Kreissegment

Grundlagen zum Kreissegment

Du hast bereits gelernt, dass ein Kreissegment von einer Kreissehne und einem Kreisbogen begrenzt wird.

Kannst du dich noch daran erinnern, was eine Kreissehne und ein Kreisbogen sind?

Wiederholung: Kreisbogen

Ein Kreisbogen b ist ein Teil der Kreislinie. Er kann durch zwei beliebige Punkte A und B auf der Kreislinie festgelegt werden und dann auch als $\stackrel{⏜}{AB}$ bezeichnet werden. Der Kreisbogen entsteht, indem vom Punkt A aus gegen den Uhrzeigersinn auf der Kreislinie ein Strich bis zum Punkt B gezogen wird.

In Abbildung 3 siehst du, wie ein Kreisbogen aussieht:

Wichtig für den Kreisbogen ist auch der Mittelpunktswinkel$\alpha$. Durch den Mittelpunktswinkel kann die Länge des entsprechenden Kreisbogens ausgerechnet werden und umgekehrt.

Wiederholung: Kreissehne

Werden zwei beliebige Punkte A und B auf der Kreislinie durch eine gerade Linie verbunden, so erhält man eine Sehne.

Die längste Kreissehne ist der Durchmesser. Abbildung 4 zeigt dir, wie eine Sehne aussehen kann:

Kreissegment einfach erklärt

In den nächsten zwei Kapiteln wird dir genau erklärt, was ein Kreissegment ist.

Aufbau des Kreissegments

Wenn zwei Punkte A und B auf der Kreislinie gegeben sind, dann wird durch Kombinieren von Kreissehne $s=\overline{AB}$ und Kreisbogen $\stackrel{⏜}{AB}$ oder Kreisbogen $\stackrel{⏜}{BA}$ ein Kreissegment umrandet. Ist der zum Kreisbogen $\stackrel{⏜}{AB}$gehörige Mittelpunktswinkel $\alpha$ kleiner als 180°, dann sieht das Kreissegment wie in Abbildung 5 aus:

Ist der Mittelpunktswinkel 180°, so entspricht das Kreissegment gerade dem Halbkreis. Außerdem entspricht die Sehne s dem Durchmesser des Kreises und der Kreisbogen b dem Halbkreisbogen.

In Abbildung 7 ist das Kreissegment zu sehen, bei dem die Sehne $s=\overline{AB}$ mit dem Kreisbogen $\stackrel{⏜}{BA}$ kombiniert wird. Der Mittelpunktswinkel dieses Kreissegments ist größer als 180°:

Höhe des Kreissegments

Eine weitere wichtige Größe des Kreissegments ist die Höhe des Segments h. Sie ist in Abbildung 8 grün markiert:

Berechnungen am Kreissegment

In den nächsten Kapiteln wirst du lernen, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreissegments berechnen kannst. Wir starten gleich mit dem Umfang.

Umfang des Kreissegments

Der Umfang einer Fläche entspricht der Länge der Linien, die die Fläche begrenzen. Das Kreissegment wird von einer Sehne und dem dazugehörigen Kreisbogen begrenzt. Um den Umfang eines Kreissegments zu erhalten, müssen diese beiden Längen addiert werden.

Wiederholung: Kreisausschnitt

Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissegments musst du zunächst wissen, was ein Kreisausschnitt ist.

Der Kreisausschnitt ist wie das Kreissegment eine Teilfläche des Kreises.

Flächeninhalt des Kreissegments

Wichtig zur Berechnung der Fläche eines Kreissegments ist der Mittelpunktswinkel $\alpha$. Je nachdem, ob der Mittelpunktswinkel größer oder kleiner als 180° ist, ändert sich die Berechnung des Flächeninhalts.

Flächeninhalt des Kreissegments bei einem Mittelpunktswinkel kleiner 180°

Gesucht wird die Fläche des Kreissegments, das vom Kreisbogen $\stackrel{⏜}{AB}$ und der Sehne $\overline{AB}$ berandet wird. Nachdem du nun weißt, was ein Kreisausschnitt ist, fällt dir in Abbildung 9 vielleicht auf, wie du den Flächeninhalt des Kreissegments berechnen kannst:

Das Kreissegment entsteht, indem von der Fläche des Kreissektors die Fläche des Dreiecks ABM abgezogen wird:

Du kennst bereits die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnittes. Doch wie kannst du jetzt den Flächeninhalt des Dreiecks ABM berechnen?

Die Sehne s soll als Grundseite verwendet werden. Doch wie kommst du nun auf die Höhe des Dreiecks?

Abbildung 11: Höhe des Dreiecks ABM

Die Höhe des Dreiecks kann leicht bestimmt werden, wenn der Radius r des Kreises und die Segmenthöhe h bekannt sind. Die Höhe des Dreiecks ergibt sich dann durch:

$HöhedesDreiecks=r-h$ .

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABM kann dann berechnet werden:

$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}·s·(r-h)$.

Da du jetzt den Flächeninhalt des Kreisausschnittes und des Dreiecks ABM kennst, kannst du den Flächeninhalt des Kreissegments berechnen.

Wenn die Länge der Sehne s und die Segmenthöhe h nicht gegeben sind, kann der Flächeninhalt eines Kreissegments auch nur mit Radius r und Mittelpunktswinkel $\alpha$berechnet werden.

Spezialfall $\alpha =90°$:

Das Dreieck ABM ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich dann durch:

$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}·r·r=\frac{1}{2}·r^2$.

Damit kann der Flächeninhalt des Kreissegments mit Mittelpunktswinkel $\alpha =90°$ berechnet werden:

$$\begin{gathered} A_{Kreissegment}=A_{Kreisausschnitt}-A_{Dreieck} \\ =\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\frac{90°}{360°}-\frac{1}{2}·r^2 \\ =\frac{r^2}{2}·(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-1) \end{gathered}$$

Spezialfall $\alpha =60°$:

Abbildung 13: Flächeninhalt eines Kreissegments mit Mittelpunktswinkel 60°

Das Dreieck ABM ist ein gleichseitiges Dreieck, bei dem alle Seitenlängen die Länge r haben. Die Höhe d des Dreiecks ABM kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$$\begin{gathered} r^2=d^2+{\left(\frac{1}{2}r\right)}^2\Rightarrow d^2=r^2-{\left(\frac{1}{2}r\right)}^2=\frac{3}{4}{r}^2 \\ \Rightarrow d=\pm \sqrt{\frac{3}{4}{r}^2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}r \end{gathered}$$.

Da die Höhe d eine Strecke ist, wird der positive Wert $+\frac{\sqrt{3}}{2}r$ gewählt. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist somit:

$$\begin{gathered} A_{Dreieck}=\frac{1}{2}·s·d \\ =\frac{1}{2}·r·\frac{\sqrt{3}}{2}r \\ =\frac{\sqrt{3}}{4}·r^2 \end{gathered}$$.

Damit kann der Flächeninhalt des Kreissegments mit Mittelpunktswinkel $\alpha =60°$ berechnet werden:

$$\begin{gathered} A_{Kreissegment}=A_{Kreisausschnitt}-A_{Dreieck} \\ =\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\frac{60°}{360°}-\frac{\sqrt{3}}{4}·{\mathrm{r}}^2 \\ =\frac{{\mathrm{r}}^2}{2}(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}) \end{gathered}$$

Allgemeiner Fall $\alpha <180°$:

Das Dreieck ABM ist immer ein gleichschenkliges Dreieck, da zwei Seiten dem Radius entsprechen. Das Dreieck ACM ist immer ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei C. Da das Dreieck ACM rechtwinklig ist, kannst du dir die Trigonometrie zu Nutze machen.

Mithilfe des Sinus $\sin \alpha =\frac{Gegenkathete}{Hypothenuse}$ kann die Länge der Sehne s berechnet werden:

$$\begin{gathered} \sin \left(\frac{1}{2}\alpha \right)=\frac{0,5s}{r} \\ \Rightarrow s=2·r·\sin \left(\frac{1}{2}\alpha \right) \end{gathered}$$

Mit Hilfe des Kosinus $\cos \alpha =\frac{Ankathete}{Hypothenuse}$kann die Höhe des Dreiecks d berechnet werden:

$$\begin{gathered} \cos \left(\frac{1}{2}\alpha \right)=\frac{d}{r} \\ \Rightarrow d=r·\cos \left(\frac{1}{2}\alpha \right) \end{gathered}$$

Diese beiden Ausdrücke können jetzt in die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ABM eingesetzt werden:

$$\begin{gathered} A_{ABM}=\frac{1}{2}·s·d \\ =\frac{1}{2}·2·r·\sin \left(\frac{1}{2}\alpha \right)·r·\cos \left(\frac{1}{2}\alpha \right) \\ =r^2·\sin \left(\frac{1}{2}\alpha \right)·\cos \left(\frac{1}{2}\alpha \right) \end{gathered}$$

Der Ausdruck kann weiter zusammengefasst werden, denn laut Formelsammlung gilt: $\sin \left(\beta \right)·\cos \left(\beta \right)=\frac{1}{2}\sin (2·\beta )$.

$$\begin{gathered} A_{ABM}=r^2·\sin \left(\frac{1}{2}\alpha \right)·\cos \left(\frac{1}{2}\alpha \right) \\ =r^2·\frac{1}{2}\sin (2·\frac{1}{2}\alpha ) \\ =r^2·\frac{1}{2}\sin \left(\alpha \right) \end{gathered}$$

Dieser Ausdruck wird in die Formel für den Flächeninhalt des Kreissegments eingesetzt:

$$\begin{gathered} A_{Kreissegment}=A_{Kreisausschnitt}-A_{Dreieck} \\ =\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\frac{\mathrm{\alpha }}{360°}-{\mathrm{r}}^2·\frac{1}{2}\sin \left(\alpha \right) \end{gathered}$$

Durch Ausklammern von $\frac{r^2}{2}$ folgt für den Flächeninhalt des Kreissegments:

Flächeninhalt des Kreissegments bei einem Mittelpunktswinkel gleich 180°

Bei einem Mittelpunktswinkel von $\alpha =180°$ entspricht das Kreissegment der Fläche des halben Kreises. Die Fläche des Dreiecks ist in diesem Fall 0 FE groß. Durch Einsetzen der Werte in die allgemeine Gleichung folgt:

$$\begin{gathered} A_{Kreissegment}=A_{Kreisausschnitt}-A_{Dreieck} \\ =\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\frac{\mathrm{\alpha }}{360°}-0 \\ =\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\frac{180°}{360°} \\ =\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\frac{1}{2} \\ =\frac{1}{2}·A_{Kreis} \end{gathered}$$

Die Fläche eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel von 180° entspricht der Fläche des Halbkreises.

Flächeninhalt des Kreissegments bei einem Mittelpunktswinkel größer als 180°

Gesucht ist die Fläche des Kreissegments in Abbildung 11:

Bei einem Mittelpunktswinkel, der größer als 180° ist, muss die Fläche des Dreiecks AMB zur Fläche des Kreissektors addiert werden.

In diesem Fall ist die Segmenthöhe h größer als der Radius r (siehe Abbildung 12). Die Höhe des Dreiecks berechnet sich durch $h-r$:

Damit ergibt sich für die Fläche des Dreiecks AMB:

$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}·s·(h-r)$.

Durch Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt des Kreissegments erhältst du:

$$\begin{gathered} A_{Kreissegment}=A_{Kreisausschnitt}+A_{Dreieck} \\ =\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\frac{\mathrm{\alpha }}{360°}+\frac{1}{2}·\mathrm{s}·(h-r) \end{gathered}$$

Dies kann allerdings umgeformt werden, indem beim Ausdruck $(h-r)$ eine $-1$ ausgeklammert wird: $(h-r)=(-1)·(r-h)$. Setzt man dies nun wieder in die Formel oben ein und zieht das Minus nach vorne, so folgt für den Flächeninhalt:

$$\begin{gathered} A_{Kreissegment}=\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\frac{\mathrm{\alpha }}{360°}+\frac{1}{2}·\mathrm{s}·(h-r) \\ =\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\frac{\mathrm{\alpha }}{360°}+\frac{1}{2}·\mathrm{s}·(-1)·(r-h) \\ =\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\frac{\mathrm{\alpha }}{360°}-\frac{1}{2}·\mathrm{s}·(r-h) \end{gathered}$$

Das heißt, der Flächeninhalt eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel, der größer als 180° ist, wird durch die gleiche Formel berechnet wie der Flächeninhalt eines Kreissegments mit einem Mittelpunktswinkel, der kleiner als 180° ist. Für alle Kreissegmente lässt sich der Flächeninhalt mit derselben Formel berechnen.