Stell Dir vor, Du läufst zu einem Freund. Dann gehst Du wahrscheinlich, den kürzest möglichen Weg. Wenn Du nun wissen möchtest, wie viel Du gelaufen bist, misst Du den Weg. In der Mathematik kannst Du diesen Weg auch berechnen. Wie Du das machst, wird Dir in dieser Erklärung grob erklärt. Wenn Du mehr dazu wissen möchtest, schau bei den einzelnen Untererklärungen vorbei.
Abstandsberechnung – Grundlagenwissen
Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es neben dem Punkt und der Geraden auch die Ebene. Der Punkt und die Gerade existieren ebenfalls im zweidimensionalen Koordinatensystem.
Ein Punkt P ist ein geometrisches Objekt, ohne Ausdehnung. Dabei repräsentiert ein Punkt eine Position in einem Koordinatensystem.
Ein Punkt wird dargestellt durch Koordinaten.
\[P(x|y|z)\]
Mehrere Punkte können zusammen eine Gerade bilden.
Eine Gerade g ist eine Linie, welche weder Anfangspunkt noch Endpunkt besitzt.
Sie wird definiert durch zwei Punkte, durch die sie verläuft, oder einen Punkt P und einen Vektor \(\vec{v}\).
Die Geradengleichung lautet:
\[g:\vec{x}=\vec{p}+\lambda\cdot\vec{u}\]
Der Vektor \(\vec{p}\) ist der Stützvektor der Geraden. Der Richtungsvektor wird als Vektor \(\vec{u}\) bezeichnet.
Unbegrenzte, gerade Flächen werden als Ebenen bezeichnet und können mathematisch auf mehrere Weisen definiert werden.
Ebenen E werden durch drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, definiert.
Alternativ kann eine Ebene durch zwei nicht parallele Vektoren und einen Punkt dargestellt werden.
Des Weiteren lässt sich eine Ebene durch zwei parallele Geraden oder zwei sich schneidende Geraden veranschaulichen.
In der Abbildung siehst Du, wie eine Ebene mittels Vektoren definiert wird.
Abbildung 1: Ebene Definition
Du kannst Ebenen auch mithilfe unterschiedlicher Gleichungen darstellen. Alle Vektoren in den Ebenengleichungen findest Du auch in der Abbildung wieder.
| | Koordinatenform |
| \[E:\vec{x}={\color{#00dcb4}\overrightarrow {OA}}+s\cdot {\color{#8363e2} \vec{u}}+t\cdot {\color{#fa3273}\vec{v}}\] | \[E:[\vec{x}-{\color{#00dcb4}\vec{p}}]\cdot{\color{#ffcd00}\vec{n}}=0,\, \vec{n}=\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}\] | \[E:ax+by+cz=d\] |
| Die Parametergleichung (oder Vektorgleichung) besteht aus den beiden Spannvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\), den dazugehörigen Variablen s und t und dem Stützvektor \(\overrightarrow {OA}\) oder \(\vec{p}\). Die beiden Spannvektoren dürfen hier nicht parallel sein. | Der Stützvektor \(\vec{p}\) und der Normalenvektor \(\vec{n}\) definieren die Normalenform. Der Normalenvektor steht auf allen Strecken der Ebene senkrecht. | Die Koordinatenform bildet sich aus der ausmultiplizierten Normalenform. |
Wenn Du wissen möchtest, wie Du die Ebenengleichungen genau umformst, schau einmal in der Erklärung „Ebenengleichung umformen“ vorbei.
Abstandsberechnung bei Objekten
Bei der Abstandsberechnung ist immer der minimale Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten gefragt. Ob Du den Abstand zwischen zwei Objekten berechnen musst, ist abhängig von ihrer Lagebeziehung zueinander. Bei sich schneidenden oder identischen Objekten ist der Abstand gleich null.
Wie Du die Lagebeziehung zwischen zwei Objekten ermittelst, erfährst Du in der Erklärung „Gegenseitige Lage von Punkten, Geraden und Ebenen“.
Abstand zweier Punkte
Wenn zwei Punkte nicht identisch sind, kannst Du ihren Abstand berechnen.
Liegen zwei Punkte \(P_1(x_1|y_1|z_1)\) und \(P_2(x_2|y_2|z_2)\) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, ist die Formel zur Berechnung des Abstands zwischen den zwei Punkten:
\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]
Dabei berechnest Du den Verbindungsvektor zwischen den beiden Punkten und anschließend den Betrag des Verbindungsvektors.
Mehr zu der Abstandsberechnung zwischen zwei Punkten erfährst Du in der Erklärung „Abstand zweier Punkte“.
Aufgabe 1
Du läufst auf direktem Weg zu dem Haus eines Freundes. Anschließend möchtest Du wissen, wie viel Du gelaufen bist. Wenn Du diesen Sachverhalt nun in einem dreidimensionalen Koordinatensystem nachvollziehst, erhält das Haus deines Freundes die Koordinaten \(P_1(4|2|-3)\). Dein Haus hat die Koordinaten \(P_2(-1|6|2)\). Berechne den Abstand zwischen den Häusern.
Lösung
Du setzt die Punkte in die Formel ein und berechnest den Abstand.
\begin{align}d&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \\d&=\sqrt{(-1-4)^2+(6-2)^2+(2-(-3))^2} \\d&=\sqrt{(-5)^2+4^2+5^2} \\d&=\sqrt {25+16+25} \\d&=\sqrt{66}\,[LE]\approx 8,124\,[LE]\end{align}
Der Abstand zwischen den Häusern beträgt rund 8,124 [LE].
Abstand Punkt Gerade
Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden kannst Du auf mehrere Weisen bestimmen. Neben zwei Verfahren des Lotfußpunktes kannst Du den Abstand mittels einer Differentialgleichung berechnen oder mithilfe der Formel der Abstandsregel.
Wie Du mithilfe dieser Verfahren den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Abstand Punkt Gerade“.
Die Formel der Abstandsregel lautet:
\[d=\frac{|(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}|}{|\vec{b}|}\]
Dabei ist \(\vec{p}\) der Ortsvektor des Punktes P und \(\vec {a}\) der Stützvektor der Gerade g, sowie \(\vec{b}\) der Richtungsvektor der Geraden g.
Hierbei berechnest Du lediglich den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g. Bei den anderen Methoden berechnest Du zusätzlich den Punkt S auf der Geraden g der den minimalen Abstand zum Punkt P besitzt.
Aufgabe 2
Berechne den Abstand der Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\) zum Punkt \(P(-2|4|2)\).
Lösung
Zuerst setzt Du alle Dir gegeben Werte in die Formel ein. Beachte, dass Du Vektoren an der richtigen Stelle einsetzt.
\begin {align}d&=\frac{|(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}|}{|\vec{b}|} \\ \\d&=\frac{\left|\left(\left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ 4\end{array}\right)\right) \times\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|} \\ \\d&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|}\end{align}
Jetzt musst Du das Kreuzprodukt berechnen.
\begin{align}(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}&= \left(\begin{array}{c}6⋅(-5)&-&(-2)⋅(-3)\\ -2⋅2&-&3⋅(-5) \\ 3⋅(-3)&-&6⋅2\end{array}\right) \\(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{b}&= \left(\begin{array}{c} -36 \\ 11 \\ -21\end{array}\right)\end{align}
Nun setzt Du das Kreuzprodukt ein und berechnest den Abstand.\begin{align}d&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c} -36 \\ 11 \\ -21\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -5\end{array}\right)\right|} \\ \\d&= \frac{\sqrt{(-36)^2+11^2+(-21)^2}}{\sqrt {2^2+(-3)^2+(-5)^2}} \\d&=\frac{\sqrt {1296+121+441}}{\sqrt{4+9+25}}\\d&=\frac{\sqrt{1858}}{\sqrt{38}}\,[LE]\approx6,992 \,[LE]\end{align}
Der Abstand des Punktes P zur Geraden g beträgt rund 6,992 [LE]
Abstand Punkt Ebene
Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene kannst Du über das Lotfußpunktverfahren oder die hessesche Normalform berechnen.
Wie Du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene genauer berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Abstand Punkt Ebene“.
Die hessesche Normalform lautet:
\[d=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]
Wobei es sich bei \(Ax+By+Cz+D\) um die Ebenengleichung in Koordinatenform handelt. Anschließend setzt Du den Punkt P in die Gleichung ein.
Wenn Du mit der hesseschen Normalform rechnest, stellst Du am besten zu Beginn die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.
In der Erklärung „hessesche Normalform“ findest Du mehr zur hesseschen Normalform.
Aufgabe 3
Berechne den Abstand des Punktes \(P(4|-3|5)\) zur Ebene \(E:-3x-2y+5z=1\).
Lösung
Zunächst schreibst Du die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.
\begin{align}0&=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\0&=\frac{|-3x-2y+5z-1|}{\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+5^2}} \\0&=\frac{|-3x-2y+5z-1|}{\sqrt{38}}\end {align}
Danach setzt Du den Punkt P ein und berechnest den Abstand.\begin{align}d&=\frac{|-3\cdot4-2\cdot(-3)+5\cdot5-1|}{\sqrt{38}} \\d&=\frac{|-12+6+25-1|}{\sqrt{38}} \\d&=\frac{18}{\sqrt{38}}\,[LE]\approx 2,92 \, [LE]\end{align}
Der Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebenen E beträgt rund 2,92 [LE]
Abstand Gerade Gerade
Den Abstand von Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst Du nicht nur berechnen, wenn sie parallel sind, sondern, auch wenn sie windschief sind.
Die Formel zur Berechnung des Abstands paralleler Geraden lautet:
\[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\]
Dabei sind die Vektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) die Stützvektoren und die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) der Geraden.
Die Formel zur Berechnung des Abstands windschiefer Geraden lautet:
\[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\]
Dabei sind die Vektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) die Stützvektoren der Geraden und der Vektor \(\vec{n}\) das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\).
Auch hier gibt es noch weitere Methoden, um den Abstand zu berechnen, welche erfährst Du in der Erklärung „Abstand Geraden“.
Bevor Du beginnst den Abstand zu berechnen, solltest Du überprüfen, ob die Geraden parallel oder windschief sind. Du überprüfst, ob die Richtungsvektoren der Geraden Vielfache voneinander sind. Wenn sie Vielfache voneinander sind, sind die Geraden parallel.
Aufgabe 4
Berechne den Abstand der windschiefen Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ -3\end{array}\right)\) und \(h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 1\end{array}\right)\).
Lösung
Zu Beginn berechnest Du das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Geraden g und h.
\begin{align}\vec{n}&= \left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ -3\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 1\end{array}\right) \\\\\vec {n}&=\left(\begin{array}{c} 2\cdot1&-&(-3)\cdot6 \\ -3\cdot4&-&(-5)\cdot1 \\ -5\cdot6 &-&2\cdot4 \end{array}\right) \\\\\vec{n}&=\left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\end{align}
Danach setzt Du alle Werte in die Formel ein und berechnest den Abstand.
\begin{align}d&=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \\\\d&=\frac{\left|\left( \left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 1\end{array}\right)\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\right|} \\\\d&=\frac{\left| \left(\begin{array}{c} -9 \\ -4 \\ -4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 20 \\ -7 \\ -38\end{array}\right)\right|}{\sqrt {20^2+(-7)^2+(-38)^2}} \\ \\d&=\frac{\left| \left(\begin{array}{c} -180 \\ 28 \\ 152\end{array}\right)\right|}{\sqrt {400+49+1444}} \\\\d&=\frac{\sqrt{180^2+28^2+152^2}}{\sqrt{1893}} \\d&=\frac{\sqrt{56288}}{\sqrt{1893}}\,[LE]\approx5,453\,[LE]\end{align}
Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt rund 5,453 [LE].
Abstand Ebene Ebene
Um den Abstand von parallelen Ebenen zu bestimmen, kannst Du die hessesche Normalform oder das Lotfußpunktverfahren nutzen.
Den Abstand von parallelen Ebenen mittels des Lotfußpunktverfahrens kannst Du mit den folgenden Schritten berechnen:
- Wähle einen beliebigen Punkt P aus der Ebene E1 aus.
- Stelle nun die Lotgerade durch den Punkt P auf. Die Lotgerade steht senkrecht auf der Ebene E2.
- Berechne den Schnittpunkt S (Lotfußpunkt) der Ebene E2 mit der Lotgerade.
- Jetzt berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S.
Damit Ebenen parallel sind, müssen ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sein. Bevor Du also mit der Abstandsberechnung beginnst, überprüfe, ob es sich um parallele Ebenen handelt.
Weitere Erklärungen dazu findest Du in der Erklärung „Abstand paralleler Ebenen“.
Aufgabe 5
Berechne den Abstand der parallelen Ebenen \(E_1:\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)\right]\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)\) und \(E_2:-4x-2y+2z=8\).
Lösung
Wähle zunächst einen beliebigen Punkt P aus der Ebene E1. Der Stützvektor der Ebene eignet sich dafür.
\[P(3|1|-4)\]
Anschließend stellst Du durch den Punkt P die Lotgerade l auf. Der Richtungsvektor der Lotgerade l ist der Normalenvektor der Ebene E2.
\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right)\]
Nun setzt Du die Lotgerade l in die Ebene E2 ein, um den Schnittpunkt S der Ebene mit der Lotgerade zu ermitteln.
\begin{align}-4x-2y+2z&=8 \\-4\cdot (3-4\lambda)-2\cdot(1-2\lambda)+2\cdot(-4+2\lambda)&=8 \\-12+16\lambda -2+4\lambda -8+4\lambda&=8 \\-22+24\lambda&=8&|&+22\\ 24\lambda&=30 &|&:24 \\\lambda&=1,25\end{align}
Jetzt setzt Du das eben errechnete \(\lambda\) in die Lotgerade l ein und berechnest den Punkt S.
\begin{align}l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+ 1,25 \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2\\ -1,5 \\ -1,5\end{array}\right) \rightarrow S(-2|-1,5|-1,5)\end{align}
Zum Schluss berechnest Du den Abstand der Punkte P und S.
\begin{align}d&=\sqrt{(x_S-x_P)^2+(y_S-y_P)^2+(z_S-z_P)^2} \\d&=\sqrt{(-2-3)^2+(-1,5-1)^2+(-1,5-(-4))^2} \\d&=\sqrt{(-5)^2+(-2,5)^2+2,5^2} \\d&= \sqrt {25+6,25+6,25} \\d&=\sqrt{37,5} \\d&=\frac{5\sqrt{6}}{2}\,[LE]\approx6,124\,[LE]\end{align}
Der Abstand der beiden Ebenen beträgt rund 6,124 [LE].
Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene
Den Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene kannst Du mithilfe der hesseschen Normalform oder des Lotfußpunktverfahrens ermitteln.
Mehr über die Abstandsberechnung einer Geraden zu einer parallelen Ebene erfährst Du in der Erklärung „Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene“.
Um den Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene mit der hesseschen Normalform zu berechnen, gehst Du folgendermaßen vor:
- Du bestimmst einen beliebigen Punkt P der Geraden g.
- Schreibe die Ebene E in die Hessesche Normalform \(\frac{Ax+By+Cz+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0\) um.
- Setze den Punkt P in die Hessesche Normalform der Ebene E ein.
- Zum Schluss rechnest Du die Formel aus und erhältst den Abstand der Geraden g zu der parallelen Ebene E.
Mithilfe der hesseschen Normalform berechnest Du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene. Also kannst Du sie immer dann anwenden, wenn Du den Abstand einer Ebene zu einem anderen geometrischen Objekten berechnen möchtest.
Abbildung 2: hessesche Normalform
Aufgabe 6
Berechne den Abstand der Ebenen \(E:-5y+z=5\) zur parallelen Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\).
Lösung
Wähle zunächst einen Punkt P aus der Geraden g. Du kannst den Stützvektor der Geradengleichung als Punkt P nutzen.
\[P(3|1|4)\]
Jetzt stelle die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.\begin{align}\frac{Ax+By+Cz+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0 \\\frac{-5y+z-5}{\sqrt{(-5)^2+1^2}}=0 \\\frac{-5y+z-5}{\sqrt{26}}=0\end{align}
Anschließend setzt Du den Punkt P ein und berechnest den Abstand.
\begin{align}d&= \frac{|-5y+z-5|}{\sqrt{26}} \\d&= \frac{|-5\cdot1+4-5|}{\sqrt{26}} \\d&=\frac{|-6|}{\sqrt{26}} \\d&=\frac{6}{\sqrt{26}}\,[LE]\approx1,177\,[LE]\end{align}
Der Abstand zwischen der Geraden g und der Ebenen E beträgt rund 1,177 [LE].
Lotfußpunktverfahren
Mithilfe des Lotfußpunktverfahrens kannst Du den Abstand zwischen den verschiedenen geometrischen Objekten berechnen.
Wie Du dieses Verfahren genau anwendest, erfährst Du in den einzelnen Erklärungen der Abstandsbestimmung oder in der Erklärung „Lotfußpunktverfahren“.
Das Lotfußpunktverfahren beruht auf dem Prinzip des Lotes.
Ein Lot ist eine Gerade l, die durch einen Punkt P senkrecht zu einer Ebene E oder einer Geraden g verläuft. Die Gerade l steht im rechten Winkel auf der Ebene E oder der Geraden g.
Der Schnittpunkt S der Ebenen E oder der Geraden g mit der Lotgerade heißt Lotfußpunkt F.
Abbildung 3: Lotgerade
Das Lotfußpunktverfahren wird auf die verschiedenen Abstandsberechnungen angepasst.
Beim Lotfußpunktverfahren berechnest Du zum Schluss immer den Abstand zwischen zwei Punkten. Wie Du den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest, ist eine Grundlage für das Lotfußpunktverfahren.
Wenn Du nun mit dem Lotfußpunktverfahren den Abstand zwischen einer Geraden und einer parallelen Ebene berechnen möchtest, nutzt Du folgende Schrittfolge:
- Wähle einen beliebigen Punkt P aus der Gerade g.
- Stelle die Lotgerade l auf. Der Ortsvektor des Punktes P ist der Stützvektor und der Normalenvektor der Ebene E der Richtungsvektor der Lotgeraden.
- Berechnen den Lotfußpunkt. Also den Schnittpunkt S der Ebenen mit der Lotgeraden.
- Ermittle den Abstand des Lotfußpunktes zum Punkt P.
Aufgabe 7
Berechne mithilfe des Lotfußpunktverfahrens den Abstand zwischen der Ebene \(E:3x+y-4z=2\) und der parallelen Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ -4 \\ 2\end{array}\right)\).
Lösung
Als Erstes wählst Du einen Punkt aus der Geraden g. Du kannst den Stützvektor der Geradengleichung verwenden.
\[P(2|-6|4)\]
Als Nächstes stellst Du die Lotgerade durch den Punkt P auf. Der Richtungsvektor ist der Normalenvektor der Ebene.
\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)\]
Jetzt setzt Du die Lotgerade l in die Ebenengleichung ein um den Schnittpunkt der Lotgeraden l mit der Ebene E zu erhalten. Zuerst berechnest Du \(\lambda\).
\begin{align}3x+y-4z&=2 \\3\cdot(2+3\lambda)-6+\lambda-4\cdot(4-4\lambda)&=2 \\6+9\lambda-6+\lambda-16+16\lambda&=2 \\-16+26\lambda&=2 &|&+16 \\26\lambda&=18 &|&:26 \\\lambda&=\frac{9}{13}\end{align}
Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Lotgerade ein und berechnest den Punkt S.
\begin{align}l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 4 \end{array}\right)+ \frac{9}{13} \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right) \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} \frac{53}{13} \\ -\frac{69}{13} \\ \frac{16}{13} \end{array}\right) \rightarrow S\left(\begin{array}{c} \frac{53}{13} | -\frac{69}{13} | \frac{16}{13} \end{array}\right)\end{align}
Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den beiden Punkten P und S.
\begin{align}d&=\sqrt{(x_S-x_P)^2+(y_S-y_P)^2+(z_S-z_P)^2} \\d&=\sqrt{\left(\frac{53}{13}-2\right)^2+\left(-\frac{69}{13}+6\right)^2+\left(\frac{16}{13}-4\right)^2} \\d&=\sqrt{\left(\frac{27}{13}\right)^2+\left(\frac{9}{13}\right)^2+\left(-\frac{36}{13}\right)^2} \\ d&=\sqrt{\frac{729}{169}+\frac{81}{169}+\frac{1296}{169}}= \sqrt{\frac{162}{13}}\\d&=\frac{9\sqrt{26}}{13}\,[LE]\approx3,53\,[LE]\end{align}
Der Abstand zwischen der Ebene und der Geraden beträgt rund 3,53 [LE].
Abstandsbestimmungen – Das Wichtigste
- Bei der Abstandsberechnung ist immer der minimale Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten gefragt.
- Bei sich schneidenden oder identischen Objekten ist der Abstand gleich null.
- Liegen zwei Punkte \(P_1(x_1|y_1|z_1)\) und \(P_2(x_2|y_2|z_2)\) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, ist die Formel zur Berechnung des Abstands zwischen den zwei Punkten:
\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]
Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene kannst Du über das Lotfußpunktverfahren oder die hessesche Normalform berechnen.
Die Formel zur Berechnung des Abstands paralleler Geraden lautet:
\[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\]
Dabei sind die Vektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) die Stützvektoren und die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) der Geraden. Du kannst den Abstand auch über das Lotfußpunktverfahren berechnen.
- Die Formel zur Berechnung des Abstands windschiefer Geradenlautet:
\[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\]
Dabei sind die Vektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) die Stützvektoren der Geraden und der Vektor \(\vec{n}\) das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\). Du kannst den Abstand auch über das Lotfußpunktverfahren berechnen.
Um den Abstand von parallelen Ebenen zu bestimmen, kannst Du die hessesche Normalform oder das Lotfußpunktverfahren nutzen.
Den Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene kannst Du mithilfe der hesseschen Normalform oder des Lotfußpunktverfahrens ermitteln.
Das Lotfußpunktverfahren beruht auf dem Prinzip des Lotes.
Ein Lot ist eine Gerade l, die durch einen Punkt P senkrecht zu einer Ebene E oder einer Geraden g verläuft. Die Gerade l steht im rechten Winkel auf der Ebene E oder der Geraden g. Der Schnittpunkt S der Ebenen E oder der Geraden g mit der Lotgerade heißt Lotfußpunkt.
Erklärungen 
Magazine 
