Volumen Spat

Wiederholung: Kreuzprodukt

Du hast die Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 5 \\ 0\end{array} \right)\) und \(\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 3\end{array} \right)\) gegeben. Berechne nun das Kreuzprodukt der beiden Vektoren.

\[\left( \begin{array}{c} -3\\5\\0\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}4\\-2\\3\end{array}\right)\]

Als Erstes nimmst Du die zwei oberen Zahlen der jeweiligen Vektoren und schreibst sie unter diese. Anschließend streichst Du die erste Zeile durch.

\begin{align}\left(\begin{array}{c} \cancel{-3}\\5\\0\\-3\\5\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} \cancel4\\-2\\3\\4\\-2\end{array}\right)\end{align}

Als nächsten Schritt multiplizierst Du die oberste nicht durchgestrichene Zahl des linken Vektors mit der schräg darunter liegenden Zahl des rechten Vektors. Von diesem Produkt ziehst Du das Produkt der zweiten Zahl des linken Vektors mal die erste Zahl des rechten Vektors ab. Dieses Schema zieht sich durch den ganzen Vektor.

Die erste Zeile sieht wie folgt aus:

\[\left(\begin{array}{c} \cancel{-3}\\{\color{#1478c8}5}\\{\color{#fa3273}0}\\-3\\5\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} \cancel4\\{\color{#fa3273}-2}\\{\color{#1478c8}3}\\4\\-2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}{\color{#1478c8}5}\cdot{\color{#1478c8}3} - {\color{#fa3273}0}\cdot({\color{#fa3273}-2})\end{array}\right)\]

Wie erwähnt, zieht sich das Schema durch beide Vektoren durch.

\[\left(\begin{array}{c} \cancel{-3}\\5\\{\color{#1478c8}0}\\{\color{#fa3273}-3}\\5\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} \cancel4\\-2\\{\color{#fa3273}3}\\{\color{#1478c8}4}\\-2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}5\cdot3 - 0\cdot(-2) \\ {\color{#1478c8}0}\cdot{\color{#1478c8}4} - ({\color{#fa3273}-3})\cdot{\color{#fa3273}3}\end{array}\right)\]

Als Ergebnis des Kreuzproduktes erhältst Du einen neuen Vektor.

\[\left(\begin{array}{c} \cancel{-3}\\5\\0\\{\color{#1478c8}-3}\\{\color{#fa3273}5}\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} \cancel4\\-2\\3\\{\color{#fa3273}4}\\{\color{#1478c8}-2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}5\cdot3 - 0\cdot(-2) \\ 0\cdot4 - (-3)\cdot3 \\ {\color{#1478c8}-3}\cdot({\color{#1478c8}-2}) - {\color{#fa3273}5}\cdot{\color{#fa3273}4}\end{array}\right)\]

Als letzten Schritt ermittelst Du noch den Ergebnisvektor und hast erfolgreich das Kreuzprodukt berechnet.

\[\left(\begin{array}{c}5\cdot3 - 0\cdot(-2) \\ 0\cdot4 - (-3)\cdot3 \\ -3\cdot(-2) - 5\cdot4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}15\\9\\-14\end{array}\right)\]

Aufgabe 1

Ein Spat wird durch die Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array} {c} -3 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right)\), \(\vec{b} = \left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right)\) und \(\vec{c} = \left( \begin{array} {c} -2 \\ 3 \\ 5 \end{array} \right)\) aufgespannt. Berechne das Volumen des Spates.

Lösung

Der erste Schritt in der Volumenberechnung eines Spates ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).

\[\left( \begin{array}{c} -3\\1\\2\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}1\\0\\-2\end{array}\right)\]

\[\left( \begin{array}{c} \cancel{-3}\\1\\2\\-3\\1\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}\cancel{1}\\0\\-2\\1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1\cdot(-2) - 2\cdot0 \\ 2\cdot1 - (-3)\cdot(-2) \\ -3\cdot0 - 1\cdot1 \end{array}\right)\]

\[\left(\begin{array}{c} 1\cdot(-2) - 2\cdot0 \\ 2\cdot1 - (-3)\cdot(-2) \\ -3\cdot0 - 1\cdot1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2\\-4\\-1\end{array}\right)\]

Mit diesem Ergebnisvektor des Kreuzproduktes und dem Vektor \(\vec{c}\) führst Du nun das Skalarprodukt durch.

\[\left|\left(\begin{array}{c}-2\\-4\\-1\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}-2\\3\\5\end{array}\right)\right| = \left|(-2\cdot(-2))+(-4\cdot3)+(-1\cdot5)\right| = \left|4-12-5\right| = \left|-13\right| = 13 \text{VE}\]

Somit hast Du das Volumen des Spates als 13 VE berechnet.

Nimm die Vektoren aus Aufgabe 1 und bilde aus ihnen eine 3x3-Matrix. Berechne anschließend die Determinante.

Allgemein kannst Du eine 3x3-Matrix wie folgt schreiben.

\[\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\]

Wenn Du die Vektoren aus Aufgabe 1 einsetzt, kommst Du auf diese Matrix.

\[\begin{vmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -2 & 5 \end{vmatrix}\]

Um die Determinante einer 3x3-Matrix berechnen zu können, schreibst Du die ersten 2 Spalten rechts neben die bestehende Matrix.

\[\begin{vmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -2 & 5 \end{vmatrix} \begin{array}{c} ~-3~~~\\~1~~~\\~2~~~ \end{array} \begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\]

Mit der Berechnung fängst Du immer bei der Zahl oben links an. Du multiplizierst sie mit den Zahlen, welche auf der diagonalen Linie nach rechts unten liegen. Diesen Schritt wiederholst Du bei den 2 rechten Nachbarzahlen der ersten Zeile der Matrix.

\[\begin{vmatrix} {\color{#1478c8}-3} & {\color{#00dcb4}1} & {\color{#fa3273}-2} \\ 1 & {\color{#1478c8}0} & {\color{#00dcb4}3} \\ 2 & -2 & {\color{#1478c8}5} \end{vmatrix} \begin{array}{c} ~-3~~~\\~{\color{#fa3273}1}~~~\\~{\color{#00dcb4}2}~~~ \end{array} \begin{array}{c}1\\0\\{\color{#fa3273}2}\end{array} = {\color{#1478c8}-3\cdot0\cdot5}+{\color{#00dcb4}1\cdot3\cdot2}+{\color{#fa3273}(-2)\cdot1\cdot2}\]

Der zweite Teil der Berechnung fängt bei der Zahl rechts oben an. Hier multiplizierst Du alle Zahlen zusammen, welche auf der diagonalen Linie nach links unten liegen. Das wiederholst Du auch für die zwei rechten Nachbarzahlen. Diese Zahlen schreibst Du mit einem Minus hinter die bestehende Rechnung.

\[\begin{vmatrix} -3 & 1 & {\color{#1478c8}-2} \\ 1 & {\color{#1478c8}0} & {\color{#00dcb4}3} \\ {\color{#1478c8}2} & {\color{#00dcb4}-2} & {\color{#fa3273}5} \end{vmatrix} \begin{array}{c} ~{\color{#00dcb4}-3}~~~\\~{\color{#fa3273}1}~~~\\~2~~~ \end{array} \begin{array}{c}{\color{#fa3273}1}\\0\\2\end{array} = \]

\[\left|-3\cdot0\cdot5 + 1\cdot3\cdot2 + (-2)\cdot1\cdot2 - {\color{#1478c8}(-2)\cdot0\cdot2} - {\color{#00dcb4}(-3)\cdot3\cdot(-2)} - {\color{#fa3273}1\cdot1\cdot5}\right|\]

Wenn Du das nun ausrechnest, kommst Du auf folgendes Ergebnis:

\[\left|-3\cdot0\cdot5 + 1\cdot3\cdot2 + (-2)\cdot1\cdot2 - (-2)\cdot0\cdot2 - (-3)\cdot3\cdot(-2) - 1\cdot1\cdot5\right| =\] \[\left|0 + 6 + 4 - 0 - 18 - 5\right| = \left|-13\right| = 13\text{VE}\]

Wie Du siehst, kommt das gleiche Ergebnis wie in Aufgabe 1 heraus. Das heißt, dass die Rechnung korrekt ist.

Aufgabe 2

In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird ein Spat durch die Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array} {c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right)\), \(\vec{b} = \left( \begin{array} {c} 5 \\ -2 \\ 8 \end{array} \right)\) und \(\vec{c} = \left( \begin{array} {c} -3 \\ 1 \\ 7 \end{array} \right)\) aufgespannt.

Berechne das Volumen des Spates über die Determinante einer 3x3-Matrix.

Lösung

Als Erstes solltest Du die 3x3-Matrix aufstellen.

\[\begin{vmatrix} 3 & 5 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & 8 & 7 \end{vmatrix}\]

Für die Berechnung der Determinante schreibst Du Dir als Hilfestellung die ersten zwei Zeilen rechts neben die Matrix.

\[\begin{vmatrix} 3 & 5 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & 8 & 7 \end{vmatrix} \begin{array}{c}~3~~~\\~1~~~\\~4~~~\end{array}\begin{array}{c}5\\-2\\8\end{array}\]

Anschließend berechnest Du die Determinante, indem Du die erst die drei Diagonalen beginnend mit der Zahl links oben miteinander multiplizierst und mit einem Pluszeichen verbindest. Weiter geht es mit den drei Diagonalen, welche bei der Zahl rechts oben anfangen. Diese multiplizierst Du ebenso und subtrahierst sie anschließend vom Rest.

\[\begin{vmatrix} 3 & 5 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & 8 & 7 \end{vmatrix} \begin{array}{c}~3~~~\\~1~~~\\~4~~~\end{array}\begin{array}{c}5\\-2\\8\end{array} = \]

\[\left| 3\cdot(-2)\cdot7 + 5\cdot1\cdot4 + (-3)\cdot1\cdot8 - (-3)\cdot(-2)\cdot4 - 3\cdot1\cdot8 - 5\cdot1\cdot7 \right| =\]

\[\left| -42 + 20 -24 - 24 - 24 - 35 \right| = \left| -129 \right| = 129VE\]

Damit hast Du das Volumen des aufgespannten Spates als 129 VE berechnet.

Aufgabe 3

Ein Spat wird durch die Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array} {c} 6 \\ -1 \\ 5 \end{array} \right)\), \(\vec{b} = \left( \begin{array} {c} 0 \\ 3 \\ 7 \end{array} \right)\) und \(\vec{c} = \left( \begin{array} {c} 8 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right)\) aufgespannt. Berechne das Volumen des Spates mithilfe des Spatprodukts.

Lösung

Als ersten Schritt berechnest Du das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).

\[\left( \begin{array}{c} 6\\-1\\5\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 0\\3\\7\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}(-1)\cdot7-5\cdot3\\5\cdot0-6\cdot7\\6\cdot3-(-1)\cdot0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-22\\-42\\18\end{array}\right)\]

Das Ergebnis des Kreuzproduktes setzt Du in das Skalarprodukt mit dem Vektor \(\vec{c}\) ein.

\[\left|\left(\begin{array}{c}-22\\-42\\18\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}8\\1\\4\end{array}\right)\right| = \left|-22\cdot8 + (-42)\cdot1 + 18\cdot4\right| = \left|-146\right| = 146VE\]

Mit dieser Rechnung hast Du das Volumen des Spates als 146 VE berechnet.

Aufgabe 4

Ein Spat wird durch die Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array} {c} -4 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right)\), \(\vec{b} = \left( \begin{array} {c} 1 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right)\) und \(\vec{c} = \left( \begin{array} {c} 7 \\ 6 \\ 9 \end{array} \right)\) aufgespannt.

Berechne das Volumen des Spates über die Determinante einer 3x3-Matrix.

Lösung

Zuerst solltest Du die 3x3-Matrix aufstellen.

\[\begin{vmatrix} -4 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \\ 0 & 3 & 9 \end{vmatrix}\]

Als nächsten Schritt schreibst Du die ersten zwei Zeilen rechts neben die Matrix.

\[\begin{vmatrix} -4 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \\ 0 & 3 & 9 \end{vmatrix} \begin{array}{c} ~-4~~~\\~2~~~\\~0~~~\end{array}\begin{array}{c}1\\3\\3\end{array}\]

Nun kannst Du die Diagonalen der Matrix multiplizieren und anschließend addieren, bzw. subtrahieren.

\[\begin{vmatrix} -4 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \\ 0 & 3 & 9 \end{vmatrix} \begin{array}{c} ~-4~~~\\~2~~~\\~0~~~\end{array}\begin{array}{c}1\\3\\3\end{array} = \]

\[\left|-4\cdot3\cdot9 + 1\cdot6\cdot0 + 7\cdot2\cdot3 - 7\cdot3\cdot0 - (-4)\cdot6\cdot3 - 1\cdot2\cdot9 \right| =\] \[\left|-108+0+42-0+72-18\right| = \left|-12\right| = 12VE\]

Damit hast Du das Volumen des aufgespannten Spates als 12 VE berechnet.