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Kreissegment

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Kreissegment

In einem Kreis kann man verschiedene Teile betrachten. Durch einen Kreis wird auch die zugehörige Kreisfläche berandet. Möchte man nicht die gesamte Kreisfläche, sondern nur einen bestimmten Teil davon betrachten, so kann man beispielsweise den Kreisausschnitt oder das Kreissegment anschauen.

Das Kreissegment ist in der Geometrie eine Teilfläche der Kreisfläche, die von einer Sehne und dem dazugehörigen Kreisbogen b umschlossen wird.

Das Kreissegment wird auch Kreisabschnitt genannt.

Der orange markierte Bereich in Abbildung 1 ist ein Beispiel für ein Kreissegment:

Kreissegment Kreissegment StudySmarterAbbildung 1: Kreissegment – Beispiel 1

Eine Sehne teilt die Kreisfläche allerdings in zwei unterschiedliche Kreissegmente, je nachdem welcher Kreisbogen das Segment mit berandet. So kann ein Kreissegment auch wie das in Abbildung 2 aussehen.

Kreissegment Kreissegment StudySmarter

Abbildung 2: Kreissegment – Beispiel 2

Grundlagen zum Kreissegment

Du hast bereits gelernt, dass ein Kreissegment von einer Kreissehne und einem Kreisbogen begrenzt wird.

Kannst du dich noch daran erinnern, was eine Kreissehne und ein Kreisbogen sind?

Wiederholung: Kreisbogen

Ein Kreisbogen b ist ein Teil der Kreislinie. Er kann durch zwei beliebige Punkte A und B auf der Kreislinie festgelegt werden und dann auch als bezeichnet werden. Der Kreisbogen entsteht, indem vom Punkt A aus gegen den Uhrzeigersinn auf der Kreislinie ein Strich bis zum Punkt B gezogen wird.

Der Kreisbogen b ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises k und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises k.

In Abbildung 3 siehst du, wie ein Kreisbogen aussieht:

Kreissegment Kreisbogen StudySmarter

Abbildung 3: Kreisbogen b

Wichtig für den Kreisbogen ist auch der Mittelpunktswinkel. Durch den Mittelpunktswinkel kann die Länge des entsprechenden Kreisbogens ausgerechnet werden und umgekehrt.

Die Länge des Kreisbogens kann durch die Formel

Kreissegment Länge des Kreisbogens StudySmarter

berechnet werden.

Wenn du mehr über Kreisbögen erfahren möchtest, dann wirf einen Blick in den Artikel Kreisbogen.

Wiederholung: Kreissehne

Werden zwei beliebige Punkte A und B auf der Kreislinie durch eine gerade Linie verbunden, so erhält man eine Sehne.

Eine Kreissehne s ist die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie.

Die längste Kreissehne ist der Durchmesser. Abbildung 4 zeigt dir, wie eine Sehne aussehen kann:

Kreissegment Kreissehne StudySmarter

Abbildung 4: Kreissehne s

Auch zum Thema Kreissehne gibt es einen eigenen Artikel, den du dir gerne anschauen kannst, wenn du dein Wissen vertiefen möchtest.

Kreissegment einfach erklärt

In den nächsten zwei Kapiteln wird dir genau erklärt, was ein Kreissegment ist.

Aufbau des Kreissegments

Wenn zwei Punkte A und B auf der Kreislinie gegeben sind, dann wird durch Kombinieren von Kreissehne und Kreisbogen oder Kreisbogen ein Kreissegment umrandet. Ist der zum Kreisbogen gehörige Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, dann sieht das Kreissegment wie in Abbildung 5 aus:

Kreissegment Kreissegment mit Mittelpunktswinkel kleiner 180 StudySmarter

Abbildung 5: Kreissegment bei einem Mittelpunktswinkel kleiner als 180°

Ist der Mittelpunktswinkel 180°, so entspricht das Kreissegment gerade dem Halbkreis. Außerdem entspricht die Sehne s dem Durchmesser des Kreises und der Kreisbogen b dem Halbkreisbogen.

Kreissegment Kreissegment 180° StudySmarter

Abbildung 6: Der Halbkreis als spezielles Kreissegment bei einem Mittelpunktswinkel von 180°

In Abbildung 7 ist das Kreissegment zu sehen, bei dem die Sehne mit dem Kreisbogen kombiniert wird. Der Mittelpunktswinkel dieses Kreissegments ist größer als 180°:

Kreissegment Kreissegment größer 180 StudySmarter

Abbildung 7: Kreissegment bei einem Mittelpunktswinkel größer als 180°

Höhe des Kreissegments

Eine weitere wichtige Größe des Kreissegments ist die Höhe des Segments h. Sie ist in Abbildung 8 grün markiert:

Kreissegment Segmenthöhe StudySmarter

Abbildung 8: Segmenthöhe

Die Segmenthöhe beschreibt den größten Abstand zwischen der Sehne und dem zugehörigen Kreisbogen.

Berechnungen am Kreissegment

In den nächsten Kapiteln wirst du lernen, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreissegments berechnen kannst. Wir starten gleich mit dem Umfang.

Umfang des Kreissegments

Der Umfang einer Fläche entspricht der Länge der Linien, die die Fläche begrenzen. Das Kreissegment wird von einer Sehne und dem dazugehörigen Kreisbogen begrenzt. Um den Umfang eines Kreissegments zu erhalten, müssen diese beiden Längen addiert werden.

Der Umfang eines Kreissegments ist die Summe der Länge der Kreissehne s und der Länge des dazugehörigen Kreisbogens b:

Kreissegment, Umfang Kreissegment, StudySmarter

Wiederholung: Kreisausschnitt

Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissegments musst du zunächst wissen, was ein Kreisausschnitt ist.

Der Kreisausschnitt ist wie das Kreissegment eine Teilfläche des Kreises.

Der Kreisausschnitt ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises, die durch zwei Radien und dem dazugehörigen Kreisbogen begrenzt wird.

Der Kreisausschnitt wird auch als Kreissektor bezeichnet.

Kreissegment Kreisausschnitt StudySmarter

Abbildung 9: Kreisausschnitt

Der Flächeninhalt eines Kreisausschnittes wird mithilfe folgender Formel berechnet:

Kreissegment Flächeninhalt Kreissausschnitt StudySmarter.

Dabei ist r der Radius und der Mittelpunktswinkel im Gradmaß.

Eine detaillierte Erklärung zu dieser Formel kannst du im Artikel Kreisausschnitt nachlesen.

Flächeninhalt des Kreissegments

Wichtig zur Berechnung der Fläche eines Kreissegments ist der Mittelpunktswinkel . Je nachdem, ob der Mittelpunktswinkel größer oder kleiner als 180° ist, ändert sich die Berechnung des Flächeninhalts.

Flächeninhalt des Kreissegments bei einem Mittelpunktswinkel kleiner 180°

Gesucht wird die Fläche des Kreissegments, das vom Kreisbogen und der Sehne berandet wird. Nachdem du nun weißt, was ein Kreisausschnitt ist, fällt dir in Abbildung 9 vielleicht auf, wie du den Flächeninhalt des Kreissegments berechnen kannst:

Kreissegment Flächenninhalt Kreissegment StudySmarter

Abbildung 9: Flächeninhalt eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel kleiner 180° berechnen

Das Kreissegment entsteht, indem von der Fläche des Kreissektors die Fläche des Dreiecks ABM abgezogen wird:

Kreissegment Subtrahierehn Dreieck Sektor StudySmarter

Abbildung 10: Subtrahieren der Fläche des Dreiecks von der Fläche des Kreissektors

Du kennst bereits die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnittes. Doch wie kannst du jetzt den Flächeninhalt des Dreiecks ABM berechnen?

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich durch die Formel:

Kreissegment, Flächeninhalt Dreieck, StudySmarter .

Die Sehne s soll als Grundseite verwendet werden. Doch wie kommst du nun auf die Höhe des Dreiecks?

Kreissegment Höhe Dreieck StudySmarterAbbildung 11: Höhe des Dreiecks ABM

Die Höhe des Dreiecks kann leicht bestimmt werden, wenn der Radius r des Kreises und die Segmenthöhe h bekannt sind. Die Höhe des Dreiecks ergibt sich dann durch:

.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABM kann dann berechnet werden:

.

Da du jetzt den Flächeninhalt des Kreisausschnittes und des Dreiecks ABM kennst, kannst du den Flächeninhalt des Kreissegments berechnen.

Der Flächeninhalt eines Kreissegments, bei dem der Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist, berechnet sich durch die Formel:

Kreissegment Flächeninhalt Kreissegment StudySmarter

r: Radius

: Mittelpunktswinkel

s: Sehne

h: Segmenthöhe

Wenn die Länge der Sehne s und die Segmenthöhe h nicht gegeben sind, kann der Flächeninhalt eines Kreissegments auch nur mit Radius r und Mittelpunktswinkel berechnet werden.

Spezialfall :

Kreissegment Spezialfall 90° StudySmarter

Abbildung 12: Flächeninhalt eines Kreissegments mit Mittelpunktswinkel 90°

Das Dreieck ABM ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich dann durch:

.

Damit kann der Flächeninhalt des Kreissegments mit Mittelpunktswinkel berechnet werden:

Spezialfall :

Kreissegment Spezialfall 60° StudySmarterAbbildung 13: Flächeninhalt eines Kreissegments mit Mittelpunktswinkel 60°

Das Dreieck ABM ist ein gleichseitiges Dreieck, bei dem alle Seitenlängen die Länge r haben. Die Höhe d des Dreiecks ABM kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

.

Da die Höhe d eine Strecke ist, wird der positive Wert gewählt. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist somit:

.

Damit kann der Flächeninhalt des Kreissegments mit Mittelpunktswinkel berechnet werden:

Allgemeiner Fall :

Kreissegment Flächeninhalt berechnen StudySmarter

Abbildung 14: Flächeninhalt eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel kleiner 180° berechnen

Das Dreieck ABM ist immer ein gleichschenkliges Dreieck, da zwei Seiten dem Radius entsprechen. Das Dreieck ACM ist immer ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei C. Da das Dreieck ACM rechtwinklig ist, kannst du dir die Trigonometrie zu Nutze machen.

Mithilfe des Sinus kann die Länge der Sehne s berechnet werden:

Mit Hilfe des Kosinus kann die Höhe des Dreiecks d berechnet werden:

Diese beiden Ausdrücke können jetzt in die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ABM eingesetzt werden:

Der Ausdruck kann weiter zusammengefasst werden, denn laut Formelsammlung gilt: .

Dieser Ausdruck wird in die Formel für den Flächeninhalt des Kreissegments eingesetzt:

Durch Ausklammern von folgt für den Flächeninhalt des Kreissegments:

Der Flächeninhalt eines Kreissegments, bei dem der Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist, berechnet sich durch die Formel:

Kreissegment Flächeninhalt berechnen Formel StudySmarter

r: Radius

: Mittelpunktswinkel

Flächeninhalt des Kreissegments bei einem Mittelpunktswinkel gleich 180°

Bei einem Mittelpunktswinkel von entspricht das Kreissegment der Fläche des halben Kreises. Die Fläche des Dreiecks ist in diesem Fall 0 FE groß. Durch Einsetzen der Werte in die allgemeine Gleichung folgt:

Die Fläche eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel von 180° entspricht der Fläche des Halbkreises.

Flächeninhalt des Kreissegments bei einem Mittelpunktswinkel größer als 180°

Gesucht ist die Fläche des Kreissegments in Abbildung 11:

Kreissegment Flächeninhalt Kreissegment StudySmarter

Abbildung 15: Flächeninhalt eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel größer 180° berechnen

Bei einem Mittelpunktswinkel, der größer als 180° ist, muss die Fläche des Dreiecks AMB zur Fläche des Kreissektors addiert werden.

Kreissegment Addieren Sektor und Dreieck StudySmarter

Abbildung 16: Addieren der Fläche des Dreiecks und des Kreissektors

In diesem Fall ist die Segmenthöhe h größer als der Radius r (siehe Abbildung 12). Die Höhe des Dreiecks berechnet sich durch :

Kreissegment Höhe des Dreiecks StudySmarter

Abbildung 17: Höhe des Dreiecks AMB

Damit ergibt sich für die Fläche des Dreiecks AMB:

.

Durch Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt des Kreissegments erhältst du:

Dies kann allerdings umgeformt werden, indem beim Ausdruck eine ausgeklammert wird: . Setzt man dies nun wieder in die Formel oben ein und zieht das Minus nach vorne, so folgt für den Flächeninhalt:

Das heißt, der Flächeninhalt eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel, der größer als 180° ist, wird durch die gleiche Formel berechnet wie der Flächeninhalt eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel, der kleiner als 180° ist. Für alle Kreissegmente lässt sich der Flächeninhalt mit derselben Formel berechnen.

Der Flächeninhalt eines Kreissegments berechnet sich durch die Formel:

r: Radius

: Mittelpunktswinkel

s: Sehne

h: Segmenthöhe

Kreissegment - Das Wichtigste

  • Das Kreissegment ist eine Teilfläche der Kreisfläche, die von einer Sehne s und einem Kreisbogen b umschlossen wird.
  • Die Segmenthöhe ist der größte Abstand zwischen der Sehne s und dem Kreisbogen b des Kreissegments.
  • Der Umfang des Kreissegments wird berechnet durch: .
  • Der Flächeninhalt des Kreissegments wird berechnet durch:
    • Mittelpunktswinkel : ,
    • Mittelpunktswinkel : ,
    • Mittelpunktswinkel : .

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreissegment

Die Fläche des Kreissegments wird bei einem Mittelpunktswinkel keiner 180° berechnet, indem die Fläche des Dreiecks von der Fläche des Kreisauschnitts abgezogen wird. Die Fläche des Kreissegments wird bei einem Mittelpunktswinkel größer 180° berechnet, indem die Fläche des Dreiecks zur Fläche des Kreisauschnitts addiert wird.

Die Segmenthöhe beschreibt den größten Abstand zwischen Sehne und Kreisbogen des Segments. Ein Kreissegment ist eine Teilfläche der Kreisfläche, die durch eine Kreissehne und einen Kreisborgen begrenzt wird.

Der Umfang eines Kreissegments wird berechnet, indem die Länge der Kreissehne s und die Länge des dazugehörigen Kreisbogens b addiert werden.

Eine Kreissehne ist die kürzeste Verbinungsstrecke zwischen zwei Punkten auf der Kreisslinie.

Finales Kreissegment Quiz

Frage

Berechne den Flächeninhalt des Kreissegments. 



Antwort anzeigen

Antwort

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts bei einem Mittelpunktswinkel von 60°. 



Einsetzen des Radius und Runden: 



Frage anzeigen

Frage

Begründe, ob ein Kreissegment durch zwei Punkte auf der Kreislinie eindeutig bestimmt ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Punkte auf der Kreislinie legen kein eindeutiges Kreissegment fest.

Denn es kann sowohl das Kreissegment, das von der Sehne  und dem Kreisbogen  umschlossen wird, oder das Kreissegment, das von der Sehne  und dem Kreisbogen umschlossen wird, gemeint sein.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang des Kreissegments:




Antwort anzeigen

Antwort

Der Umfang wird durch Addieren der beiden Werte bestimmt.



Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Kreissegment.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Kreissegment ist eine Teilfläche einer Kreisfläche, die von einer Kreissehne und dem dazugehörigem Kreisbogen begrenzt wird.

Frage anzeigen

Frage

Nenne eine andere Bezeichnung für das Kreissegment.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Kreissegment wird auch Kreisabschnitt genannt.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, welche Flächeninhalte du kennen musst, um den Flächeninhalt eines Kreissegments berechnen zu können.

Antwort anzeigen

Antwort

Damit der Flächeninhalt eines Kreissegments berechnet werden kann, muss man den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks und des zugehörigen Kreisausschnitts kennen.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was die Segmenthöhe ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Segmenthöhe ist der größte Abstand zwischen dem Kreisbogen und der Kreissehne, die das Kreissegment beranden. 

Frage anzeigen

Frage

Gib die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissegments an, wenn der Mittelpunkts-

winkel , der Radius r, die Segmenthöhe h und die Länge der Sehne s gegeben sind.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Das Kreissegment entspricht bei einem Mittelpunktswinkel von 180° einer bestimmten Teilfläche des Kreises. Welche ist es?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Kreissegment entspricht bei einem Winkel von 180° einem Halbkreis.

Frage anzeigen

Frage

Begründe, ob es einen Mittelpunktswinkel gibt, bei dem der Flächeninhalt von Kreissegment und Kreisausschnitt übereinstimmen.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Mittelpunktswinkel von 180° stimmen die beiden Flächeninhalte überein, denn sowohl der Kreisausschnitt als auch der Kreissektor entsprechen dann dem Halbkreis. 

Frage anzeigen

Frage

Das Dreieck ABM ist ein besonderes Dreieck. 

Um welches besondere Dreieck handelt es sich? 


Antwort anzeigen

Antwort

Das Dreieck ABM ist ein gleischschenkliges Dreieck, da die beiden Seiten  und  dem Radius entsprechen und die dritte Seite der Sehne s.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Formel für den Umfang eines Kreissegments an.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umfang eines Kreissegments wird berechnet durch:


.


Dabei ist s die Länge der Sehne und b die Länge des Kreisbogens.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wann der Flächeninhalt des Kreisausschnitts größer ist als der Flächeninhalt des Kreissegments.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts ist größer als der Flächeninhalt des Kreissegments, wenn der zugehörige Mittelpunktswinkel kleiner als 180° ist.


Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts und des Kreissegments sind gleich groß, wenn der zugehörige Mittelpunktswinkel gleich 180° ist.


Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts ist kleiner als der Flächeninhalt des Kreissegments, wenn der zugehörige Mittelpunktswinkel größer als 180° ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird allgemein der Flächeninhalt dieses Kreissegments berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Flächeninhalt des Kreissegments wird berechnet, indem der Flächeninhalt des Dreiecks ABM vom Flächeninhalt des Kreisausschnitts abgezogen wird.


Frage anzeigen

Frage

Wie wird allgemein der Flächeninhalt dieses Kreissegments berechnet?


Antwort anzeigen

Antwort


Der Flächeninhalt des Kreissegments wird berechnet, indem der Flächeninhalt des Dreiecks ABM zum Flächeninhalt des Kreisausschnitts addiert wird. 





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