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Peripheriewinkelsatz

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Peripheriewinkelsatz

Peripheriewinkelsatz, Umfangswinkelsatz, Randwinkelsatz – eine dieser Bezeichnungen hast Du vielleicht schon einmal gehört. Dabei beschreiben diese Bezeichnungen alle das Gleiche: das Verhalten eines besonderen Winkels am Kreisbogen.

Was genau der Kreisbogen ist, welche Winkel es dort gibt und wozu der Peripheriewinkelsatz da ist, erfährst Du in dieser Erklärung.

Wiederholung der Grundlagen

Ein Kreisbogen entsteht, indem eine Linie von einem Punkt auf einem Kreis zu einem anderen Punkt auf dem Kreis gezogen wird. Diese sogenannte Kreissehne \( \overline{AB} \) teilt den Kreis in zwei Kreisbögen. Am Kreisbogen lassen sich verschiedene Winkel finden, die für das Verständnis des Peripheriewinkelsatzes wichtig sind. Das sind unter anderem der Mittelpunktswinkel \( \mu \) und der Sehnentangentenwinkel \( \tau \).

Peripheriewinkelsatz Winkel am Kreisbogen StudySmarterAbbildung 1: Winkel am Kreisbogen

Mittelpunktswinkel/Zentriwinkel

Ist M der Mittelpunkt des Kreisbogens, so ist der Winkel \(\angle AMB\), der von den Strecken \( \overline{AM}\) und \( \overline{BM}\) eingeschlossen wird, der Mittelpunktswinkel \(\mu\).

Sehnentangentenwinkel

Der Sehnentangentenwinkel ist der Winkel \( \tau\), der mit einer Tangente am Kreis durch einen der Punkte A oder B entsteht. Er ist eingeschlossen von der Tangente und der Strecke \( \overline{AB}\).

Peripheriewinkel am Kreis – Definition

Der Peripheriewinkel ist ein weiterer Winkel am Kreisbogen, der bestimmte Eigenschaften besitzt.

Der Peripheriewinkel \(\phi \), auch Umfangswinkel oder Randwinkel genannt, liegt am Rand des Kreisbogens und wird von den Strecken eingeschlossen, die von den Punkten A und B zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreisbogen verlaufen. Das bedeutet, dass es mehrere Peripheriewinkel gibt.

Peripheriewinkelsatz Peripheriewinkel StudySmarterAbbildung2: Verschiedene Peripheriewinkel

Es gibt also unterschiedliche Peripheriewinkel/Umfangswinkel. Doch sind diese auch unterschiedlich groß? Diese Frage beantwortet der Peripheriewinkelsatz.

Peripheriewinkelsatz – Einfach erklärt

Du ahnst es vielleicht schon – die Peripheriewinkel/Umfangswinkel über einem Kreisbogen haben eine Gemeinsamkeit.

Der Peripheriewinkelsatz (auch Umfangswinkelsatz oder Randwinkelsatz genannt) besagt, dass alle Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen die gleiche Größe besitzen.

Ein Beispiel mit konkreter Größe der Peripheriewinkel siehst Du hier:

Peripheriewinkelsatz Beispiel StudySmarterAbbildung 3: Peripheriewinkelsatz Beispiel

Okay, also sind wirklich alle Peripheriewinkel an einem Kreisbogen gleich groß. Doch woher kommt diese Erkenntnis? Diese kann bewiesen werden. Dafür ist es allerdings wichtig, den Zusammenhang zwischen dem Mittelpunktswinkel/Zentriwinkel und dem Peripheriewinkel zu kennen.

Nicht nur alle Peripheriewinkel sing gleich groß. Die zwei Sehnentangentenwinkel sind ebenfalls so groß wie die Peripheriewinkel.

Zentri-Peripheriewinkelsatz

Der sogenannte Zentri-Peripheriewinkelsatz beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Mittelpunktswinkel und den Peripheriewinkeln eines Kreisbogens.

Der Zentri-Peripheriewinkelsatz besagt, dass jeder Zentriwinkel/Mittelpunktswinkel über einem Kreisbogen doppelt so groß ist wie die zugehörigen Peripheriewinkel.

Mehr zum Mittelpunktswinkel sowie zum Zentri-Peripheriewinkelsatz sowie den zugehörigen Beweis findest Du in der Erklärung zum Mittelpunktswinkel.

Peripheriewinkelsatz – Beweis

Damit Du den Peripheriewinkelsatz nachvollziehen kannst, solltest Du Dir hier den kurzen Beweis des Satzes ansehen.

Da Du nun schon weißt, dass ein Mittelpunktswinkel \( \mu \) doppelt so groß ist, wie ein dazugehöriger Peripheriewinkel \( \phi \), liegt der Beweis sehr nahe.

Es gilt also

\begin{align} \mu &= 2 \phi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \mu &= \phi \end{align}

Verschiebst Du den Punkt P auf dem Kreisbogen, verändert sich der Mittelpunktswinkel nicht. Der Peripheriewinkel jedoch sieht plötzlich anders aus. Da er laut Definition immer noch ein Peripheriewinkel über einem nicht veränderten Kreisbogen ist, gilt weiterhin der Zentri-Peripheriewinkelsatz und der Peripheriewinkel ist immer noch halb so groß wie der Mittelpunktswinkel. Somit bleibt der Peripheriewinkel auch bei einer Verschiebung von P immer gleich groß.

Peripheriewinkelsatz – Umkehrung

Der Peripheriewinkelsatz gilt auch umgekehrt.

Sind die Winkel \(\angle ABP\) und \(\angle ABP'\) gleich groß und liegen über derselben Strecke \( \overline{AB} \), so liegen die Punkte A, B, P und P' auf einem Kreis.

Zur Veranschaulichung kannst Du Dir folgende Abbildungen ansehen.

Peripheriewinkelsatz Umkehrung StudySmarterAbbildung 4: Umkehrung Peripheriewinkelsatz

In dieser Abbildung sind die Winkel in P und P' gleich groß und liegen über derselben Strecke.

Peripheriewinkelsatz Umkehrung StudySmarterAbbildung 5: Umkehrung Peripheriewinkelsatz

Daher liegen sie auf einem gemeinsamen Kreis.

Peripheriewinkelsatz – Aufgaben

Hier kannst Du Dein Wissen direkt anhand von Aufgaben überprüfen.

Aufgabe 1

Gegeben ist ein Kreisbogen mit Mittelpunktswinkel \( \mu=90^\circ\). Berechne die zugehörigen Peripheriewinkel.

Lösung

Unter Verwendung des Zentri-Peripheriewinkelsatzes können die Peripheriewinkel leicht berechnet werden. Die Peripheriewinkel sind halb so groß wie der Mittelpunktswinkel. Es gilt also

\begin{align} \phi &= \frac{1}{2} \mu \\ \Leftrightarrow \phi &= \frac{1}{2} \cdot 90^\circ \\ \Leftrightarrow \phi &= 45^\circ\end{align}

Alle Peripheriewinkel haben hier also \( 45^\circ \).

Aufgabe 2

Gegeben ist folgender Kreisbogen mit \( \alpha=46^\circ \) und \( \beta=46^\circ \).

Peripheriewinkelsatz Aufgabe 2 StudySmarterAbbildung 6: Aufgabe 2

Berechne die fehlenden Winkel \( \phi \), \( \xi \), \( \mu \) und \( \tau \).

Lösung

Gegeben sind die Basiswinkel \( \alpha \) und \( \beta \) des gleichschenkligen Dreiecks. Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck beträgt immer \( 180^\circ \). Deshalb kann \( \mu \) wie folgt berechnet werden:

\begin{align} \alpha + \beta + \mu &= 180^\circ \\ \Leftrightarrow \mu&=180^\circ - \alpha - \beta \\ \Leftrightarrow \mu&=180^\circ - 46^\circ - 46^\circ \end{align}

Damit ist \( \mu = 88^\circ \).

Nun kann der Zentri-Peripheriewinkelsatz genutzt werden, der besagt, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der zugehörige Peripheriewinkel. Damit ist dann

\begin{align} \phi &= \frac{1}{2} \mu \\ \Leftrightarrow \phi &= \frac{1}{2} \cdot 88^\circ \\ \Leftrightarrow \phi &= 44^\circ\end{align}

Da nun einer der Peripheriewinkel \( 44^\circ \) beträgt, betragen laut dem Peripheriesatz alle Peripheriewinkel \( 44^\circ \). Da \( \xi \) ebenfalls ein Peripheriewinkel zum gegebenen Kreisbogen ist, gilt

\[\xi=44^\circ \]

Damit sind alle gesuchten Winkel berechnet.

Aufgabe 3

Erkläre, was die Punkte A, B, C und D gemeinsam haben und warum.

Peripheriewinkelsatz Aufgabe 3 StudySmarterAbbildung 7: Aufgabe 3

Lösung

Die Punkte liegen alle auf einem gemeinsamen Kreis. Das liegt daran, dass die Winkel \( \angle ACB\) und \( \angle ADB\) gleich groß sind und über derselben Strecke \( \overline{AB} \) liegen. Mit diesen Eigenschaften gilt die Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes.

Peripheriewinkelsatz Lösung Aufgabe 3 StudySmarterAbbildung 8: Lösung Aufgabe 3

Peripheriewinkelsatz – Das Wichtigste

  • Es gibt drei besonders wichtige Winkel am Kreisbogen:
    • Mittelpunktswinkel/Zentriwinkel: Ist M der Mittelpunkt des Kreisbogens, dann ist der Winkel \(\angle AMB\), der von den Strecken \( \overline{AM}\) und \( \overline{BM}\) eingeschlossen wird, der Mittelpunktswinkel \(\mu\).
    • Sehnentangentenwinkel: Das ist der Winkel \( \tau\), der mit einer Tangente am Kreis durch einen der Punkte A oder B entsteht. Er ist eingeschlossen von der Tangente und der Strecke \( \overline{AB}\).
    • Peripheriewinkel/Umfangswinkel/Randwinkel: Dieser Winkel liegt am Rand des Kreisbogens und wird von den Strecken eingeschlossen, die von den Punkten A und B zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreisbogen verlaufen. Das bedeutet, dass es mehrere Peripheriewinkel gibt.
  • Der Peripheriewinkelsatz/Umfangswinkelsatz besagt, dass alle Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen die gleiche Größe besitzen.
  • Der Zentri-Peripheriewinkelsatz besagt, dass jeder Zentriwinkel/Mittelpunktswinkel über einem Kreisbogen doppelt so groß ist wie die zugehörigen Peripheriewinkel.
  • Die Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes besagt, dass die Punkte A, B, P und P' auf einem Kreis liegen, wenn die Winkel \(\angle ABP\) und \(\angle ABP'\) gleich groß sind und über derselben Strecke \( \overline{AB} \) liegen.

Nachweise

  1. Glaeser (2014). Der mathematische Werkzeugkasten: Anwendungen in Natur und Technik. Springer-Verlag.
  2. Berchtold (2016). Geometrie: Von Euklid bis zur hyperbolischen Geometrie mit Ausblick auf angrenzende Gebiete. Springer-Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Peripheriewinkelsatz

Der Peripheriewinkelsatz (Umfangswinkelsatz) besagt, dass alle Peripheriewinkel (Umfangswinkel) über demselben Kreisbogen die gleiche Größe besitzen.

Peripheriewinkelsatz: Alle Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen besitzen die gleiche Größe.

Der Peripheriewinkelsatz gilt für alle Peripheriewinkel am Kreisbogen. Das sind die Winkel, die am Rand des Kreisbogens liegen und von den Strecken eingeschlossen werden, die von zwei Punkten A und B zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreisbogen verlaufen. 

Der Zentri-Peripheriewinkelsatz besagt, dass jeder Zentriwinkel/Mittelpunktswinkel über einem Kreisbogen doppelt so groß ist, wie die zugehörigen Peripheriewinkel.

Finales Peripheriewinkelsatz Quiz

Frage

Nenne alle weiteren Bezeichnungen für den Randwinkel, die Du kennst.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Randwinkel wird auch Peripheriewinkel oder Umfangswinkel genannt.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was unter einem Kreisbogen verstanden wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Kreisbogen ist ein Kreis mit einer Linie von einem Punkt auf einem Kreis zu einem anderem Punkt auf dem Kreis. Diese sogenannte Kreissehne teilt den Kreis in zwei Kreisbögen.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wo der Mittelpunktswinkel im Kreisbogen leigt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Mittelpunktswinkel, auch Zentriwinkel genannt, liegt am Mittelpunkt des Kreisbogens und wird eingeschlossen von zwei Strecken, die den Mittelpunkt mit den Enden der Kreissehne verbinden.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wo der Peripheriewinkel am Kreisbogen liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Peripheriewinkel, auch Umfangswinkel oder Randwinkel genannt, liegt am Rand des Kreisbogens und wird von den Strecken eingeschlossen, die von den Punkten A und B zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreisbogen verlaufen.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage: 


Es gibt genau einen Peripheriewinkel an einem Kreisbogen.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Über einem Kreisbogen gibt es mehrere Peripheriewinkel.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Alle Peripheriewinkel über einem Kreisbogen sind gleich groß.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist richtig und gilt mit dem Peripheriewinkelsatz.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Aussage des Peripheriewinkelsatzes.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Peripheriewinkelsatz sagt aus, dass über einem Kreisbogen alle Peripheriewinkel die gleiche Größe besitzen.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Aussage des Zentri-Peripheriewinkelsatzes.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Zentri-Peripheriewinkelsatz besagt, dass jeder Zentriwinkel/Mittelpunktswinkel über einem Kreisbogen doppelt so groß ist, wie die zugehörigen Peripheriewinkel. Entsprechend gilt umgekehrt, dass alle Peripheriewinkel halb so groß sind, wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Verschiebst du den Punkt am Kreisbogen, an dem der Peripheriewinkel anliegt, verändert sich die Größe des Mittelpunktswinkels nicht.

Antwort anzeigen

Antwort

Diese Aussage ist wahr. Das liegt daran, dass der Mittelpunktswinkel nur von der Lage Kreissehne abhängt. Diese bleibt stets fest im Kreisbogen.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was die Umkehrung des Peripheriesatzes aussagt.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Umkehrung des Peripheriesatzes sagt aus, dass wenn zwei Winkel in den Punkten C und D über derselben Strecke \( \overline{AB} \) gleich groß sind, so liegen die Punkte A, B, C und D auf einem gemeinsamen Kreis.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist ein Kreisbogen mit Mittelpunktswinkel \( 63^\circ \). Berechne die Größe der zugehörigen Peripheriewinkel.

Antwort anzeigen

Antwort

Mit dem Zentri-Peripheriewinkelsatz gilt, dass die Peripheriewinkel halb so groß sind, wie der Mittelpunktswinkel. Also betragen die Peripheriewinkel \( 31,5^\circ \).

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wie groß die Peripheriewinkel über einem Kreisbogen mit Mittelpunktswinkel \( 82^\circ\) sind.

Antwort anzeigen

Antwort

\( 82^\circ\)

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche der folgenden Aussagen wahr sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Sehnentangentenwinkel sind genau so groß wie der Mittelpunktswinkel.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Peripheriewinkel über einem Kreisbogen mit einem gegebenem Sehnentangentenwinkel von \(27^\circ\).

Antwort anzeigen

Antwort

Die Sehnentangentenwinkel und die Peripheriewinkel an einem Kreisbogen sind gleich groß. Daher betragen die Peripheriewinkel in diesem Fall ebenfalls \(27^\circ\).

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Peripheriewinkel über einem Kreisbogen mit einem gegebenem Sehnentangentenwinkel von \(27^\circ\).

Antwort anzeigen

Antwort

Die Sehnentangentenwinkel und die Peripheriewinkel an einem Kreisbogen sind gleich groß. Daher betragen die Peripheriewinkel in diesem Fall ebenfalls \(27^\circ\).

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