Du hast bestimmt schon öfter Karten gespielt und Dich dadurch vielleicht auch bereits einmal gefragt, welche Form eigentlich das Karo Symbol, unter anderem das Karo Ass hat?
Denn genau mit dieser geometrischen Figur, nämlich der Raute, wird sich dieser Beitrag beschäftigen.
Abbildung 1: Poker Karten
Weißt Du noch aus dem Schulunterricht, was genau eine Raute ausmacht? Um das herauszufinden, musst Du Dir noch einmal kurz vor Augen führen, was eine Raute überhaupt ist.
Die Raute – Grundlagenwissen
Die Raute, auch Rhombus genannt, ist eine Figur der Geometrie. Rauten sind Vierecke mit besonderen Eigenschaften.Die Raute gehört der Gruppe der Vierecke an und weist insgesamt vier Seiten auf, wobei die gegenüberliegenden Seiten parallel und die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind. Das wichtigste Merkmal der Raute ist, dass alle vier Seiten immer gleich lang sind und beide Diagonalen jeweils eine Symmetrieachse darstellen.
Folgende Abbildung soll diese Definition verdeutlichen:
Abbildung 1: Die Raute
Hier eine kurze Übersicht einiger Vierecke, um die Raute von anderen Vierecken unterscheiden zu können.
Abildung 2: Raute vs. Drachenviereck
Abbildung 3: Quadrat vs. Rechteck
Merke:
- Beim Quadrat sind alle Winkel immer zwingend 90° groß. Bei der Raute hingegen sind diese beliebig groß!
- Die Seiten werden mit Buchstaben beschriftet, wobei jeder Buchstabe für einen konkreten Wert steht. Gleich lange Seiten haben demnach dieselben Beschriftungen.
Da nun Grundlegendes zur geometrischen Figur Raute erklärt wurde, wird auf den Fokus dieses Artikels eingegangen, nämlich der Berechnung des Umfangs.
Umfang Raute – Erklärung
In den folgenden Abschnitten wird beschrieben, was genau der Umfang ist, wozu Du diesen benötigst und wie Du den Umfang einer Raute ausrechnen kann.
Umfang Raute – Herleitung
Du musst in einer Hausaufgabe den Umfang einer Raute berechnen, jedoch kannst Dich nicht erinnern, was dieser genau ist? Keine Sorge, nach dem Lesen des folgenden Abschnitts wirst Du zukünftige Umfangsaufgaben zur Raute meistern.
Unter dem Umfang wird die Länge des Randes einer zweidimensionalen Figur verstanden. Dieser wird in der Mathematik immer mit einem großen "U" bezeichnet.
Für die Herleitung der Umfangsformel der Raute wird folgende Abbildung untersucht:
Abbildung 4: Die Raute
Wie in der Definition beschrieben, stellt der Umfang die Summe der Linien dar, welche die Figur begrenzen. Eine Raute hat immer vier gleich lange Begrenzungslinien, welche mit a bezeichnet werden. Folglich ergibt sich folgende Formel für die Berechnung des Umfangs der Raute:
Umfang Raute – Berechnen
Der Umfang einer Raute mit der Seitenlänge a berechnest Du, indem Du alle Seitenlängen aufaddierst.\[U = a+a+a+a \qquad \text{bzw.} \qquad U = 4\cdot a\]
Dieses Beispiel verdeutlicht die Berechnung des Umfangs der Raute.
Aufgabe 1
Nimm Dein kariertes Rechenheft zur Hand und schlage eine beliebige leere Seite auf. Hier siehst Du zahlreiche Kästchen. Du stellst Dir jetzt folgende Frage:
„Wie lang ist der gesamte Rand einer Raute, dessen Seiten a jeweils 2,5 cm lang sind?"
Abbildung 5: Umfang Raute
Lösung
Wie Du bereits weißt, sind alle Seiten der Raute immer gleich lang, also sind alle genau lang. Wenn Du nun alle vier Seiten zusammenzählst, erhältst Du den Umfang bzw. die Länge der Strecke, welche die Figur umschließt. Somit kann der Wert für a in die Formel für den Umfang der Raute eingesetzt werden.
Der Umfang der Raute mit den Seitenlängen beträgt also .
Mithilfe des Umfangs können verschiedene andere Variablen wie Seiten oder Diagonalen berechnet werden.
Rechnen mit dem Umfang einer Raute
Sollte der Umfang bei Übungsaufgaben gegeben sein, können mithilfe dessen, die Seiten und im Anschluss auch die Diagonalen der Raute berechnet werden. Wie genau Du hier vorgehen musst, wird in diesem Abschnitt erklärt.
Raute – Berechnung der Seite a mit dem Umfang
Besteht eine Aufgabe darin, die Seite a bei gegebenem Umfang zu berechnen, wird wie folgt vorgegangen:
Rechenschritte |
Schritt 1: | Umfangsformel für die Raute hinschreiben |
Schritt 2: | Stelle diese nach der Seite a frei |
Schritt 3: | Wert für den Umfang einsetzen |
Schritt 4: | Gleichung lösen |
Rechnerisch sieht dies wie folgt aus:
Aufgabe 2
Berechne die Seite a einer Raute, welche einen Umfang von aufweist.
Lösung
Wenn Du den Rechenschritten folgst, erhältst Du folgende Rechnung:
Die Lösung lautet somit .
Der Umfang kann auch berechnet werden, falls die Diagonalen e und f gegeben sind.
Umfang Raute – Berechnung des Umfangs U mithilfe der Diagonalen
Befindest Du Dich bereits in der neunten Klasse oder höher, dann sie Dir den folgenden Deep Dive unbedingt an, wie der Umfang mithilfe der Diagonalen berechnet werden kann. Ansonsten kannst Du diesen überspringen und direkt zu den weiteren Beispielen übergehen.
Aufgabe 3
Eine Raute weist folgende Werte auf:
Berechne den Umfang der Raute!
Lösung
Um den Umfang ausrechnen zu können, wird zuerst ein Wert für die Seite a benötigt. Dieser kann mithilfe des Satzes des Pythagoras ausgerechnet werden, welcher bei rechtwinkligen Dreiecken zur Anwendung kommt. Bei Betrachtung der Raute wird festgestellt, dass die Diagonalen diese in vier gleich große rechtwinklige Dreiecke aufteilen:
Abbildung 6: Satz des Pythagoras - Raute
Da die Seite a berechnet werden muss, wird der Satz des Pythagoras angewendet, welcher wie folgt lautet:
und
stehen für die kürzeren Seiten im rechtwinkligen Dreieck, welche in Abbildung 12 dargestellt werden. Da beide Diagonalen zugleich die Symmetrieachse der Figur darstellen, sind die kurzen Seiten bzw. die Katheten des in der Abbildung dargestellten rechtwinkligen Dreiecks jeweils die Hälfte der Strecke der Diagonalen, also
und
, welche auch als
und
bezeichnet werden können. Die Seite a stellt die Hypotenuse H, also die längere und vom rechten Winkel gegenüberliegende Seite dar.
Abbildung 7: Satz des Pythagoras - Raute
Werden nun die Werte bzw. Buchstaben in die Formel eingesetzt und die Gleichung nach a aufgelöst, sieht dies wie folgt aus:
Als letzten Schritt wird der Wert für a in die Umfangsformel der Raute eingesetzt:
Somit beträgt der Umfang dieser Raute .
Umfang Raute – Übungsaufgaben
Mithilfe der folgenden Übungsbeispiele soll deutlich werden, wie genau der Umfang einer Raute innerhalb von Sekunden berechnet werden kann.
Aufgabe 4
Die Seitenlänge einer Raute beträgt .
Berechne den Umfang U!
Lösung
Da für diese Aufgabe bereits alle für die Berechnung der Raute relevanten Werte gegeben sind, wird keine Skizze benötigt und es kann direkt zur Berechnung übergegangen werden.
Schreibe als Erstes die Formel des Umfangs der Raute nieder, welche wie folgt lautet:
Nun müssen diese in die Formel für die Berechnung des Umfangs für a eingesetzt werden:
Somit beträgt der Umfang dieser Raute .
Weiter geht's mit einem nächsten Beispiel.
Aufgabe 5
Gegeben ist folgender Wert einer Raute:
Berechne den Umfang U der Raute.
Lösung
Da für diese Aufgabe bereits alle für die Berechnung der Raute relevanten Werte gegeben sind, wird keine Skizze benötigt und es kann direkt zur Berechnung übergegangen werden.
Schreibe als Erstes die Formel des Umfangs der Raute nieder, welche wie folgt lautet:
Nun wird anstelle des Buchstabens a der effektive Wert aus der Angabe eingesetzt.
Der Umfang der Raute beträgt also .
Soweit alles verstanden? Super, dann auf zur nächsten Aufgabe!
Aufgabe 5
Die Fläche einer Raute beträgt , wobei die Seiten e und f gleich lang sind.
Berechne den Umfang der Raute!
Lösung
Als ersten Schritt wird eine Skizze des Sachverhaltes angefertigt.
Abbildung 8: Skizze
Wenn bestimmte Seiten ausgerechnet werden müssen, werden als Erstes immer alle Formeln aufgeschrieben, welche die gegebenen oder gesuchten Variablen enthalten. Auf dieses Beispiel bezogen wären dies die beiden Flächenformeln, welche wie folgt lauten:
Die Formel A = a2 kann nur verwendet werden, wenn beide Diagonalen gleich lang sind!
Nun werden beide Formeln untersucht und jene ausgewählt, welche nur eine unbekannte Variable enthält. Da die Diagonale weder aus e noch aus f aus der Angabe abgeleitet werden können, wird diese Formel ausgeschlossen.
Um jetzt die Seite a ausrechnen zu können, wird also die erste Flächenformel verwendet und die Werte aus der Aufgabe eingesetzt. Um den Wert für a zu korrekt zu berechnen, sieht dies wie folgt aus:
Um den Umfang ausrechnen zu können, muss der Wert für a in die Umfangsformel eingesetzt werden.
Somit hat die Raute einen Umfang von .
Genau wie in diesem Beispiel kann auch eine der beiden Diagonalen anstelle von a berechnet werden.
Umfang Raute – Das Wichtigste auf einen Blick
- Eine Raute erkennst Du daran, dass sie vier Winkel, vier Ecken und vier Seiten aufweist.
- Alle Seiten der Raute sind immer gleich lang, wobei die Diagonalen jedoch unterschiedlich lang sein können.
- Die Umfangsformel der Raute lautet:
- Seitenformel für a:
- Bei gegebenen Diagonalen e und f kann die Seite a mithilfe des Satzes nach Pythagoras berechnet werden, welche dann in die Umfangsformel eingesetzt werden kann.
- Die Diagonalen können ebenfalls mithilfe des Satzes nach Pythagoras berechnet werden, insofern die Seite a und eine der beiden Diagonalen gegeben ist.
Nachweise
- Ludwig et al. (2015). Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen. Springer Verlag.
- Benölken et al.(2018). Leitfaden Geometrie. Springer Verlag.
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