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Zahlen

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Zahlen

Im Alltag bist Du ständig von Zahlen umgeben: die Preise beim Einkaufen, die Stockwerke im Parkhaus und die Noten in der Schule. Überall wird auf Zahlen und Ziffern zurückgegriffen.

Zahlen Alltagsbeispiel StudySmarter

Diese Erklärung bringt die Zahlen vom Alltag in den Matheunterricht und behandelt alles, was Du für die nächsten Aufgaben zu Zahlen und Ziffern wissen musst.

Zahlen und Ziffern - Erklärung und Definition

Auf eine Schule gehen genau 123 Schüler*innen. Die Schüleranzahl wurde hier mit einer Zahl ausgedrückt. Doch was genau sind Zahlen und Ziffern überhaupt?

Unterschied zwischen Zahlen und Ziffern

Es gibt einen kleinen Unterschied zwischen Zahlen und Ziffern, der Dir bewusst sein sollte.

Eine Ziffer ist ein einzelnes Symbol, das für einen bestimmten Wert steht.

Eine Zahl dagegen kann aus mehreren Ziffern bestehen.

Bei der Schüleranzahl von 123 Schüler*innen handelt es sich also um eine Zahl. Diese besteht aus den drei einzelnen Ziffern 1, 2 und 3.

Zahlen Zahl und Ziffer StudySmarterAbbildung 1: Zahl und Ziffer

Ziffern

Die Zahlen aus dem Alltag kennst Du mittlerweile und kannst auch mit ihnen umgehen.

Sie sind Teil des Dezimalsystems, welches aus genau 10 Ziffern besteht.

Das Dezimalsystem besteht aus folgenden 10 Ziffern:

Zahlen Ziffern Dezimalsystem StudySmarter

Diese Ziffern sind Symbole, die einen bestimmten Wert darstellen.

Das Symbol "3" ist eine Ziffer und stellt beispielsweise die Anzahl von drei Menschen dar.

Zahlen Ziffer Beispiel StudySmarterAbbildung 2: Ziffer Beispiel

Ein anderes Wort für Ziffer ist auch Zahlzeichen. Der Name der ausgeschriebenen Ziffer, also zum Beispiel "Drei" oder "Sieben", wird Zahlwort genannt.

Zahlen

Aus den Ziffern des Dezimalsystems kannst Du jetzt ganz einfach Zahlen bilden. Dafür kannst Du (mehrere) Ziffern einfach aneinanderreihen.

Zahlen im Dezimalsystem können aus mehreren Ziffern bestehen. Diese Ziffern haben je nach Position in der Zahl eine bestimmte Gewichtung. Damit bekommt die Zahl einen bestimmten Wert.

Zahlen Zahl Dezimalsystem StudySmarter

Dabei wird die hinterste Zahl auf der Einerstelle mit 1 gewichtet, die Zehnerstelle mit 10, die Hunderterstelle mit 100 und so weiter.

So funktionieren auch alle weiteren Zahlen des Dezimalsystems.

Die Zahl besteht aus mehreren Ziffern. Der Wert dieser Zahl ergibt sich aus deren Position innerhalb der Zahl.

Zahlenmengen - Erklärung und Beispiele

Die natürlichen Zahlen

Mit Deinen Fingern kannst Du von 0 bis 10 zählen. Darüber hinaus kannst Du auch noch weiter zählen und springst dabei immer von einer zur nächsten natürlichen Zahl.

Du kannst Dir 5 Äpfel aus einem Korb nehmen.

Nimmst Du Dir noch mehr Äpfel, dann wird die Zahl pro Apfel um eins größer.

Befindest Du Dich auf einem Apfelbaum-Feld, dann kannst Du Dir beliebig viele Äpfel nehmen und die Anzahl der Äpfel in Deinem Besitz wird beliebig groß.

Zahlen Natürliche Zahlen StudySmarter

Natürliche Zahlen sind also die, mit denen Du zählst. Sie enthalten kein Minus und kein Komma.

Die Menge der natürlichen Zahlen enthält die 1 und jeden ganzzahligen Nachfolger davon:

Zahlen Natürliche Zahlen StudySmarter

Diese Menge enthält unendlich viele Elemente, da jede Zahl einen Nachfolger hat.

ist ein Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen.

Die natürlichen Zahlen sind also wie gemacht fürs Äpfel-Zählen. Man nennt sie auch Zählzahlen.

Die ganzen Zahlen

Um auch Dinge zählen zu können, die Dir fehlen, brauchst Du negative Zahlen.

Du hast von dem Apfelbaum-Feld 10 Äpfel mitgenommen.

Nun fehlen dem Bauern des Feldes 10 Äpfel, also hat dieser 10 Äpfel Verlust gemacht.

Einen solchen Verlust kannst Du gut mit einer negativen Zahl ausdrücken:

Du kannst also ganze Objekte erhalten oder verlieren. Solche Begebenheiten kannst Du mit der Menge der ganzen Zahlen beschreiben.

Die Menge der ganzen Zahlen enthält die 0 und jeden ganzzahligen Vorgänger und Nachfolger davon:

Zahlen Ganze Zahlen StudySmarter

Falls Du "Vorgänger" und "Nachfolger" noch nicht richtig verstehst, dann lies Dir gerne den Artikel zum Zahlenstrahl durch.

Jede Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger, weshalb die Menge der ganzen Zahlen unendlich viele negative und unendlich viele positive Zahlen enthält.

Die Menge der ganzen Zahlen ist also eine Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen. Es werden bloß alle ganzzahligen negativen Zahlen hinzugefügt.

Aber was passiert, wenn Du nun einen halben Apfel isst?

Die rationalen Zahlen

Wenn Du nur einen halben Apfel isst, dann kannst Du die Menge der gegessenen Äpfel nicht mehr mit Deinen Fingern abzählen.

Die Schrittweite von Zahl zu Zahl ist bisher immer 1 gewesen.

Jetzt isst Du allerdings nur ebendiesen halben Apfel. Um nun Deiner Mama zu erklären, wie viele Äpfel Du gegessen hast, musst Du einen Bruch benutzen.

Du teilst den Apfel in zwei Teile, das steht unter dem Bruchstrich (2). Davon isst Du jetzt einen Teil, das steht oberhalb des Striches (1).

Zahlen Rationale Zahlen StudySmarter

Mit den rationalen Zahlen kannst Du also auch beschreiben, bloß einen halben Apfel gegessen zu haben. Dies lässt sich immer mit Brüchen beschreiben.

Die Menge der rationalen Zahlen lässt sich wie folgt beschreiben:

Zahlen Rationale Zahlen StudySmarter

In der Menge sind also alle Zahlen enthalten, die sich durch einen Bruch aus ganzzahligen Werten ausdrücken lassen.

Die Menge der rationalen Zahlen enthält die Elemente der Menge der ganzen Zahlen und weitere Zahlen, die sich als Bruch formulieren lassen.

Auch die ganzen Zahlen lassen sich als Brüche schreiben:

Nun gibt es aber noch Zahlen, die sich nicht als Bruch schreiben lassen.

Diese Zahlen nennt man irrationale Zahlen.

Die reellen Zahlen

Die Kreiszahl oder sind zum Beispiel nicht durch Brüche darstellbar und haben unendlich viele nicht periodische Nachkommastellen. Daher werden sie irrational genannt.

Möchtest Du jetzt das Volumen von einem Deiner Äpfel ausrechnen, benötigst Du die Kreiszahl (pi). Dies ist eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Du nutzt also reelle Zahlen, somit ist auch das Volumen des Apfels eine reelle Zahl.

r ist dabei der Radius des Apfels.

Zahlen Reelle Zahlen StudySmarter

Zu den reellen Zahlen lässt sich also festhalten:

Die Menge der reellen Zahlen ist die Menge der rationalen Zahlen, vereinigt mit allen irrationalen Zahlen.

Zahlen Reelle Zahlen StudySmarter

Nun kennst Du die für Dich relevantesten Zahlenmengen.

Zahlenarten - Symbole und Beispiele

Die Zahlenmengen kann man synonym auch als Zahlenarten bezeichnen.

Diese Zahlenarten haben jeweils ein eigenes Symbol, das die Menge angibt. Diese Symbole sind in der Tabelle einmal aufgelistet.

Symbol
Zahlenart
Beispiele

Die jeweils kleinere Zahlenmenge ist dabei immer in der nächstgrößeren Menge enthalten. Das sieht man auch in diesem Übersichtsbild.

Zahlen Zahlenmengen Übersicht StudySmarterAbbildung 3: Zahlenmengen Übersicht

Zahlen und Ziffern - Das Wichtigste

  • Eine Ziffer ist ein einzelnes Symbol, das für einen bestimmten Wert steht.
  • Eine Zahl dagegen kann aus mehreren Ziffern bestehen.
  • Es gibt die Zahlenmengen/Zahlenarten der natürlichen Zahlen , der ganzen Zahlen , der rationalen Zahlen und der reellen Zahlen .

Nachweise

  1. Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien (2017). Klett Verlag.
  2. Günther Rolles (2014). Mathematik 5. bis 10. Klasse. Bibliographisches Institut.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zahlen

Es gibt natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen. Diese beschreiben Mengen, die jeweils Zahlen mit gewissen Eigenschaften enthalten.

Eine Ziffer beschreibt eine Stelle einer Zahl, während eine Nummer eine gesamte Zahl ausdrückt.

Im dekadischen Stellenwertsystem sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 Ziffern.

Ein Zahlwort ist der ausgeschriebene Name einer Ziffer, zum Beispiel "Drei" und "Sieben".

Finales Zahlen Quiz

Frage

Was sind die Ziffern des Binärsystems?

Antwort anzeigen

Antwort

0 und 1

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Ziffern des Dezimalsystems?

Antwort anzeigen

Antwort

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Ziffern des Hexadezimalsystems?

Antwort anzeigen

Antwort

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f

Frage anzeigen

Frage

Aus welchen Ziffern besteht die Zahl: 123?

Antwort anzeigen

Antwort

aus 1, 2 und 3

Frage anzeigen

Frage

Sind die natürlichen Zahlen in den ganzen Zahlen enthalten?

Antwort anzeigen

Antwort

ja

Frage anzeigen

Frage

Sind die ganzen Zahlen in den rationalen Zahlen enthalten?

Antwort anzeigen

Antwort

ja

Frage anzeigen

Frage

Sind die ganzen Zahlen in den natürlichen Zahlen enthalten?

Antwort anzeigen

Antwort

nein

Frage anzeigen

Frage

Sind die reellen Zahlen in den rationalen Zahlen enthalten?

Antwort anzeigen

Antwort

nein

Frage anzeigen

Frage

Sind die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen enthalten?

Antwort anzeigen

Antwort

ja

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen den rationalen und den reellen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

die reellen Zahlen enthalten zusätzlich die irrationalen Zahlen

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen den natürlichen Zahlen und den ganzen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die ganzen Zahlen enthalten zusätzlich die negativen Zahlen

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen den ganzen Zahlen und den rationalen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die rationalen Zahlen enthalten zusätzlich alle rationalen Brüche

Frage anzeigen

Frage

Inwiefern ähneln sich Sprache und Zahlensysteme?

Antwort anzeigen

Antwort

Ziffern sind wie Buchstaben und Zahlen sind wie Wörter

Frage anzeigen
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