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Geometrischer Ort

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Geometrischer Ort

In diesem Kapitel dreht sich alles um den Begriff geometrischer Ort. Hier lernst Du, was unter einem geometrischen Ort verstanden wird. In den folgenden Artikeln wirst Du verschiedene geometrische Örter (ja, die Mehrzahl ist wirklich so) kennenlernen.

Geometrische Örter gehören, wie der Name es schon verrät, zum Bereich der Geometrie – genauer zur Rubrik geometrische Figuren.

Geometrischer Ort – Definition

Ein geometrischer Ort ist eine Teilmenge der Ebene oder des Raums, die gewisse Bedingungen erfüllt. Die Ebene bzw. der Raum besteht aus mathematischer Sicht einfach aus ganz vielen Punkten.

Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.


Eine Eigenschaft kann dabei etwa sein, dass ein geometrischer Ort einen bestimmten Abstand zu etwas hat.

Meistens handelt es sich bei geometrischen Örtern um Kurven oder Linien, die dann Ortskurve oder Ortslinie genannt werden. Es gibt aber geometrische Örter, die keine Kurven oder Linien sind, sondern größere Bereiche. Diese werden dann Ortsbereiche genannt.

Welche geometrischen Örter gibt es?

Kreislinie

Die Kreislinie um den Punkt M mit dem Radius r ist die erste Ortskurve. Dort liegen alle Punkte, die vom Punkt M den Abstand r haben.

Geometrischer Ort Kreislinie StudySmarterAbbildung 1: Kreislinie

Mehr darüber erfährst Du in der Erklärung Kreislinie.

Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende w von zwei sich schneidenden Geraden ist ein geometrischer Ort. Dort liegen alle Punkte P, die von den Geraden den gleichen Abstand haben.

Geometrischer Ort Winkelhalbierende StudySmarterAbbildung 2: Winkelhalbierende

Wenn Du mehr über die Winkelhalbierende erfahren möchtest, dann schau in der Erklärung Winkelhalbierende vorbei.

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte m einer Strecke ist die Gerade, die senkrecht auf der Strecke steht und sie halbiert. Als geometrischer Ort sind das also alle Punkte, die von den Punkten A und B denselben Abstand haben.

Geometrischer Ort Mittelsenkrechte StudySmarterAbbildung 3: Mittelsenkrechte

Wenn Du mehr über die Mittelsenkrechte erfahren möchtest, dann schau Dir die Erklärung Mittelsenkrechte an.

Parallelenpaar

Alle Punkte, die von einer Geraden m einen festen, gleichen Abstand haben, liegen auf zwei Parallelen zur Geraden. Diese Geraden sind auch ein geometrischer Ort.

Geometrischer Ort Parallelenpaar StudySmarterAbbildung 4: Parallelenpaar

Auch zum Parallelenpaar findest Du eine eigene Erklärung.

Mittelparallele

Die Mittelparallele m zweier Geraden g und h ist die Gerade m, die von g und h denselben Abstand hat.

Geometrischer Ort Mittelparallele StudySmarterAbbildung 5: Mittelparallele

Außerdem ist die Mittelparallele m die Ortskurve aller Mittelpunkte von Kreisen, die die parallelen Geraden g und h berühren, sie aber nicht schneiden.

Geometrischer Ort Mittelparallele StudySmarterAbbildung 6: Mittelparallele als Ortskurve von Kreismittelpunkten

Alles Wichtige zur Mittelparallele findest Du in der Erklärung zur Mittelparallele.

Was solltest Du vor diesem Kapitel wissen?

Dir sollten die Begriffe Gerade, Strecke und Strahl bekannt sein, und Du solltest wissen, was der Unterschied zwischen ihnen ist. Zudem solltest Du wissen, was der Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade, zwischen zwei Punkten und zwischen zwei Parallelen ist, und wie er berechnet wird. Falls Du Dir hier unsicher bist, kannst Du diese Punkte noch einmal in den Kapiteln Gerade, Strecke, Strahl und Abstand berechnen nachlesen.

Geometrischer Ort – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.
  • Die Kreislinie, die Winkelhalbierende zweier sich schneidender Geraden, die Mittelsenkrechte einer Strecke, eine Parallele zu einer gegebenen Gerade und die Mittelparallele zweier paralleler Geraden sind geometrische Orte.
  • Der Plural von geometrischer Ort ist geometrische Örter.
  • Geometrische Örter werden auch Ortslinien oder Ortskurven genannt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Geometrischer Ort

Die Punkte, die von einem gegebenen Punkt alle gleich weit entfernt liegen, also denselben Abstand haben, liegen auf einem Kreis um den gegebenen Punkt. Der Radius dieses Kreises ist dann so groß, wie der gegebene Abstand.

Die Kreislinie, die Winkelhalbierende zweier sich schneidender Geraden, die Mittelsenkrechte einer Strecke, eine Parallele zu einer gegebenen Gerade und die Mittelparallele zweier paralleler Geraden sind Ortslinien.

Der Kreis - genauer die Kreislinie - ist ein geometrischer Ort bzw. eine Ortslinie, weil alle darauf liegenden Punkte eine gegebene Bedingung erfüllen: Sie haben alle denselben Abstand zum Mittelpunkt des Kreises, nämlich genau den Radius.

Die Kreislinie, die Winkelhalbierende zweier sich schneidender Geraden, die Mittelsenkrechte einer Strecke, eine Parallele zu einer gegebenen Gerade und die Mittelparallele zweier paralleler Geraden sind geometrische Orte.

Finales Geometrischer Ort Quiz

Frage

Welche Aussage trifft zu?

Die Winkelhalbierende ist...

Antwort anzeigen

Antwort

...eine Gerade

Frage anzeigen

Frage

Bei welcher der folgenden Vierecksarten schneiden sich die vier Winkelhalbierenden in einem Punkt?

Antwort anzeigen

Antwort

Quadrat

Frage anzeigen

Frage

Überlege, welche Eigenschaften der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Quadrat hat.

Antwort anzeigen

Antwort

  • er liegt auf allen vier Winkelhalbierenden
  • er hat denselben Abstand zu den Seiten des Quadrats
  • dadurch ist er Mittelpunkt des Inkreises des Quadrats
  • er hat zudem denselben Abstand zu den Eckpunkten des Quadrats
  • dadurch ist er auch Mittelpunkt des Umkreises des Quadrats
  • im Übrigen schneiden sich die Winkelhalbierenden senkrecht, also im rechten Winkel!


Frage anzeigen

Frage

Nenne zwei Definitionen der Mittelsenkrechten.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Die Mittelsenkrechte m einer Strecke ist diejenige Gerade, die durch den Mittelpunkt M der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.
  2. Die Mittelsenkrechte m ist die Menge aller Punkte, die zu zwei gegebenen Anfangs- und Endpunkten einer Strecke denselben Abstand haben.
Frage anzeigen

Frage

Nenne eine Eigenschaft, die alle Punkte auf einer Mittelsenkrechten erfüllen.

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten einer Strecke haben denselben Abstand zum Anfangs- und Endpunkt der Strecke.

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum sich die drei Mittelsenkrechten im Dreieck in einem Punkt schneiden.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Schnittpunkt M zweier Mittelsenkrechten hat denselben Abstand zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks, da er als Punkt auf einer Mittelsenkrechten die Eigenschaft erfüllt, jeweils denselben Abstand zum Anfangs- und Endpunkt der Strecke zu haben. Damit liegt er dann auch auf der dritten Mittelsenkrechten.

Frage anzeigen

Frage

In welchem Fall liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf einer Seite des Dreiecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Im rechtwinkligen Dreieck

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum ein Dreieck einen Umkreis hat.

Antwort anzeigen

Antwort

Da der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten genau denselben Abstand zu den drei Eckpunkten des Dreiecks hat, kann man um ihn einen Kreis ziehen, auf dem alle drei Eckpunkte liegen, und der das gesamte Dreieck umschließt.

Frage anzeigen

Frage

In welchem Viereck schneiden sich die Mittelsenkrechten in genau einem Punkt?

Antwort anzeigen

Antwort

Quadrat

Frage anzeigen

Frage

Bei welcher Art von Viereck umschließen die Mittelsenkrechten ein Viereck, welches ähnlich zum Ausgangsviereck ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Parallelogramm

Frage anzeigen

Frage

Wozu braucht man die Mittellinie in einem Trapez?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittellinie eines Trapez kann zur einfachen Berechnung des Flächeninhalts des Trapez genutzt werden. 

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Mittelparallelen gibt es im Dreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

3

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, was eine Mittelparallele in einem Dreieck ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Mittelparallele in einem Dreieck ist eine Strecke zwischen den Mittelpunkten zweier Dreiecksseiten. Sie verläuft parallel zur dritten Dreiecksseite.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen zur Berechnung der Mittelparallelen zweier Parallelen im dreidimensionalen Raum.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Prüfe, ob die gegebenen Geraden wirklich parallel sind. Dazu müssen die Richtungsvektoren linear abhängig sein und der Aufpunkt der einen Gerade darf nicht auf der anderen Gerade liegen.
  2. Berechne den Mittelpunkt M zwischen den beiden Aufpunkten der parallelen Geraden.
  3. Wähle als Richtungsvektor der Mittelparallelen den Richtungsvektor einer der parallelen Geraden.
Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum die Mittelparallele ein geometrischer Ort ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen. 


Alle Punkte auf einer Mittelparallelen erfüllen die Bedingung, dass sie denselben Abstand zu den parallelen Geraden haben. 


Zudem erfüllen sie die Bedingung, dass sie die Mittelpunkte von Kreisen sind, die beide parallele Geraden nur berühren, also nicht schneiden.

Frage anzeigen

Frage

Welche geometrische Figur umschließen die Mittelparallelen in einem Dreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Dreieck.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was die Mittelsenkrechte mit Symmetrie zu tun hat.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelsenkrechte ist eine Spiegelachse der Strecke. Sie bildet die Strecke wieder auf sich selber ab. 

Frage anzeigen

Frage

Wie konstruiert man eine Mittelsenkrechte?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelsenkrechte konstruiert man genauso wie ein Lot. 

Du kannst sie mit einem Zirkel oder einem Lineal konstruieren.


Eine genaue Anleitung findest du im Kapitel "Konstruktion".

Frage anzeigen

Frage

Erkläre den Begriff Kreislinie.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Kreislinie ist die Menge an Punkten, die vom Mittelpunkt des Kreises gleich weit entfernt sind. Es handelt sich um die Begrenzungslinie eines Kreises.

Frage anzeigen

Frage

Was trifft auf die Kreislinie zu?

Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich nicht um die Fläche eines Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Wie bestimmst Du die Mittelsenkrechte einer Strecke mit dem Zirkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Du zeichnest von den Eckpunkten der Strecke jeweils einen Kreis. Der Radius dieser Kreise muss mindestens so groß sein wie die Hälfte der Länge dieser Strecke. Die Schnittpunkte dieser zwei Kreise liegen auf der Mittelsenkrechten. Du kannst nun diese Gerade durch die Punkte zeichnen.

Frage anzeigen

Frage

Wie bestimmst Du die Winkelhalbierende mit einem Zirkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Von einem Eckpunkt aus zeichnest Du einen Kreis. Die Schnittpunkte des Kreises mit den Winkelachsen entsprechen den Mittelpunkten von zwei weiteren Kreisen. Deren Schnittpunkte wiederum befinden sich auf der Winkelhalbierenden, die Du durch die Punkte zeichnen kannst.

Frage anzeigen

Frage

Was benötigst Du um einen Inkreis von einem Dreieck zu erstellen?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Senkrechte durch den Mittelpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Was benötigst Du für einen Umkreis eines Dreiecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Winkelhalbierende.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Geometrischer Ort?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Menge von Punkten mit einer gemeinsamen Eigenschaft wird geometrischer Ort genannt. So besitzt die Menge an Punkten auf einer Kreislinie denselben Abstand zum Mittelpunkt des Kreises.

Frage anzeigen

Frage

Gib den Wert von Pi gerundet auf drei Nachkommastellen an.

Antwort anzeigen

Antwort

Pi entspricht auf drei Nachkommastellen gerundet dem folgenden Wert:


3,142

Frage anzeigen

Frage

Benenne den Ort aller Punkte, die den gleichen Abstand zu zwei parallelen Geraden haben.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelparallele hat den gleichen Abstand zu zwei parallelen Geraden.

Frage anzeigen

Frage

Definiere den geometrischen Ort.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Bezeichnung von den Ortslinien einer Gerade.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ortslinien einer Gerade sind ein Parallelenpaar.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wo die Mittelparallele liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelparallele liegt genau in der Mitte des Parallelenpaars und ist, wie der Name schon sagt, parallel dazu. Sie hat überall den gleichen Abstand vom Parallelenpaar.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie ein Parallelenpaar konstruiert wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Parallelenpaar wird wie folgt konstruiert:

1. Zur gegebenen Gerade wird zunächst die Mittelsenkrechte konstruiert.

2. Mithilfe des Geodreiecks oder des Zirkels wird der Abstand, den die Gerade zu den Parallelen haben soll, markiert. Die Markierungen werden dabei genau auf der Mittelsenkrechten gesetzt. 

3. Es wird jeweils eine zur Mittelsenkrechte orthogonale Gerade durch die zwei gesetzten Markierungen gezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie die Mittelparallele konstruiert wird.

Antwort anzeigen

Antwort

1- Auf einer der gegebenen Geraden ein beliebiger Punkt P eingezeichnet. 

2. Durch Punkt P wird mithilfe des Geodreiecks das Lot auf die Gerade gefällt. Es entsteht ein Schnittpunkt S mit der zweiten Geraden. 

3. Die Mittelsenkrechte zur Strecke der Punkte P und S wird konstruiert. Diese bildet dann die Mittelparallele.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie die Mittelsenkrechte konstruiert wird.

Antwort anzeigen

Antwort

1. Auf der gegebenen Geraden werden zwei beliebige Punkte A und B eingezeichnet. 

2. Mithilfe des Zirkels wird ein Kreis um Punkt A gezeichnet. Zu beachten ist hierbei, dass der Radius des Kreises um Punkt A größer sein muss als die Hälfte der Strecke von A bis B. 

3. Mit gleichem Radius wird ein Kreis um B gezogen. 

4. So entstehen zwei Schnittpunkte, an denen sich die Kreise schneiden. Durch diese wird eine Gerade gezeichnet, die dann die Mittelsenkrechte bildet.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Werkzeuge, die zum Konstruieren eines Parallelenpaars benötigt werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Zur Konstruktion eines Parallelenpaars werden Zirkel und Geodreieck benötigt.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, in welchen der folgenden Alltagssituationen keine Parallelenpaare vorkommen.

Antwort anzeigen

Antwort

Gärtnern

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Definition einer Gerade.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gerade ist eine Linie, die auf beiden Seiten ins Unendliche reicht. Sie besitzt keinen Start- und Endpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Definition des Parallelenpaars.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Parallelenpaar besteht aus zwei parallelen Geraden und hat einen bestimmten Abstand zueinander. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne einen anderen Namen für den Begriff Ortskurve.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Ortskurve wird auch Ortslinie genannt.

Frage anzeigen

Frage

Benenne, wie ein geometrischer Ort genannt wird, bei dem die Punkte eine Fläche bilden.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein geometrischer Ort, dessen Punkte eine Fläche bilden, wird Ortsbereich genannt.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, welche geometrischen Örter am Dreieck zu finden sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Am Dreieck kannst Du den Mittelpunkt des Inkreises und den Mittelpunkt des Umkreises finden. Der Mittelpunkt des Inkreises ist der geometrische Ort des Punktes, der von allen Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand hat. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der geometrische Ort des Punktes, der den gleichen Abstand von den Ecken des Dreiecks besitzt.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, für welche Punkte die Mittelparallele eine Ortslinie ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelparallele zweier paralleler Geraden ist die Ortslinie aller Punkte, die denselben Abstand zu den beiden Geraden haben. Zudem ist die Mittelparallele die Menge aller Mittelpunkte von Kreisen, die parallele Geraden berühren, sie aber nicht schneiden.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks gefunden wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks gefunden wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Dreiecksseiten.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre den Unterschied zwischen einem geometrischen Ort und einer Ortskurve.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. Dabei kann es sich auch um nur einen einzelnen Punkt handeln. Die Ortskurve ist dabei ein spezieller geometrischer Ort. Sie besteht aus unendlich vielen Punkten, die auf einer Linie oder Kurve liegen.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage: 

Eine Ortslinie ist immer eine Gerade.

Antwort anzeigen

Antwort

Das ist falsch, eine Ortslinie kann auch eine Kurve, Kreislinie oder Ähnliches sein.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welches der folgenden geometrischen Objekte benötigt wird, um die Ortskurve aller Punkte zu konstruieren, die den gleichen Abstand zu einer Gerade besitzen.

Antwort anzeigen

Antwort

Winkelhalbierende

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