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Betrag eines Vektors

Du möchtest wissen, wie Du den Betrag eines Vektors berechnen kannst, wie dieser definiert ist und welche Formel genutzt wird, um die Länge eines Vektors zu bestimmen? Lies weiter und sieh Dir zum Betrag eines Vektors Beispiele an, die die Anwendung der Formel zeigen, um die Länge eines Vektors zu berechnen.

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Du möchtest wissen, wie Du den Betrag eines Vektors berechnen kannst, wie dieser definiert ist und welche Formel genutzt wird, um die Länge eines Vektors zu bestimmen? Lies weiter und sieh Dir zum Betrag eines Vektors Beispiele an, die die Anwendung der Formel zeigen, um die Länge eines Vektors zu berechnen.

Betrag eines Vektors – Definition

Der Betrag \(|\vec{a}|\) eines Vektors \(\vec{a}\) ist definiert als Skalar (reeller Zahlenwert) und entspricht der Länge des Vektors \(\vec{a}\), wobei dieser immer größer oder gleich null ist: \(|\vec{a}|\geq0\).

Über den Betrag \(|\vec{a}|\) kannst Du also die Länge eines Vektors \(\vec{a}\) angeben. Die nachfolgende Grafik zeigt Dir dabei einen Vektor \(\vec{a}\) im zweidimensionalen Koordinatensystem und dessen Betrag \(|\vec{a}|\).

Betrag eines Vektors Beispiel Vektor und Betrag StudySmarterAbb. 1 - Vektor und Betrag.

Wie kannst Du nun den Betrag eines Vektors, wie etwa in der Abbildung \(1\), berechnen?

Betrag eines Vektors berechnen

Der Betrag \(|\vec{a}|\) eines Vektors \(\vec{a}\) wird berechnet, indem jede Vektorkoordinate des Vektors quadriert, alle Ergebnisse addiert und anschließend die Wurzel gezogen wird.

Besitzen Vektoren einen Betrag von \(|\vec{a}|=1\), dann handelt es sich um sogenannte Einheitsvektoren. Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Einheitsvektor“.

Zusammengefasst ergeben sich die folgenden Formeln zur Berechnung des Betrags von zwei- und dreidimensionalen Vektoren.

Betrag eines Vektors Formel – Ebene (2D)

Der Betrag \(|\vec{a}|\) eines zweidimensionalen Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array}\right)\) wird über die Formel

\[|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\]

berechnet.

Diese Formel zur Berechnung des Betrags eines zweidimensionalen Vektors kann auf die Berechnung eines dreidimensionalen Vektors ausgeweitet werden.

Betrag eines Vektors Formel – Raum (3D)

Der Betrag \(|\vec{a}|\) eines dreidimensionalen Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z\end{array}\right)\) wird über die Formel

\[|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\]

berechnet.

Sieh Dir zur Anwendung der Formeln direkt einige Beispiele an!

Betrag eines Vektors – Beispiele

Zur Berechnung des Betrags eines Vektors werden in einem Beispiel die konkreten Zahlenwerte der Vektorkoordinaten in die Formel eingesetzt. Das Ergebnis der Berechnung entspricht der Länge des Vektors.

Betrag eines Vektors bestimmen – Beispiel Ebene

Um den Betrag eines zweidimensionalen Vektors \(\vec{a}\) in der Ebene zu bestimmen, musst Du diesen über die Formel \(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\) berechnen.

Berechne den Betrag \(|\vec{a}|\) des Vektors \(\vec{a}\).

\[\vec{a}=\left(\begin{array}{c} {\color{#1478C8}-2} \\ {\color{#00DCB4}1} \end{array}\right)\]

Lösung

Setze zur Berechnung des Betrags \(|\vec{a}|\) die Vektorkoordinaten \(a_x\) und \(a_y\) des Vektors \(\vec{a}\) in die Formel ein.

\[|\vec{a}|=\sqrt{{\color{#1478C8}a_x^2}+{\color{#00DCB4}a_y^2}}=\sqrt{{\color{#1478C8}(-2)^2}+{\color{#00DCB4}1^2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx2{,}24\]

Damit hat der Vektor \(\vec{a}\) eine Länge von \(|\vec{a}|\approx2{,}24\,LE\).

Mit der gleichen Vorgehensweise kannst Du so auch Beträge von Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem berechnen.

Länge eines Vektors berechnen – Beispiel Raum

Um die Länge eines dreidimensionalen Vektors \(\vec{a}\) im Raum zu bestimmen, musst Du diesen über die Formel \(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\) berechnen.

Berechne den Betrag \(|\vec{a}|\) des Vektors \(\vec{a}\).

\[\vec{a}=\left(\begin{array}{c} {\color{#1478C8}1} \\ {\color{#00DCB4}0} \\ {\color{#FA3273}-3}\end{array}\right)\]

Lösung

Setze zur Berechnung des Betrags \(|\vec{a}|\) die Vektorkoordinaten \(a_x\), \(a_y\) und \(a_z\) des Vektors \(\vec{a}\) in die Formel ein.

\[|\vec{a}|=\sqrt{{\color{#1478C8}a_x^2}+{\color{#00DCB4}a_y^2}+{\color{#FA3273}a_z^2}}=\sqrt{{\color{#1478C8}1^2}+{\color{#00DCB4}0^2}+{\color{#FA3273}(-3)^2}}=\sqrt{1+0+9}=\sqrt{10}\approx3{,}16\]

Damit hat der Vektor \(\vec{a}\) eine Länge von \(|\vec{a}|\approx3{,}16\,LE\).

Hast Du Lust, direkt noch ein paar Übungsaufgaben zum Betrag eines Vektors zu rechnen? Dann sieh Dir gleich die zugehörigen Karteikarten an!

Betrag eines Vektors – Das Wichtigste

  • Der Betrag \(|\vec{a}|\) eines Vektors \(\vec{a}\) ist definiert als Skalar (reeller Zahlenwert) und entspricht der Länge des Vektors \(\vec{a}\), wobei dieser immer größer oder gleich null ist: \(|\vec{a}|\geq0\).
  • Berechnet wird der Betrag \(|\vec{a}|\) eines zweidimensionalen Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array}\right)\) über die Formel:

    \[|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\]

  • Der Betrag \(|\vec{a}|\) eines dreidimensionalen Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z\end{array}\right)\) wird bestimmt über die Formel:

    \[|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\]

  • Ein Vektor mit dem Betrag \(|\vec{a}|=1\) ist ein Einheitsvektor.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Betrag eines Vektors

Der Betrag eines Vektors ist definiert als Skalar (reeller Zahlenwert) und entspricht der Länge des Vektors.

Der Betrag eines Vektors wird berechnet, indem jede Vektorkoordinate des Vektors quadriert, alle Ergebnisse addiert und anschließend die Wurzel gezogen wird. 

Ja, der Betrag eines Vektors entspricht der Länge des Vektors.

Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

Berechne die Länge des Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \\-2 \end{array}\right)\).

Entscheide, welche der Aussagen wahr ist.

Gegeben ist der Vektor \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 2t\\ t \end{array}\right)\).Berechne die Länge des Vektors in Abhängigkeit von \(t\).

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