In diesem Kapitel dreht sich alles um den Begriff geometrischer Ort. Das klingt erstmal wie ein Ort auf einer Karte, allerdings hat das damit nicht allzu viel zu tun. Das erkennst Du auch an der Mehrzahl: geometrische Örter. Klingt komisch, wird aber in der Geometrie tatsächlich so genannt.
Hier lernst Du, was unter einem geometrischen Ort verstanden wird. In den folgenden Artikeln wirst Du verschiedene geometrische Örter kennenlernen.
Geometrischer Ort – Definition
Ein geometrischer Ort ist eine Teilmenge der Ebene oder des Raums, die gewisse Bedingungen erfüllt. Die Ebene bzw. der Raum besteht aus mathematischer Sicht einfach aus ganz vielen Punkten.
Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.
Eine Bedingung kann dabei etwa sein, dass ein geometrischer Ort einen bestimmten Abstand zu etwas hat.
Meistens handelt es sich bei geometrischen Örtern um Kurven oder Linien, die dann Ortskurve oder Ortslinie genannt werden. Es gibt aber geometrische Örter, die keine Kurven oder Linien sind, sondern Flächen oder andere Bereiche. Diese werden dann Ortsbereiche genannt.
Geometrische Örter – Zusammenfassung
Es gibt viele unterschiedliche geometrische Örter (Plural von geometrischer Ort). Einige davon lernst Du in dieser Zusammenfassung kennen.
Kreis – Kreislinie
Die Kreislinie um den Punkt M mit dem Radius r ist die erste Ortskurve. Dort liegen alle Punkte, die vom Punkt M den Abstand r haben.
Abbildung 1: Kreislinie
Mehr darüber erfährst Du in der Erklärung Kreislinie.
Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierende w von zwei sich schneidenden Geraden ist ein geometrischer Ort. Dort liegen alle Punkte P, die von den Geraden den gleichen Abstand haben.
Abbildung 2: Winkelhalbierende
Wenn Du mehr über die Winkelhalbierende erfahren möchtest, dann schau in der Erklärung Winkelhalbierende vorbei.
Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte m einer Strecke \( \overline{AB} \) ist eine Gerade, die senkrecht auf der Strecke steht und sie halbiert. Als geometrischer Ort sind das also alle Punkte, die von den Punkten A und B denselben Abstand haben.
Abbildung 3: Mittelsenkrechte
Wenn Du mehr über die Mittelsenkrechte erfahren möchtest, dann schau Dir die Erklärung Mittelsenkrechte an.
Parallelenpaar
Alle Punkte, die von einer Geraden g einen festen, gleichen Abstand haben, liegen auf zwei Parallelen zur Geraden. Diese Geraden sind auch ein geometrischer Ort.
Abbildung 4: Parallelenpaar
Auch zum Parallelenpaar findest Du eine eigene Erklärung. Dort lernst Du auch Beispiele für Ortsbereiche kennen.
Mittelparallele
Die Mittelparallele m zweier Geraden g und h ist die Gerade m, die von g und h denselben Abstand hat.
Abbildung 5: Mittelparallele
Außerdem ist die Mittelparallele m die Ortskurve aller Mittelpunkte von Kreisen, die die parallelen Geraden g und h berühren, sie aber nicht schneiden.
Abbildung 6: Mittelparallele als Ortskurve von Kreismittelpunkten
Alles Wichtige zur Mittelparallele findest Du in der Erklärung zur Mittelparallele.
Dreieck
Auch am Dreieck lassen sich geometrische Örter finden.
Bildest Du alle Mittelsenkrechten des Dreiecks, so bildet ihr Schnittpunkt den Punkt, der von allen Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand besitzt. Er ist somit auch der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.
Abbildung 7: Dreieck Umkreis
Die Winkelhalbierenden des Dreiecks besitzen ebenfalls einen Schnittpunkt. Dieser ist der geometrische Ort des Punktes, der zu allen Dreiecksseiten den gleichen Abstand besitzt und bildet somit den Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.
Abbildung 8: Inkreis Dreieck
Alles zum Umkreis findest Du in der Erklärung Umkreis Dreieck. Zum Inkreis kannst Du Dich in der Erklärung Inkreis Dreieck informieren.
Ortskurven von Funktionenscharen
Du kannst in der Analysis die Ortskurve von bestimmten Punkten einer Funktionsschar bestimmen. Diese Punkte können z. B. Extrempunkte, Scheitelpunkte, Wendepunkte oder Ähnliches sein. Dabei sollst Du meist eine Funktionsgleichung angeben.
Wie genau Du diese Funktionsgleichung herausfindest, lernst Du in der Erklärung zur Ortskurve.
Hier siehst Du ein Beispiel für eine Funktionenschar \( f_k \) und die Ortskurve ihrer Tiefpunkte.
Abbildung 9: Ortskurve der Tiefpunkte einer Funktionenschar
Geometrische Örter Schreibweise
Geometrische Örter werden oft in Mengenschreibweise geschrieben. Wie das aussehen kann, siehst Du in diesem Beispiel.
Die Schreibweise für den Kreis lautet \( k= \left \{ P| \overline{PM}=r \right \} \).
Was bedeutet das in Worten?
Der Buchstabe am Anfang, hier ist es das k, ist der Name für den Kreis. In der Menge des Kreises liegen alle Punkte P, für die gilt, dass die Strecke vom Punkt P bis zum Mittelpunkt M genau so lang ist, wie der Radius.
Geometrische Örter bestimmen – Übungen
Konkrete Aufgaben zu den einzelnen hier genannten geometrischen Örtern findest Du in den jeweiligen Erklärungen. Du kannst Dir folgende Aufgaben zu geometrischen Örtern allgemein ansehen und prüfen, ob Du das bisher Gelernte anwenden kannst.
Aufgabe 1
Nenne die passenden geometrischen Örter, die für die folgenden Fragen nötig sind.
a) Wo liegt der Ort aller Punkte, die von einem Punkt den gleichen Abstand besitzen?
b) Wo liegt der Ort aller Punkte, die von zwei Parallelen den gleichen Abstand besitzen?
c) Wo liegt der Ort aller Punkte, die in einem Dreieck den gleichen Abstand zu allen Eckpunkten besitzen?
Lösung
a) Hier ist die Kreislinie nötig.
b) Hier wird die Mittelparallele gebraucht.
c) Dieser Ort besteht aus nur einem Punkt und ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Aufgabe 2
Überlege, in welchem Bereich alle Punkte liegen könnten, deren Abstand zu einem Punkt P kleiner als 2 cm ist.
Lösung
Da die Kreislinie mit dem Radius 2 cm die Punkte enthält, deren Abstand zu einem Punkt P genau 2 cm beträgt, liegen alle Punkte mit kleinerem Abstand innerhalb dieses Kreises auf einer sogenannten offenen Kreisscheibe. Offen bedeutet, dass die Kreislinie nicht mit in den Ortsbereich hinein zählt. Der Bereich ist auf folgender Abbildung hellblau gekennzeichnet.
Abbildung 10: Lösung Aufgabe 2
Aufgabe 3
Nenne Beispiele für besondere Punkte von Funktionenscharen, die auf einer gemeinsamen Ortskurve liegen können.
Lösung
Zu diesen Punkten gehören z. B. Scheitelpunkte, Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte.
Geometrische Orte – Das Wichtigste
- Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.
- Die Kreislinie, die Winkelhalbierende zweier sich schneidender Geraden, die Mittelsenkrechte einer Strecke, eine Parallele zu einer gegebenen Gerade und die Mittelparallele zweier paralleler Geraden sind geometrische Örter.
- Der Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt im Dreieck sind geometrische Örter.
- Besondere Punkte einer Funktionsschar, z. B. Extrempunkte oder Wendepunkte, bilden eine Ortskurve.
- Der Plural von geometrischer Ort ist geometrische Örter.
- Geometrische Örter werden auch Ortslinien oder Ortskurven genannt. Es gibt auch Ortsbereiche oder geometrische Örter, die aus nur einem Punkt bestehen.
Nachweise
- Kemnitz (2011). Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. Springer-Verlag.
- Kleyer (1892). Lehrbuch der ebenen elementar-geometrie (planimetrie). J. Maier Verlag.
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