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Mittelsenkrechte

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Mathe

In diesem Artikel geht es um die Mittelsenkrechte. Sie ist ein geometrischer Ort und daher in den Bereich der geometrischen Figuren in der Geometrie im Fach Mathematik einzuordnen.

Mittelsenkrechte Definition

Die Mittelsenkrechte ist genauso wie die Kreislinie, die Winkelhalbierende, ein Parallelenpaar und die Mittelparallele ein geometrischer Ort.

Zur Erinnerung: Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.

Aus dem Namen der Mittelsenkrechten kann man eigentlich schon erraten, welche Eigenschaften sie erfüllt: Sie verläuft durch den Mittelpunkt einer Strecke und sie steht senkrecht auf ihr. Die Mittelsenkrechte halbiert also eine Strecke.

Zur Erinnerung: "senkrecht" bedeutet im rechten Winkel!

Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte Definition StudySmarter

Abbildung 1: Mittelsenkrechte m durch den Mittelpunkt M
Formal könnte man die Mittelsenkrechte wie folgt definieren:

Die Mittelsenkrechte m einer Strecke ist diejenige Gerade, die durch den Mittelpunkt M der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.

Die Mittelsenkrechte ist also eine Gerade, sprich sie hat keinen Anfangs- und keinen Endpunkt.

Mittelsenkrechte Eigenschaften

Punkte auf der Mittelsenkrechten

Alle Punkte, die auf der Mittelsenkrechten liegen, haben eine besondere Eigenschaft: Sie haben exakt denselben Abstand zum Punkt A wie zum Punkt B.

Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte Definition StudySmarter
Abbildung 2: Abstand von Punkten auf der Mittelsenkrechten

Formal könnte man das wie folgt notieren:

Für jeden Punkt gilt: d(P;A) = d(P; B)

Es gibt daher noch eine zweite Definition der Mittelsenkrechten, die diese Eigenschaft aufgreift:

Die Mittelsenkrechte m ist die Menge aller Punkte, die zu zwei gegebenen Anfangs- und Endpunkten A und B einer Strecke denselben Abstand haben.

Mittelsenkrechte als Symmetrieachse

Ähnlich wie die Winkelhalbierende hat auch die Mittelsenkrechte eine Funktion als Symmetrieachse. Sie ist eine der beiden Spiegelachsen der Strecke, die die Strecke auf sich selber abbildet.

Die zweite Spiegelachse verläuft direkt auf der Strecke!

Mittelsenkrechte konstruieren

Die Mittelsenkrechte einer Strecke kann man mithilfe eines Zirkels konstruieren oder mit einem Geodreieck zeichnen. Das funktioniert im Prinzip wie das Konstruieren eines Lots.

Eine genaue Anleitung zur Konstruktion kannst du im Kapitel Konstruktionen nachlesen, welches du im Bereich Geometrie findest.

Mittelsenkrechte im Dreieck

Zu jeder Seite im Dreieck gibt es eine Mittelsenkrechte. Die drei Mittelsenkrechten werden normalerweise nicht nur mit einem kleinen m beschriftet, sondern zudem mit einem Index, der die Bezeichnung der Seite enthält. Dies zeigt dir die folgende Abbildung.

Mittelsenkrechte Dreieck StudySmarterAbbildung 3: Mittelsenkrechten im Dreieck mit korrekter Beschriftung

Mittelsenkrechte im Dreieck Schnittpunkt

Wie du bereits in der Abbildung sehen kannst, schneiden sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt. Dass dies nicht nur in diesem Dreieck zufällig passiert, sondern für jedes Dreieck gilt, wollen wir im Folgenden kurz beweisen:

Behauptung: Die Mittelsenkrechten ma, mb und mc eines beliebigen Dreiecks ABC schneiden sich in einem Punkt.

Beweis Beschreibung:Abbildung 4-8: Mittelsenkrechten im Dreieck
Gegeben sei das Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen der Seiten- und Eckpunkte.

Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte Dreieck StudySmarter

Die Mittelsenkrechten ma und mb schneiden sich in einem Punkt M, denn ma und mb sind nicht parallel (sonst müsste der Winkel am Eckpunkt C 180° groß sein und damit wäre ABC kein Dreieck).

Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte Dreieck StudySmarter

Da der Punkt M also auf der Mittelsenkrechten ma liegt, hat er denselben Abstand zum Punkt B und zum Punkt C (das ist ja die zentrale Eigenschaft von Punkten auf Mittelsenkrechten).Da der Punkt M ebenfalls auf der Mittelsenkrechten mb liegt, hat er denselben Abstand zum Punkt C und zum Punkt A.

Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte Dreieck StudySmarter

Da M also auch denselben Abstand zum Punkt A und zum Punkt B hat, liegt M ebenfalls auf der Mittelsenkrechten mc.

Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte Dreieck StudySmarter

Der Punkt M liegt also auf allen drei Mittelsenkrechten.

Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte Dreieck StudySmarter

Mittelsenkrechte im Dreieck Lagepunkt des Schnittpunkts

Im letzten Absatz hast du gesehen, dass sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden, und zwar in jedem Dreieck, egal, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist.

Falls du dir nicht mehr sicher bist, was es mit den verschiedenen Dreiecksarten auf sich hat, so lies einfach im entsprechenden Kapitel noch einmal nach.

Die Lage des Schnittpunkts M ist jedoch abhängig von der Art des Dreiecks. Er kann entweder innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder sogar auf einer Seite des Dreiecks liegen.

Die folgende Tabelle gibt dir einen Überblick über die Lage des Schnittpunkts M abhängig von der Dreiecksart.

Spitzwinkliges Dreieck

Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte Dreieck StudySmarter

Abbildung 9: Spitzwinkliges Dreieck

Der Schnittpunkt M liegt innerhalb des Dreiecks.
Rechtwinkliges Dreieck

Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte Dreieck StudySmarter

Der Schnittpunkt M liegt auf der Seite b, die gegenüber dem rechten Winkel an Punkt B liegt.

Stumpfwinkliges Dreieck
Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte Dreieck StudySmarter
Abbildung 11: Stumpfwinkliges Dreieck

Der Schnittpunkt M liegt außerhalb des Dreiecks, gegenüber dem stumpfen Winkel an Punkt B.

Mittelsenkrechte im Dreieck Umkreis

Der Schnittpunkt M ist nun nicht irgendein beliebiger Schnittpunkt, sondern er hat noch eine Eigenschaft: Da er - wie du im Beweis gesehen hast - denselben Abstand zu allen drei Eckpunkten hat, ist es möglich, einen Kreis um den Punkt M zu zeichnen, der durch alle drei Eckpunkte verläuft. Dieser Radius ist dann so groß zu wählen, wie der Abstand d vom Punkt M zu einem beliebigen Eckpunkt ist. Dieser Kreis heißt Umkreis des Dreiecks.

Da sich in jedem Dreieck die Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden, hat JEDES Dreieck einen Umkreis.

Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte Dreieck Umkreis StudySmarter
Abbildung 12: Umkreis des Dreiecks ABC

Mittelsenkrechte im Viereck

Die Mittelsenkrechten gibt es natürlich nicht nur im Dreieck, sondern auch im Viereck. Je nach Art des Vierecks ergibt sich dabei einer oder vier Schnittpunkte:

  • Quadrat: Hier schneiden sich die vier Mittelsenkrechten in einem Punkt M. Zudem sind die Mittelsenkrechten der beiden gegenüberliegenden Seiten identisch. M ist der Mittelpunkt des Umkreises des Quadrats und zudem auch der Mittelpunkt des Inkreises. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist zudem identisch mit dem Mittelpunkt der Winkelhalbierenden!
  • Rechteck: Die Mittelsenkrechten schneiden sich ebenfalls in einem Punkt und die jeweils gegenüberliegenden Mittelsenkrechten sind identisch. Das Rechteck hat allerdings keinen Umkreis und auch keinen Inkreis.
  • Parallelogramm: Die Mittelsenkrechten schneiden sich in vier Punkten, wobei zwei davon auf zwei gegenüberliegenden Seiten liegen. Es wird dabei ein neues Parallelogramm umschlossen.
  • Symmetrisches Trapez: Die Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt M, und dieser ist Mittelpunkt des Umkreises.
  • Allgemeines Trapez: Die Mittelsenkrechten schneiden sich in vier Punkten und umschließen dabei ein Trapez, welches ähnlich zum Ausgangstrapez ist.
  • Raute: Die Mittelsenkrechten ergeben vier Schnittpunkte und umschließen im Inneren eine Raute.
  • Drachenviereck: Die Mittelsenkrechten können sich in einem Punkt M schneiden, dann ist M der Mittelpunkt des Umkreises. Sie können sich aber auch in 4 Punkten schneiden und dabei ein konkaves Viereck umschließen - also ein Viereck, bei dem ein Winkel größer als 180° ist.
  • Allgemeines Viereck: Die Mittelsenkrechten schneiden sich in vier Punkten und umschließen ein allgemeines Viereck.

Die Abbildungen 13 - 16 zeigen dir dabei noch einige Beispiele zu den genannten Vierecken.

Mittelsenkrechte Quadrat StudySmarterAbbildung 13: Mittelsenkrechten im Quadrat

Mittelsenkrechte Rechteck StudySmarterAbbildung 14: Mittelsenkrechten im Rechteck
Mittelsenkrechte Parallelogramm StudySmarterAbbildung 15: Mittelsenkrechten im Parallelogramm
Mittelsenkrechte Trapez StudySmarterAbbildung 16: Mittelsenkrechten im allgemeinen Trapez

Es lohnt sich, auch die übrigen Stichpunkte mithilfe einer Dynamischen-Geometrie-Software zu überprüfen!


Sehr gut, dass du bis zum Ende durchgehalten hast! Um den Inhalt dieser Zusammenfassung zu vertiefen, kannst du jetzt die zugehörigen Karteikarten bearbeiten!

Mittelsenkrechte Das Wichtigste

  • Die Mittelsenkrechte m einer Strecke ist diejenige Gerade, die durch den Mittelpunkt M der Strecke geht und senkrecht auf ihr steht.
  • Alle Punkte, die auf der Mittelsenkrechten liegen, haben denselben Abstand zu den beiden Anfangs- und Endpunkten der Strecke.
  • Die Mittelsenkrechte ist eine Symmetrieachse der Strecke.
  • Die Mittelsenkrechte kann mithilfe eines Zirkels konstruiert werden.
  • Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Dreieck ist der Mittelpunkt des Umkreises.
  • Je nach Art des Dreiecks liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten innerhalb, außerhalb oder auf einer Seite des Dreiecks.
  • Im Viereck können sich die Mittelsenkrechten in einem oder in vier Punkten schneiden.

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte steht senkrecht auf einer Strecke und verläuft durch den Mittelpunkt der Strecke. Auf ihr liegen alle Punkte, die denselben Abstand zu den Endpunkten der Strecke haben.

Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft. Sie ist ein geometrischer Ort.

Das liegt an der Eigenschaft, dass alle Punkte auf der Mittelsenkrechten denselben Abstand zum Anfangs- und Endpunkt der Strecke haben. Zwei Mittelsenkrechten schneiden sich, da die Innenwinkel im Dreieck kleiner als 180° sind. Damit ist der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten schon gleich weit von allen drei Eckpunkten entfernt und liegt damit auch auf der dritten Mittelsenkrechten. 

Die Mittelsenkrechte wird normalerweise nicht berechnet, sondern konstruiert. Das kann man mithilfe eines Zirkels und eines Lineals.

Finales Mittelsenkrechte Quiz

Frage

Nenne zwei Definitionen der Mittelsenkrechten.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Die Mittelsenkrechte m einer Strecke ist diejenige Gerade, die durch den Mittelpunkt M der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.
  2. Die Mittelsenkrechte m ist die Menge aller Punkte, die zu zwei gegebenen Anfangs- und Endpunkten einer Strecke denselben Abstand haben.
Frage anzeigen

Frage

Nenne eine Eigenschaft, die alle Punkte auf einer Mittelsenkrechten erfüllen.

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten einer Strecke haben denselben Abstand zum Anfangs- und Endpunkt der Strecke.

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum sich die drei Mittelsenkrechten im Dreieck in einem Punkt schneiden.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Schnittpunkt M zweier Mittelsenkrechten hat denselben Abstand zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks, da er als Punkt auf einer Mittelsenkrechten die Eigenschaft erfüllt, jeweils denselben Abstand zum Anfangs- und Endpunkt der Strecke zu haben. Damit liegt er dann auch auf der dritten Mittelsenkrechten.

Frage anzeigen

Frage

In welchem Fall liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf einer Seite des Dreiecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Im rechtwinkligen Dreieck

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum ein Dreieck einen Umkreis hat.

Antwort anzeigen

Antwort

Da der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten genau denselben Abstand zu den drei Eckpunkten des Dreiecks hat, kann man um ihn einen Kreis ziehen, auf dem alle drei Eckpunkte liegen, und der das gesamte Dreieck umschließt.

Frage anzeigen

Frage

In welchem Viereck schneiden sich die Mittelsenkrechten in genau einem Punkt?

Antwort anzeigen

Antwort

Quadrat

Frage anzeigen

Frage

Bei welcher Art von Viereck umschließen die Mittelsenkrechten ein Viereck, welches ähnlich zum Ausgangsviereck ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Parallelogramm

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was die Mittelsenkrechte mit Symmetrie zu tun hat.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelsenkrechte ist eine Spiegelachse der Strecke. Sie bildet die Strecke wieder auf sich selber ab. 

Frage anzeigen

Frage

Wie konstruiert man eine Mittelsenkrechte?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelsenkrechte konstruiert man genauso wie ein Lot. 

Du kannst sie mit einem Zirkel oder einem Lineal konstruieren.


Eine genaue Anleitung findest du im Kapitel "Konstruktion".

Frage anzeigen

Frage

Zeichne die Mittelsenkrechte einer Strecke AB mit der Länge 6 cm.

Antwort anzeigen

Antwort

Deine Lösung könnte so aussehen: 



Der Abstand zwischen dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und der Strecke sowie den Punkten A und B sollte 3 cm sein.

Frage anzeigen

Frage

Wie weit ist der Schnittpunkt M zwischen Mittelsenkrechte und Strecke  von den Punkten A und B entfernt, wenn die Strecke  8 cm lang ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Da die Mittelsenkrechte die Strecke genau halbiert, ist der Abstand zwischen den Endpunkten A und B sowie dem Mittelpunkt M genau 4 cm.



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