Abstand Punkt Gerade

Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden beschreibt die kürzeste Entfernung, welche mithilfe einer senkrechten Strecke zwischen diesen beiden, dem sogenannten Lot, dargestellt werden kann. Doch wie kann man diese Strecke berechnen?

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Abstand Punkt Gerade berechnen Übersicht

    Man kann den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden auf viele verschiedene Art und Weisen berechnen. Ein paar davon haben wir dir hier zusammengeschrieben. Je nach Aufgabe und deiner persönlichen Präferenz kannst du dir aussuchen, welches Verfahren du anwendest.

    Berechnung mit einer Hilfsebene

    Für diese Variante machen wir uns den Normalenvektor einer Hilfsebene zunutze, da dieser durch seine Orthogonalität immer den kürzesten Abstand bietet.

    Aufgabe 1

    Gegeben sind eine Gerade g: x = 512 + λ · -131 und ein Punkt . Es soll der Abstand zwischen g und P berechnet werden. Zusätzlich ist nach dem Lotfußpunkt gefragt.

    Abstand ÜPunkt Gerade berechnen mit Hilfsebene StudySmarterAbbildung 1: Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden mit einer Hilfsebene

    1. Um diese Aufgabe mithilfe einer Hilfsebene zu lösen, stellen wir erst einmal die Gleichung der Hilfsebene auf. Diese Hilfsebene soll durch den Punkt P gehen und orthogonal zum Richtungsvektor der Geradenusein. Hier bietet es sich an, eine Ebene in Normalenform aufzustellen, da in dieser Formnsenkrecht auf der Ebene steht und somitu = ngilt.

    Zur Erinnerung: orthogonal = senkrecht.

    E: x - 243 -131 = 0

    2. Als Nächstes solltest du die Ebenengleichung E in die Koordinatenform umwandeln. So ist es später einfacher weiterzurechnen.

    x1x2x3 - 243 -131 = 0 -x1 - 2 + 3x2 - 4 + x3 - 3 = 0E: 2 - x1 + 3x2 -12 + x3 - 3 = 0E: -x1 + 3x2 + x3 = 13

    3. Im nächsten Schritt soll nun der Schnittpunkt von der Geraden g mit der Ebene E berechnet werden. Dafür muss die Geradengleichung umgeschrieben und dann in E eingesetzt werden.

    g: x = 5 - 1 · λ1 + 3 · λ2 + 1 · λ

    E: -5 - λ + 3 1 + 3λ + (2 + λ) = 13E: -5 + λ + 3 + 9λ + 2 + λ = 13E: 11λ = 13E: λ = 1311

    4. Jetzt kannst du λ in die Geradengleichung g einsetzen, um den Schnittpunkt und Lotfußpunkt S zu erhalten.

    S = 5 - 1 · 13111 + 3 · 13112 + 1 · 1311 = 421150113511

    5. Im Folgenden muss dann die StreckePSermittelt und deren Länge ausgerechnet werden. Die StreckePSentspricht dem Abstand d zwischen dem Punkt P und der Geraden g (S liegt auf g).

    PS = S - P = 421150113511 - 243 = 2011611211

    d = PS = 2011611211 = 20112 + 6112 + 2112 = 4011 1,9

    Zur Erinnerung: Der Betrag eines Vektors wird anders berechnet als der Vektor einer Zahl!

    ±a = +aa = a12 + a22 + a32

    Abstand Punkt Gerade berechnen – Lotfußpunkt und Vektoren

    Eine weitere Möglichkeit, sowohl den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden und den Lotfußpunkt zu berechnen, ist das Lotfußpunktverfahren. Hier nutzen wir die Tatsache, dass der Vektor des Lotfußpunkt zum Punkt P senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden g steht und somit deren Skalarprodukt 0 ergeben muss.

    Aufgabe 2

    Gegeben ist wieder eine Gerade g, diesmal mit der Gleichung g: x = 422 + λ · 25-2 und ein Punkt P 323.

    Es soll der Abstand zwischen der Geraden g und dem Punkt P, sowie der Lotfußpunkt F, berechnet werden.

    Abstand Punkt Gerade Lotfußpunktverfahren StudySmarterAbbildung 2: Lotfußpunktverfahren

    1. Da der Lotfußpunkt F auf jeden Fall auf der Geraden g liegen muss, kann dieser auch in Abhängigkeit von λ angegeben werden.

    F (4 + 2λ | 2 + 5λ | 2-2λ)

    2. Die Länge der VerbindungsstreckePFentspricht jetzt genau unserem gesuchten Abstand d. Jetzt fehlt nur noch das "richtige λ", sodassPFsenkrecht auf der Geraden g steht. WennPF senkrecht auf g stehen soll, dann mussPFauch senkrecht auf den Richtungsvektoruder Geraden stehen. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt der beiden 0 sein muss. Dazu müssen wir jedoch erst mal die StreckePFberechnen.

    PF = F - P = (4 + 2λ) - 3(2 + 5λ) - 2(2 - 2λ) - 3 = 1 + 2λ5λ-1 - 2λ

    PF u= 01 + 2λ5λ-1 - 2λ 25-2 = 02 · (1 + 2λ) + 5 · 5λ + (-2) · (-1 - 2λ) = 02 + 4λ + 25λ + 2 + 4λ = 033λ + 4 = 033λ = -4λ = -433

    Zur Erinnerung: Geradengleichungen haben die Formg:x = p + λu, wobei pder Ortsvektor und uder Richtungsvektor ist.

    3. Jetzt kannst du dein ausgerechnetes λ in PF von oben einfügen.

    F 4 + 2 ·-4332 + 5 · -4332 - 2 · -433 F 1243346337433

    4. Als Letztes musst du jetzt nur noch wieder die Länge vonPFberechnen.

    d = PF = 124332 + 46332 + 74332 = 23211 4, 6

    Abstand Punkt Gerade berechnen mithilfe der Differentialgleichung

    Bei dieser Variante greifen wir auf die Analysis und deren Definition und Berechnung eines Minimums zurück, um so den kleinstmöglichen Abstand zwischen der Geraden g und dem Punkt P zu berechnen.

    Aufgabe 3

    Gegeben ist ein Graph g: x = 31-1 + λ · 523 und ein Punkt P (-2 | 4 | 2). Nun soll der minimale Abstand d zwischen g und P mithilfe der Differentialgleichung berechnet werden. Außerdem ist nach dem Lotfußpunkt F gefragt.

    1. Mit dem minimalen Abstand ist der kleinstmögliche Abstand gemeint. Wie auch schon bei den anderen Lösungswegen entspricht der Abstand d der Länge der Strecke zwischen dem Punkt P und einem Punkt F auf der Geraden. Deshalb kann hier zunächst wieder wie bei dem Lotfußpunktverfahren vorgegangen werden: F in Abhängigkeit von r angeben und so auch den allgemeinen VektorPFangeben.

    F 31-1 + r · 523 F 3 + 5r1 + 2r-1 + 3r

    PF = 3 + 5r1 + 2r-1 + 3r - -242 = 3 + 5r + 21 + 2r - 4-1 + 3r -2 = 5 + 5r-3 + 2r-3 + 3r

    2. Jetzt setzt man die Gleichung mit der Variable r ind = PFein und löst auf. Die Gleichung ist dann in Abhängigkeit von r angegeben, wodurch wir sie auch d(r) nennen können.

    d = PF = 5 + 5r-3 + 2r-3 + 3r

    d(r) = (5 + 5r)2 + (-3 + 2r)2 + (-3 + 3r)2 d(r) = (25 + 2 · 5 · 5r + 25r2) + (9 + 2 · (-3) · 2r + 4r2) + (9 + 2 · (-3) · 3r + 9r2)d(r) = 25 + 50r + 25r2 + 9 - 12r + 4r2 + 9 - 18r + 9r2d(r) = 38r2 + 20r + 43

    Zur Erinnerung: Die erste binomische Formel besagt: a + b2 = a2 + 2ab + b2

    3. Jetzt ist der Abstand am kleinsten, wenn der Term unter der Wurzel am kleinsten ist. Deshalb reicht es aus, wenn wir uns nur den Termf(r) = 38r2 + 20r + 43unter der Wurzel anschauen.

    Durch die Wurzel wird der Term um den Faktora1xkleiner, behält aber seine Ausrichtung bei. Das bedeutet, dass Minima und Maxima der Wurzelfunktiond(r)an den gleichen Stellen sind wie Minima und Maxima der Hilfsfunktion f(r)=d(r)².

    Da die Bedingung für ein Minimumf'(r) = 0 und f''(r) > 0lautet, müssen wir zunächst die erste und zweite Ableitung von f(r) berechnen. Anschließend können wir prüfen, bei welchem Wert von r die Bedingungen erfüllt sind.

    f'(r) = 76r + 20f''(r) = 76

    0 = 76r + 20 -20 = 76r r = -519

    76 > 0

    Tipp: Wenn du nicht mehr weißt, wie man auf die Bedingungen für ein Minimum kommt, lies dir doch unseren Artikel zur Extremwertberechnung durch!

    4. Für den Wertr = -519 sind beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass d(r) an dieser Stelle am kleinsten ist. Jetzt musst du nur noch r in d(r) einsetzen, um den Abstand vom Punkt P zur Geraden g zu erhalten.

    d(r) = 38 · -5192 + 20 · -519 + 43 d(r) = 76719 40, 37

    5. Um jetzt noch auf den Lotfußpunkt zu kommen, setzt du einfach r = -519 in den PunktFvon oben ein.

    F 3 + 5 · -5191 + 2 · -519-1 + 3 · -519 F 3219919-3419

    Tipp: Prüfe erst, ob der Punkt P vielleicht auf der Geraden g liegt, dann kannst du dir die ganzen Rechnungen sparen. Dafür musst du den Punkt P mit der Geradengleichung g gleichsetzen und anschließend Zeile für Zeile nach λ auflösen. Wenn du in jeder Zeile den gleichen Wert für λ erhältst, liegt der Punkt auf der Geraden.

    Wenn du im Zweidimensionalen den Abstand eines PunktesP 12zu einer Geraden g: x = 34 + λ · 56berechnen sollst, kannst du das wie im Dreidimensionalen berechnen. Schließlich ist die dritte Koordinate einfach 0, weshalb es nicht notwendig ist, sie aufzuschreiben. P ist also eigentlichP 120und g g: x = 340 + λ · 560.

    Wenn du die Angabe also so umgeschrieben hast, kannst du dann wieder mit einem von den Verfahren von oben weiterrechnen.

    Abstand Punkt Gerade – Die Abstandsregel

    Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, den Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g zu berechnen, ist die Abstandsregel. Diese basiert auf den Beziehungen innerhalb eines Dreiecks mit der Höhe d (der Abstand zwischen Punkt und Gerade). Du nimmst folgende Formel:

    d = (p - a) × bb

    Das d steht dabei für den Abstand zwischen dem PunktP (P1|P2|P3)und der Geraden g:x = a + λb. Jetzt musst du nur deine gegebenen Werte einsetzen und dann das Ergebnis ausrechnen.

    Zur Erinnerung: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b berechnet man so:

    Abstand Punkt Gerade, Kreuzprodukt, StudySmarterAbbildung 3: Kreuzprodukt

    Aufgabe 4

    Berechne den Abstand der Geraden g:x = 213 + λ · 411 zum Punkt P -233 mit der Abstandsregel.

    Abstand Punkt Gerade, Abstandsregel Beispiel, StudySmarterAbbildung 4: Abstandsregel Beispiel

    Lösung

    Generell hast du zwei Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen. Entweder, du ersetzt direkt alle Variablen und rechnest es sozusagen "am Stück" aus, oder du rechnest es Stück für Stück aus und setzt am Ende die Ergebnisse in die Formel ein, um diese kürzer zu halten. Zur Übersichtlichkeit rechnen wir hier mit der 2. Variante.

    1. Als Erstes kannst du denn Vektor ap berechnen:

    ap = p - ap - a = -233 - 212 = -2 - 23 - 13 - 2 ap = -421

    2. Als Nächstes können wir das Kreuzprodukt des Vektors ap mit b berechnen:

    ap × b = -421 × 411 ap × b = (2 · 1) - (1 · 1)(1 · 4) - (1 · (-4))(-4 ·1) - (4 · 2) = 2 - 14 - (-4)-4 - 8 = 18-12

    3. Jetzt können wir den Betrag des Kreuzprodukts von ap und b ausrechnen:

    ap × b = 18-12ap × b = 12 + 82 + (-12)2 = 1 + 64 + 144 = 209

    Hier musst du darauf achten, das Ergebnis nicht zu runden, da du es später in die Formel einsetzten musst. Denn wenn jedes dieser Ergebnisse bereits gerundet ist und dann erneut gerundet wird, ist es sehr ungenau.

    4. Im nächsten Schritt können wir noch den Betrag des Vektorsbberechnen:

    b = 411b = 42 + 12 + 12 =16 + 1 + 1 = 18

    5. Als Letztes kannst du jetzt alle Ergebnis in die Formel einsetzen:

    d = (p - a) × bbd = 20918 = 4186 3,4

    Nun fragst du dich vielleicht: Woher kommt eigentlich diese Formel?

    Sie besteht aus zwei dir schon bekannten Formeln:

    A = 12 · g · h

    und

    A = 12 · ap × b

    Die erste Formel kennst du vielleicht noch aus der Mittelstufe. Mit ihr kannst du den Flächeninhalt eines zweidimensionalen Dreiecks berechnen.

    Die zweite Formel kennst du aus der analytischen Geometrie. Sie hilft dir beim Berechnen eines dreidimensionalen Dreiecks.

    Abstand Punkt Gerade, Herleitung der Abstandsregel, StudySmarterAbbildung 5: Dreieck

    Wenn du dir das Dreieck anschaust, wollen wir den Abstand von der Grundlinie g, genauer gesagtb, zu dem gegenüberliegenden Punkt P berechnen. Demnach können wir jetzt die beiden Dreiecksgleichungen von oben gleichsetzen und nach der Höhe h, die in diesem Fall unserem Abstand d entspricht, auflösen.

    12 · g · h = 12 · ap × b |·2g · h = ap × b |·1gh = ap × bg

    Und schon hast du die Abstandsformel von oben!

    Zur Erinnerung: g = b und ap = p - a

    Abstand Punkt Gerade – Aufgaben

    Zum Abschluss kannst du hier dein Wissen testen. So kannst du dir sicher sein, dass du auch wirklich alles verstanden hast.

    Aufgabe 5

    Berechne den Abstand d zwischen dem PunktP 20-2und der Geradeng: x = 040 + λ · 112 mithilfe einer Ebene. Gib weiterhin auch den LotfußpunktFan.

    Lösung

    Abstand Punkt Gerade, Abstand Punkt Gerade mit Hilfsebene, StudySmarterAbbildung 6: Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden mit einer Hilfsebene

    Prüfe, ob der Punkt P eventuell auf der Geraden g liegt. Dabei gilt: P gleich g. Anschließend muss jede Zeile nach λ aufgelöst werden.

    P = g

    20-2 = 0 + 1 · λ4 + 1 · λ0 + 2 · λ1. 2 = λ2. 0 = 4 + λ λ = -43. -2 = 2 · λ λ = -1

    P liegt nicht auf g, da λ unterschiedliche Werte annimmt.

    1. Um den Abstand d zwischen dem Punkt P und der Geraden g zu berechnen, musst du als Erstes eine Hilfsebene aufstellen, die durch den Punkt P geht und orthogonal zum Richtungsvektor u ist. Es ist am einfachsten, wenn du diese Ebene erst in der Normalenform aufstellst und sie dann in die Koordinatenform umwandelst.

    Der Richtungsvektoruist in diesem Fall112. Er kann jetzt anstatt vonnin die Ebenengleichung E: x- p n = 0eingefügt werden.

    E: x - 20-2 112 = 0E: 1 · (x1 - 2) + 1· (x2 - 0) + 2 · (x3 - (-2)) = 0E: (x1 - 2) + x2 + 2 · (x3 + 2) = 0E: x1 - 2 + x2 + 2x3 + 4 = 0E: x1 +x2 + 2x3 = -2

    Tipp: Wenn du dir nicht mehr ganz sicher bist, welche verschiedenen Formen von Ebenengleichungen es gibt und wie sie sich zusammensetzen, schaue dir doch unsere Artikel zum Thema Darstellung von Geraden und Ebenen an.

    2. Jetzt kannst du den SchnittpunktFvon der Geraden g mit der Ebene E berechnen, indem du g in E einsetzt und λ ausrechnest. Dafür musst du g in Abhängigkeit von λ ausdrücken.

    Du schreibst also:

    g: x = 0 + 1 · λ4 + 1 · λ0 + 2 · λ g: x = λ4 + λ2λ

    g in E:

    λ + (4 + λ) + 2 · (2λ) = -2λ + 4 + λ + 4λ = -24 + 6λ = -26λ = -6λ = -1

    3. Um den SchnittpunktFvon Gerade und Ebene zu erhalten, musst du λ in g einsetzen. Dieser Punkt entspricht dem Lotfußpunkt, wenn du mit dem Lotfußpunktverfahren gerechnet hättest.

    λ in g: g: x = -14+ (-1)2 · (-1)

    F -13-2

    4. Als Nächstes muss die StreckePFberechnet werden, da dieser Betrag dem Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g entspricht.PFberechnest du, indem duF - Prechnest.

    PF = F - P = -13-2 - 20-2

    PF = -330 PF= dd = -330d = (-3)2 + 32 + 02d = 9 + 9d = 18 4, 2

    PF = d

    Aufgabe 6

    Welche Punkte der Gerade g:x = -12-6 + λ · 1-14 haben vonP 432den Abstand 6?

    Lösung

    Wir wissen, dass die gesuchten Punkte alle auf der Geraden g liegen, also können wir sie "in Abhängigkeit" von λ angeben. Jeder Punkt hat also die Koordinaten von der Geraden g.

    Q -1 + λ · 12 + λ · (-1)-6 + λ · 4 Q -1 + λ2 - λ-6 + 4λ

    Als Nächstes können wir den Abstand von Q zu P ausrechnen, indem wir den Betrag der Strecke PQ berechnen. Da d = 6 sein muss, können wir d ersetzen und nach λ auflösen.

    PQ = Q - P = -1 + λ2 - λ-6 + 4λ - 432PQ = -1 + λ - 42 - λ - 3-6 + 4λ - 2 = -5 + λ-1 - λ-8 + 4λd = PQd = -5 + λ-1 - λ-8 + 4λd = (-5 + λ)2 + (-1 - λ)2 + (-8 + 4λ)2d = (25 - 10λ + λ2) + (1 + 2λ + λ2) + (64 -64λ + 16λ2)d = 18λ2 - 72λ + 90

    Da d = 6 sein muss, können wir d ersetzen und nach λ auflösen.

    6 = 18λ2 - 72λ + 90 |2

    36 = 18λ2 - 72λ + 90 |-360 = 18λ2 - 72λ + 54 |÷180 = λ2 - 4λ + 3 | Mitternachtsformel λ1/2 = -(-4) ± (-4)2 - 4 · 1 · 32 · 1λ1/2 = 4 ± 16 - 122λ1/2 = 4 ± 42λ1/2 = 42 ± 42λ1/2 = 2 ± 1λ1 = 2 + 1 = 3λ2 = 2 - 1 = 1

    Punkte, die in Abhängigkeit von einer Variablen angegeben werden können, nennt man laufender Punkt einer Geraden

    Als Letztes können wir jetzt λ1 und λ2 in den Punkt Q einsetzen.

    Q1 -1 + 32 - 3-6 + 4 · 3 Q1 2-16 Q2 -1 + 12 - 1-6 + 4 · 1 Q2 01-2

    Die PunkteQ1 (2|-1|6) und Q2 (0|1|-2)liegen also auf der Gerade g und haben den Abstand 6 von P.

    Abstand Punkt Gerade Das Wichtigste

    • Es gibt viele verschiedene Wege, wie du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden berechnen kannst. Du musst dir den Lösungsweg suchen, der am besten zu der Aufgabe passt und mit dem du am besten zurechtkommst.
    • Bei der Variante mit der Hilfsebene machen wir uns den Normalenvektor einer Hilfsebene zunutze, da dieser durch seine Orthogonalität immer den kürzesten Abstand bietet.
    • Beim Lotfußpunktverfahren nutzen wir die Tatsache, dass der Vektor des Lotfußpunkt zum Punkt P senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden g steht und somit deren Skalarprodukt 0 ergeben muss.
    • Wenn wir mit der Differentialgleichung rechnen, greifen wir auf die Analysis und deren Definition und Berechnung eines Minimums zurück, um so den kleinstmöglichen Abstand zwischen der Geraden g und dem Punkt P zu berechnen.

    • Mit der Abstandsregel erhältst du dein Ergebnis am schnellsten, jedoch kommst du nicht auf den Lotfußpunkt
    • Abstandsregel: d = (p - a) × bb
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Abstand Punkt Gerade

    Wie berechnet man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden?

    Um den Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g zu berechnen, gibt es vier verschiedene Möglichkeiten:


    - die Abstandsformel

    - Abstandsberechnung mit einer Hilfsebene 

    - das Lotfußpunktverfahren

    - und Abstandsberechnung mithilfe der Differentialgleichung.


    Je nach Fragestellung kannst du entscheiden, welches Verfahren du anwendest.

    Ist der Punkt auf der Geraden?

    Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, musst du den Punkt mit der Geradengleichung gleichsetzen. Anschließend kannst du es Zeile für Zeile nach lambda auflösen. Wenn bei jeder Zeile der gleiche Wert für lambda herauskommt, dann liegt der Punkt auf der Geraden.

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