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In einem Kreis kann man verschiedene Teile betrachten. Durch einen Kreis wird auch die zugehörige Kreisfläche berandet. Möchte man nicht die gesamte Kreisfläche, sondern nur einen bestimmten Teil davon betrachten, so kann man beispielsweise den Kreisausschnitt oder das Kreissegment anschauen. Das Kreissegment ist in der Geometrie eine Teilfläche der Kreisfläche, die von einer Sehne und dem dazugehörigen Kreisbogen b umschlossen wird.Das Kreissegment…
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Jetzt kostenlos anmeldenIn einem Kreis kann man verschiedene Teile betrachten. Durch einen Kreis wird auch die zugehörige Kreisfläche berandet. Möchte man nicht die gesamte Kreisfläche, sondern nur einen bestimmten Teil davon betrachten, so kann man beispielsweise den Kreisausschnitt oder das Kreissegment anschauen.
Das Kreissegment ist in der Geometrie eine Teilfläche der Kreisfläche, die von einer Sehne und dem dazugehörigen Kreisbogen b umschlossen wird.
Das Kreissegment wird auch Kreisabschnitt genannt.
Der orange markierte Bereich in Abbildung 1 ist ein Beispiel für ein Kreissegment:
Abbildung 1: Kreissegment – Beispiel 1
Eine Sehne teilt die Kreisfläche allerdings in zwei unterschiedliche Kreissegmente, je nachdem welcher Kreisbogen das Segment mit berandet. So kann ein Kreissegment auch wie das in Abbildung 2 aussehen.
Du hast bereits gelernt, dass ein Kreissegment von einer Kreissehne und einem Kreisbogen begrenzt wird.
Kannst du dich noch daran erinnern, was eine Kreissehne und ein Kreisbogen sind?
Ein Kreisbogen b ist ein Teil der Kreislinie. Er kann durch zwei beliebige Punkte A und B auf der Kreislinie festgelegt werden und dann auch als bezeichnet werden. Der Kreisbogen entsteht, indem vom Punkt A aus gegen den Uhrzeigersinn auf der Kreislinie ein Strich bis zum Punkt B gezogen wird.
Der Kreisbogen b ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises k und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises k.
In Abbildung 3 siehst du, wie ein Kreisbogen aussieht:
Wichtig für den Kreisbogen ist auch der Mittelpunktswinkel. Durch den Mittelpunktswinkel kann die Länge des entsprechenden Kreisbogens ausgerechnet werden und umgekehrt.
Die Länge des Kreisbogens kann durch die Formel
berechnet werden.
Wenn du mehr über Kreisbögen erfahren möchtest, dann wirf einen Blick in den Artikel Kreisbogen.
Werden zwei beliebige Punkte A und B auf der Kreislinie durch eine gerade Linie verbunden, so erhält man eine Sehne.
Eine Kreissehne s ist die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie.
Die längste Kreissehne ist der Durchmesser. Abbildung 4 zeigt dir, wie eine Sehne aussehen kann:
Auch zum Thema Kreissehne gibt es einen eigenen Artikel, den du dir gerne anschauen kannst, wenn du dein Wissen vertiefen möchtest.
In den nächsten zwei Kapiteln wird dir genau erklärt, was ein Kreissegment ist.
Wenn zwei Punkte A und B auf der Kreislinie gegeben sind, dann wird durch Kombinieren von Kreissehne und Kreisbogen oder Kreisbogen ein Kreissegment umrandet. Ist der zum Kreisbogen gehörige Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, dann sieht das Kreissegment wie in Abbildung 5 aus:
Ist der Mittelpunktswinkel 180°, so entspricht das Kreissegment gerade dem Halbkreis. Außerdem entspricht die Sehne s dem Durchmesser des Kreises und der Kreisbogen b dem Halbkreisbogen.
In Abbildung 7 ist das Kreissegment zu sehen, bei dem die Sehne mit dem Kreisbogen kombiniert wird. Der Mittelpunktswinkel dieses Kreissegments ist größer als 180°:
Eine weitere wichtige Größe des Kreissegments ist die Höhe des Segments h. Sie ist in Abbildung 8 grün markiert:
Die Segmenthöhe beschreibt den größten Abstand zwischen der Sehne und dem zugehörigen Kreisbogen.
In den nächsten Kapiteln wirst du lernen, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreissegments berechnen kannst. Wir starten gleich mit dem Umfang.
Der Umfang einer Fläche entspricht der Länge der Linien, die die Fläche begrenzen. Das Kreissegment wird von einer Sehne und dem dazugehörigen Kreisbogen begrenzt. Um den Umfang eines Kreissegments zu erhalten, müssen diese beiden Längen addiert werden.
Der Umfang eines Kreissegments ist die Summe der Länge der Kreissehne s und der Länge des dazugehörigen Kreisbogens b:
Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissegments musst du zunächst wissen, was ein Kreisausschnitt ist.
Der Kreisausschnitt ist wie das Kreissegment eine Teilfläche des Kreises.
Der Kreisausschnitt ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises, die durch zwei Radien und dem dazugehörigen Kreisbogen begrenzt wird.
Der Kreisausschnitt wird auch als Kreissektor bezeichnet.
Der Flächeninhalt eines Kreisausschnittes wird mithilfe folgender Formel berechnet:
.
Dabei ist r der Radius und der Mittelpunktswinkel im Gradmaß.
Eine detaillierte Erklärung zu dieser Formel kannst du im Artikel Kreisausschnitt nachlesen.
Wichtig zur Berechnung der Fläche eines Kreissegments ist der Mittelpunktswinkel . Je nachdem, ob der Mittelpunktswinkel größer oder kleiner als 180° ist, ändert sich die Berechnung des Flächeninhalts.
Gesucht wird die Fläche des Kreissegments, das vom Kreisbogen und der Sehne berandet wird. Nachdem du nun weißt, was ein Kreisausschnitt ist, fällt dir in Abbildung 9 vielleicht auf, wie du den Flächeninhalt des Kreissegments berechnen kannst:
Das Kreissegment entsteht, indem von der Fläche des Kreissektors die Fläche des Dreiecks ABM abgezogen wird:
Du kennst bereits die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnittes. Doch wie kannst du jetzt den Flächeninhalt des Dreiecks ABM berechnen?
Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich durch die Formel:
.
Die Sehne s soll als Grundseite verwendet werden. Doch wie kommst du nun auf die Höhe des Dreiecks?
Abbildung 11: Höhe des Dreiecks ABM
Die Höhe des Dreiecks kann leicht bestimmt werden, wenn der Radius r des Kreises und die Segmenthöhe h bekannt sind. Die Höhe des Dreiecks ergibt sich dann durch:
.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ABM kann dann berechnet werden:
.
Da du jetzt den Flächeninhalt des Kreisausschnittes und des Dreiecks ABM kennst, kannst du den Flächeninhalt des Kreissegments berechnen.
Der Flächeninhalt eines Kreissegments, bei dem der Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist, berechnet sich durch die Formel:
r: Radius
: Mittelpunktswinkel
s: Sehne
h: Segmenthöhe
Wenn die Länge der Sehne s und die Segmenthöhe h nicht gegeben sind, kann der Flächeninhalt eines Kreissegments auch nur mit Radius r und Mittelpunktswinkel berechnet werden.
Spezialfall :
Das Dreieck ABM ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich dann durch:
.
Damit kann der Flächeninhalt des Kreissegments mit Mittelpunktswinkel berechnet werden:
Spezialfall :
Abbildung 13: Flächeninhalt eines Kreissegments mit Mittelpunktswinkel 60°
Das Dreieck ABM ist ein gleichseitiges Dreieck, bei dem alle Seitenlängen die Länge r haben. Die Höhe d des Dreiecks ABM kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
.
Da die Höhe d eine Strecke ist, wird der positive Wert gewählt. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist somit:
.
Damit kann der Flächeninhalt des Kreissegments mit Mittelpunktswinkel berechnet werden:
Allgemeiner Fall :
Das Dreieck ABM ist immer ein gleichschenkliges Dreieck, da zwei Seiten dem Radius entsprechen. Das Dreieck ACM ist immer ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei C. Da das Dreieck ACM rechtwinklig ist, kannst du dir die Trigonometrie zu Nutze machen.
Mithilfe des Sinus kann die Länge der Sehne s berechnet werden:
Mit Hilfe des Kosinus kann die Höhe des Dreiecks d berechnet werden:
Diese beiden Ausdrücke können jetzt in die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ABM eingesetzt werden:
Der Ausdruck kann weiter zusammengefasst werden, denn laut Formelsammlung gilt: .
Dieser Ausdruck wird in die Formel für den Flächeninhalt des Kreissegments eingesetzt:
Durch Ausklammern von folgt für den Flächeninhalt des Kreissegments:
Der Flächeninhalt eines Kreissegments, bei dem der Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist, berechnet sich durch die Formel:
r: Radius
Bei einem Mittelpunktswinkel von entspricht das Kreissegment der Fläche des halben Kreises. Die Fläche des Dreiecks ist in diesem Fall 0 FE groß. Durch Einsetzen der Werte in die allgemeine Gleichung folgt:
Die Fläche eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel von 180° entspricht der Fläche des Halbkreises.
Gesucht ist die Fläche des Kreissegments in Abbildung 11:
Bei einem Mittelpunktswinkel, der größer als 180° ist, muss die Fläche des Dreiecks AMB zur Fläche des Kreissektors addiert werden.
In diesem Fall ist die Segmenthöhe h größer als der Radius r (siehe Abbildung 12). Die Höhe des Dreiecks berechnet sich durch :
Damit ergibt sich für die Fläche des Dreiecks AMB:
.
Durch Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt des Kreissegments erhältst du:
Dies kann allerdings umgeformt werden, indem beim Ausdruck eine ausgeklammert wird: . Setzt man dies nun wieder in die Formel oben ein und zieht das Minus nach vorne, so folgt für den Flächeninhalt:
Das heißt, der Flächeninhalt eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel, der größer als 180° ist, wird durch die gleiche Formel berechnet wie der Flächeninhalt eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel, der kleiner als 180° ist. Für alle Kreissegmente lässt sich der Flächeninhalt mit derselben Formel berechnen.
Der Flächeninhalt eines Kreissegments berechnet sich durch die Formel:
r: Radius
s: Sehne
h: Segmenthöhe
Die Fläche des Kreissegments wird bei einem Mittelpunktswinkel keiner 180° berechnet, indem die Fläche des Dreiecks von der Fläche des Kreisauschnitts abgezogen wird. Die Fläche des Kreissegments wird bei einem Mittelpunktswinkel größer 180° berechnet, indem die Fläche des Dreiecks zur Fläche des Kreisauschnitts addiert wird.
Die Segmenthöhe beschreibt den größten Abstand zwischen Sehne und Kreisbogen des Segments. Ein Kreissegment ist eine Teilfläche der Kreisfläche, die durch eine Kreissehne und einen Kreisborgen begrenzt wird.
Der Umfang eines Kreissegments wird berechnet, indem die Länge der Kreissehne s und die Länge des dazugehörigen Kreisbogens b addiert werden.
Eine Kreissehne ist die kürzeste Verbinungsstrecke zwischen zwei Punkten auf der Kreisslinie.
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