Gleichseitiges Dreieck: Fläche & Höhe berechnen | StudySmarter
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Gleichseitiges Dreieck

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Mathe

Hast du dir schon oft während des spannenden Matheunterrichts dein Geodreieck angesehen und dich gefragt, welche Form dieses genau hat? Du hast richtig Lust darauf, das Thema rund um das Dreieck zu meistern? 

Dann bist du hier auf StudySmarter in unserer Dreiecks-Staffel genau richtig! 


Im Matheunterricht bist du sicherlich schon oft über den Begriff Dreieck gestolpert und hast erste Dreiecks-Hürden überwältigt. Weißt du noch, was genau ein Dreieck ausmacht? Lass uns dies nochmals kurz wiederholen.  



Was ist ein Dreieck?


Ein Dreieck ist eine geschlossene Figur in der Geometrie, die drei Seiten, drei Winkel und drei Ecken aufweist und daher den Namen Dreieck trägt.


In den nächsten zwei Unterpunkten erfährst du alles Wissenswerte über ein Dreieck, von dessen korrekter Beschriftung, dessen Winkeln, bis hin zu den verschiedenen Dreiecksarten.


Allgemeines Dreieck


Damit du in Zukunft blitzschnell erkennen kannst, ob es sich bei einer Figur um ein Dreieck handelt oder nicht, zeigen wir dir wie ein allgemeines Dreieck aussieht. Das kannst du in Abbildung 1 erkennen. 


Gleichseitiges Dreieck Allgemeines Dreieck StudySmarterAbbildung 1: Allgemeines Dreieck


Solltest du bei Hausübungen ein Dreieck zeichnen müssen, dann musst du dich bei der Beschriftung an wichtige Regeln halten, die wie folgt lauten:


  • Die Eckpunkte werden entgegen dem Uhrzeigersinn mit Großbuchstaben (beginnend bei A in der linken Ecke) beschriftet.
  • Die Seiten des Dreiecks werden wie ihr gegenüberliegender Eckpunkt bezeichnet, jedoch als Kleinbuchstaben.
    • Die Seite a befindet sich somit, wie in Abbildung 1 dargestellt, gegenüber vom Eckpunkt A. 
  • Die Winkel werden wie die Eckpunkte entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet, jedoch mit griechischen Buchstaben aus dem griechischen Alphabet, beginnend bei Alpha. Das heißt der Winkel Alpha ist dort, wo der Eckpunkt A ist.


Hier findest du eine kurze Übersicht über die Zusammenhänge der Bezeichnung der Eckpunkte, der Seiten und deren Winkel:


Eckpunkte
Seiten
A
a
B
b
C
c


Die drei Winkel ergeben zusammen im Dreieck immer eine Summe von 180°. Dies wird auch als Winkelsumme bezeichnet.


Ein Dreieck kann verschiedenste Seitenlängen oder Größen der Winkel aufweisen, was auch bedeutet, dass diese immer anders aussehen und verschiedene Eigenschaften haben können. Deshalb unterscheidet man die folgenden sechs Dreiecksarten, um einen besseren Überblick schaffen zu können.


Dreiecksarten 


Die folgende Übersicht wird dir bestimmt helfen, in Zukunft jedes Dreieck seiner Art perfekt zuordnen zu können. Dreiecke werden nach zwei verschiedenen Merkmalen kategorisiert:


  • Der Seitenlänge
  • Den größten Winkel


Schauen wir uns die verschiedenen Dreiecke einmal an, die es so gibt.


Dreiecksarten nach Seitenlänge

Gleichseitiges Dreieck Allgemeines Dreieck StudySmarter
Abbildung 2: Allgemeines Dreieck
Gleichseitiges Dreieck Gleichseitiges Dreieck StudySmarterAbbildung 3: Gleichseitiges Dreieck


Gleichseitiges Dreieck Gleichschenkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 4: Gleichschenkliges Dreieck



Wenn mehrere Seitenlängen mit dem gleichen Buchstaben beschriftet werden, dann handelt es sich hierbei um gleich lange Seiten. Dies ist ein schneller Weg, um herauszufinden, wie viele Seiten eines Dreiecks gleich lang sind.


Dreiecksarten nach Winkel
Gleichseitiges Dreieck Spitzwinkliges Dreieck StudySmarter
Abbildung 5: Spitzwinkliges Dreieck
Gleichseitiges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck StudySmarter
Abbildung 6: Rechtwinkliges Dreieck

Gleichseitiges Dreieck Stumpfwinkliges Dreieck StudySmarter
Abbildung 7: Stumpfwinkliges Dreieck

Diese Dreiecke werden nach ihren größten Winkeln benannt. Mithilfe folgender Übersicht, kannst du schnell erkennen, um welche Art von Winkel es sich handelt.


  • Spitzwinkliges Dreieck
    • Unter diese Kategorie fallen alle Dreiecke, bei denen alle Winkel im Dreieck kleiner als 90° sind.
  • Rechtwinkliges Dreieck
    • Diese Dreiecksart besitzt genau einenWinkel mit einem Wert von 90°, also einem rechten Winkel.
  • Stumpfwinkliges Dreieck
    • Unter diese Kategorie fallen alle Dreiecke, die einen Winkel besitzen, welcher größer als 90° ist.


Übrigens: Die Größe eines Winkels wird in Grad angegeben und kann mit einem Geodreieck bzw. Winkelmesser gemessen werden. Je größer der Winkel, umso größer die "Öffnung" des Winkels.

Da du nun sicherlich schon ganz neugierig darauf wartest, was ein gleichseitiges Dreieck besonders macht und wie man Kennzahlen wie Höhe, Fläche oder Umfang berechnet, lassen wir dich nicht länger damit warten.



Das gleichseitige Dreieck

Wie der Name bereits vermuten lässt, erkennst du ein gleichseitiges Dreieck daran, dass alle drei Seiten des Dreiecks gleich lang sind. Schauen wir uns die genau Definition eines gleichseitigen Dreiecks an.


Bei einem gleichseitiges Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und die Winkel betragen alle genau 60 °. Damit gilt:


 Gleichseitiges Dreieck Seiten und Längen beim gleichseitigen Dreieck StudySmarter


Gleichseitiges Dreieck Gleichseitiges Dreieck StudySmarterAbbildung 8: Gleichseitiges Dreieck


In den nächsten drei Abschnitten werden wir gemeinsam zuerst lernen, wie man ein gleichseitiges Dreieck konstruiert, danach werden wir alle visuellen Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks genauestens untersuchen und im Anschluss daran werden wir uns auf die Berechnungen der Kennzahlen Fläche, Umfang und Höhe stürzen.


Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks


Um ein gleichseitiges Dreieck bei gegebener Seitenlänge blitzschnell zeichnen zu können, brauchst du nur ein Lineal und einen Zirkel. 


Zeichne hierfür mit deinem Lineal eine Seite auf ein Blatt Papier und erstelle mit dem Zirkel jeweils an beiden Eckpunkten A und B einen Kreis, wobei der Radius des Kreises die Strecke selbst ist. Verbindest du nun die Eckpunkte mit dem Schnittpunkt des Kreises, erhältst du dein gewünschtes gleichseitiges Dreieck. Mithilfe der folgenden Abbildung 9 kannst du dir diese Schritte leichter einprägen und dich selbst an die Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks herantasten. 


Gleichseitiges Dreieck Konstruktion des gleichseitigen Dreiecks StudySmarter

Abbildung 9: Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks



Eigenschaften und Größen eines gleichseitigen Dreiecks


Hinter der spannenden Figur, dem gleichseitigen Dreieck, verbergen sich noch zahlreiche weitere interessante Eigenschaften, welche ich dir nun näher bringen werde.


Die Seiten


Das gleichseitige Dreieck unterscheidet sich vom allgemeinen Dreieck darin, dass jede einzelne der drei Seiten immer gleich lang ist. Da wir bereits geklärt haben, dass jeder Kleinbuchstabe im Dreieck stellvertretend für einen bestimmten Wert steht, können wir also alle Seiten mit dem selben Buchstaben a versehen, wie in der folgenden Abbildung 10 dargestellt wird.


 Gleichseitiges Dreieck Die Seiten StudySmarterAbbildung 10: Gleichseitiges Dreieck


Hierbei wird immer der erste Buchstabe des Alphabets, also das kleine a verwendet.


Die Winkel


Im gleichseitigen Dreieck sind immer alle Winkel gleich groß. Da jedes Dreieck, unabhängig von der Art des Dreiecks immer eine Winkelsumme von 180° hat, bedeutet dies, dass im gleichseitigen Dreieck jeder Winkel 60° groß ist. Das ergibt sich aus der Division von 180° mit. Damit erhalten wir 60° für jeden Winkel. Sieh dir dazu die korrekte Winkelbeschriftung in Abbildung 12 an.


Unter einer Winkelsumme versteht man übrigens die Summe aller drei Winkel.


Diese Abbildungen sollen dir helfen zu verstehen, inwiefern sich die Beschriftung des gleichseitigen Dreiecks von einem allgemeinen Dreieck unterscheidet.


               Gleichseitiges Dreieck allgemeines Dreieck StudysmarterAbbildung 11: Allgemeines Dreieck Gleichseitiges Dreieck Gleichseitiges Dreieck StudysmarterAbbildung 12: Gleichseitiges Dreieck    


Die Höhe


Unter der Höhe versteht man in einem Dreieck eine Senkrechte auf die Grundlinie, welche zum gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft. 


Für das Dreieck gilt:


Gleichseitiges Dreieck Formel Seiten StudySmarter


Gleichseitiges Dreieck Formel alle Höhen StudySmarter


 Gleichseitiges Dreieck Berechnung Höhe Formel StudySmarter


Die Höhe einer Seite wird mit dem Buchstaben "h" versehen, welcher um die Bezeichnung der Seite im Index ergänzt wird.


Du fragst dich bestimmt, warum wir überhaupt eine Höhe benötigen. Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.


Aufgabe

Stell dir ganz einfach einen Sachverhalt aus dem alltäglichen Leben vor. Dein Freund behauptet, dass du es nicht schaffst, ein Kartenhaus mit Spielkarten zu bauen. Dabei müssen deine Karten genau eine Kartenlänge voneinander entfernt sein, wie bildlich in Abbildung 13 dargestellt wird. 


Gleichseitiges Dreieck Höhenbeispiel StudySmarterAbbildung 13: Kartenhaus aus Spielkarten


Nachdem du deinem Freund dein Talent als Kartenhausbauer unter Beweis stellen konntest, stellt er dich erneut unter die Probe. Er bietet dir 5 €, wenn du es schaffst die Höhe des Kartenhauses zu berechnen, wenn eine Karte 8 cm hoch ist. 


Du nimmst das Angebot voller Freude an, denn wie dir aufgefallen ist, besteht dein Kartenhaus nun aus zwei gleichseitigen Dreiecken und zufälligerweise kannst du dich noch an die Formel erinnern, welche man verwendet, um im gleichseitigen Dreieck die Höhe auszurechnen.


Lösung

Schauen wir uns die Berechnung der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks in dem folgenden Beispiel an. Die zwei blauen Seiten a stellen dabei die Karten dar. Sie sind dabei im selben Abstand a (rot) zueinander aufgebaut.


a = 8 cm                       h =  ? cm


Gleichseitiges Dreieck Höhenberechnung Beispiel StudySmarterAbbildung 14: Gleichseitiges Dreieck


Sofort kannst du dich an die spannenden Geometrie Stunden erinnern und schreibst die Höhenformel im gleichseitigen Dreieck nieder, welche wie folgt lautet:




Als Nächstes setzt du in der Formel anstelle des Buchstabens "a" die Seitenlänge der Spielkarten ein und rechnest das Ergebnis für die Höhe mithilfe deines Taschenrechners aus.



Dein Freund ist sprachlos und nimmt direkt sein Lineal um die Höhe abzumessen und stellt fest, dass deine Berechnung einwandfrei war. Ohne ein Wort zu sagen gibt er dir seine versprochenen 5 €.


Die Symmetrie


Unter dem Begriff Symmetrie versteht man, dass sich eine Figur an einem bestimmten Punkt oder einer Linie spiegelt. Diese Linie wird auch als Symmetrieachse bezeichnet.


In einem Dreieck können die Symmetrieachsen wie folgt eingezeichnet werden.


Gleichseitiges Dreieck Symmetrieachsen StudySmarterAbbildung 15: Symmetrieachsen


Wie du nun feststellen konntest, entspricht die Höhe aller drei Seiten einer Symmetrieachse, also jener Linie, an welcher die Figur gespiegelt werden kann. Das gleichseitige Dreieck hat also immer drei Symmetrieachsen.


Die Seitenhalbierende


Die Seitenhalbierende ist die Strecke vom Mittelpunkt einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist zugleich der Mittelpunkt des Inkreises. Es gilt:


Gleichseitiges Dreieck Formel Seitenhalbierende StudySmarter


Zeichnen wir nun die Seitenhalbierenden in einem gleichseitigen Dreieck ein, so erhalten wir folgendes Bild.


Gleichseitiges Dreieck Seitenhalbierende StudySmarter

Abbildung 16: Seitenhalbierende



Die Seitenhalbierende werden mit dem Buchstaben "S" bezeichnet, gefolgt von der Beschriftung der Seiten im Index.


Die Winkelhalbierende


Unter dem Begriff der Winkelhalbierenden versteht man einen Strahl, welcher in den Eckpunkten entspringt und den Winkel in zwei gleich große Teile teilt. 


Für die Winkelhalbierenden im gleichseitigen Dreieck gilt:


Gleichseitiges Dreieck Formel Winkelhalbierende StudySmarter



Die Winkelhalbierenden werden mit dem Buchstaben "W", gefolgt von der Beschriftung der Winkel im Index, bezeichnet.


Gleichseitiges Dreieck Winkelhalbierende StudySmarter

Abbildung 17: Winkelhalbierende



Ich bin mir sicher du hast bemerkt, dass im gleichseitigen Dreieck die Linien der Seitenhalbierenden genau mit den Winkelhalbierenden übereinstimmen, welche wiederum genau die Höhen der einzelnen Seiten bzw. die Symmetrieachsen sind. Vergleiche hierfür die Abbildungen 15, 16 und 17.


Der Inkreis


Der Inkreis ist der größtmögliche Kreis innerhalb der Figur, welcher alle Seiten der Figur berührt.


Die Formeln für den Inkreisradius r lauten:


 Gleichseitiges Dreieck Formel Inkreisradius StudySmarter


Um den Inkreis zeichnen zu können, benötigt man den Radius des Innkreises. Danach geht es ganz einfach. Sieh dir dazu einfach die Abbildung 18 an.


Gleichseitiges Dreieck Inkreis StudySmarter

Abbildung 18: Inkreis


Der Mittelpunkt M stellt zugleich den Schwerpunkt des Dreiecks dar!


Der Umkreis


Der Umkreis stellt einen Kreis dar, welcher die Figur umschließt und dabei alle Eckpunkte berührt.


Die Formel für den Umkreisradius r lautet:


 Gleichseitiges Dreieck Formel Umkreisradius StudySmarter


Um den Umkreis einzeichnen zu können benötigt man den Radius des Umkreises.


Gleichseitiges Dreieck Umkreis StudySmarter

Abbildung 19: Umkreis


Um sowohl den Inkreis als auch den Umkreis im gleichseitigen Dreieck einzeichnen zu können, musst du zuerst den Mittelpunkt des Dreiecks bestimmen, welches jener Punkt ist, an welchem sich alle Winkelhalbierenden bzw. Seitenhalbierenden schneiden. Im Anschluss daran kannst du mit dem Zirkel genau an diesem Punkt einstechen und diesen so weit öffnen, bis die Öffnung genau dem zuvor ausgerechneten Radius entspricht.


Lass uns nun zum rechnerischen Teil dieser Beitrages übergehen, bei welchem wir mithilfe verschiedener Formeln die Fläche und den Umfang ausrechen werden.


Die Fläche


Eine Fläche gibt an, wie groß etwas im zweidimensionalen Raum ist.  Die Formel für die Berechnung der Fläche des gleichseitigen Dreiecks lautet .


Diese Definition soll in Abbildung 20 verdeutlicht werden. 


Gleichseitiges Dreieck Fläche StudySmarterAbbildung 20: Fläche eines Dreiecks und eines Quadrats


Die in dieser Abbildung blau markierte Größe, auch Fläche genannt, hilft dir, damit du mehrere Figuren auf ihre Größe vergleichen kannst. Du siehst, dass das hier dargestellte Quadrat größer als das Dreieck ist, es hat also eine größere Fläche als das Dreieck.


Die Fläche wird immer mit einem großen A gekennzeichnet.


Um bei Dreiecken allgemein die Fläche ausrechnen zu können, benötigt man meistens die senkrechte Linie auf die Grundlinie, auch Höhe genannt. Wenn wir nun die Grundlinie bzw. die Seite a mit der Höhe multiplizieren, also genau wie uns die erste Formel vorschreibt, erhalten wir folgende Figur:


Gleichseitiges Dreieck Fläche StudySmarter

Abbildung 21: Fläche im Dreieck


Wie man in Abbildung 21 erkennen kann, erhält man indem man a ⋅ h rechnet ein Rechteck, welches die Figur umschließt. Bei genauerem Hinsehen merkt man, dass das Rechteck genau doppelt so groß ist wie das Dreieck. Dies bestätigt die Aussage, dass die Formel für die Fläche jeder Dreiecksart .


Für das gleichseitige Dreieck gibt es folgende Alternativformel für die Flächenberechnung, sollte die Höhe nicht gegeben sein:



Am Ende dieses Beitrages findest du Übungsaufgaben, bei welchen wir unser Wissen zu Umfang und Fläche vertiefen werden, also bleib dran.


Der Umfang

Unter dem Umfang versteht man die Summe aller Seitenlängen, welche die Figur begrenzen.


Somit gilt für das gleichseitige Dreieck:


Gleichseitiges Dreieck Formel Umfang StudySmarter


Den Umfang benötigst du im täglichen Leben öfter als du vielleicht denkst. Stell dir vor du musst deine Wiese einzäunen und möchtest wissen, wie viel Meter Zaun du insgesamt benötigst. Genau hier kommt der Umfang ins Spiel.


Der Umfang wird immer mit einem großen U gekennzeichnet.


Möchtest du also nun die Seite a bei gegebenen Umfang ausrechnen, müssen wir lediglich das " a " in der Umfangsformel freistellen.




Bevor wir zu den Übungsbeispielen übergehen, müssen wir uns noch unbedingt kurz einen höchstwichtigen Satz ansehen, welcher es dir ermöglicht, die Höhe im gleichseitigen Dreieck zu berechnen.


Der Satz von Viviani


Nimmt man einen beliebigen Punkt im Inneren des gleichseitigen Dreiecks, auch Punkt P genannt, dann ergibt die Summe der senkrechten Abstände zu den einzelnen Seiten vom Punkt P aus exakt die Höhe des Dreiecks. 


Somit lautet der Satz von Viviani:


 Gleichseitiges Dreieck Satz von Viviani Formel StudySmarter

Gleichseitiges Dreieck Satz von Viviani StudysmarterAbbildung 22: Satz von Viviani


Zählst du also die drei Abstände s, t und r zusammen entspricht dies genau dem Wert der Höhe, wie du in der Abbildung 22 auf der linken Seite feststellen kannst. 



Übungsaufgaben zum gleichseitigen Dreieck


Aufgabe 1

Welches der folgenden Dreiecke fällt unter die Kategorie "gleichseitiges Dreieck"?

                       

gleichseitiges Dreieck Übungsbeispiel  StudysmarterAbbildung 23: Dreiecke im Vergleich

                       

Die Lösung findest du unterhalb dieses Hinweises. Achtung: Sie ist rückwärts geschrieben.

Lösung

 "githcir tsi kceierD etiewz saD"


Aufgabe 2

Folgende Seiten eines gleichseitigen Dreiecks sind gegeben:

a = 7 cm

h = 5 cm

Berechne den Umfang und die Fläche!


Gleichseitiges Dreieck Skizze StudySmarterAbbildung 24: Gleichseitiges Dreieck

Lösung

Berechnung des Umfangs


Um den Umfang des Dreiecks auszurechnen, bedienen wir uns der Formel U = 3 ⋅ a. Wir zählen also alle Seitenlinien, welche die Figur begrenzen, zusammen.

Auf unser Beispiel bezogen sieht dies wie folgt aus:



Somit beträgt der Umfang des Dreiecks 21 cm.


Berechnung der Fläche


Da in unserem Beispiel die Höhe in der Angabe bereits einen Wert aufweist, können wir die Formel  verwenden.

Auf unser Beispiel bezogen sieht dies wie folgt aus:




Somit beträgt die Fläche des Dreiecks 17,5 cm².


Beachte, dass die Einheit der Fläche immer mit hoch " 2 " versehen wird, da wir uns nun im Zweidimensionalen befinden.


Folgende Seiten eines gleichseitigen Dreiecks sind gegeben:

a = 10cm

Berechne den Umfang und die Fläche!


Gleichseitiges Dreieck Skizze StudySmarterAbbildung 25: Skizze

Lösung

Berechnung des Umfangs


Für die Berechnung des Umfangs verwenden wir erneut die Formel U = 3 ⋅ a.

Setzen wir die Werte unseres Beispiels in die Formel ein, erhalten wir folgendes:




Der Umfang des Dreiecks beträgt also insgesamt 30 cm.


Berechnung der Fläche


Da wir in diesem Beispiel die Höhe nicht gegeben haben, bedienen wir uns der Alternativformel für die Berechnung der Fläche des gleichseitigen Dreiecks, welche wie folgt lautet:



Setzen wir nun unseren Wert für a in diese Formel ein, erhalten wir folgendes Ergebnis:






Die Fläche des gleichseitigen Dreiecks mit der Seite a von 10 cm beträgt 43,30 cm².

Gleichseitiges Dreieck - Das Wichtigste

  • Alle drei Seiten sind gleich lang und werden mit a bezeichnet.
  • Alle drei Winkel  sind gleich groß, nämlich genau 60°.
  • Ein gleichseitiges Dreieck wird auch als spitzwinkliges gleichseitiges Dreieck bezeichnet.

  • Für die Fläche wird meistens eine Senkrechte auf die Grundlinie benötigt, welche mit "h" bezeichnet und Höhe genannt wird.
  • Die Höhen der einzelnen Seiten stellen zugleich die Symmetrieachse dar.
  • Winkelhalbierende, Seitenhalbierende, Symmetrieachsen und Höhen sind ident.
  • Die Flächenformel aller Dreiecke lautet 

    • Die Alternativformel für das gleichseitige Dreieck lautet .
  • Die Umfangsformel lautet U = 3 ⋅ a .
  • Der Höhensatz lautet 
  • Die Seitenformel lautet  
  • Die Formeln für den Inkreis lauten  
  • Die Formeln für den Umkreis lautet  
  • Mithilfe des Satzes von Viviani kannst du die Höhe berechnen.



Häufig gestellte Fragen zum Thema Gleichseitiges Dreieck

Die Fläche wird mit der Formel A = 0,5 · a · h oder A = 0,25 ⋅ a² ⋅ √3  berechnet

Die wichtigsten Eigenschaften sind, dass alle drei Seiten gleich lang sind und alle Winkel gleich groß sind (60°). Weitere nennenswerte Eigenschaften sind Symmetrie, Umkreis, Inkreis, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende.

Die Höhe stellt eine Senkrechte auf die Grundlinie dar, welche für die Berechnung der Fläche benötigt wird. Es gibt drei Höhen, für jede Seite eine.

Ja, denn wenn alle Winkel 60° sind, dann ist dieses somit auch gleichseitig.

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