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Abstandsberechnung

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Abstandsberechnung

Stell Dir vor, Du läufst zu einem Freund. Dann gehst Du wahrscheinlich, den kürzest möglichen Weg. Wenn Du nun wissen möchtest, wie viel Du gelaufen bist, misst Du den Weg. In der Mathematik kannst Du diesen Weg auch berechnen. Wie Du das machst, wird Dir in dieser Erklärung grob erklärt. Wenn Du mehr dazu wissen möchtest, schau bei den einzelnen Untererklärungen vorbei.

Abstandsberechnung – Grundlagenwissen

Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es neben dem Punkt und der Geraden auch die Ebene. Der Punkt und die Gerade existieren ebenfalls im zweidimensionalen Koordinatensystem.

Ein Punkt P ist ein geometrisches Objekt, ohne Ausdehnung. Dabei repräsentiert ein Punkt eine Position in einem Koordinatensystem.

Ein Punkt wird dargestellt durch Koordinaten.

\[P(x|y|z)\]

Mehrere Punkte können zusammen eine Gerade bilden.

Eine Gerade g ist eine Linie, welche weder Anfangspunkt noch Endpunkt besitzt.

Sie wird definiert durch zwei Punkte, durch die sie verläuft, oder einen Punkt P und einen Vektor \(\vec{v}\).

Die Geradengleichung lautet:

\[g:\vec{x}=\vec{p}+\lambda\cdot\vec{u}\]

Der Vektor \(\vec{p}\) ist der Stützvektor der Geraden. Der Richtungsvektor wird als Vektor \(\vec{u}\) bezeichnet.

Unbegrenzte, gerade Flächen werden als Ebenen bezeichnet und können mathematisch auf mehrere Weisen definiert werden.

Ebenen E werden durch drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, definiert.

Alternativ kann eine Ebene durch zwei nicht parallele Vektoren und einen Punkt dargestellt werden.

Des Weiteren lässt sich eine Ebene durch zwei parallele Geraden oder zwei sich schneidende Geraden veranschaulichen.

In der Abbildung siehst Du, wie eine Ebene mittels Vektoren definiert wird.

Abstandsberechnung Ebene Definition StudySmarterAbbildung 1: Ebene Definition

Du kannst Ebenen auch mithilfe unterschiedlicher Gleichungen darstellen. Alle Vektoren in den Ebenengleichungen findest Du auch in der Abbildung wieder.

Koordinatenform
\[E:\vec{x}={\color{#00dcb4}\overrightarrow {OA}}+s\cdot {\color{#8363e2} \vec{u}}+t\cdot {\color{#fa3273}\vec{v}}\]\[E:[\vec{x}-{\color{#00dcb4}\vec{p}}]\cdot{\color{#ffcd00}\vec{n}}=0,\, \vec{n}=\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}\]\[E:ax+by+cz=d\]
Die Parametergleichung (oder Vektorgleichung) besteht aus den beiden Spannvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\), den dazugehörigen Variablen s und t und dem Stützvektor \(\overrightarrow {OA}\) oder \(\vec{p}\). Die beiden Spannvektoren dürfen hier nicht parallel sein.Der Stützvektor \(\vec{p}\) und der Normalenvektor \(\vec{n}\) definieren die Normalenform. Der Normalenvektor steht auf allen Strecken der Ebene senkrecht.Die Koordinatenform bildet sich aus der ausmultiplizierten Normalenform.

Wenn Du wissen möchtest, wie Du die Ebenengleichungen genau umformst, schau einmal in der Erklärung „Ebenengleichung umformen“ vorbei.

Abstandsberechnung bei Objekten

Bei der Abstandsberechnung ist immer der minimale Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten gefragt. Ob Du den Abstand zwischen zwei Objekten berechnen musst, ist abhängig von ihrer Lagebeziehung zueinander. Bei sich schneidenden oder identischen Objekten ist der Abstand gleich null.

Wie Du die Lagebeziehung zwischen zwei Objekten ermittelst, erfährst Du in der Erklärung „Gegenseitige Lage von Punkten, Geraden und Ebenen“.

Abstand zweier Punkte

Wenn zwei Punkte nicht identisch sind, kannst Du ihren Abstand berechnen.

Liegen zwei Punkte \(P_1(x_1|y_1|z_1)\) und \(P_2(x_2|y_2|z_2)\) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, ist die Formel zur Berechnung des Abstands zwischen den zwei Punkten:

\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]

Dabei berechnest Du den Verbindungsvektor zwischen den beiden Punkten und anschließend den Betrag des Verbindungsvektors.

Mehr zu der Abstandsberechnung zwischen zwei Punkten erfährst Du in der Erklärung „Abstand zweier Punkte“.

Aufgabe 1

Du läufst auf direktem Weg zu dem Haus eines Freundes. Anschließend möchtest Du wissen, wie viel Du gelaufen bist. Wenn Du diesen Sachverhalt nun in einem dreidimensionalen Koordinatensystem nachvollziehst, erhält das Haus deines Freundes die Koordinaten \(P_1(4|2|-3)\). Dein Haus hat die Koordinaten \(P_2(-1|6|2)\). Berechne den Abstand zwischen den Häusern.

Lösung

Du setzt die Punkte in die Formel ein und berechnest den Abstand.

\begin{align}d&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \\d&=\sqrt{(-1-4)^2+(6-2)^2+(2-(-3))^2} \\d&=\sqrt{(-5)^2+4^2+5^2} \\d&=\sqrt {25+16+25} \\d&=\sqrt{66}\,[LE]\approx 8,124\,[LE]\end{align}

Der Abstand zwischen den Häusern beträgt rund 8,124 [LE].

Abstand Punkt Gerade

Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden kannst Du auf mehrere Weisen bestimmen. Neben zwei Verfahren des Lotfußpunktes kannst Du den Abstand mittels einer Differentialgleichung berechnen oder mithilfe der Formel der Abstandsregel.

Wie Du mithilfe dieser Verfahren den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Abstand Punkt Gerade“.

Die Formel der Abstandsregel lautet:

\[d=\frac{|(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}|}{|\vec{b}|}\]

Dabei ist \(\vec{p}\) der Ortsvektor des Punktes P und \(\vec {a}\) der Stützvektor der Gerade g, sowie \(\vec{b}\) der Richtungsvektor der Geraden g.

Hierbei berechnest Du lediglich den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g. Bei den anderen Methoden berechnest Du zusätzlich den Punkt S auf der Geraden g der den minimalen Abstand zum Punkt P besitzt.

Aufgabe 2

Berechne den Abstand der Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\) zum Punkt \(P(-2|4|2)\).

Lösung

Zuerst setzt Du alle Dir gegeben Werte in die Formel ein. Beachte, dass Du Vektoren an der richtigen Stelle einsetzt.

\begin {align}d&=\frac{|(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}|}{|\vec{b}|} \\ \\d&=\frac{\left|\left(\left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ 4\end{array}\right)\right) \times\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|} \\ \\d&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|}\end{align}

Jetzt musst Du das Kreuzprodukt berechnen.

\begin{align}(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}&= \left(\begin{array}{c}6⋅(-5)&-&(-2)⋅(-3)\\ -2⋅2&-&3⋅(-5) \\ 3⋅(-3)&-&6⋅2\end{array}\right) \\(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}&= \left(\begin{array}{c} -36 \\ 11 \\ -21\end{array}\right)\end{align}

Nun setzt Du das Kreuzprodukt ein und berechnest den Abstand.\begin{align}d&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c} -36 \\ 11 \\ -21\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|} \\ \\d&= \frac{\sqrt{(-36)^2+11^2+(-21)^2}}{\sqrt {2^2+(-3)^2+(-5)^2}} \\d&=\frac{\sqrt {1296+121+441}}{\sqrt{4+9+25}}\\d&=\frac{\sqrt{1858}}{\sqrt{38}}\,[LE]\approx6,992 \,[LE]\end{align}

Der Abstand des Punktes P zur Geraden g beträgt rund 6,992 [LE]

Abstand Punkt Ebene

Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene kannst Du über das Lotfußpunktverfahren oder die hessesche Normalform berechnen.

Wie Du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene genauer berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Abstand Punkt Ebene“.

Die hessesche Normalform lautet:

\[d=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

Wobei es sich bei \(Ax+By+Cz+D\) um die Ebenengleichung in Koordinatenform handelt. Anschließend setzt Du den Punkt P in die Gleichung ein.

Wenn Du mit der hesseschen Normalform rechnest, stellst Du am besten zu Beginn die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.

In der Erklärung „hessesche Normalform“ findest Du mehr zur hesseschen Normalform.

Aufgabe 3

Berechne den Abstand des Punktes \(P(4|-3|5)\) zur Ebene \(E:-3x-2y+5z=1\).

Lösung

Zunächst schreibst Du die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.

\begin{align}0&=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\0&=\frac{|-3x-2y+5z-1|}{\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+5^2}} \\0&=\frac{|-3x-2y+5z-1|}{\sqrt{38}}\end {align}

Danach setzt Du den Punkt P ein und berechnest den Abstand.\begin{align}d&=\frac{|-3\cdot4-2\cdot(-3)+5\cdot5-1|}{\sqrt{38}} \\d&=\frac{|-12+6+25-1|}{\sqrt{38}} \\d&=\frac{18}{\sqrt{38}}\,[LE]\approx 2,92 \, [LE]\end{align}

Der Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebenen E beträgt rund 2,92 [LE]

Abstand Gerade Gerade

Den Abstand von Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst Du nicht nur berechnen, wenn sie parallel sind, sondern, auch wenn sie windschief sind.

Die Formel zur Berechnung des Abstands paralleler Geraden lautet:

\[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\]

Dabei sind die Vektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) die Stützvektoren und die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) der Geraden.

Die Formel zur Berechnung des Abstands windschiefer Geraden lautet:

\[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\]

Dabei sind die Vektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) die Stützvektoren der Geraden und der Vektor \(\vec{n}\) das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\).

Auch hier gibt es noch weitere Methoden, um den Abstand zu berechnen, welche erfährst Du in der Erklärung „Abstand Geraden“.

Bevor Du beginnst den Abstand zu berechnen, solltest Du überprüfen, ob die Geraden parallel oder windschief sind. Du überprüfst, ob die Richtungsvektoren der Geraden Vielfache voneinander sind. Wenn sie Vielfache voneinander sind, sind die Geraden parallel.

Aufgabe 4

Berechne den Abstand der windschiefen Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ -3\end{array}\right)\) und \(h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 1\end{array}\right)\).

Lösung

Zu Beginn berechnest Du das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Geraden g und h.

\begin{align}\vec{n}&= \left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ -3\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 1\end{array}\right) \\\\\vec {n}&=\left(\begin{array}{c} 2\cdot1&-&(-3)\cdot6 \\ -3\cdot4&-&(-5)\cdot1 \\ -5\cdot6 &-&2\cdot4 \end{array}\right) \\\\\vec{n}&=\left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\end{align}

Danach setzt Du alle Werte in die Formel ein und berechnest den Abstand.

\begin{align}d&=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \\\\d&=\frac{\left|\left( \left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 1\end{array}\right)\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\right|} \\\\d&=\frac{\left| \left(\begin{array}{c} -9 \\ -4 \\ -4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\right|}{\sqrt {20^2+(-7)^2+(-38)^2}} \\ \\d&=\frac{\left| \left(\begin{array}{c} -180 \\ 28 \\ 152\end{array}\right)\right|}{\sqrt {400+49+1444}} \\\\d&=\frac{\sqrt{180^2+28^2+152^2}}{\sqrt{1893}} \\d&=\frac{\sqrt{56288}}{\sqrt{1893}}\,[LE]\approx5,453\,[LE]\end{align}

Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt rund 5,453 [LE].

Abstand Ebene Ebene

Um den Abstand von parallelen Ebenen zu bestimmen, kannst Du die hessesche Normalform oder das Lotfußpunktverfahren nutzen.

Den Abstand von parallelen Ebenen mittels des Lotfußpunktverfahrens kannst Du mit den folgenden Schritten berechnen:

  1. Wähle einen beliebigen Punkt P aus der Ebene E1 aus.
  2. Stelle nun die Lotgerade durch den Punkt P auf. Die Lotgerade steht senkrecht auf der Ebene E2.
  3. Berechne den Schnittpunkt S (Lotfußpunkt) der Ebene E2 mit der Lotgerade.
  4. Jetzt berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S.

Damit Ebenen parallel sind, müssen ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sein. Bevor Du also mit der Abstandsberechnung beginnst, überprüfe, ob es sich um parallele Ebenen handelt.

Weitere Erklärungen dazu findest Du in der Erklärung „Abstand paralleler Ebenen“.

Aufgabe 5

Berechne den Abstand der parallelen Ebenen \(E_1:\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)\right]\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)\) und \(E_2:-4x-2y+2z=8\).

Lösung

Wähle zunächst einen beliebigen Punkt P aus der Ebene E1. Der Stützvektor der Ebene eignet sich dafür.

\[P(3|1|-4)\]

Anschließend stellst Du durch den Punkt P die Lotgerade l auf. Der Richtungsvektor der Lotgerade l ist der Normalenvektor der Ebene E2.

\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right)\]

Nun setzt Du die Lotgerade l in die Ebene E2 ein, um den Schnittpunkt S der Ebene mit der Lotgerade zu ermitteln.

\begin{align}-4x-2y+2z&=8 \\-4\cdot (3-4\lambda)-2\cdot(1-2\lambda)+2\cdot(-4+2\lambda)&=8 \\-12+16\lambda -2+4\lambda -8+4\lambda&=8 \\-22+24\lambda&=8&|&+22\\ 24\lambda&=30 &|&:24 \\\lambda&=1,25\end{align}

Jetzt setzt Du das eben errechnete \(\lambda\) in die Lotgerade l ein und berechnest den Punkt S.

\begin{align}l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+ 1,25 \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2\\ -1,5 \\ -1,5\end{array}\right) \rightarrow S(-2|-1,5|-1,5)\end{align}

Zum Schluss berechnest Du den Abstand der Punkte P und S.

\begin{align}d&=\sqrt{(x_S-x_P)^2+(y_S-y_P)^2+(z_S-z_P)^2} \\d&=\sqrt{(-2-3)^2+(-1,5-1)^2+(-1,5-(-4))^2} \\d&=\sqrt{(-5)^2+(-2,5)^2+2,5^2} \\d&= \sqrt {25+6,25+6,25} \\d&=\sqrt{37,5} \\d&=\frac{5\sqrt{6}}{2}\,[LE]\approx6,124\,[LE]\end{align}

Der Abstand der beiden Ebenen beträgt rund 6,124 [LE].

Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene

Den Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene kannst Du mithilfe der hesseschen Normalform oder des Lotfußpunktverfahrens ermitteln.

Mehr über die Abstandsberechnung einer Geraden zu einer parallelen Ebene erfährst Du in der Erklärung „Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene“.

Um den Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene mit der hesseschen Normalform zu berechnen, gehst Du folgendermaßen vor:

  1. Du bestimmst einen beliebigen Punkt P der Geraden g.
  2. Schreibe die Ebene E in die Hessesche Normalform \(\frac{Ax+By+Cz+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0\) um.
  3. Setze den Punkt P in die Hessesche Normalform der Ebene E ein.
  4. Zum Schluss rechnest Du die Formel aus und erhältst den Abstand der Geraden g zu der parallelen Ebene E.

Mithilfe der hesseschen Normalform berechnest Du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene. Also kannst Du sie immer dann anwenden, wenn Du den Abstand einer Ebene zu einem anderen geometrischen Objekten berechnen möchtest.

Abstandsberechnung hessesche Normalform StudySmarterAbbildung 2: hessesche Normalform

Aufgabe 6

Berechne den Abstand der Ebenen \(E:-5y+z=5\) zur parallelen Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\).

Lösung

Wähle zunächst einen Punkt P aus der Geraden g. Du kannst den Stützvektor der Geradengleichung als Punkt P nutzen.

\[P(3|1|4)\]

Jetzt stelle die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.\begin{align}\frac{Ax+By+Cz+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0 \\\frac{-5y+z-5}{\sqrt{(-5)^2+1^2}}=0 \\\frac{-5y+z-5}{\sqrt{26}}=0\end{align}

Anschließend setzt Du den Punkt P ein und berechnest den Abstand.

\begin{align}d&= \frac{|-5y+z-5|}{\sqrt{26}} \\d&= \frac{|-5\cdot1+4-5|}{\sqrt{26}} \\d&=\frac{|-6|}{\sqrt{26}} \\d&=\frac{6}{\sqrt{26}}\,[LE]\approx1,177\,[LE]\end{align}

Der Abstand zwischen der Geraden g und der Ebenen E beträgt rund 1,177 [LE].

Lotfußpunktverfahren

Mithilfe des Lotfußpunktverfahrens kannst Du den Abstand zwischen den verschiedenen geometrischen Objekten berechnen.

Wie Du dieses Verfahren genau anwendest, erfährst Du in den einzelnen Erklärungen der Abstandsbestimmung oder in der Erklärung „Lotfußpunktverfahren“.

Das Lotfußpunktverfahren beruht auf dem Prinzip des Lotes.

Ein Lot ist eine Gerade l, die durch einen Punkt P senkrecht zu einer Ebene E oder einer Geraden g verläuft. Die Gerade l steht im rechten Winkel auf der Ebene E oder der Geraden g.

Der Schnittpunkt S der Ebenen E oder der Geraden g mit der Lotgerade heißt Lotfußpunkt F.

Abstandsberechnung Lotgerade StudySmarterAbbildung 3: Lotgerade

Das Lotfußpunktverfahren wird auf die verschiedenen Abstandsberechnungen angepasst.

Beim Lotfußpunktverfahren berechnest Du zum Schluss immer den Abstand zwischen zwei Punkten. Wie Du den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest, ist eine Grundlage für das Lotfußpunktverfahren.

Wenn Du nun mit dem Lotfußpunktverfahren den Abstand zwischen einer Geraden und einer parallelen Ebene berechnen möchtest, nutzt Du folgende Schrittfolge:

  1. Wähle einen beliebigen Punkt P aus der Gerade g.
  2. Stelle die Lotgerade l auf. Der Ortsvektor des Punktes P ist der Stützvektor und der Normalenvektor der Ebene E der Richtungsvektor der Lotgeraden.
  3. Berechnen den Lotfußpunkt. Also den Schnittpunkt S der Ebenen mit der Lotgeraden.
  4. Ermittle den Abstand des Lotfußpunktes zum Punkt P.

Aufgabe 7

Berechne mithilfe des Lotfußpunktverfahrens den Abstand zwischen der Ebene \(E:3x+y-4z=2\) und der parallelen Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ -4 \\ 2\end{array}\right)\).

Lösung

Als Erstes wählst Du einen Punkt aus der Geraden g. Du kannst den Stützvektor der Geradengleichung verwenden.

\[P(2|-6|4)\]

Als Nächstes stellst Du die Lotgerade durch den Punkt P auf. Der Richtungsvektor ist der Normalenvektor der Ebene.

\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)\]

Jetzt setzt Du die Lotgerade l in die Ebenengleichung ein um den Schnittpunkt der Lotgeraden l mit der Ebene E zu erhalten. Zuerst berechnest Du \(\lambda\).

\begin{align}3x+y-4z&=2 \\3\cdot(2+3\lambda)-6+\lambda-4\cdot(4-4\lambda)&=2 \\6+9\lambda-6+\lambda-16+16\lambda&=2 \\-16+26\lambda&=2 &|&+16 \\26\lambda&=18 &|&:26 \\\lambda&=\frac{9}{13}\end{align}

Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Lotgerade ein und berechnest den Punkt S.

\begin{align}l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \frac{9}{13} \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} \frac{53}{13} \\ -\frac{69}{13} \\ \frac{16}{13} \end{array}\right) \rightarrow S\left(\begin{array}{c} \frac{53}{13} | -\frac{69}{13} | \frac{16}{13} \end{array}\right)\end{align}

Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den beiden Punkten P und S.

\begin{align}d&=\sqrt{(x_S-x_P)^2+(y_S-y_P)^2+(z_S-z_P)^2} \\d&=\sqrt{\left(\frac{53}{13}-2\right)^2+\left(-\frac{69}{13}+6\right)^2+\left(\frac{16}{13}-4\right)^2} \\d&=\sqrt{\left(\frac{27}{13}\right)^2+\left(\frac{9}{13}\right)^2+\left(-\frac{36}{13}\right)^2} \\ d&=\sqrt{\frac{729}{169}+\frac{81}{169}+\frac{1296}{169}}= \sqrt{\frac{162}{13}}\\d&=\frac{9\sqrt{26}}{13}\,[LE]\approx3,53\,[LE]\end{align}

Der Abstand zwischen der Ebene und der Geraden beträgt rund 3,53 [LE].

Abstandsbestimmungen – Das Wichtigste

  • Bei der Abstandsberechnung ist immer der minimale Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten gefragt.
  • Bei sich schneidenden oder identischen Objekten ist der Abstand gleich null.
  • Liegen zwei Punkte \(P_1(x_1|y_1|z_1)\) und \(P_2(x_2|y_2|z_2)\) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, ist die Formel zur Berechnung des Abstands zwischen den zwei Punkten:

    \[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]

  • Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene kannst Du über das Lotfußpunktverfahren oder die hessesche Normalform berechnen.

  • Die Formel zur Berechnung des Abstands paralleler Geraden lautet:

    \[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\]

    Dabei sind die Vektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) die Stützvektoren und die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) der Geraden. Du kannst den Abstand auch über das Lotfußpunktverfahren berechnen.

  • Die Formel zur Berechnung des Abstands windschiefer Geradenlautet:

    \[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\]

    Dabei sind die Vektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) die Stützvektoren der Geraden und der Vektor \(\vec{n}\) das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\). Du kannst den Abstand auch über das Lotfußpunktverfahren berechnen.

  • Um den Abstand von parallelen Ebenen zu bestimmen, kannst Du die hessesche Normalform oder das Lotfußpunktverfahren nutzen.

  • Den Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene kannst Du mithilfe der hesseschen Normalform oder des Lotfußpunktverfahrens ermitteln.

  • Das Lotfußpunktverfahren beruht auf dem Prinzip des Lotes.

    Ein Lot ist eine Gerade l, die durch einen Punkt P senkrecht zu einer Ebene E oder einer Geraden g verläuft. Die Gerade l steht im rechten Winkel auf der Ebene E oder der Geraden g. Der Schnittpunkt S der Ebenen E oder der Geraden g mit der Lotgerade heißt Lotfußpunkt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Abstandsberechnung

Unter dem Abstand eines Punktes zu einer Ebene versteht man den minimalen Abstand. Der minimale Abstand ist immer der Abstand, der auf der Ebene senkrecht steht und durch den Punkt P verläuft.

Der Punkt P kann den Abstand null zur Geraden haben, wenn der Punkt P auf der Geraden g liegt. Wenn der Punkt P nicht auf der Geraden liegt, kannst Du den minimalen Abstand (als senkrecht auf der Geraden) berechnen.

Ein Punkt kann innerhalb der Ebene oder außerhalb der Ebene liegen. Um herauszufinden, ob ein Punkt in der Ebene liegt, wendest Du die Punktprobe an. Wenn der Punkt nicht in der Ebene liegt, kannst Du den Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene berechnen.

Finales Abstandsberechnung Quiz

Frage

Welche Verbindung zwischen einem Punkt und einer Gerade ist die kürzeste?

Antwort anzeigen

Antwort

Die kürzeste Verbindung zwischen Punkt und Gerade steht immer senkrecht zur Geraden.

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Rechenarten brauchst du für die Abstandsformel?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Kreuzprodukt

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du am leichtesten einen Punkt auf einer Geraden bestimmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Punkt auf einer Geraden, den du ohne Rechnung bestimmen kannst ist der Stützpunkt. Ihn kannst du einfach aus der Geradengleichung ablesen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Lotfußpunkt?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Lotfußpunkt ist der Punkt auf der Geraden, der dem äußeren Punkt am nächsten ist. Er kann mit dem äußeren Punkt durch einen Vektor verbunden werden, der senkrecht zur Geraden steht.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften muss die Hilfsebene haben, mit der du den Lotfußpunkt bestimmen kannst?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Hilfsebene muss den äußeren Punkt P enthalten und senkrecht zur Geraden stehen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein laufender Punkt?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit einem laufenden Punkt bezeichnen wir einen Punkt, dessen Koordinaten eine Variable beinhalten. Dadurch beschreibt der Punkt eine Reihe von Punkten und "läuft" entlang der Geraden, die diese Punkte bilden. Ein laufender Punkt kann nicht anders dargestellt werden, als eine Gerade und ist ein rein mathematisches Konstrukt.

Frage anzeigen

Frage

Wie weit ist der Ursprung von der Geraden entfernt, die die Punkte P ( 1 / 1 / 1 ) und Q ( 2 / 2 / 2 ) verbindet?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Abstand des Ursprungs zu dieser Gerade beträgt 0 LE, da er sich auf dieser befindet.

Frage anzeigen

Frage

Welche Informationen benötigst du zum Anwenden der Abstandsformel?

Antwort anzeigen

Antwort

In die Abstandsformel musst du den Ortsvektor des äußeren Punktes, den Ortsvektor eines Punkts auf der Geraden und den Richtungsvektor der Geraden einsetzen.

Frage anzeigen

Frage

Warum ist der Schnittpunkt von Hilfsebene und Gerade der Punkt auf der Geraden, der am nächsten am äußeren Punkt liegt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Hilfsebene steht senkrecht zur Geraden. Daher tun das auch alle Verbindungen des Schnittpunkts mit Punkten auf der Ebene. Die Verbindung von S und P steht also senkrecht zur Geraden, was die kürzeste Verbindung definiert.

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​Was ist der Abstand zweier Punkte?

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Antwort

Der Abstand zweier Punkte ist die kürzeste Verbindung zwischen diesen beiden Punkten. 

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Wie lässt sich die Abstandsformel herleiten ?

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Mit dem Satz des Pythagoras. 

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Welche Seite entspricht dem Abstand d im rechtwinkligen Dreieck?

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Der Abstand d entspricht im rechtwinkligen Dreieck der Hypotenuse. 

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Welche Möglichkeiten hat man, wenn der Abstand d zwischen einem Punkt P und einer Geraden g berechnet werden soll?

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4 verschiedene Möglichkeiten:

- Abstandsregel

- Abstandsberechnung mit einer Hilfsebene

- Lotfußpunktverfahren

- Abstandsberechnung mit Hilfe der Differentialgleichung.

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In welcher Form sollte die Hilfsebene, für die Berechnung des Abstands zwischen einem Punkt und einer Geraden, aufgestellt werden? 

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Normalenform

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Wie würdest du den Abstand zwischen einem Punkt P und einer geraden g im Zweidimensionalen berechnen?

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Genauso wie im Dreidimensionalen. Die dritte Koordinate ist einfach 0 und kann deshalb im Zweidimensionalen weggelassen werden.

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Welche Aussage über den Abstand paralleler Ebenen ist richtig?

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Alle Punkte der einen Ebene haben immer denselben Abstand zur anderen Ebene.

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Wie wird der Abstand zwischen parallelen Ebenen berechnet? 

Wähle die richtige Aussage aus.

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Es wird der Abstand eines beliebigen Punktes der einen Ebene zur anderen Ebene berechnet. 

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Ist es auch möglich den Abstand zwischen Ebenen zu berechnen, die nicht parallel sind?

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Nein, der Abstand kann nur zwischen parallelen Ebenen berechnet werden. Wenn Ebenen nicht parallel sind, schneiden sie sich in einer Geraden. Dort haben die Ebenen zum Beispiel gar keinen Abstand. An allen anderen Stellen ist der Abstand unterschiedlich.

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Welche zwei Möglichkeiten gibt es, um den Abstand zwischen parallelen Ebene zu berechnen?

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Antwort

Du kannst den Abstand zwischen parallelen Ebenen mit der Hesseschen Normalform oder mit einer Hilfsgeraden mit Lotfußpunkt berechnen.

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Welches Objekt wird für die Herleitung der Abstandsformel im Raum benötigt?

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Ein Quader.

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Mithilfe welcher Methoden kannst Du den Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene ermitteln?

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Lotfußpunktverfahren

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Wie kannst Du am leichtesten einen Punkt auf einer Geraden bestimmen?

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Bei dem Stützvektor der Geraden handelt es sich um einen Punkt auf der Geraden. Diesen kannst Du einfach aus der Geradengleichung ablesen und musst nichts berechnen.

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Welchen Abstand hat eine in der Ebene liegende Gerade zur Ebene?

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Die Ebene und Gerade haben einen Abstand von 0.

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Wie sind Ebenen definiert?

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Ebenen sind unbegrenzte, gerade Flächen.

Ebenen werden durch drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, definiert. Alternativ kann eine Ebene durch zwei nicht parallele Vektoren und einen Punkt dargestellt werden. Des Weiteren lässt sich eine Ebene durch zwei parallele Geraden oder zwei sich schneidende Geraden veranschaulichen.

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Welche Möglichkeiten der Lagebeziehung zwischen Ebene und Gerade gibt es?

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Die Gerade kann parallel zur Ebene sein, die Ebene schneiden oder in der Ebene liegen.

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Beschreibe die Schritte zur Berechnung des Abstandes einer Geraden zu einer parallelen Ebene mithilfe der Hesseschen Normalform.

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  1. Du bestimmst einen beliebigen Punkt P der Geraden g.
  2. Schreibe die Ebene E in die Hessesche Normalform um.
  3. Setze den Punkt P in die Hessesche Normalform der Ebene E ein.
  4. Zum Schluss rechnest Du die Formel aus und erhältst den Abstand der Geraden g zu der parallelen Ebene E.


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Beschreibe die Schritte zur Berechnung des Abstandes einer Geraden zu einer parallelen Ebene mithilfe des Lotfußpunktverfahrens.

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  1. Du stellst die Lotgerade auf. Der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor und ein beliebiger Punkt P auf der Geraden g ist der Ortsvektor der Lotgerade.
  2. Berechne jetzt den Schnittpunkt S der Lotgerade mit der Ebene.
  3. Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen dem Punkt P, dem Ortsvektor der Lotgerade, und dem Schnittpunkt S, von Lotgerade und Ebene.

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Definiere das Lot.

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Antwort

Ein Lot ist eine Gerade l, die durch einen Punkt P senkrecht zu einer Ebene E verläuft. Die Gerade l steht im rechten Winkel auf der Ebenen E.


Der Schnittpunkt des Lotes mit der Ebene E wird Lotfußpunkt genannt.

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Wofür wird das Lotfußpunktverfahren genutzt?

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Mithilfe des Lotfußpunktverfahrens kannst Du den kürzesten Abstand von Punkten, Geraden und Ebenen berechnen.

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Definiere das Lot.

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Antwort

Ein Lot ist eine Gerade l, die durch einen Punkt P senkrecht zu einer Ebene E oder einer Geraden g verläuft. Die Gerade l steht im rechten Winkel auf der Ebene E oder der Geraden g.

Der Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden g oder der Ebene E wird Lotfußpunkt genannt.


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Mithilfe welcher Rechenschritte kannst Du den kürzesten Abstand zwischen einer Geraden g und einem Punkt P berechnen?

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  1. Stelle eine Hilfsebene Eh auf. Die Ebene Eh verläuft durch den Punkt P und ist senkrecht zur Geraden g.
  2. Berechne den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Hilfsgerade Eh.
  3. Zum Schluss berechnest Du den Abstand des Punktes P und S.


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Beschreibe Dein Vorgehen zur Berechnung des kürzesten Abstandes von windschiefen Geraden.

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Als Erstes stellst Du den allgemeinen Verbindungsvektor \(\overrightarrow {S_gS_h}\) auf.

Jetzt suchst Du eine Gerade, welche senkrecht auf den beiden Geraden g und h steht. Dafür muss das Skalarprodukt beider Richtungsvektoren mit dem allgemeinen Verbindungsvektor gleich null setzen. 

Danach löst Du das Gleichungssystem der Skalarprodukte.

Zum Schluss rechnest Du die Lotfußpunkte aus und dann den Abstand zwischen diesen.

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Welche Formel existiert zur Berechnung des kürzesten Abstandes von windschiefen Geraden?

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Antwort

\begin {align} d=\frac{|(\vec{p}-\vec{q})\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\end {align}

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Gib die Rechenschritte zur Berechnung des kürzesten Abstandes paralleler Geraden an.

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  1. Wähle einen beliebigen Punkt P aus der Geraden g1.
  2. Stelle eine Hilfsebene Eh durch den Punkt P auf. Die Hilfsebene Eh steht senkrecht auf der Geraden g2.
  3. Berechne den Schnittpunkt S der Hilfsebene Eh mit der Geraden g2.
  4. Zum Schluss berechne den Abstand der Punkte P und S.

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Beschreibe anhand des Beispiels der parallelen Ebenen \(E_1:-4y=8\) und \(E_2:8y=8\), wie Du den Abstand von parallelen Ebenen berechnest.

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Als Erstes wählst Du Dir einen Punkt P aus der Ebene E1. Anschließend stellst Du die Lotgerade auf. Der Stützvektor der Lotgerade ist der Ortsvektor des Punktes P. Der Normalenvektor der Ebene E2 wird zum Richtungsvektor der Lotgerade. Danach berechnest Du den Lotfußpunkt S, in dem Du die Geradengleichung der Lotgerade in die Ebenengleichung E2 einsetzt. Du erhältst \(\lambda\) und berechnest den Punkt S, dem Du \(\lambda\) in die Lotgeradengleichung einsetzt. Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S.

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Berechne den kürzesten Abstand der parallelen Ebenen \(E_1:-4y=8\) und \(E_2:8y=8\).

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Wähle als Erstes einen Punkt P, der in der Ebene E1 liegt, aus.

\[P(0|-2|0)\]

Dann stellst Du die Lotgerade auf.

\begin {align} l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 0\end{array}\right)\end{align}

Als Nächstes berechnest Du den Lotfußpunkt S, also den Schnittpunkt der Lotgerade, mit der Ebene E2.

\begin{align}8y&=8\\ 8\cdot (-2+8\lambda)&=8\\ -16+64\lambda&=8 &|&+16\\ 64\lambda&=24 &|&:64 \\ \lambda&=0,375 \end{align}

\begin {align} l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 0\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+ 0,375 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 0\end{array}| \right) \\\\l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \rightarrow S(0|1|0) \end{align}

Der Schnittpunkt ist \(S(0|1|0)\). Nun berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S, indem du deren Betrag berechnest.

\begin{align}|\overrightarrow{PS}|&=\left | \left(\begin{array}{c} 0-0 \\ 1+2 \\ 0-0 \end{array}\right) \right| \\\\|\overrightarrow{PS}|&=\sqrt{3^2}\\ |\overrightarrow{PS}|&= 3 [LE] \end{align}

Der Abstand der Ebenen beträgt 3 [LE].

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Berechne den kürzesten Abstand des Punktes \(P(1|2|3)\) zur Ebene \(E: 4x-y+3z=6\).

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Antwort

Zu Beginn stellst Du die Lotgerade l durch den Punkt P auf. Bei dem Richtungsvektor der Lotgerade l handelt es sich um den Normalenvektor der Ebene E.

\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end {array}\right) + \lambda \cdot \left (\begin{array}{c} 4 \\ -1\\ 3\end {array}\right)\]

Jetzt berechnest Du den Lotfußpunkt, also den Schnittpunkt der Ebene E mit der Lotgeraden l. Dafür setzt Du zunächst die Geradengleichung der Lotgerade l in die Ebenengleichung E ein und berechnest \(\lambda\). 

\begin {align} 4x-y+3z&=6 \\ 4\cdot (1+4\lambda)-(2-\lambda)+3\cdot(3+3\lambda)&=6 \\ 4+16\lambda- 2+\lambda+9+9\lambda&=6 \\ 11+26\lambda&=6 &|&-11\\ 26\lambda&=-5 &|&:26 \\ \lambda&=-\frac {5}{26} \end {align}

Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Lotgerade l ein und berechnest den Punkt S.

\begin {align} l:\vec{s}&=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end {array}\right) + \lambda \cdot \left (\begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 3\end {array}\right)\ \\\\ l:\vec{s}&=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end {array}\right) - \frac {5}{26} \cdot \left (\begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 3\end {array}\right)\ \\\\ l:\vec{s}&= \left(\begin{array}{c} \frac{3}{13} \\ \frac{57}{26} \\ \frac{63}{26} \end {array}\right) \rightarrow S\left(\begin{array}{c} \frac{3}{13}| \frac{57}{26} |\frac{63}{26} \end {array}\right) \end {align}

Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S. Bilde dafür den Betrag von dem Vektor \(\overrightarrow{PS}\).

\begin{align} \overrightarrow {PS}&=\left(\begin{array}{c} \frac{3}{13}-1 \\ \frac{57}{26} - 2 \\ \frac{63}{26}-3 \end {array}\right) \\\\ \overrightarrow {PS}&=\left(\begin{array}{c} -\frac{10}{13} \\ \frac{5}{26} \\ -\frac{15}{26} \end {array}\right) \end{align}


\begin {align}|\overrightarrow {PS}|&=\sqrt {\left(\begin{array}{c} -\frac{10}{13} \end {array}\right)^2+\left(\begin{array}{c} \frac{5}{26} \end {array}\right)^2+ \left(\begin{array}{c} -\frac{15}{26} \end {array}\right)^2 }\\\\ |\overrightarrow {PS}|&=\sqrt {\frac {100}{169}+\frac{25}{676}+\frac{225}{676}}\\ \\ |\overrightarrow {PS}|&=\sqrt {\frac {25}{26}}\\ \\|\overrightarrow {PS}|&= \frac {5\sqrt {26}}{26}\,[LE]\approx 0,981 \, [LE]\end{align}

Der Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene E beträgt rund 0,981 [LE].  

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Beschreibe das Lotfußpunktverfahren zur Bestimmung des kürzesten Abstandes zwischen einem Punkt P und einer Ebene E.

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  1. Stelle die Lotgerade l auf, die durch den Punkt P verläuft und senkrecht auf der Ebene E steht.
  2. Jetzt berechnest Du den Schnittpunkt S der Lotgerade l mit der Ebene E.
  3. Abschließend berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S.

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Frage

Wann ist der Abstand zweier geometrischer Objekte gleich null?

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Antwort

Bei sich schneidenden oder identischen Objekten ist der Abstand gleich null.


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Wie lautet die Formel zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Punkten?

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Antwort

\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]

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Wie lautet die Formel zur Berechnung des Abstandes paralleler Geraden?

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Antwort

\[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}\]

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Wie lautet die Formel zur Berechnung windschiefer Geraden?

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Antwort

\[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\] 

mit \(\vec{n}\) als Kreuzprodukt der beiden Vektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\)

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Definiere das Lot.

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Antwort

Ein Lot ist eine Gerade l, die durch einen Punkt P senkrecht zu einer Ebene E oder einer Geraden g verläuft. Die Gerade l steht im rechten Winkel auf der Ebene E oder der Geraden g.

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Wie heißt der Schnittpunkt der Lotgeraden mit einer Ebene oder einer Geraden?

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Lotfußpunkt

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Wie lautet die Formel zur Berechnung eines Abstandes mithilfe der hesseschen Normalform?

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Antwort

\[d=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

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Wenn Du den Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten berechnest,

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Antwort

berechnest Du den minimalen Abstand.

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Mithilfe der hesseschen Normalform kann der Abstand zwischen welchen geometrischen Objekten berechnet werden?

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Antwort

Zwischen einer Ebene und einem Punkt. Da man aus jeder Geraden oder Ebenen einen Punkt entnehmen kann, kann auch dort der Abstand mithilfe der hesseschen Normalform berechnet werden.

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Wie lautet die Formel zur Berechnung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Geraden?

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Antwort

\[d=\frac{|(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}|}{|\vec{b}|}\]

mit \(\vec{p}\) als Ortsvektor des Punktes, \(\vec{a}\) als Stützvektor der Geraden, \(\vec{b}\) als Richtungsvektor der Geraden

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Berechne den kürzesten Abstand der Ebene \(E:2x+y+2z=2\) zur Geraden \(g:\vec{x}= \left(\begin{array}{c}2\\3\\5 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\4\\2 \end{array}\right)\).

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Antwort

Als Erstes wählst Du einen beliebigen Punkt aus der Geraden g. 

\[P(2|3|5)\]

Danach stellst Du die Lotgerade auf. Nutze Punkt P als Stützvektor und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor.

\begin{align} l:\vec{x}= \left(\begin{array}{c}2\\3\\5 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c}2\\1\\2 \end{array}\right)\end{align}

Jetzt setzt Du die Geradengleichung der Lotgeraden in die Ebenengleichung ein, um den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebenen zu berechnen.

\begin{align} 2x+y+2z&=2 \\ 2\cdot(2+2\lambda)+3+\lambda+2\cdot(5+2\lambda)&=2 \\ 4+4\lambda+3+\lambda+10+4\lambda&=2 \\ 17+9\lambda &=2 &|&-17 \\ 9\lambda=-15 &|&:9 \\ \lambda=-\frac{5}{3}\end{align}

Setze nun \(\lambda\) in die Geradengleichung des Lotes ein und berechne S.

\begin{align} l:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c}2\\3\\5 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c}2\\1\\2 \end{array}\right) \\\\ l:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c}2\\3\\5 \end{array}\right)-\frac{5}{3}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\1\\2 \end{array}\right) \\\\ l:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c}-\frac{4}{3}\\\frac{4}{3}\\ \frac{5}{3} \end{array}\right) \rightarrow S\left(-\frac{4}{3}|\frac{4}{3}| \frac{5}{3}\right)\end{align}

Zum Schluss berechnest Du noch den Abstand zwischen den Punkten P und S.

\begin{align} \overrightarrow{PS}&=\left(\begin{array}{c}-\frac{4}{3}&-&2\\\frac{4}{3}&-&3\\ \frac{5}{3}&-&5 \end{array}\right) \\\\ \overrightarrow{PS}&=\left(\begin{array}{c}-\frac{10}{3}\\-\frac{5}{3}\\ -\frac{10}{3} \end{array}\right) \end{align}

\begin{align} |\overrightarrow{PS}|&=\sqrt{\left(-\frac{10}{3}\right)^2+\left(-\frac{5}{3}\right)^2+\left(-\frac{10}{3}\right)^2} \\ |\overrightarrow{PS}|&=\sqrt{\frac{100}{9}+\frac{25}{9}+\frac{100}{9}} \\ |\overrightarrow{PS}|&=\sqrt{25} \\ |\overrightarrow{PS}|&=5 \,[LE] \end{align}

Der Abstand zwischen der Geraden und der Ebenen beträgt 5 [LE].

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Wie heißt der Schnittpunkt des Lotes mit der Ebene oder der Geraden?

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