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Drachenviereck Seiten

Heute ist es endlich so weit! Der langersehnte wunderschöne, windige Herbsttag, an welchem Du Deinen selbst gebauten Drachen steigen lassen kannst, ist hier! Voller Freude siehst Du gemeinsam mit Deinen Freunden zu, wie Eure Drachen dem Himmel immer näher kommen. Hierbei fällt Dir auf, dass Dein Drache genau die Form einer Figur hat, welche Dir im Geometrie-Unterricht öfter begegnet. Was genau die Seitenlänge eines Drachenvierecks ist und wie Du sie berechnest, das erfährst Du in diesem Artikel. 

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Drachenviereck Seiten

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Heute ist es endlich so weit! Der langersehnte wunderschöne, windige Herbsttag, an welchem Du Deinen selbst gebauten Drachen steigen lassen kannst, ist hier! Voller Freude siehst Du gemeinsam mit Deinen Freunden zu, wie Eure Drachen dem Himmel immer näher kommen. Hierbei fällt Dir auf, dass Dein Drache genau die Form einer Figur hat, welche Dir im Geometrie-Unterricht öfter begegnet. Was genau die Seitenlänge eines Drachenvierecks ist und wie Du sie berechnest, das erfährst Du in diesem Artikel.

Drachenviereck Eigenschaften Seiten

Das Drachenviereck ist eine wichtige Figur der Geometrie. Drachenvierecke sind Vierecke mit besonderen Eigenschaften.

Das Drachenviereck gehört der Gruppe der Vierecke an und weist insgesamt vier Seiten auf, wobei jeweils zwei aneinander angrenzende Seiten gleich lang sind. Ein weiteres wichtiges Merkmal des Drachenvierecks ist, dass jene Diagonale, welche von oben nach unten verläuft, zugleich die Symmetrieachse der Figur darstellt.

Visuell dargestellt und vollständig beschriftet, sieht ein Drachenviereck wie folgt aus:

Seitenlänge Drachenviereck Drachenviereck StudySmarterAbbildung 1: Das Drachenviereck - Beschriftung

Merke: Das Drachenviereck unterscheidet sich vom Rechteck wie folgt:

Beim Rechteck sind alle Winkel immer zwingend 90° groß. Beim Drachenviereck sind diese beliebig groß!

Doch was wird nun genau unter der Seitenlänge des Drachenvierecks verstanden?

Unter der Seitenlänge des Drachenvierecks wird in der Mathematik die Länge der Strecke a, welche zwei nebeneinanderliegende Eckpunkte A und B dieser geometrischen Figur miteinander verbindet, verstanden.

Folgende drei geometrische Figuren werden zum Vergleich gezogen, um diese Definition grafisch zu verdeutlichen.

Seitenlänge Drachenviereck Seitenlänge geometrische Figuren StudySmarterAbbildung 2: Die Seitenlänge geometrischer Figuren


Wie in der folgenden Abbildung 2 erkenntlich wird, gibt es geometrische Figuren mit drei, vier oder mehr Seiten. Zudem kann die Länge der jeweiligen Seiten unterschiedlich groß sein, wobei das Verwenden desselben Buchstabens für die Beschriftung mehrerer Seiten dafür steht, dass diese gleich groß sind.

Hier eine kurze Übersicht der Seitenlänge und Anzahl der Seiten der abgebildeten geometrischen Figuren.


Figur
Seitenanzahl
Ecken
Länge der Seite a
Länge der Seite b
3
3
5 cm
6 cm
Drachenviereck
4
4
3 cm
1,8 cm
Sechseck
6
6
1,4 cm
2,6 cm

Das Drachenviereck fällt somit in die Kategorie der Vierecke, aufgrund ihrer vier Seiten und Ecken.

Die folgenden Abschnitte zeigen auf, wie die Seitenlängen eines Drachenvierecks abgelesen und mit welchen Methoden diese berechnet werden können.

Drachenviereck Seitenlänge ablesen

Wie genau eine Seitenlänge bei einem Drachenviereck abgelesen wird, soll folgendes Beispiel veranschaulichen.

Aufgabe 1

Du möchtest wissen, wie lang die Seiten des folgenden Drachenvierecks sind. Miss diese mithilfe Deines Lineals oder Geodreiecks!

Seitenlänge Drachenviereck Abmessen der Seitenlänge StudySmarterAbbildung 3: Drachenviereck - Ablesen der Seitenlänge

Lösung

Nimm Dein Lineal zu Hand und miss die Länge der Seiten ab, indem die Null dessen auf einen beliebigen Punkt gelegt wird. Der Abstand des Punktes hin zum angrenzenden Eckpunkt wird auch als Seitenlänge bezeichnet.

Seitenlänge Drachenviereck Seitenlänge abmessen StudySmarterAbbildung 4: Seitenlänge abmessen

Wenn richtig abgemessen, hat die Seite a eine Länge von 7 cm und die Seite b eine Länge von 3,8 cm.

Je nachdem, wie sehr die Abbildung vergrößert wird, können diese Werte abweichen

Natürlich kann die Seite a auch auf verschiedene Art und Weisen berechnet werden, da zum einen das Abmessen nicht immer genau ist und genaues Abmessen bei größeren Werten schwierig werden kann. Diese verschiedenen Möglichkeiten werden nun im Detail behandelt.

Drachenviereck Seiten berechnen

Um die Seitenlänge a und b aus dem Umfang eines Drachenvierecks berechnen zu können, ist es essenziell zu verstehen, was genau der Umfang U ist und welcher Zusammenhang zwischen diesem und den Seitenlängen besteht.

Unter dem Umfang U des Drachenvierecks wird die Summe aller Seiten des Drachenvierecks, welche diese Figur begrenzen, verstanden und wird wie folgt berechnet:

U =2 ·a + 2 · b oder U = 2 · a + b

Zur Veranschaulichung der Definition und der Formeln soll folgende Abbildung helfen.

Seitenlänge Drachenviereck Seitenlänge vs. Umfang StudySmarterAbbildung 5: Seitenlänge vs. Umfang

Da mithilfe der beiden Seitenlängen der Umfang ausgerechnet werden kann, können diese umgekehrt auch aus dem Umfang berechnet werden. Wie genau dies funktioniert, wird jetzt anhand eines Beispiels geschildert.

Merke, dass für diese Methode zwingend der Umfang und eine der beiden Seiten gegeben sein muss!

Aufgabe 2

Ein Drachenviereck weist folgende Werte auf:

U = 64 cma =20 cm

Berechne die Seite b der Figur!

Lösung

Die Seite b wird berechnet, indem die Umfangsformel nach dieser Variable freigestellt wird und anschließend die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst wird.

U = 2 · a + 2 · b | subtrahiere 2 · aU - 2 · a = 2 · b | dividiere durch 2U - 2 · a2 = b

Um jetzt den Wert für die Seite b zu erhalten, müssen die Werte für den Umfang U und die Seite a in die Formel eingesetzt werden.

U - 2 · a2 = b | setze die Werte für U und a ein64 cm - 2 · 20 cm2 = b | berechne 2 · 20 cm 64 cm - 40 cm2 = b | berechne 64 cm - 40 cm24 cm2 = b | dividiere 24 cm durch 212 cm = b

Die Seite b des Drachenvierecks mit dem Umfang von 64 cm und der Seite a von 20 cm beträgt also 12 cm.

Somit wurde in diesem Beispiel die Formel für die Berechnung der Seitenlänge korrekt aus der Umfangsformel hergeleitet.

Die Formel für die Berechnung der Seitenlänge des Drachenvierecks aus dem Umfang lautet somit:

a = U - 2 · b2 und b = U - 2 · a2

Es gibt auch noch weitere Möglichkeiten, die Seitenlängen zu berechnen. Weiter geht’s!

Drachenviereck Seiten – Formel

Wie folgende Abbildung zeigt, wird die Diagonale e am Schnittpunkt mit der Diagonale f in zwei Teilstrecken unterteilt, nämlich der Strecke x und der Strecke y.

Seitenlänge Drachenviereck Berechnung mit Diagonalen StudySmarterAbbildung 6: Drachenviereck - Die Diagonalen und Teilstrecken

Weiters unterteilen die Diagonalen die Figur in vier rechtwinklige Dreiecke, was bedeutet, dass unter Anwendung des Satzes nach Pythagoras eine der Seiten berechnet werden kann, vorausgesetzt die anderen beiden sind angegeben.

Seitenlänge Drachenviereck Drachenviereck Rechtwinklige Dreiecke StudySmarterAbbildung 7: Drachenviereck - Rechtwinklige Dreiecke

Wie genau wird hierbei vorgegangen?

Drachenviereck fehlende Seiten berechnen

In folgenden Abschnitten werden die verschiedenen Methoden aufgezeigt, wie die Seitenlänge a und b berechnet werden können.

Seite eines Drachenvierecks mit der Strecke x berechnen

Folgende Abbildung zeigt das rechtwinklige Dreieck, welches für die Berechnung der Seite a mithilfe des Lehrsatzes nach Pythagoras herangezogen wird. Die Strecke y reicht vom Eckpunkt A hin zum Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Die kürzeren und am rechten Winkel anliegenden Seiten des Dreiecks werden als Katheten bezeichnet, hingegen die gegenüberliegende bzw. längste Seite als Hypotenuse, wie folgende Abbildung demonstriert.

Seitenlänge Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 8: Satz des PythagorasSeitenlänge Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 8: Satz des Pythagoras

Um nun die Hypotenuse a, also die längste Seite dieses Dreiecks berechnen zu können, wird wie folgt vorgegangen:

Schritt 1:

K12 + K22 = H2 | schreibe den Lehrsatz nach Pythagoras auf

Schritt 2:

y2 + f22 = a2 | setze die Variablen anstelle von K1, K2 und H einy2 + f22= a | ziehe die Wurzel um a freizustellen

Somit kann folgendes ausgesagt werden:

Die Seitenlänge a kann mithilfe der Seite y und der Diagonale f mit folgender Formel berechnet werden:

a = y2 + f22

Folgendes Beispiel soll die Vorgehensweise der Berechnung verdeutlichen.

Aufgabe 3

Ein Drachenviereck weist folgende Werte auf:

y =8 cmf =20 cm

Berechne die Seite a dieser Figur!

Lösung

Um diese Aufgabe zu lösen, müssen vorerst die beiden Werte für y und f in die Berechnungsformel der Seite a eingesetzt und anschließend die Gleichung gelöst werden.

a =y2 + f22 | setze die Werte anstelle der Buchstaben eina =8 cm2 + 20 cm22 | löse den Bruch auf, indem du 20 durch 2 dividiersta =8 cm2 + 10 cm2 | berechne die Potenz von 8 cm und 10 cma =64 cm2 + 100 cm2 | addiere 64 cm2 und 100 cm2a = 164 cm2 | berechne die Wurzel aus 164 cm2a = 12,81 cm

Die Seite a des Drachenvierecks ist somit 12,81 cm lang.

Seite eines Drachenvierecks mit der Strecke y berechnen

Um hingegen die Seite b berechnen zu können, muss eines der beiden oberen Dreiecke, wie in den Abbildungen markiert, herangezogen werden. Ansonsten wird gleich vorgegangen.

Seitenlänge Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 10: Drachenviereck - Satz des PythagorasSeitenlänge Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 11: Drachenviereck - Satz des Pythagoras

Um nun die Hypotenuse b, also die längste Seite dieses Dreiecks berechnen zu können, wird wie folgt vorgegangen:

Schritt 1:

K12 + K22 = H2 | schreibe den Lehrsatz nach Pythagoras auf

Schritt 2:

x2 + f22 = a2 | setze die Variablen anstelle von K1, K2 und H einx2 + f22= a | ziehe die Wurzel um a freizustellen

Somit kann folgendes ausgesagt werden:

Die Seitenlänge b kann mithilfe der Seite x und der Diagonale f mit folgender Formel berechnet werden:

b = x2 + f22

Folgendes Beispiel soll die Vorgehensweise der Berechnung verdeutlichen.

Aufgabe 4

Ein Drachenviereck hat folgende Maße:

x =10 mf =30 m

Berechne die fehlende Seite b!

Lösung

Setze die Werte in die zuvor definierte Formel ein und löse die Gleichung wie folgt:

b =x2 + f22 | setze die Werte anstelle der Buchstaben einb =10 m2 + 30 m22 | löse den Bruch auf, indem 30 durch 2 dividiert wird b =10 m2 + 15 m2 | berechne die Potenz von 10 m und 15 m b =100 m2 + 225 m2 | addiere 100 m2 und 225 m2b = 325 m2 | berechne die Wurzel aus 325 m2b = 18,03 m

Die Länge der Seite b beträgt 18,03 m.

Bist Du bereit für die ultimative Herausforderung zum Thema Seitenlänge Drachenviereck? Auf geht's!

Seitenlänge Drachenviereck – Eine anspruchsvolle Aufgabe

Für das korrekte Lösen dieses kniffligen Beispiels wird ein fortgeschrittenes geometrisches Verständnis benötigt.

Wenn Du dieses Beispiel korrekt lösen oder den durchgeführten Schritten folgen kannst, dann wird Dir keine zukünftige Aufgabe zum Drachenviereck mehr Schwierigkeiten bereiten!

Aufgabe 5

Dein Mathematiklehrer zeigt Dir eine Abbildung einen selbst-gebastelten Drachens und behauptet: „Wenn Du den Umfang dieser Figur lösen kannst, erhältst Du eine 1 im Zeugnis im Fach Mathematik!“ Die Abbildung mitsamt den gegebenen Werten sieht wie folgt aus:

x = 18 cm e =50 cm f = 40 cm U =?

Seitenlänge Drachenviereck Skizze StudySmarterAbbildung 12: Skizze - Drachenviereck

Hinweis: Die Diagonale f stellt die gesamte Strecke von Eckpunkt A bis C und die Diagonale e die gesamte Strecke von B bis D dar.

Lösung

Für solche komplexe Aufgaben empfiehlt sich am Zielpunkt anzufangen und sich schrittweise zum Ausgangspunkt vorzuarbeiten. Gesucht ist der Umfang, welcher wie folgt berechnet wird:

U = 2 · a + 2 · ba = ? b =?

Da weder die Werte der Seite a noch der Seite b in der Angabe enthalten sind, müssen diese zuerst berechnet werden. Los geht's mit der Seite a.

Berechnung der Seite a

Die Seite a wird im Drachenviereck mithilfe folgender Formel berechnet:

a =y2 + f22 y = ?

Auch hier kann a noch nicht berechnet werden, da es in der Angabe keinen Wert für y gibt. Wie folgende Abbildung zeigt, kann die Teilstrecke y berechnet werden, indem x von der Diagonale e abgezogen wird.

Seitenlänge Drachenviereck Seitenlänge  StudySmarterAbbildung 13: Seitenlänge Drachenviereck

Somit wird wie folgt gerechnet:

y = e - x | setze die Werte für e und x einy = 50 cm - 18 cm | subtrahiere 18 cm von 50 cmy = 32 cm

Jetzt haben alle Variablen, welche für die Berechnung der Seite a benötigt werden, einen konkreten Wert. Die Seite a wird berechnet, indem die Werte in die Formel eingesetzt werden und die Gleichung gelöst wird.

a = y2 + f22 | setze die werte für y und f in die Gleichung eina = 32 cm2 + 40 cm22 | löse den Bruch auf, indem 40 durch 2 dividiert wirda = 32 cm2 + 20 cm2 | berechne die Potenzen von 32 cm und 20 cma = 1 024 cm2 + 400 cm2 | addiere 1 024 cm2 und 400 cm2a = 1 424 cm2 | ziehe die Wurzel aus 1 424 cm2a = 37,74 cm

Die Seite a ist also 37,74 cm lang.

Berechnung der Seite b

Die Seite a wird im Drachenviereck mithilfe folgender Formel berechnet:

b =x2 + f22

Da alle Werte, welche für die Berechnung der Seite b benötigt werden, in der Angabe stehen, können diese direkt eingesetzt werden. Anschließend wird die Gleichung dann gelöst.

b = x2 + f22 | setze die Werte für x und f einb = 18 cm2 + 40 cm22 | löse den Bruch auf, indem 40 durch 2 dividiert wirdb = 18 cm2 + 20 cm2 | berechne die Potenz von 18 cm und 20 cmb= 324 cm2 + 400 cm2 | addiere 324 cm2 und 400 cm2b = 724 cm2 | berechne die Wurzel aus 724 cm2b = 26,91 cm

Die Seite b beträgt somit 26,91 cm.

Berechnung des Umfangs

Werden jetzt die Werte für a und b in die Umfangsformel eingesetzt, kann die Gleichung gelöst werden und dem Einser im Zeugnis steht nichts mehr im Weg.

U = 2 · a + 2 · b | setze die Werte für a und b einU = 2 · 37,74 cm + 2 · 26,91 cm | berechne die beiden MultiplikationenU = 75,48 cm + 53,82 cm | addiere die Zahlen 75,48 cm und 53,82 cmU = 129,30 cm

Herzlichen Glückwunsch, das Ergebnis U = 129,30 cm ist korrekt!

Drachenviereck Seiten – Das Wichtigste auf einen Blick

    • Ein Drachenviereck erkennst Du daran, dass dieses vier Winkel, vier Ecken und vier Seiten aufweist.
    • Unter einer Seite wird die Strecke, welche zwei Eckpunkte einer geometrischen Figur verbindet, verstanden.
    • Jeweils zwei Seiten des Drachenvierecks sind immer gleich lang, wobei die Diagonalen jedoch unterschiedlich lang sein können.
    • Seitenformeln aus dem Umfang: a =U - 2 · b2 und b =U - 2 · a2
    • Seitenformeln mithilfe der Diagonalen: a =y2 + f22 und b =x2 + f22
    • Die Diagonale e wird in die Teilstrecken x und y unterteilt:
      • x stellt die Strecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zur Ecke C dar.
      • y stellt die Strecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zur Ecke A dar.
    • Teilstreckenformeln: x = e - y und y = e - x

Häufig gestellte Fragen zum Thema Drachenviereck Seiten

Ein Drachen hat immer vier Seiten, wobei jeweils zwei davon gleich lang sind und somit mit demselben Buchstaben beschriftet werden.

Ein Drachenviereck hat immer eine Symmetrieachse, nämlich die Diagonale f.

Die Seiten des Drachenvierecks stehen nicht parallel zueinander. Wenn alle Seiten gleich lang wären, würden diese parallel zueinander stehen, jedoch wird die Figur dann nicht als Drachenviereck, sondern als Raute bezeichnet.

Die Seiten können auf zwei verschiedene Weisen berechnet werden:

Mithilfe des Umfangs und einer Seite: 


a = (U - 2b) : 2     und          b = (U - 2a) : 2 


Mithilfe einer Diagonale und einer Teilstrecke: 


a = √(y² + (f : 2)²)       und      b = √(x² + (f : 2)²) 

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