es wird also am Spiegelpunkt P ein Kreis gesetzt, der den Radius besitzt wie die Länge der Strecke von A nach Z. Falls die zuvor gezeichnete Gerade diesen Kreis nicht schneidet, dann kannst Du die Gerade noch verlängern.
3. Der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden g ist Dein Spiegelpunkt.
4. Schritte 2 und 3 für weitere Punkte wiederholen.
5. Verbinde die Spiegelpunkte wie Dein Urbild.

Falls Du ein Geodreieck verwenden möchtest, ist auch hierbei relativ schnell der Bildpunkt ermittelt.

1. Zeichne auch hier eine Gerade g durch den Urpunkt und den Spiegelpunkt Z.
2. Messe den Abstand zwischen Spiegelpunkt Z und Urpunkt A ab. Dazu kannst Du auch ein Lineal oder Dein Geodreieck verwenden.
3. Trage denselben Abstand auf der anderen Seite ab. Dazu gehst Du denselben Abstand von Z aus in die andere Richtung. Das ist Dein Spiegelpunkt.

Punktspiegelung – Bildpunkt konstruieren

Es gibt grundsätzlich zwei verschiedene Varianten, um eine Punktspiegelung durchzuführen. Du kannst dafür Dein Geodreieck und einen Stift oder auch Deinen Zirkel verwenden.

Punktspiegelung mit Geodreieck

Wie Du bereits im vorherigen Kapitel gelernt hast, benötigst Du für die Aufgabe mit einem Geodreieck die Länge der Strecke zwischen dem Urpunkt und dem Spiegelpunkt Z. Diese Länge gehst Du dann in umgekehrter Richtung weiter. Dafür kannst Du aber auch ein Lineal verwenden.

Punktspiegelung mit Zirkel

Die Punktspiegelung mit einem Zirkel ist über bereits erwähnte Schritte schnell zu erledigen. Das nachfolgende Beispiel wird Dir diese Schritte noch einmal verdeutlichen.

Punktspiegelung am Ursprung

Betrachtest Du Dein Windrad wieder etwas genauer und Du setzt das Zentrum bzw. die Drehachse an den Ursprung eines Koordinatensystems $\left(0\right|0)$, so hast Du eine besondere Form der Punktspiegelung vor Augen. Diese Punktspiegelung wird auch als Raumspiegelung bzw. Inversion bezeichnet.

Eine Eigenschaft dieser speziellen Punktspiegelung ist folgende Beziehung:

$g\left(x\right)=\hspace{0.17em}-f(-x)$

Das bedeutet konkret, dass Du für die Punktspiegelung lediglich die Vorzeichen ändern kannst.

Du kannst mit dieser Formel allerdings auch ganze Funktionen spiegeln. Dabei ist das folgende Beispiel auch dafür da, um Dir zu verdeutlichen, dass bei einer Punktspiegelung eine Gerade immer eine parallele Spiegelgerade erzeugt.

Punktspiegelung – Aufgaben

Nachdem Du bereits einiges Theoretische praktisch in den Beispielen gesehen hast, bist Du nun selbst an der Reihe. Im Folgenden werden auch ein paar kleine Figuren gespiegelt. Viel Spaß!