Drachenviereck konstruieren

In diesem Artikel wirst Du lernen, wie Du ein Drachenviereck konstruieren kannst. Dabei erfährst Du, wie ein Drachenviereck gezeichnet oder mit einem Zirkel konstruiert werden kann. Außerdem lernst Du, wie Du auch komplett ohne Winkelangaben ein Drachenviereck konstruieren kannst.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Drachenviereck konstruieren Drachenviereck StudySmarterAbb. 1 - Drachenviereck.

    Drachenviereck konstruieren mit Zirkel

    Wenn Du drei Werte, oder mehr, gegeben hast, so kannst Du mithilfe eines Zirkels ein Drachenviereck konstruieren.

    Drachenviereck konstruieren ohne Winkelangabe

    Je nachdem, welche Werte Du gegeben hast, ist das Vorgehen zum Konstruieren eines Drachenvierecks etwas anders. In diesem Unterkapitel findest Du zwei Möglichkeiten von gegebenen Werten. In beiden Fällen ist jedoch kein Winkel gegeben.

    Drachenviereck konstruieren – zwei Seiten und eine Diagonale – Aufgabe 1

    Konstruiere ein Drachenviereck, welches folgende Werte aufweist:

    \begin{align}&a = 3 \mathrm{~cm} &&b = 5 \mathrm{~cm} &e = 7 \mathrm{~cm} \end{align}

    Lösung

    Oft ist es hilfreich, erst einmal eine Skizze des Drachenvierecks zu machen und dabei die gegebenen Seiten farbig zu markieren.

    ErklärungAbbildung
    1. Diagonale zeichnen
    • Diagonale \( \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \color{li}e\) ziehen
    • Start- und Endpunkt der Diagonalen sind \(\color{gr}A\) und \(\color{gr}C\)

    Drachenviereck konstruieren zwei Seiten, eine Diagonale StudySmarter

    2. Seite b konstruieren
    • Länge der Strecke \(\color{bl}b\) als Radius einstellen
    • Kreis um Punkt \(\color{gr}C\) ziehen

    Drachenviereck konstruieren zwei Seiten, eine Diagonale StudySmarter

    3. Seite a konstruieren
    • Länge der Strecke \(\color{bl}a\) als Radius
    • Kreis um Punkt \(\color{gr}A\)

    Drachenviereck konstruieren zwei Seiten, eine Diagonale StudySmarter

    4. Eckpunkte verbinden
    • Schnittpunkte der Kreise: \((\color{gr}B\) und \(\color{gr}D)\)
    • Jeweils mit den Punkten \(\color{gr}A\) und \(\color{gr}C\) verbinden

    Drachenviereck konstruieren zwei Seiten, eine Diagonale StudySmarter

    Drachenviereck konstruieren – eine Seite und zwei Diagonalen – Aufgabe 2

    Konstruiere ein Drachenviereck mit den folgenden Werten:

    \begin{align} & a = 3 \mathrm{~cm} && e = 7 \mathrm{~cm} & f = 4 \mathrm{~cm} \end{align}

    Lösung

    ErklärungAbbildung
    1. Diagonale f zeichnen
    • Diagonale \(\color{li}f\) zeichnen
    • Startpunkt: \(\color{gr}B\)
    • Endpunkt: \(\color{gr}D\)

    Drachenviereck konstruieren eine Seite, zwei Diagonalen StudySmarter

    2. Seite a konstruieren
    • Länge von \(\color{bl}a\) als Radius einstellen
    • Kreis um Punkt \(\color{gr}B\) und \(\color{gr}D\)
    • Schnittpunkt: Punkt \(\color{gr}A\)

    Drachenviereck konstruieren eine Seite, zwei Diagonalen StudySmarter

    3. Diagonale e konstruieren
    • Hilfsgerade senkrecht zu \(\color{li}f\) und durch \(\color{gr}A\).

    Wie Du eine Gerade konstruierst, die senkrecht auf einer anderen Strecke steht, kannst Du im Artikel "Mittelsenkrechte konstruieren" nachlesen.

    Drachenviereck konstruieren eine Seite, zwei Diagonalen StudySmarter

    4. Punkt C konstruieren
    • Länge der Diagonalen \(\color{li}e\) als Radius
    • Kreisbogen um Punkt \(\color{gr}A\) durch Hilfsgerade
    • Schnittpunkt mit Hilfsgerade: Punkt \(\color{gr}C\).

    Drachenviereck konstruieren eine Seite, zwei Diagonalen StudySmarter

    5. Eckpunkte verbinden
    • Punkte \(\color{gr}A\), \(\color{gr}B\), \(\color{gr}C\) und \(\color{gr}D\) verbinden
    • evtl. Hilfslinien wegradieren

    Drachenviereck konstruieren eine Seite, zwei Diagonalen StudySmarter

    Drachenviereck konstruieren mit Winkelangabe

    Es besteht jedoch auch die Möglichkeit, dass nicht nur Seitenangaben, sondern auch ein Winkel gegeben ist. Hier gehst Du dann wieder etwas anders vor.

    Drachenviereck konstruieren – zwei Seiten und ein Winkel – Aufgabe 3

    Konstruiere ein Drachenviereck mit den folgenden Werten:

    \[a = 5 \, \text{cm}, \, b = 8 \, \text{cm} \, \text{und} \, \alpha = 50^\circ\]

    Lösung

    ErklärungAbbildung
    1. Punkt A konstruieren
    • Hilfsstrecke mit Punkt \(\color{gr}A\) als Startpunkt einzeichnen
    • Hilfsstrecke wird später zur Seite \(\color{bl}a\).

    Drachenviereck konstruieren zwei Seiten, ein Winkel StudySmarter

    2. Winkel α konstruieren
    • Winkel \(\color{r}\alpha\) am Eckpunkt \(\color{gr}A\) mithilfe der Hilfsgeraden einzeichnen

    Drachenviereck konstruieren zwei Seiten, ein Winkel StudySmarter

    3. Seiten a konstruieren
    • Länge von \(\color{bl}a\) als Radius
    • Kreis um Punkt \(\color{gr}A\)
    • Schnittpunkte mit Hilfsgerade: Punkte \(\color{gr}B\) und \(\color{gr}D\)

    Du kannst hier die Länge der Seite \(a\) auf beiden Hilfsgeraden abtragen, da die Seite \(a\) genauso lang ist wie die Seite \(d\).

    Drachenviereck konstruieren zwei Seiten, ein Winkel StudySmarter

    4. Seiten b konstruieren
    • Länge der Seite \(\color{bl}b\) als Radius
    • Kreis um Punkt \(\color{gr}B\) und \(\color{gr}D\)
    • Schnittpunkt: Punkt \(\color{gr}C\)

    Drachenviereck konstruieren zwei Seiten, ein Winkel StudySmarter

    5. Eckpunkte verbinden
    • Punkte \(\color{gr}A\), \(\color{gr}B\), \(\color{gr}C\) und \(\color{gr}D\) verbinden
    • evtl. Hilfslinien wegradieren

    Drachenviereck konstruieren zwei Seiten, ein Winkel StudySmarter

    Drachenviereck konstruieren – Seite, Diagonale und Winkel – Aufgabe 4

    Konstruiere ein Drachenviereck, welches folgende Werte aufweist:

    \[a = 6 \, \text{cm},\, e = 12\, \text{cm}\, \text{und} \, \alpha = 80^\circ\]

    Lösung

    ErklärungAbbildung
    1. Diagonale e konstruieren
    • Diagonale \(\color{li}e\) einzeichnen
    • Endpunkte: \(\color{gr}A\) und \(\color{gr}C\)

    Drachenviereck konstruieren Seite, Diagonale, Winkel StudySmarter

    2. Winkel α konstruieren
    • rechts und links der Diagonalen \(\color{li}e\) am Punkt \(\color{gr}A\) jeweils \(\frac{\color{r}\alpha}{2}\) Winkel einzeichnen
    • jeweils eine Hilfsgerade ziehen

    Drachenviereck konstruieren Seite, Diagonale, Winkel StudySmarter

    3. Seiten a konstruieren
    • \({\color{bl}a} = {\color{bl}d}\)
    • Kreis mit dem Radius \(\color{bl}a\) um den Punkt \(\color{gr}A\) ziehen
    • Schnittpunkte mit Hilfsgeraden: \(\color{gr}B\) und \(\color{gr}D\)

    Drachenviereck konstruieren Seite, Diagonale, Winkel StudySmarter

    4. Eckpunkte verbinden
    • Punkte \(\color{gr}A\), \(\color{gr}B\), \(\color{gr}C\) und \(\color{gr}D\) verbinden
    • evtl. Hilfslinien wegradieren

    Drachenviereck konstruieren Seite, Diagonale, Winkel StudySmarter

    Drachenviereck zeichnen

    Du kannst ein Drachenviereck auch mit dem Geodreieck zeichnen. Im folgenden Beispiel ist die Länge aller Seiten und die Größer aller Winkel gegeben.

    ErklärungAbbildung
    • Strecke \(\color{bl}a\) einzeichen
    • Anfangspunkt \(\color{gr}A\)
    • Endpunkt\(\color{gr}B\)

    Drachenviereck konstruieren Drachenviereck zeichnen StudySmarter

    • einen der Winkel am Punkt \(\color{gr}A\) einzeichnen

    Drachenviereck konstruieren Drachenviereck zeichnen StudySmarter

    • eine weitere Strecke \(\color{bl}a\) vom Punkt \(\color{gr}A\) mit dem eben eingezeichneten Winkel ziehen
    • Endpunkt: \(\color{gr}D\)

    Drachenviereck konstruieren beschriftetes Drachenviereck StudySmarter

    • Winkel \(\color{r}\beta\) entweder am Punkt \(\color{gr}B\) oder \(\color{gr}D\) einzeichnen

    Drachenviereck konstruieren Drachenviereck zeichnen StudySmarter

    • Strecke \(\color{bl}b\) mit Startpunkt \(\color{gr}B\) und Winkel \(\color{r}\beta\) einzeichnen.
    • Endpunkt: Punkt \(\color{gr}C\).

    Drachenviereck konstruieren beschriftetes Drachenviereck StudySmarter

    • Punkte \(\color{gr}C\) und \(\color{gr}D\) miteinander verbinden.

    Drachenviereck konstruieren Drachenviereck zeichnen StudySmarter

    • gleichnamige Strecken müssen die gleiche Länge haben
    • gegenüberliegende Winkel müssen gleich groß sein

    Drachenviereck konstruieren Drachenviereck zeichnen StudySmarter

    Drachenviereck konstruieren – Aufgaben

    Hier kannst Du testen, ob Du alles verstanden hast. Viel Spaß!

    Drachenviereck konstruieren – Aufgabe 5

    Deine Oma hat im Internet einen Artikel gelesen, mit dem sie sich selbst Ohrringe basteln kann. Die Ohrringe bestehen aus einem Metallgestell, welches die Form eines Drachenvierecks hat, das dann mit Fäden bespannt wird. Auf der Internetseite gab es bereits eine Vorlage für die Größe des Metallgestells. Leider kann Deine Oma die Internetseite und damit die Vorlage nicht mehr finden. Sie hat aber noch folgende Längenangaben im Kopf:

    \begin{align} &a = 10 \, \text{mm} &&\beta = 40^\circ & \gamma = 30^\circ \end{align}

    Sie bittet Dich, ihr eine neue Vorlage anzufertigen. Entscheide, ob es überhaupt möglich ist, mit diesen Werten ein Drachenviereck zu konstruieren.

    Lösung

    Das Drachenviereck kann nicht konstruiert werden, da Du mit zwei Winkeln und einer Seite nicht genug Werte gegeben hast, um ein Drachenviereck zu konstruieren.

    Du könntest zwar die Seite \(a\) und den Winkel \(\beta\) dazu zeichnen. Dann fehlt Dir jedoch entweder der Winkel \(\alpha\) oder die Seitenlänge \(b\).

    Drachenviereck konstruieren – Aufgabe 6

    Es ist Herbst und Deine kleine Schwester hat bald Geburtstag. Du hast Dir überlegt, ihr einen Drachen zu basteln, den ihr zusammen fliegen lassen könnt. Das Gestell willst Du aus Holz bauen und dieses dann mit einem Stoff überziehen. Daheim hast Du Dir schon eine Zeichnung angefertigt, auf der Du die Längen und Winkel eingetragen hast. Du stehst jetzt im Baumarkt und merkst, dass durch den Regen draußen Deine Zeichnung verwischt ist. Der freundliche Mann im Baumarkt, der Dir hilft, benötigt aber eine passende Zeichnung. Zum Glück hast Du noch folgende drei Werte im Kopf. Der Drache soll bei der Seite \(a\) eine Länge von \(23\, \text{cm}\) haben, bei der Seite \(b\) eine Länge von \(46\, \text{cm}\) und der Winkel \(\beta\) soll \(130^\circ\) groß sein. Fertige damit jetzt eine neue Zeichnung an.

    Lösung

    ErklärungAbbildung
    1. Eckpunkt B konstruieren
    • Zeichne den Punkt \(\color{gr}B\) mit einer Hilfsgerade ein.
    • Hilfsgerade wird später zu \(\color{bl}a\)

    Drachenviereck konstruieren Aufgabe StudySmarter

    2. Winkel β konstruieren
    • Winkel \(\color{r}\beta\) einzeichnen
    • weitere Hilfsgerade einzeichnen

    Drachenviereck konstruieren Aufgabe StudySmarter

    3. Seite a konstruieren
    • Länge der Seite \(\color{bl}a\) als Radius einstellen
    • Kreisbogen um Punkt \(\color{gr}B\) über durch Hilfsgerade links oben
    • Schnittpunkt: Punkt \(\color{gr}A\)

    Drachenviereck konstruieren Aufgabe StudySmarter

    4. Seite b konstruieren
    • Länge der Seite \(\color{bl}b\) als Radius
    • Kreisbogen um Punkt \(\color{gr}B\) über Hilfsgerade rechts oben
    • Schnittpunkt: Punkt \(\color{gr}C\)

    Drachenviereck konstruieren Aufgabe StudySmarter

    5. Seite \(\boldsymbol{c}\) konstruieren
    • Kreisbogen um Punkt \(\color{gr}C\) mit Länge \(\color{bl}b\)

    Drachenviereck konstruieren Aufgabe StudySmarter

    6. Seite d konstruieren
    • Länge der Seite \(\color{bl}a\) als Radius
    • Kreisbogen um Punkt \(\color{gr}A\)

    Drachenviereck konstruieren Aufgabe StudySmarter

    7. Eckpunkte verbinden
    • Schnittpunkt: Punkt \(\color{gr}D\).
    • Punkte \(\color{gr}A\), \(\color{gr}B\), \(\color{gr}C\) und \(\color{gr}D\) verbinden
    • evtl. Hilfslinien wegradieren

    Drachenviereck konstruieren Aufgabe StudySmarter

    Konstruktion eines Drachenvierecks – Das Wichtigste auf einen Blick

    Drachenviereck konstruieren Drachenviereck StudySmarterAbb. 2 - Drachenviereck konstruieren.
    • Für die Seiten im Drachenviereck gilt: \[a = d \quad \text{und} \quad b = c\]
    • Für die Winkel im Drachenviereck gilt: \[\beta = \delta\]
    • Ein Drachenviereck kannst Du sowohl mit als auch ohne Winkelangaben mit dem Zirkel konstruieren. Du benötigst dazu mindestens vier Werte.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Drachenviereck konstruieren

    Wie viele Angaben braucht man, um ein Drachenviereck zu konstruieren?

    Du brauchst mindestens 3 Angaben, um ein Drachenviereck zu konstruieren. Jedoch funktioniert nicht jede Kombination von Angaben. Grundsätzlich kannst Du ein Drachenviereck bei folgenden Angaben konstruieren:


    • a, b, e
    • a, b, f
    • a, e, f
    • b, e, f
    • a, b, alpha
    • a, b, gamma
    • a, b, beta
    • a, e, alpha

    Wie entsteht ein Drachenviereck?

    Ein Drachenviereck entsteht, indem Du es mit gegebenen Werten konstruierst. Dafür brauchst Du mindestens drei Werte, die entweder, die Länge einer Diagonalen, die Länge einer Seite oder die Größe eines Winkels beschreiben. Du kannst jedoch nicht mit jeder Kombination von Angaben ein Drachenviereck konstruieren.

    Wie kann man ein Drachenviereck zeichnen?

    Du kannst ein Drachenviereck zeichnen, wenn Du mindestens vier Werte gegeben hast. Hast Du a, b, alpha, beta und gamma gegeben, so gehst Du beispielsweise wie folgt vor:


    • Seite a zeichnen
    • Winkel alpha einzeichnen
    • Seite d einzeichnen (a = d)
    • Winkel beta einzeichnen
    • Seite b hinzufügen
    • D und C verbinden

    Wie wird ein Drachenviereck beschriftet?

    Ein Drachenviereck wird wie folgt beschriftet:


    • die Eckpunkte werden in alphabetischer Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn mit den Großbuchstaben A, B, C, D gekennzeichnet
    • die vier Seiten des Vierecks werden gegen den Uhrzeigersinn mit den Kleinbuchstaben a, b, c, d gekennzeichnet
    • die Diagonale e verläuft zwischen den Eckpunkten A und C
    • die Diagonale f verläuft zwischen den Eckpunkten B und D
    • Die Winkel werden an den entsprechenden Eckpunkten mit den griechischen Kleinbuchstaben alpha, beta, gamma und delta beschriftet
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