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Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden beschreibt die kürzeste Entfernung, welche mithilfe einer senkrechten Strecke zwischen diesen beiden, dem sogenannten Lot, dargestellt werden kann. Doch wie kann man diese Strecke berechnen?Man kann den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden auf viele verschiedene Art und Weisen berechnen. Ein paar davon haben wir dir hier zusammengeschrieben. Je nach Aufgabe…
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Jetzt kostenlos anmeldenDer Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden beschreibt die kürzeste Entfernung, welche mithilfe einer senkrechten Strecke zwischen diesen beiden, dem sogenannten Lot, dargestellt werden kann. Doch wie kann man diese Strecke berechnen?
Man kann den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden auf viele verschiedene Art und Weisen berechnen. Ein paar davon haben wir dir hier zusammengeschrieben. Je nach Aufgabe und deiner persönlichen Präferenz kannst du dir aussuchen, welches Verfahren du anwendest.
Für diese Variante machen wir uns den Normalenvektor einer Hilfsebene zunutze, da dieser durch seine Orthogonalität immer den kürzesten Abstand bietet.
Aufgabe 1
Gegeben sind eine Gerade und ein Punkt . Es soll der Abstand zwischen g und P berechnet werden. Zusätzlich ist nach dem Lotfußpunkt gefragt.
Abbildung 1: Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden mit einer Hilfsebene
1. Um diese Aufgabe mithilfe einer Hilfsebene zu lösen, stellen wir erst einmal die Gleichung der Hilfsebene auf. Diese Hilfsebene soll durch den Punkt P gehen und orthogonal zum Richtungsvektor der Geradensein. Hier bietet es sich an, eine Ebene in Normalenform aufzustellen, da in dieser Formsenkrecht auf der Ebene steht und somit = gilt.
Zur Erinnerung: orthogonal = senkrecht.
2. Als Nächstes solltest du die Ebenengleichung E in die Koordinatenform umwandeln. So ist es später einfacher weiterzurechnen.
3. Im nächsten Schritt soll nun der Schnittpunkt von der Geraden g mit der Ebene E berechnet werden. Dafür muss die Geradengleichung umgeschrieben und dann in E eingesetzt werden.
4. Jetzt kannst du λ in die Geradengleichung g einsetzen, um den Schnittpunkt und Lotfußpunkt S zu erhalten.
5. Im Folgenden muss dann die Streckeermittelt und deren Länge ausgerechnet werden. Die Streckeentspricht dem Abstand d zwischen dem Punkt P und der Geraden g (S liegt auf g).
Zur Erinnerung: Der Betrag eines Vektors wird anders berechnet als der Vektor einer Zahl!
Eine weitere Möglichkeit, sowohl den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden und den Lotfußpunkt zu berechnen, ist das Lotfußpunktverfahren. Hier nutzen wir die Tatsache, dass der Vektor des Lotfußpunkt zum Punkt P senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden g steht und somit deren Skalarprodukt 0 ergeben muss.
Aufgabe 2
Gegeben ist wieder eine Gerade g, diesmal mit der Gleichung und ein Punkt .
Es soll der Abstand zwischen der Geraden g und dem Punkt P, sowie der Lotfußpunkt F, berechnet werden.
Abbildung 2: Lotfußpunktverfahren
1. Da der Lotfußpunkt F auf jeden Fall auf der Geraden g liegen muss, kann dieser auch in Abhängigkeit von λ angegeben werden.
2. Die Länge der Verbindungsstreckeentspricht jetzt genau unserem gesuchten Abstand d. Jetzt fehlt nur noch das "richtige λ", sodasssenkrecht auf der Geraden g steht. Wenn senkrecht auf g stehen soll, dann mussauch senkrecht auf den Richtungsvektorder Geraden stehen. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt der beiden 0 sein muss. Dazu müssen wir jedoch erst mal die Streckeberechnen.
Zur Erinnerung: Geradengleichungen haben die Form, wobei der Ortsvektor und der Richtungsvektor ist.
3. Jetzt kannst du dein ausgerechnetes λ in von oben einfügen.
4. Als Letztes musst du jetzt nur noch wieder die Länge vonberechnen.
Bei dieser Variante greifen wir auf die Analysis und deren Definition und Berechnung eines Minimums zurück, um so den kleinstmöglichen Abstand zwischen der Geraden g und dem Punkt P zu berechnen.
Aufgabe 3
Gegeben ist ein Graph und ein Punkt . Nun soll der minimale Abstand d zwischen g und P mithilfe der Differentialgleichung berechnet werden. Außerdem ist nach dem Lotfußpunkt F gefragt.
1. Mit dem minimalen Abstand ist der kleinstmögliche Abstand gemeint. Wie auch schon bei den anderen Lösungswegen entspricht der Abstand d der Länge der Strecke zwischen dem Punkt P und einem Punkt F auf der Geraden. Deshalb kann hier zunächst wieder wie bei dem Lotfußpunktverfahren vorgegangen werden: F in Abhängigkeit von r angeben und so auch den allgemeinen Vektorangeben.
2. Jetzt setzt man die Gleichung mit der Variable r inein und löst auf. Die Gleichung ist dann in Abhängigkeit von r angegeben, wodurch wir sie auch d(r) nennen können.
Zur Erinnerung: Die erste binomische Formel besagt:
3. Jetzt ist der Abstand am kleinsten, wenn der Term unter der Wurzel am kleinsten ist. Deshalb reicht es aus, wenn wir uns nur den Termunter der Wurzel anschauen.
Durch die Wurzel wird der Term um den Faktorkleiner, behält aber seine Ausrichtung bei. Das bedeutet, dass Minima und Maxima der Wurzelfunktionan den gleichen Stellen sind wie Minima und Maxima der Hilfsfunktion .
Da die Bedingung für ein Minimumlautet, müssen wir zunächst die erste und zweite Ableitung von f(r) berechnen. Anschließend können wir prüfen, bei welchem Wert von r die Bedingungen erfüllt sind.
Tipp: Wenn du nicht mehr weißt, wie man auf die Bedingungen für ein Minimum kommt, lies dir doch unseren Artikel zur Extremwertberechnung durch!
4. Für den Wert sind beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass d(r) an dieser Stelle am kleinsten ist. Jetzt musst du nur noch r in d(r) einsetzen, um den Abstand vom Punkt P zur Geraden g zu erhalten.
5. Um jetzt noch auf den Lotfußpunkt zu kommen, setzt du einfach in den Punktvon oben ein.
Tipp: Prüfe erst, ob der Punkt P vielleicht auf der Geraden g liegt, dann kannst du dir die ganzen Rechnungen sparen. Dafür musst du den Punkt P mit der Geradengleichung g gleichsetzen und anschließend Zeile für Zeile nach λ auflösen. Wenn du in jeder Zeile den gleichen Wert für λ erhältst, liegt der Punkt auf der Geraden.
Wenn du im Zweidimensionalen den Abstand eines Punkteszu einer Geraden berechnen sollst, kannst du das wie im Dreidimensionalen berechnen. Schließlich ist die dritte Koordinate einfach 0, weshalb es nicht notwendig ist, sie aufzuschreiben. P ist also eigentlichund g .
Wenn du die Angabe also so umgeschrieben hast, kannst du dann wieder mit einem von den Verfahren von oben weiterrechnen.
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, den Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g zu berechnen, ist die Abstandsregel. Diese basiert auf den Beziehungen innerhalb eines Dreiecks mit der Höhe d (der Abstand zwischen Punkt und Gerade). Du nimmst folgende Formel:
Das d steht dabei für den Abstand zwischen dem Punktund der Geraden . Jetzt musst du nur deine gegebenen Werte einsetzen und dann das Ergebnis ausrechnen.
Zur Erinnerung: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnet man so:
Abbildung 3: Kreuzprodukt
Aufgabe 4
Berechne den Abstand der Geraden zum Punkt mit der Abstandsregel.
Abbildung 4: Abstandsregel Beispiel
Lösung
Generell hast du zwei Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen. Entweder, du ersetzt direkt alle Variablen und rechnest es sozusagen "am Stück" aus, oder du rechnest es Stück für Stück aus und setzt am Ende die Ergebnisse in die Formel ein, um diese kürzer zu halten. Zur Übersichtlichkeit rechnen wir hier mit der 2. Variante.
1. Als Erstes kannst du denn Vektor berechnen:
2. Als Nächstes können wir das Kreuzprodukt des Vektors berechnen:
3. Jetzt können wir den Betrag des Kreuzprodukts von ausrechnen:
Hier musst du darauf achten, das Ergebnis nicht zu runden, da du es später in die Formel einsetzten musst. Denn wenn jedes dieser Ergebnisse bereits gerundet ist und dann erneut gerundet wird, ist es sehr ungenau.
4. Im nächsten Schritt können wir noch den Betrag des Vektorsberechnen:
5. Als Letztes kannst du jetzt alle Ergebnis in die Formel einsetzen:
Nun fragst du dich vielleicht: Woher kommt eigentlich diese Formel?
Sie besteht aus zwei dir schon bekannten Formeln:
und
Die erste Formel kennst du vielleicht noch aus der Mittelstufe. Mit ihr kannst du den Flächeninhalt eines zweidimensionalen Dreiecks berechnen.
Die zweite Formel kennst du aus der analytischen Geometrie. Sie hilft dir beim Berechnen eines dreidimensionalen Dreiecks.
Abbildung 5: Dreieck
Wenn du dir das Dreieck anschaust, wollen wir den Abstand von der Grundlinie g, genauer gesagt, zu dem gegenüberliegenden Punkt P berechnen. Demnach können wir jetzt die beiden Dreiecksgleichungen von oben gleichsetzen und nach der Höhe h, die in diesem Fall unserem Abstand d entspricht, auflösen.
Und schon hast du die Abstandsformel von oben!
Zur Erinnerung: und
Zum Abschluss kannst du hier dein Wissen testen. So kannst du dir sicher sein, dass du auch wirklich alles verstanden hast.
Aufgabe 5
Berechne den Abstand d zwischen dem Punktund der Geraden mithilfe einer Ebene. Gib weiterhin auch den Lotfußpunktan.
Lösung
Abbildung 6: Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden mit einer Hilfsebene
Prüfe, ob der Punkt P eventuell auf der Geraden g liegt. Dabei gilt: P gleich g. Anschließend muss jede Zeile nach λ aufgelöst werden.
P liegt nicht auf g, da λ unterschiedliche Werte annimmt.
1. Um den Abstand d zwischen dem Punkt P und der Geraden g zu berechnen, musst du als Erstes eine Hilfsebene aufstellen, die durch den Punkt P geht und orthogonal zum Richtungsvektor ist. Es ist am einfachsten, wenn du diese Ebene erst in der Normalenform aufstellst und sie dann in die Koordinatenform umwandelst.
Der Richtungsvektorist in diesem Fall. Er kann jetzt anstatt vonin die Ebenengleichung eingefügt werden.
Tipp: Wenn du dir nicht mehr ganz sicher bist, welche verschiedenen Formen von Ebenengleichungen es gibt und wie sie sich zusammensetzen, schaue dir doch unsere Artikel zum Thema Darstellung von Geraden und Ebenen an.
2. Jetzt kannst du den Schnittpunktvon der Geraden g mit der Ebene E berechnen, indem du g in E einsetzt und λ ausrechnest. Dafür musst du g in Abhängigkeit von λ ausdrücken.
Du schreibst also:
g in E:
3. Um den Schnittpunktvon Gerade und Ebene zu erhalten, musst du λ in g einsetzen. Dieser Punkt entspricht dem Lotfußpunkt, wenn du mit dem Lotfußpunktverfahren gerechnet hättest.
λ in g:
4. Als Nächstes muss die Streckeberechnet werden, da dieser Betrag dem Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g entspricht.berechnest du, indem durechnest.
Aufgabe 6
Welche Punkte der Gerade haben vonden Abstand 6?
Lösung
Wir wissen, dass die gesuchten Punkte alle auf der Geraden g liegen, also können wir sie "in Abhängigkeit" von λ angeben. Jeder Punkt hat also die Koordinaten von der Geraden g.
Als Nächstes können wir den Abstand von Q zu P ausrechnen, indem wir den Betrag der Strecke berechnen. Da d = 6 sein muss, können wir d ersetzen und nach λ auflösen.
Da d = 6 sein muss, können wir d ersetzen und nach λ auflösen.
Punkte, die in Abhängigkeit von einer Variablen angegeben werden können, nennt man laufender Punkt einer Geraden
Als Letztes können wir jetzt in den Punkt Q einsetzen.
Die Punkteliegen also auf der Gerade g und haben den Abstand 6 von P.
Wenn wir mit der Differentialgleichung rechnen, greifen wir auf die Analysis und deren Definition und Berechnung eines Minimums zurück, um so den kleinstmöglichen Abstand zwischen der Geraden g und dem Punkt P zu berechnen.
Um den Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g zu berechnen, gibt es vier verschiedene Möglichkeiten:
- die Abstandsformel
- Abstandsberechnung mit einer Hilfsebene
- das Lotfußpunktverfahren
- und Abstandsberechnung mithilfe der Differentialgleichung.
Je nach Fragestellung kannst du entscheiden, welches Verfahren du anwendest.
Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, musst du den Punkt mit der Geradengleichung gleichsetzen. Anschließend kannst du es Zeile für Zeile nach lambda auflösen. Wenn bei jeder Zeile der gleiche Wert für lambda herauskommt, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
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