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Geometrische Orte

In diesem Kapitel dreht sich alles um den Begriff geometrischer Ort. Das klingt erstmal wie ein Ort auf einer Karte, allerdings hat das damit nicht allzu viel zu tun. Das erkennst Du auch an der Mehrzahl: geometrische Örter. Klingt komisch, wird aber in der Geometrie tatsächlich so genannt.

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In diesem Kapitel dreht sich alles um den Begriff geometrischer Ort. Das klingt erstmal wie ein Ort auf einer Karte, allerdings hat das damit nicht allzu viel zu tun. Das erkennst Du auch an der Mehrzahl: geometrische Örter. Klingt komisch, wird aber in der Geometrie tatsächlich so genannt.

Hier lernst Du, was unter einem geometrischen Ort verstanden wird. In den folgenden Artikeln wirst Du verschiedene geometrische Örter kennenlernen.

Geometrischer Ort – Definition

Ein geometrischer Ort ist eine Teilmenge der Ebene oder des Raums, die gewisse Bedingungen erfüllt. Die Ebene bzw. der Raum besteht aus mathematischer Sicht einfach aus ganz vielen Punkten.

Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.


Eine Bedingung kann dabei etwa sein, dass ein geometrischer Ort einen bestimmten Abstand zu etwas hat.

Meistens handelt es sich bei geometrischen Örtern um Kurven oder Linien, die dann Ortskurve oder Ortslinie genannt werden. Es gibt aber geometrische Örter, die keine Kurven oder Linien sind, sondern Flächen oder andere Bereiche. Diese werden dann Ortsbereiche genannt.

Geometrische Örter – Zusammenfassung

Es gibt viele unterschiedliche geometrische Örter (Plural von geometrischer Ort). Einige davon lernst Du in dieser Zusammenfassung kennen.

Kreis – Kreislinie

Die Kreislinie um den Punkt M mit dem Radius r ist die erste Ortskurve. Dort liegen alle Punkte, die vom Punkt M den Abstand r haben.

Geometrischer Ort Kreislinie StudySmarterAbbildung 1: Kreislinie

Mehr darüber erfährst Du in der Erklärung Kreislinie.

Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende w von zwei sich schneidenden Geraden ist ein geometrischer Ort. Dort liegen alle Punkte P, die von den Geraden den gleichen Abstand haben.

Geometrischer Ort Winkelhalbierende StudySmarterAbbildung 2: Winkelhalbierende

Wenn Du mehr über die Winkelhalbierende erfahren möchtest, dann schau in der Erklärung Winkelhalbierende vorbei.

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte m einer Strecke \( \overline{AB} \) ist eine Gerade, die senkrecht auf der Strecke steht und sie halbiert. Als geometrischer Ort sind das also alle Punkte, die von den Punkten A und B denselben Abstand haben.

Geometrischer Ort Mittelsenkrechte StudySmarterAbbildung 3: Mittelsenkrechte

Wenn Du mehr über die Mittelsenkrechte erfahren möchtest, dann schau Dir die Erklärung Mittelsenkrechte an.

Parallelenpaar

Alle Punkte, die von einer Geraden g einen festen, gleichen Abstand haben, liegen auf zwei Parallelen zur Geraden. Diese Geraden sind auch ein geometrischer Ort.

Geometrischer Ort Parallelenpaar StudySmarterAbbildung 4: Parallelenpaar

Auch zum Parallelenpaar findest Du eine eigene Erklärung. Dort lernst Du auch Beispiele für Ortsbereiche kennen.

Mittelparallele

Die Mittelparallele m zweier Geraden g und h ist die Gerade m, die von g und h denselben Abstand hat.

Geometrischer Ort Mittelparallele StudySmarterAbbildung 5: Mittelparallele

Außerdem ist die Mittelparallele m die Ortskurve aller Mittelpunkte von Kreisen, die die parallelen Geraden g und h berühren, sie aber nicht schneiden.

Geometrischer Ort Mittelparallele StudySmarterAbbildung 6: Mittelparallele als Ortskurve von Kreismittelpunkten

Alles Wichtige zur Mittelparallele findest Du in der Erklärung zur Mittelparallele.

Dreieck

Auch am Dreieck lassen sich geometrische Örter finden.

Bildest Du alle Mittelsenkrechten des Dreiecks, so bildet ihr Schnittpunkt den Punkt, der von allen Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand besitzt. Er ist somit auch der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

Geometrischer Ort Umkreis Dreieck StudySmarterAbbildung 7: Dreieck Umkreis

Die Winkelhalbierenden des Dreiecks besitzen ebenfalls einen Schnittpunkt. Dieser ist der geometrische Ort des Punktes, der zu allen Dreiecksseiten den gleichen Abstand besitzt und bildet somit den Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.

Geometrischer Ort Inkreis Dreieck StudySmarterAbbildung 8: Inkreis Dreieck

Alles zum Umkreis findest Du in der Erklärung Umkreis Dreieck. Zum Inkreis kannst Du Dich in der Erklärung Inkreis Dreieck informieren.

Ortskurven von Funktionenscharen

Du kannst in der Analysis die Ortskurve von bestimmten Punkten einer Funktionsschar bestimmen. Diese Punkte können z. B. Extrempunkte, Scheitelpunkte, Wendepunkte oder Ähnliches sein. Dabei sollst Du meist eine Funktionsgleichung angeben.

Wie genau Du diese Funktionsgleichung herausfindest, lernst Du in der Erklärung zur Ortskurve.

Hier siehst Du ein Beispiel für eine Funktionenschar \( f_k \) und die Ortskurve ihrer Tiefpunkte.

Geometrischer Ort Ortskurve einer Funktionenschar StudySmarterAbbildung 9: Ortskurve der Tiefpunkte einer Funktionenschar

Geometrische Örter Schreibweise

Geometrische Örter werden oft in Mengenschreibweise geschrieben. Wie das aussehen kann, siehst Du in diesem Beispiel.

Die Schreibweise für den Kreis lautet \( k= \left \{ P| \overline{PM}=r \right \} \).

Was bedeutet das in Worten?

Der Buchstabe am Anfang, hier ist es das k, ist der Name für den Kreis. In der Menge des Kreises liegen alle Punkte P, für die gilt, dass die Strecke vom Punkt P bis zum Mittelpunkt M genau so lang ist, wie der Radius.

Geometrische Örter bestimmen – Übungen

Konkrete Aufgaben zu den einzelnen hier genannten geometrischen Örtern findest Du in den jeweiligen Erklärungen. Du kannst Dir folgende Aufgaben zu geometrischen Örtern allgemein ansehen und prüfen, ob Du das bisher Gelernte anwenden kannst.

Aufgabe 1

Nenne die passenden geometrischen Örter, die für die folgenden Fragen nötig sind.

a) Wo liegt der Ort aller Punkte, die von einem Punkt den gleichen Abstand besitzen?

b) Wo liegt der Ort aller Punkte, die von zwei Parallelen den gleichen Abstand besitzen?

c) Wo liegt der Ort aller Punkte, die in einem Dreieck den gleichen Abstand zu allen Eckpunkten besitzen?

Lösung

a) Hier ist die Kreislinie nötig.

b) Hier wird die Mittelparallele gebraucht.

c) Dieser Ort besteht aus nur einem Punkt und ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Aufgabe 2

Überlege, in welchem Bereich alle Punkte liegen könnten, deren Abstand zu einem Punkt P kleiner als 2 cm ist.

Lösung

Da die Kreislinie mit dem Radius 2 cm die Punkte enthält, deren Abstand zu einem Punkt P genau 2 cm beträgt, liegen alle Punkte mit kleinerem Abstand innerhalb dieses Kreises auf einer sogenannten offenen Kreisscheibe. Offen bedeutet, dass die Kreislinie nicht mit in den Ortsbereich hinein zählt. Der Bereich ist auf folgender Abbildung hellblau gekennzeichnet.

Geometrischer Ort Lösung Aufgabe 2 StudySmarterAbbildung 10: Lösung Aufgabe 2

Aufgabe 3

Nenne Beispiele für besondere Punkte von Funktionenscharen, die auf einer gemeinsamen Ortskurve liegen können.

Lösung

Zu diesen Punkten gehören z. B. Scheitelpunkte, Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte.

Geometrische Orte – Das Wichtigste

  • Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.
  • Die Kreislinie, die Winkelhalbierende zweier sich schneidender Geraden, die Mittelsenkrechte einer Strecke, eine Parallele zu einer gegebenen Gerade und die Mittelparallele zweier paralleler Geraden sind geometrische Örter.
  • Der Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt im Dreieck sind geometrische Örter.
  • Besondere Punkte einer Funktionsschar, z. B. Extrempunkte oder Wendepunkte, bilden eine Ortskurve.
  • Der Plural von geometrischer Ort ist geometrische Örter.
  • Geometrische Örter werden auch Ortslinien oder Ortskurven genannt. Es gibt auch Ortsbereiche oder geometrische Örter, die aus nur einem Punkt bestehen.

Nachweise

  1. Kemnitz (2011). Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. Springer-Verlag.
  2. Kleyer (1892). Lehrbuch der ebenen elementar-geometrie (planimetrie). J. Maier Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Geometrische Orte

Die Punkte, die von einem gegebenen Punkt alle gleich weit entfernt liegen, also denselben Abstand haben, liegen auf einem Kreis um den gegebenen Punkt. Der Radius dieses Kreises ist dann so groß, wie der gegebene Abstand.

Die Kreislinie, die Winkelhalbierende zweier sich schneidender Geraden, die Mittelsenkrechte einer Strecke, eine Parallele zu einer gegebenen Gerade und die Mittelparallele zweier paralleler Geraden sind Ortslinien.

Der Kreis - genauer die Kreislinie - ist ein geometrischer Ort bzw. eine Ortslinie, weil alle darauf liegenden Punkte eine gegebene Bedingung erfüllen: Sie haben alle denselben Abstand zum Mittelpunkt des Kreises, nämlich genau den Radius.

Die Kreislinie, die Winkelhalbierende zweier sich schneidender Geraden, die Mittelsenkrechte einer Strecke, eine Parallele zu einer gegebenen Gerade und die Mittelparallele zweier paralleler Geraden sind geometrische Orte.

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Welche Aussage trifft zu?Die Winkelhalbierende ist...

Bei welcher der folgenden Vierecksarten schneiden sich die vier Winkelhalbierenden in einem Punkt?

In welchem Fall liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf einer Seite des Dreiecks?

Weiter

Welche Aussage trifft zu?

Die Winkelhalbierende ist...

...eine Gerade

Bei welcher der folgenden Vierecksarten schneiden sich die vier Winkelhalbierenden in einem Punkt?

Quadrat

Überlege, welche Eigenschaften der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Quadrat hat.

  • er liegt auf allen vier Winkelhalbierenden
  • er hat denselben Abstand zu den Seiten des Quadrats
  • dadurch ist er Mittelpunkt des Inkreises des Quadrats
  • er hat zudem denselben Abstand zu den Eckpunkten des Quadrats
  • dadurch ist er auch Mittelpunkt des Umkreises des Quadrats
  • im Übrigen schneiden sich die Winkelhalbierenden senkrecht, also im rechten Winkel!


Nenne zwei Definitionen der Mittelsenkrechten.

  1. Die Mittelsenkrechte m einer Strecke ist diejenige Gerade, die durch den Mittelpunkt M der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.
  2. Die Mittelsenkrechte m ist die Menge aller Punkte, die zu zwei gegebenen Anfangs- und Endpunkten einer Strecke denselben Abstand haben.

Nenne eine Eigenschaft, die alle Punkte auf einer Mittelsenkrechten erfüllen.

Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten einer Strecke haben denselben Abstand zum Anfangs- und Endpunkt der Strecke.

Begründe, warum sich die drei Mittelsenkrechten im Dreieck in einem Punkt schneiden.

Der Schnittpunkt M zweier Mittelsenkrechten hat denselben Abstand zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks, da er als Punkt auf einer Mittelsenkrechten die Eigenschaft erfüllt, jeweils denselben Abstand zum Anfangs- und Endpunkt der Strecke zu haben. Damit liegt er dann auch auf der dritten Mittelsenkrechten.

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