Winkelberechnung

Stochastik

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Bisher hast Du Winkelberechnungen vielleicht nur zwischen zwei Strecken oder Seiten einer Figur kennengelernt. In der analytischen Geometrie spielt die Winkelberechnung ebenfalls eine Rolle. Schneiden sich nämlich beispielsweise zwei Vektoren, entsteht dabei ein Schnittwinkel, der mit einer Formel berechnet werden kann. Hier erfährst Du, wie Du den Schnittwinkel zweier Geraden, den Winkel zwischen Gerade und Ebene sowie zwischen zwei Ebenen berechnen kannst.

Winkelberechnung – Winkel zwischen zwei Vektoren: Formel

Vektoren können sowohl zweidimensional als auch dreidimensional vorkommen. In beiden Fällen ist es möglich, dass Winkel zwischen zwei Vektoren eingeschlossen werden.

Zwei Vektoren, egal ob im zweidimensionalen oder dreidimensionalen Raum, können nur dann einen Winkel einschließen, wenn sie sich schneiden. Das heißt insbesondere, dass zwei parallele Vektoren niemals einen Winkel einschließen können.

Winkelberechnung Schnittwinkel zweier Vektoren StudySmarter Abb. 1 - Schnittwinkel zweier Vektoren

Wenn Deine Vektoren diese Voraussetzung erfüllen, dann gilt für zwei Vektoren, in diesem Beispiel definiert mit \(\vec{u}=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \) Folgendes:

Der Winkel \(\alpha\) zwischen zwei Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) lässt sich mit folgender Formel berechnen:

\[\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}\right)\]

Anstatt \(\cos^{-1}(x)\) kann hier auch die Schreibweise \(\arccos(x)\) verwendet werden.

Mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung Winkel zwischen Vektoren. Eine Übungsaufgabe zu diesem Thema findest Du aber auch am Ende dieser Erklärung.

Winkelberechnung – Schnittwinkel zweier Geraden: berechnen

So ähnlich, aber nicht identisch, verhalten sich auch die Schnittwinkel zweier Geraden. Als Ausgangspunkt gelten die beiden Geradengleichung in der Vektorschreibweise.

Zur Erinnerung: Die Vektorschreibweise einer Gerade sieht wie folgt aus:

Winkelberechnung Vektorschreibweise Gerade StudySmarter Abb. 2 - Vektorschreibweise Gerade

Folglich sind immer zwei Vektoren nötig, um eine Gerade aufzustellen.

Ob sich zwei Geraden schneiden oder nicht, hängt vom Richtungsvektor ab. Diese dürfen weder identisch noch ein Vielfaches voneinander sein, damit sie sich schneiden.

Für die Berechnung des Schnittwinkels zweier Geraden musst Du also auch nur die Richtungsvektoren betrachten.

Um den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen zwei Geraden zu berechnen, verwendest Du die jeweiligen Richtungsvektoren und setzt diese in die folgende Formel ein:

\[ \alpha=\cos^{-1}\left({\frac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left |\vec{u}\right|\cdot\left |\vec{v}\right|}}\right)\]

Eine Beispielrechnung findest Du am Ende der Erklärung, ansonsten findest Du mehr zu diesem Thema in der Erklärung Winkel zwischen zwei Geraden.

Winkelberechnung – Schnittwinkel Gerade Ebene: Formel

Schnittwinkel gibt es nicht nur zwischen Gerade und Gerade oder Ebene und Ebene, sondern Du findest auch häufig Winkel zwischen Gerade und Ebene.

Auch hier gilt:

Eine Gerade und eine Ebene besitzen immer dann einen Schnittpunkt, wenn sie nicht echt parallel zueinander sind.

Winkelberechnung Schnittwinkel Gerade und Ebene StudySmarter Abb. 3: Schnittwinkel Gerade Ebene

Wenn Du also eine Ebene \(E\) und eine Gerade \(g\) gegeben hast und diese nicht echt parallel sind, dann kannst Du deren eingeschlossenen Winkel \(\sin{\alpha}\) berechnen, und zwar mit der Hilfe des Normalenvektors der Ebene.

Seien eine Ebene mit der Form \[ E: \vec{n} \circ (\vec x - \vec p)\] und eine Gerade mit \[g : \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \] gegeben, dann kannst Du deren eingeschlossenen Winkel mit folgender Formel berechnen:\[ \sin(\alpha)=\frac{|\vec{n}\circ\vec{u}|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{u}|}\]

, wobei \(\vec{u}\) dem Richtungsvektor der Geraden entspricht und \(\vec n\) dem Normalenvektor der Ebene.

Ein Rechenbeispiel zu diesem Thema findest Du am Ende dieser Erklärung, wenn Du aber mehr über dieses Thema erfahren möchtest, dann kannst Du Dir die Erklärung Winkel zwischen Gerade und Ebene anschauen.

Winkelberechnung – Winkel zwischen zwei Ebenen: Formel

Zu guter Letzt existiert auch noch der Winkel zwischen zwei Ebenen. Das Prinzip unterscheidet sich auch hier nicht groß von den bisherigen Rechnungen.

Zwei Ebenen können nur dann einen Winkel einschließen, wenn sie nicht echt parallel zueinander sind.

Winkelberechnung Schnittwinkel zweier Ebenen StudySmarter Abb. 4: Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

In dem Fall, dass Du den Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen sollst, braucht Du nur die beiden Normalenvektoren der Ebenen.

Seien zwei Ebenen gegeben mit den jeweiligen Normalenvektoren \(\vec{n}\) und \(\vec{m}\), dann berechnest Du den Schnittwinkel der beiden Ebenen mit der Formel:\[\cos(\alpha)=\frac{|\vec{n}\circ\vec{m}|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{m}|}\]

Im nächsten Abschnitt findest Du Übungsaufgaben zu diesem Thema, wenn Du Dich mit dem Thema aber tiefer auseinandersetzten willst, dann schau in der Erklärung Winkel zwischen Ebenen vorbei.

Winkelberechnung – Schnittwinkel berechnen: Aufgaben

In diesem Abschnitt hast Du noch einmal die Möglichkeit, zu jedem Thema ein paar Aufgaben durchzurechnen.

Aufgabe 1

Berechne den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen den zwei Vektoren \(\vec{u}=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Lösung

1. Schritt:

Setzte die Vektoren in die Formel ein:

\begin{align}\alpha &= \cos^{-1}\left({\frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}}\right)\\[0.2cm]\alpha&= \cos^{-1} \left( {\frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\right|\cdot \left |\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\right|}}\right)\end{align}

2. Schritt:

Führe jetzt die Skalarmultiplikation durch und bilde die Beträge der Vektoren.

Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du zwei Vektoren Skalar multiplizierst, dann schau Dir doch die Erklärung Skalarmultiplikation an.

\begin{align}\alpha &=\cos^{-1}\left( {\frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\right|\cdot \left |\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\right|}}\right)\\[0.2cm]&=\cos^{-1} \left( {\frac{3 \cdot 1 + 6 \cdot 4 + 5 \cdot 5}{\sqrt{3^2+6^2+5^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2+5^2}}} \right )\\[0.2cm]&=\cos^{-1} \left({\frac{3+24+25}{\sqrt{70}\cdot \sqrt{42}}} \right)\\[0.2cm]&=\cos^{-1} \left({\frac{52}{14 \sqrt{15}}} \right)\end{align}

3. Schritt

Im letzten Schritt kannst Du jetzt aus diesem Term Deinen Winkel berechnen:

\begin{align}\alpha&= \cos^{-1}{\left( {\frac{52}{14 \sqrt{15}}}\right)}\\[0.2cm]&=\cos^{-1}{(0,959)}\\&={16,46}^{\circ}\end{align}

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt also \({16{,}46}^{\circ}\).

Aufgabe 2

Berechne den Schnittwinkel der folgenden zwei Geraden:

\begin{align}g:\overrightarrow{X}&=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \\[0.2cm] h:\overrightarrow{X}&=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 2,5 \end{pmatrix}\end{align}

Lösung

1. Schritt:

Setzte die Richtungsvektoren in die Gleichung ein:

\begin{align}\alpha &= \cos^{-1} \left({\frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}} \right)\\[0.2cm]&=\cos^{-1} \left({\frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 2,5 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \cdot \left | \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 2,5 \end{pmatrix}\right |}} \right)\end{align}

2. Schritt:

Führe jetzt wieder die skalare Multiplikation durch und berechne die Beträge:

\begin{align}\alpha &= \cos^{-1} \left({\frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 2,5 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 2,5 \end{pmatrix}\right|}}\right )\\[0.2cm]&= \cos^{-1}\left({\frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot 6 + 2 \cdot 2,5}{\sqrt{3^2+4^2+3^2}\cdot \sqrt{2^2+4^2+{2,5}^2}}}\right)\\[0.2cm]&= \cos^{-1}\left({\frac{6+24+7,5}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{46,25}}}\right)\\[0.2cm]&= \cos^{-1}\left({\frac{37,5}{39,65}}\right)\end{align}

3. Schritt:

Als Letztes brauchst Du nur noch den Term auszurechnen und Du hast Dein Ergebnis:

\begin{align}\alpha&= \cos^{-1}\left({\frac{37,5}{{39,65}}}\right) \\[0.1cm]&=\cos^{-1}{(0,945)}\\&= {19,09}^{\circ}\end{align}

Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt also \({19,09}^{\circ}\).

Aufgabe 3

Berechne den Schnittwinkel zwischen der Gerade \[g:\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} 2,5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -0,5 \\-1 \\ 1 \end{pmatrix} \]und der Ebenen \[E: 0\cdot x-3\cdot y+2\cdot z=0. \]

Lösung

1. Schritt:

Stelle den Normalenvektor der Ebene auf.

Die Vorfaktoren der Koordinatenform lauten 0, -3 und 2. Wenn Du das in einen Vektor schreibst, erhältst Du für den Normalenvektor:

\[\vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \]

2. Schritt:

Setzte jetzt die gegebenen Vektoren in die Formel ein:

\begin{align}\sin(\alpha)&=\frac{\vec{n}\circ {u}}{|\vec{n}|\cdot |\vec{v}|}\\[0.2cm]&=\frac{\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -0,5 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right |}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} -0,5 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}\end{align}

3. Schritt:

Berechne den Term jetzt wieder wie in den vorherigen Beispielen.

\begin{align}\sin(\alpha)&=\frac{\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -0,5 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} -0,5 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}\\[0.2cm]&=\frac{|0\cdot(-0,5)+(-3)\cdot(-1)+2\cdot1|}{\sqrt{0^2+(-3)^2+2^2}\cdot\sqrt{(-0,5)^2+(-1)^2+1^2}}\\[0.2cm]&=\frac{|3+2|}{\sqrt{13}\cdot \frac{3}{2}}\\[0.2cm]&=0,925\\[0.2cm]\Rightarrow \alpha&= \sin^{-1}(0,925)\\[0.2cm]&={67,59}^{\circ}\end{align}

Der Winkel zwischen der Gerade und der Ebene beträgt also \({67,59}^{\circ}\)

Aufgabe 4

Berechne den Schnittwinkel zwischen den Ebenen \(E: 0\cdot x- 2\cdot y + 1\cdot z=0\) und \(F: 0\cdot x - 1\cdot y - 3 \cdot z = -2\).

Lösung

1. Schritt:

Bilde die Normalenvektoren \(\vec n\) und \(\vec m\) der Ebenen:

\begin{align}\vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \\[0.2cm] \vec{m}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\end{align}

Setze die Normalenvektoren in die Formel ein:

\begin{align}\cos(\alpha)&= \frac{\vec{n}\circ\vec{m}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{m}|}\\[0.2cm]&=\frac{\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\-3 \end{pmatrix} \right|}\end{align}

2. Schritt:

Berechne jetzt wieder den Term:

\begin{align}\cos(\alpha)&=\frac{\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \right |}{\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left|\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\right|}\\[0.2cm]&=\frac{|0\cdot(0)+(-2)\cdot(-1)+1\cdot(-3)|}{\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}\cdot \sqrt{(0)^2+(-1)^2+(-3)^2}}\\[0.2cm]&=\frac{|2-3|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{5 \sqrt{2}}\\[0.2cm]&=0,141\\[0.2cm]\Rightarrow \alpha&= \cos^{-1}(0,141)\\[0.2cm]&={81,89}^{\circ}\end{align}

Der Winkel zwischen den beiden Ebenen beträgt also \({81.89}^{\circ}\).

Winkelberechnungen – Das Wichtigste

Der Winkel \(\alpha\) zwischen zwei Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) lässt sich mit folgender Formel berechnen:
\[\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}\right)\]
Um den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden zu berechnen, verwendest Du die jeweiligen Ortsvektoren und setzt diese in die Formel ein, die bei den Vektoren verwendet wurde.\[ \alpha=\cos^{-1}{\frac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left |\vec{u}\right|\cdot\left |\vec{v}\right|}}\]
Eine Gerade und eine Ebene können nur dann einen Schnittpunkt besitzen, wenn sie nicht echt parallel zueinander sind.
Seien eine Ebene mit der Form \[ E: \vec{n} \circ (\vec x - \vec p)\] und eine Gerade mit \[g : \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \] gegeben, dann kannst Du deren eingeschlossenen Winkel mit folgender Formel berechnen:
\[ \sin(\alpha)=\frac{|\vec{n}\circ\vec{u}|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{u}|}\] wobei \(\vec{u}\) dem Richtungsvektor der Geraden entspricht und \(\vec n\) dem Normalenvektor der Ebene.
Zwei Ebenen können nur dann einen Winkel einschließen, wenn sie nicht echt parallel zueinander sind.
Seien zwei Ebenen gegeben mit den jeweiligen Normalenvektoren \(\vec{n}\) und \(\vec{m}\), dann berechnest Du den Schnittwinkel der beiden Ebenen mit der Formel:
\[ \cos{\alpha}=\frac{|\vec{n}\circ\vec{m}|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{m}|}\]

Nachweise

Andreas Filler (2011). Elementare Lineare Algebra. Springer

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkelberechnung

Der Schnittwinkel zweier Geraden entspricht dem Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren der Geraden. Er wird berechnet durch den Arcuscosinus von dem Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden durch das Produkt der jeweiligen Beträge.

Den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren berechnest Du, indem Du den Arcuscosinus von dem Skalarprodukt der beiden Vektoren durch das Produkt der jeweiligen Beträge teilst.

Den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnest Du, indem Du den Arcuscosinus von dem Skalarprodukt von dem Richtungsvektor und dem Normalenvektor durch das Produkt der jeweiligen Beträge teilst.

Die Geraden f und g schneiden sich unter dem Winkel, der herauskommt, wenn Du den Arcuscosinus von dem Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden durch das Produkt der jeweiligen Beträge teilst.

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Was ist ein Vektor?

Ein Vektor wird in einem Koordinatensystem als gerichteter Pfeil dargestellt, mit einem Anfangspunkt und einem Endpunkt (Pfeilspitze). Er hat eine definierte Richtung und einen definierten Betrag.

Beurteile, ob ein Vektor mit einem Punkt A gebildet werden kann.

Um einen Verbindungsvektor zu bilden, werden zwei Punkte benötigt. Einzig der Ortsvektor lässt sich auch mit einem Punkt abbilden, da der Ortsvektor seinen Anfangspunkt immer im Ursprung hat.

Lässt sich bei der Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren lediglich ein Winkel bestimmen?

Nein, der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel α kann berechnet werden. Zudem aber auch der Winkel β, der zusammen mit dem Winkel α einen vollen Winkel von 360° bildet.

Welche Eigenschaft weisen zwei Vektoren auf, deren Skalarprodukt gleich 0 ist?

Die Vektoren sind orthogonal (rechtwinklig) zueinander.

Was ist eine Ebene?

Eine Ebene im Raum ist ein flaches unbegrenztes Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.

Sie wird anhand einer Ebenengleichung angegeben, beispielsweise in Parameterform, Normalenform oder Koordinatenform.

Wieso können die Normalenvektoren für die Berechnung des Schnittwinkels genutzt werden?

Der Winkel zwischen den Normalenvektoren zweier Ebenen entspricht dem spitzen Schnittwinkel zweier Ebenen, vorausgesetzt im Zähler wird ein Betragsstrich hinzugefügt.

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Wie rechnet man den Schnittwinkel aus?

Wie berechnet man den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene?

Unter welchem Winkel schneiden sich f und g?

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