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In diesem Artikel geht es um die Mittelsenkrechte. Sie ist ein geometrischer Ort und daher in den Bereich der geometrischen Figuren in der Geometrie im Fach Mathematik einzuordnen.Die Mittelsenkrechte ist genauso wie die Kreislinie, die Winkelhalbierende, ein Parallelenpaar und die Mittelparallele ein geometrischer Ort.Zur Erinnerung: Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.Aus dem Namen…
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Jetzt kostenlos anmeldenIn diesem Artikel geht es um die Mittelsenkrechte. Sie ist ein geometrischer Ort und daher in den Bereich der geometrischen Figuren in der Geometrie im Fach Mathematik einzuordnen.
Die Mittelsenkrechte ist genauso wie die Kreislinie, die Winkelhalbierende, ein Parallelenpaar und die Mittelparallele ein geometrischer Ort.
Zur Erinnerung: Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.
Aus dem Namen der Mittelsenkrechten kann man eigentlich schon erraten, welche Eigenschaften sie erfüllt: Sie verläuft durch den Mittelpunkt einer Strecke und sie steht senkrecht auf ihr. Die Mittelsenkrechte halbiert also eine Strecke.
Zur Erinnerung: "senkrecht" bedeutet im rechten Winkel!
Die Mittelsenkrechte m einer Strecke ist diejenige Gerade, die durch den Mittelpunkt M der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.
Die Mittelsenkrechte ist also eine Gerade, sprich sie hat keinen Anfangs- und keinen Endpunkt.
Alle Punkte, die auf der Mittelsenkrechten liegen, haben eine besondere Eigenschaft: Sie haben exakt denselben Abstand zum Punkt A wie zum Punkt B.
Formal könnte man das wie folgt notieren:
Für jeden Punkt gilt: d(P;A) = d(P; B)
Es gibt daher noch eine zweite Definition der Mittelsenkrechten, die diese Eigenschaft aufgreift:
Die Mittelsenkrechte m ist die Menge aller Punkte, die zu zwei gegebenen Anfangs- und Endpunkten A und B einer Strecke denselben Abstand haben.
Ähnlich wie die Winkelhalbierende hat auch die Mittelsenkrechte eine Funktion als Symmetrieachse. Sie ist eine der beiden Spiegelachsen der Strecke, die die Strecke auf sich selber abbildet.
Die zweite Spiegelachse verläuft direkt auf der Strecke!
Die Mittelsenkrechte einer Strecke kann man mithilfe eines Zirkels konstruieren oder mit einem Geodreieck zeichnen. Das funktioniert im Prinzip wie das Konstruieren eines Lots.
Eine genaue Anleitung zur Konstruktion kannst du im Kapitel Konstruktionen nachlesen, welches du im Bereich Geometrie findest.
Zu jeder Seite im Dreieck gibt es eine Mittelsenkrechte. Die drei Mittelsenkrechten werden normalerweise nicht nur mit einem kleinen m beschriftet, sondern zudem mit einem Index, der die Bezeichnung der Seite enthält. Dies zeigt dir die folgende Abbildung.
Wie du bereits in der Abbildung sehen kannst, schneiden sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt. Dass dies nicht nur in diesem Dreieck zufällig passiert, sondern für jedes Dreieck gilt, wollen wir im Folgenden kurz beweisen:
Behauptung: Die Mittelsenkrechten ma, mb und mc eines beliebigen Dreiecks ABC schneiden sich in einem Punkt.
Beweis Beschreibung: | Abbildung 4-8: Mittelsenkrechten im Dreieck |
Gegeben sei das Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen der Seiten- und Eckpunkte. | |
Die Mittelsenkrechten ma und mb schneiden sich in einem Punkt M, denn ma und mb sind nicht parallel (sonst müsste der Winkel | |
Da der Punkt M also auf der Mittelsenkrechten ma liegt, hat er denselben Abstand zum Punkt B und zum Punkt C (das ist ja die zentrale Eigenschaft von Punkten auf Mittelsenkrechten).Da der Punkt M ebenfalls auf der Mittelsenkrechten mb liegt, hat er denselben Abstand zum Punkt C und zum Punkt A. | |
Da M also auch denselben Abstand zum Punkt A und zum Punkt B hat, liegt M ebenfalls auf der Mittelsenkrechten mc. | |
Der Punkt M liegt also auf allen drei Mittelsenkrechten. |
Im letzten Absatz hast du gesehen, dass sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden, und zwar in jedem Dreieck, egal, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist.
Falls du dir nicht mehr sicher bist, was es mit den verschiedenen Dreiecksarten auf sich hat, so lies einfach im entsprechenden Kapitel noch einmal nach.
Die Lage des Schnittpunkts M ist jedoch abhängig von der Art des Dreiecks. Er kann entweder innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder sogar auf einer Seite des Dreiecks liegen.
Die folgende Tabelle gibt dir einen Überblick über die Lage des Schnittpunkts M abhängig von der Dreiecksart.
Spitzwinkliges Dreieck | Abbildung 9: Spitzwinkliges Dreieck Der Schnittpunkt M liegt innerhalb des Dreiecks. |
Rechtwinkliges Dreieck | Abbildung 10: Rechtwinkliges Dreieck
Der Schnittpunkt M liegt auf der Seite b, die gegenüber dem rechten Winkel an Punkt B liegt. |
Stumpfwinkliges Dreieck | ![]() Abbildung 11: Stumpfwinkliges Dreieck
Der Schnittpunkt M liegt außerhalb des Dreiecks, gegenüber dem stumpfen Winkel an Punkt B. |
Der Schnittpunkt M ist nun nicht irgendein beliebiger Schnittpunkt, sondern er hat noch eine Eigenschaft: Da er - wie du im Beweis gesehen hast - denselben Abstand zu allen drei Eckpunkten hat, ist es möglich, einen Kreis um den Punkt M zu zeichnen, der durch alle drei Eckpunkte verläuft. Dieser Radius ist dann so groß zu wählen, wie der Abstand d vom Punkt M zu einem beliebigen Eckpunkt ist. Dieser Kreis heißt Umkreis des Dreiecks.
Da sich in jedem Dreieck die Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden, hat JEDES Dreieck einen Umkreis.
Die Mittelsenkrechten gibt es natürlich nicht nur im Dreieck, sondern auch im Viereck. Je nach Art des Vierecks ergibt sich dabei einer oder vier Schnittpunkte:
Die Abbildungen 13 - 16 zeigen dir dabei noch einige Beispiele zu den genannten Vierecken.
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Es lohnt sich, auch die übrigen Stichpunkte mithilfe einer Dynamischen-Geometrie-Software zu überprüfen!
Sehr gut, dass du bis zum Ende durchgehalten hast! Um den Inhalt dieser Zusammenfassung zu vertiefen, kannst du jetzt die zugehörigen Karteikarten bearbeiten!
Mittelsenkrechte – Das Wichtigste
Die Mittelsenkrechte steht senkrecht auf einer Strecke und verläuft durch den Mittelpunkt der Strecke. Auf ihr liegen alle Punkte, die denselben Abstand zu den Endpunkten der Strecke haben.
Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft. Sie ist ein geometrischer Ort.
Das liegt an der Eigenschaft, dass alle Punkte auf der Mittelsenkrechten denselben Abstand zum Anfangs- und Endpunkt der Strecke haben. Zwei Mittelsenkrechten schneiden sich, da die Innenwinkel im Dreieck kleiner als 180° sind. Damit ist der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten schon gleich weit von allen drei Eckpunkten entfernt und liegt damit auch auf der dritten Mittelsenkrechten.
Die Mittelsenkrechte wird normalerweise nicht berechnet, sondern konstruiert. Das kann man mithilfe eines Zirkels und eines Lineals.
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