Im Alltag bist Du ständig von Zahlen umgeben: die Preise beim Einkaufen, die Stockwerke im Parkhaus und die Noten in der Schule. Überall wird auf Zahlen und Ziffern zurückgegriffen. Diese Erklärung bringt die Zahlen vom Alltag in den Matheunterricht und behandelt alles, was Du für die nächsten Aufgaben zu Zahlen und Ziffern wissen musst.
Zahlen und Ziffern – Erklärung und Definition
Auf eine Schule gehen genau 123 Schüler*innen. Die Schüleranzahl wurde hier mit einer Zahl ausgedrückt. Doch was genau sind Zahlen und Ziffern überhaupt?
Unterschied zwischen Zahlen und Ziffern
Es gibt einen kleinen Unterschied zwischen Zahlen und Ziffern, der Dir bewusst sein sollte.
Eine Ziffer ist ein einzelnes Symbol, das für einen bestimmten Wert steht.
Eine Zahl dagegen kann aus mehreren Ziffern bestehen.
Bei der Schüleranzahl von 123 Schüler*innen handelt es sich also um eine Zahl. Diese besteht aus den drei einzelnen Ziffern 1, 2 und 3.
Abbildung 1: Zahl und Ziffer
Ziffern
Die Zahlen aus dem Alltag kennst Du mittlerweile und kannst auch mit ihnen umgehen.
Sie sind Teil des Dezimalsystems, welches aus genau 10 Ziffern besteht.
Das Dezimalsystem besteht aus folgenden 10 Ziffern:
Diese Ziffern sind Symbole, die einen bestimmten Wert darstellen.
Das Symbol "3" ist eine Ziffer und stellt beispielsweise die Anzahl von drei Menschen dar.
Abbildung 2: Ziffer Beispiel
Ein anderes Wort für Ziffer ist auch Zahlzeichen. Der Name der ausgeschriebenen Ziffer, also zum Beispiel "Drei" oder "Sieben", wird Zahlwort genannt.
Zahlen
Aus den Ziffern des Dezimalsystems kannst Du jetzt ganz einfach Zahlen bilden. Dafür kannst Du (mehrere) Ziffern einfach aneinanderreihen.
Zahlen im Dezimalsystem können aus mehreren Ziffern bestehen. Diese Ziffern haben je nach Position in der Zahl eine bestimmte Gewichtung. Damit bekommt die Zahl einen bestimmten Wert.
Dabei wird die hinterste Zahl auf der Einerstelle mit 1 gewichtet, die Zehnerstelle mit 10, die Hunderterstelle mit 100 und so weiter.
So funktionieren auch alle weiteren Zahlen des Dezimalsystems.
Die Zahl besteht aus mehreren Ziffern. Der Wert dieser Zahl ergibt sich aus deren Position innerhalb der Zahl.
Zahlenmengen – Erklärung und Beispiele
Die natürlichen Zahlen
Mit Deinen Fingern kannst Du von 0 bis 10 zählen. Darüber hinaus kannst Du auch noch weiter zählen und springst dabei immer von einer zur nächsten natürlichen Zahl.
Du kannst Dir 5 Äpfel aus einem Korb nehmen.
Nimmst Du Dir noch mehr Äpfel, dann wird die Zahl pro Apfel um eins größer.
Befindest Du Dich auf einem Apfelbaum-Feld, dann kannst Du Dir beliebig viele Äpfel nehmen und die Anzahl der Äpfel in Deinem Besitz wird beliebig groß.
Natürliche Zahlen sind also die, mit denen Du zählst. Sie enthalten kein Minus und kein Komma.
Die Menge der natürlichen Zahlen enthält die 1 und jeden ganzzahligen Nachfolger davon:
Diese Menge enthält unendlich viele Elemente, da jede Zahl einen Nachfolger hat.
ist ein Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen.
Die natürlichen Zahlen sind also wie gemacht fürs Äpfel-Zählen. Man nennt sie auch Zählzahlen.
Die ganzen Zahlen
Um auch Dinge zählen zu können, die Dir fehlen, brauchst Du negative Zahlen.
Du hast von dem Apfelbaum-Feld 10 Äpfel mitgenommen.
Nun fehlen dem Bauern des Feldes 10 Äpfel, also hat dieser 10 Äpfel Verlust gemacht.
Einen solchen Verlust kannst Du gut mit einer negativen Zahl ausdrücken:
Du kannst also ganze Objekte erhalten oder verlieren. Solche Begebenheiten kannst Du mit der Menge der ganzen Zahlen beschreiben.
Die Menge der ganzen Zahlen enthält die 0 und jeden ganzzahligen Vorgänger und Nachfolger davon:
Falls Du "Vorgänger" und "Nachfolger" noch nicht richtig verstehst, dann lies Dir gerne den Artikel zum Zahlenstrahl durch.
Jede Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger, weshalb die Menge der ganzen Zahlen unendlich viele negative und unendlich viele positive Zahlen enthält.
Die Menge der ganzen Zahlen ist also eine Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen. Es werden bloß alle ganzzahligen negativen Zahlen hinzugefügt.
Aber was passiert, wenn Du nun einen halben Apfel isst?
Die rationalen Zahlen
Wenn Du nur einen halben Apfel isst, dann kannst Du die Menge der gegessenen Äpfel nicht mehr mit Deinen Fingern abzählen.
Die Schrittweite von Zahl zu Zahl ist bisher immer 1 gewesen.
Jetzt isst Du allerdings nur ebendiesen halben Apfel. Um nun Deiner Mama zu erklären, wie viele Äpfel Du gegessen hast, musst Du einen Bruch benutzen.
Du teilst den Apfel in zwei Teile, das steht unter dem Bruchstrich (2). Davon isst Du jetzt einen Teil, das steht oberhalb des Striches (1).
Mit den rationalen Zahlen kannst Du also auch beschreiben, bloß einen halben Apfel gegessen zu haben. Dies lässt sich immer mit Brüchen beschreiben.
Die Menge der rationalen Zahlen lässt sich wie folgt beschreiben:
In der Menge sind also alle Zahlen enthalten, die sich durch einen Bruch aus ganzzahligen Werten ausdrücken lassen.
Die Menge der rationalen Zahlen enthält die Elemente der Menge der ganzen Zahlen und weitere Zahlen, die sich als Bruch formulieren lassen.
Auch die ganzen Zahlen lassen sich als Brüche schreiben:
Nun gibt es aber noch Zahlen, die sich nicht als Bruch schreiben lassen.
Diese Zahlen nennt man irrationale Zahlen.
Die reellen Zahlen
Die Kreiszahl oder sind zum Beispiel nicht durch Brüche darstellbar und haben unendlich viele nicht periodische Nachkommastellen. Daher werden sie irrational genannt.
Möchtest Du jetzt das Volumen von einem Deiner Äpfel ausrechnen, benötigst Du die Kreiszahl (pi). Dies ist eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Du nutzt also reelle Zahlen, somit ist auch das Volumen des Apfels eine reelle Zahl.
r ist dabei der Radius des Apfels.
Zu den reellen Zahlen lässt sich also festhalten:
Die Menge der reellen Zahlen ist die Menge der rationalen Zahlen, vereinigt mit allen irrationalen Zahlen.
Nun kennst Du die für Dich relevantesten Zahlenmengen.
Zahlenarten – Symbole und Beispiele
Die Zahlenmengen kann man synonym auch als Zahlenarten bezeichnen.
Diese Zahlenarten haben jeweils ein eigenes Symbol, das die Menge angibt. Diese Symbole sind in der Tabelle einmal aufgelistet.
Symbol | Zahlenart | Beispiele |
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| | |
Die jeweils kleinere Zahlenmenge ist dabei immer in der nächstgrößeren Menge enthalten. Das sieht man auch in diesem Übersichtsbild.
Abbildung 3: Zahlenmengen Übersicht
Zahlen – Das Wichtigste
- Eine Ziffer ist ein einzelnes Symbol, das für einen bestimmten Wert steht.
- Eine Zahl dagegen kann aus mehreren Ziffern bestehen.
- Es gibt die Zahlenmengen/Zahlenarten der natürlichen Zahlen , der ganzen Zahlen , der rationalen Zahlen und der reellen Zahlen .
Nachweise
- Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien (2017). Klett Verlag.
- Günther Rolles (2014). Mathematik 5. bis 10. Klasse. Bibliographisches Institut.
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