Peripheriewinkelsatz, Umfangswinkelsatz, Randwinkelsatz – eine dieser Bezeichnungen hast Du vielleicht schon einmal gehört. Dabei beschreiben diese Bezeichnungen alle das Gleiche: das Verhalten eines besonderen Winkels am Kreisbogen.
Was genau der Kreisbogen ist, welche Winkel es dort gibt und wozu der Peripheriewinkelsatz da ist, erfährst Du in dieser Erklärung.
Peripheriewinkelsatz – Wiederholung der Grundlagen
Ein Kreisbogen entsteht, indem eine Linie von einem Punkt auf einem Kreis zu einem anderen Punkt auf dem Kreis gezogen wird. Diese sogenannte Kreissehne \( \overline{AB} \) teilt den Kreis in zwei Kreisbögen. Am Kreisbogen lassen sich verschiedene Winkel finden, die für das Verständnis des Peripheriewinkelsatzes wichtig sind. Das sind unter anderem der Mittelpunktswinkel \( \mu \) und der Sehnentangentenwinkel \( \tau \).
Abbildung 1: Winkel am Kreisbogen
Mittelpunktswinkel/Zentriwinkel
Ist M der Mittelpunkt des Kreisbogens, so ist der Winkel \(\angle AMB\), der von den Strecken \( \overline{AM}\) und \( \overline{BM}\) eingeschlossen wird, der Mittelpunktswinkel \(\mu\).
Sehnentangentenwinkel
Der Sehnentangentenwinkel ist der Winkel \( \tau\), der mit einer Tangente am Kreis durch einen der Punkte A oder B entsteht. Er ist eingeschlossen von der Tangente und der Strecke \( \overline{AB}\).
Peripheriewinkel Kreis – Definition Umfangswinkel
Der Peripheriewinkel ist ein weiterer Winkel am Kreisbogen, der bestimmte Eigenschaften besitzt.
Der Peripheriewinkel \(\phi \), auch Umfangswinkel oder Randwinkel genannt, liegt am Rand des Kreisbogens und wird von den Strecken eingeschlossen, die von den Punkten A und B zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreisbogen verlaufen. Das bedeutet, dass es mehrere Peripheriewinkel gibt.
Abbildung2: Verschiedene Peripheriewinkel
Es gibt also unterschiedliche Peripheriewinkel/Umfangswinkel. Doch sind diese auch unterschiedlich groß? Diese Frage beantwortet der Peripheriewinkelsatz.
Peripheriewinkelsatz – Einfach erklärt
Du ahnst es vielleicht schon – die Peripheriewinkel/Umfangswinkel über einem Kreisbogen haben eine Gemeinsamkeit.
Der Peripheriewinkelsatz (auch Umfangswinkelsatz oder Randwinkelsatz genannt) besagt, dass alle Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen die gleiche Größe besitzen.
Ein Beispiel mit konkreter Größe der Peripheriewinkel siehst Du hier:
Abbildung 3: Peripheriewinkelsatz Beispiel
Okay, also sind wirklich alle Peripheriewinkel an einem Kreisbogen gleich groß. Doch woher kommt diese Erkenntnis? Diese kann bewiesen werden. Dafür ist es allerdings wichtig, den Zusammenhang zwischen dem Mittelpunktswinkel/Zentriwinkel und dem Peripheriewinkel zu kennen.
Nicht nur alle Peripheriewinkel sing gleich groß. Die zwei Sehnentangentenwinkel sind ebenfalls so groß wie die Peripheriewinkel.
Zentri-Peripheriewinkelsatz
Der sogenannte Zentri-Peripheriewinkelsatz beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Mittelpunktswinkel und den Peripheriewinkeln eines Kreisbogens.
Der Zentri-Peripheriewinkelsatz besagt, dass jeder Zentriwinkel/Mittelpunktswinkel über einem Kreisbogen doppelt so groß ist wie die zugehörigen Peripheriewinkel.
Mehr zum Mittelpunktswinkel sowie zum Zentri-Peripheriewinkelsatz sowie den zugehörigen Beweis findest Du in der Erklärung zum Mittelpunktswinkel.
Peripheriewinkelsatz – Beweis
Damit Du den Peripheriewinkelsatz nachvollziehen kannst, solltest Du Dir hier den kurzen Beweis des Satzes ansehen.
Da Du nun schon weißt, dass ein Mittelpunktswinkel \( \mu \) doppelt so groß ist, wie ein dazugehöriger Peripheriewinkel \( \phi \), liegt der Beweis sehr nahe.
Es gilt also
\begin{align} \mu &= 2 \phi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \mu &= \phi \end{align}
Verschiebst Du den Punkt P auf dem Kreisbogen, verändert sich der Mittelpunktswinkel nicht. Der Peripheriewinkel jedoch sieht plötzlich anders aus. Da er laut Definition immer noch ein Peripheriewinkel über einem nicht veränderten Kreisbogen ist, gilt weiterhin der Zentri-Peripheriewinkelsatz und der Peripheriewinkel ist immer noch halb so groß wie der Mittelpunktswinkel. Somit bleibt der Peripheriewinkel auch bei einer Verschiebung von P immer gleich groß.
Umkehrung Peripheriewinkelsatz
Der Peripheriewinkelsatz gilt auch umgekehrt.
Sind die Winkel \(\angle ABP\) und \(\angle ABP'\) gleich groß und liegen über derselben Strecke \( \overline{AB} \), so liegen die Punkte A, B, P und P' auf einem Kreis.
Zur Veranschaulichung kannst Du Dir folgende Abbildungen ansehen.
Abbildung 4: Umkehrung Peripheriewinkelsatz
In dieser Abbildung sind die Winkel in P und P' gleich groß und liegen über derselben Strecke.
Abbildung 5: Umkehrung Peripheriewinkelsatz
Daher liegen sie auf einem gemeinsamen Kreis.
Peripheriewinkelsatz – Aufgaben
Hier kannst Du Dein Wissen direkt anhand von Aufgaben überprüfen.
Aufgabe 1
Gegeben ist ein Kreisbogen mit Mittelpunktswinkel \( \mu=90^\circ\). Berechne die zugehörigen Peripheriewinkel.
Lösung
Unter Verwendung des Zentri-Peripheriewinkelsatzes können die Peripheriewinkel leicht berechnet werden. Die Peripheriewinkel sind halb so groß wie der Mittelpunktswinkel. Es gilt also
\begin{align} \phi &= \frac{1}{2} \mu \\\Leftrightarrow \phi &= \frac{1}{2} \cdot 90^\circ \\\Leftrightarrow \phi &= 45^\circ\end{align}
Alle Peripheriewinkel haben hier also \( 45^\circ \).
Aufgabe 2
Gegeben ist folgender Kreisbogen mit \( \alpha=46^\circ \) und \( \beta=46^\circ \).
Abbildung 6: Aufgabe 2
Berechne die fehlenden Winkel \( \phi \), \( \xi \), \( \mu \) und \( \tau \).
Lösung
Gegeben sind die Basiswinkel \( \alpha \) und \( \beta \) des gleichschenkligen Dreiecks. Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck beträgt immer \( 180^\circ \). Deshalb kann \( \mu \) wie folgt berechnet werden:
\begin{align} \alpha + \beta + \mu &= 180^\circ \\ \Leftrightarrow \mu&=180^\circ - \alpha - \beta \\ \Leftrightarrow \mu&=180^\circ - 46^\circ - 46^\circ \end{align}
Damit ist \( \mu = 88^\circ \).
Nun kann der Zentri-Peripheriewinkelsatz genutzt werden, der besagt, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der zugehörige Peripheriewinkel. Damit ist dann
\begin{align} \phi &= \frac{1}{2} \mu \\ \Leftrightarrow \phi &= \frac{1}{2} \cdot 88^\circ \\ \Leftrightarrow \phi &= 44^\circ\end{align}
Da nun einer der Peripheriewinkel \( 44^\circ \) beträgt, betragen laut dem Peripheriesatz alle Peripheriewinkel \( 44^\circ \). Da \( \xi \) ebenfalls ein Peripheriewinkel zum gegebenen Kreisbogen ist, gilt
\[\xi=44^\circ \]
Damit sind alle gesuchten Winkel berechnet.
Aufgabe 3
Erkläre, was die Punkte A, B, C und D gemeinsam haben und warum.
Abbildung 7: Aufgabe 3
Lösung
Die Punkte liegen alle auf einem gemeinsamen Kreis. Das liegt daran, dass die Winkel \( \angle ACB\) und \( \angle ADB\) gleich groß sind und über derselben Strecke \( \overline{AB} \) liegen. Mit diesen Eigenschaften gilt die Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes.
Abbildung 8: Lösung Aufgabe 3
Peripheriewinkelsatz – Das Wichtigste
- Es gibt drei besonders wichtige Winkel am Kreisbogen:
- Mittelpunktswinkel/Zentriwinkel: Ist M der Mittelpunkt des Kreisbogens, dann ist der Winkel \(\angle AMB\), der von den Strecken \( \overline{AM}\) und \( \overline{BM}\) eingeschlossen wird, der Mittelpunktswinkel \(\mu\).
- Sehnentangentenwinkel: Das ist der Winkel \( \tau\), der mit einer Tangente am Kreis durch einen der Punkte A oder B entsteht. Er ist eingeschlossen von der Tangente und der Strecke \( \overline{AB}\).
- Peripheriewinkel/Umfangswinkel/Randwinkel: Dieser Winkel liegt am Rand des Kreisbogens und wird von den Strecken eingeschlossen, die von den Punkten A und B zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreisbogen verlaufen. Das bedeutet, dass es mehrere Peripheriewinkel gibt.
- Der Peripheriewinkelsatz/Umfangswinkelsatz besagt, dass alle Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen die gleiche Größe besitzen.
- Der Zentri-Peripheriewinkelsatz besagt, dass jeder Zentriwinkel/Mittelpunktswinkel über einem Kreisbogen doppelt so groß ist wie die zugehörigen Peripheriewinkel.
- Die Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes besagt, dass die Punkte A, B, P und P' auf einem Kreis liegen, wenn die Winkel \(\angle ABP\) und \(\angle ABP'\) gleich groß sind und über derselben Strecke \( \overline{AB} \) liegen.
Nachweise
- Glaeser (2014). Der mathematische Werkzeugkasten: Anwendungen in Natur und Technik. Springer-Verlag.
- Berchtold (2016). Geometrie: Von Euklid bis zur hyperbolischen Geometrie mit Ausblick auf angrenzende Gebiete. Springer-Verlag.
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