Kongruenzabbildungen

Ein Punkt oder eine ganze Figur sind dir gegeben und du führst verschiedene Operationen mit Ihnen durch. Form und Größe bleiben jedoch unverändert. Die Rede ist von Kongruenzabbildungen. Was Kongruenz und Kongruenzabbildungen sind, findest du im folgenden Artikel.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Kongruenzabbildungen Definition

    Im Folgenden lernst du kurz und knapp, was Kongruenz überhaupt ist und was es bedeutet, wenn zwei Figuren kongruent zueinander sind.

    Kongruenz beschreibt das Verhältnis zweier Figuren zueinander. Stimmen diese Figuren in Form und Größe überein, nennt man sie kongruent oder auch deckungsgleich. Bei kongruenten Figuren stimmen sich entsprechende Seiten und Winkel in ihrer Größe überein.

    Um kongruente Figuren zu erzeugen oder nachzuprüfen, ob es sich tatsächlich um Kongruenz handelt, benötigt man Kongruenzabbildungen.

    Außerdem kannst du Figuren auf Kongruenz untersuchen, indem du die Kongruenzsätze anwendest.

    Kongruenz und Symmetrie

    Während du Symmetrie als Eigenschaft einer Figur verstehen kannst, beschreibt Kongruenz das Verhältnis zweier Figuren zueinander. Du kannst also zwei Figuren dahingehen untersuchen, ob sie zueinander kongruent sind, und eine Figur, ob sie symmetrisch ist. Symmetrien können außerdem durch Anwendung von Kongruenzabbildungen kontrolliert werden.

    Kongruenzabbildungen Eigenschaften

    Sind zwei Figuren A und B kongruent zueinander, lassen sie sich durch Ausführung von Kongruenzabbildungen aufeinander abbilden.

    Kongruenzabbildungen sind geometrische Abbildungen, welche eindeutig und umkehrbar sind. Abgebildete Objekte bleiben in ihrer Form und Größe unverändert.

    Kongruenzabbildungen weisen eine Reihe von wichtigen Eigenschaften auf. Diese sind in der folgenden Tabelle aufgelistet:

    EigenschaftDefinitionBildVorkommen im Alltag
    LängentreueStrecke und Bildstrecke haben die gleiche Länge.

    Kongruenz Mathe Achsenspiegelung Dreieck StudySmarterAbbildung 1:Achsenspiegelung

    Stellst du dich vor einen Spiegel, hat dein Spiegelbild dieselbe Größe wie du.
    WinkeltreueWinkel und Bildwinkel sind gleich groß.

    Kongruenz Mathe Punktspiegelung Dreieck StudySmarterAbbildung 2: Punktspiegelung

    Drehst du einen Würfel um 180° ändert sich nichts an den Winkeln seiner Ecken.
    GeradentreueBilder einer Geraden sind stets Geraden.

    Kongruenz Mathe Achsenspiegelung Gerade StudySmarter

    Abbildung 3: Achsenspiegelung
    Der Horizont spiegelt sich im Meer und behält seinen Charakter der Gerade in der Spiegelung bei.
    ParallelentreueGerade und Bildgerade sind parallel.

    Kongruenz Mathe Verschiebung Strecke StudySmarter

    Abbildung 4: Verschiebung
    Verschiebst du einen Stift um 2cm nach rechts, ist dieser parallel zu seiner vorherigen Position.
    KreisverwandtschaftBilder eines Kreises sind stets Kreise.

    Kongruenz Mathe Drehung Kreis StudySmarter

    Abbildung 5: Drehung
    Drehst du einen Ball um 90° behält er seine Kreisform.

    Kongruenzabbildungen Beispiele

    Du kannst außerdem gleichsinnige und ungleichsinnige Kongruenzabbildungen unterscheiden.

    Gleichsinnige Kongruenzabbildungen sind solche, bei welchen der Umlaufsinn von Figur und Bildfigur gleich bleibt. Ändert sich der Umlaufsinn der Figur, wenn man die Kongruenzabbildung anwendet, spricht man von einer ungleichsinnigen Kongruenzabbildung.

    Kongruenz Mathe Punktspiegelung Umlaufsinn StudySmarterAbbildung 6: Gleicher Umlaufsinn bei Punktspiegelung

    Kongruenz Mathe Achsenspiegelung Umlaufsinn StudySmarterAbbildung 7: Umlaufsinn ändert sich bei Achsenspiegelung

    Kongruenzabbildungen Arten

    Du kannst vier verschiedene Kongruenzabbildungen unterscheiden. Welche Eigenschaften diese haben und wie du sie konstruierst lernst du in diesem Abschnitt.

    Achsenspiegelung (Geradenspiegelung)

    Die Achsenspiegelung ist die Grundlage aller Kongruenzabbildungen, da alle anderen durch Hintereinanderausführung der Achsenspiegelung ersetzt werden können.

    Die Achsenspiegelung ist eine Kongruenzabbildung, welche jedem Punkt P einen Bildpunkt P' auf der anderen Seite einer Spiegelachse s zugeordnet. Die beiden Punkte P und P' können durch die Strecke Kongruenz Definition Achsenspiegelung StudySmarter verbunden werden, die senkrecht auf der Spiegelachse s steht. Darüber hinaus halbiert die Spiegelachse s die Strecke Kongruenz Definition Achsenspiegelung StudySmarter.

    Um einen Punkt P an einer Achse zu spiegeln musst du folgendes tun:

    1. Zeichne eine Senkrechte t durch die Spiegelachse s, sodass diese durch den Punkt P führt.
    2. Messe den Abstand vom Punkt P bis zur Spiegelachse s.
    3. Trage den Punkt P' auf der anderen Seite der Spiegelachse s mit gleichem Abstand wie der Punkt P zu dieser ein.

    Kongruenz Mathe Achsenspiegelung Definition StudySmarter

    Abbildung 8: Achsenspiegelung des Punktes P

    Möchtest du nicht nur einen Punkt sondern eine ganze Figur an einer Achse spiegeln gehst du wie oben beschrieben mit jedem Eckpunkt der Figur vor. Anschließend verbindest du die Punkte wieder.

    Solltest du dir nicht mehr sicher sein, wie man den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden misst, schau nochmal im Artikel "Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden" nachlesen. Du findest diesen Artikel im Kapitel "Abstand berechnen".

    Außerdem kannst du den Bildpunkt auch ganz einfach mit einem Zirkel konstruieren.

    Steche den Zirkel dafür in den Schnittpunkt von der Spiegelachse s und der Senkrechten t. Nun stellst du den Zirkel so ein, dass die Stiftspitze auf P liegt und zeichnest einen Kreis k.

    Den Punkt P' kannst du jetzt auf der anderen Seite der Spiegelachse zeichnen, wo der Kreis k die Senkrechte t schneidet.

    Dieses Vorgehen kannst du dir im Artikel" Bildpunkt einer Achsenspiegelung konstruieren" genauer anschauen.

    Aufgabe:

    Führe für das Dreieck ABC eine Achsenspiegelung an der Spiegelachse s durch.

    Kongruenz Mathe Achsenspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 9: Dreieck ABC und Spiegelachse s

    Lösung:

    Schritt 1Schritt 2

    Kongruenz Mathe Achsenspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 10: Senkrechten t, u und v

    Kongruenz Mathe Achsenspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 11: Abstände der Punkte A, B, C zur Spiegelachse s

    Kongruenz Mathe Achsenspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 12: Achsenspiegelung des Dreiecks ABC

    Mit der Achsenspiegelung kannst du außerdem prüfen, ob eine Figur achsensymmetrisch ist.

    Dies kannst du tun, indem du an der Mittelsenkrechte die Spiegelachse einzeichnest und dann eine Achsenspiegelung durchführst. Wird auf die selbe Figur abgebildet, liegt Achsensymmetrie vor.

    Drehung (Rotation)

    Die Drehung ist eine weitere Kongruenzabbildung und ähnelt in ihrem Ablauf der Punktspiegelung.

    Die Drehung ist eine Kongruenzabbildung, bei welcher ein Punkt P auf einem Kreis k gegen den Uhrzeigersinn auf einen Bildpunkt P' gedreht wird. Die Drehung erfolgt um den Winkel α. Der Mittelpunkt des Kreises k wird als Drehzentrum Z bezeichnet.

    Fragst du dich, warum sich der Punkt gegen den Uhrzeigersinn bewegt? Das liegt daran, dass die mathematische Richtung genau andersherum ist wie unser Uhrzeigersinn.

    Um einen Punkt P zu drehen gehst du folgendermaßen vor:

    1. Zeichne einen Kreis k um das Drehzentrum Z, welcher durch den Punkt P führt.
    2. Zeichne die Gerade .
    3. Drehe die Gerade um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn.
    4. Dort wo die Gerade jetzt den Kreis k schneidet trägst du den Punkt P' ein.

    Kongruenz Mathe Drehung Definition StudySmarter

    Abbildung 13: Drehung des Punktes P

    Aufgabe:

    Drehe das Dreieck ABC um α = 45° gegen den Uhrzeigersinn.

    Kongruenz Mathe Drehung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 14: Dreieck ABC und Drehzentrum Z

    Lösung:

    Schritt 1Schritt 2Schritt 3

    Kongruenz Mathe Drehung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 15: Kreise k, l und m

    Kongruenz Mathe Drehung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 16: Geraden durch A, B und C

    Kongruenz Mathe Drehung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 17: Drehung der Geraden um 45°

    Kongruenz Mathe Drehung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 18: Drehung des Dreiecks ABC um 45°

    Punktspiegelung

    Die Punktspiegelung ist ein Spezialfall der Drehung und daher genau genommen keine erneut zu nennende Kongruenzabbildung. Da sie aber relativ häufig vorkommt, soll sie hier trotzdem ausgeführt werden.

    Die Punktspiegelung ist eine Drehung um 180°.

    Die Punktspiegelung ist eine Drehung, welche den Punkt P um 180° auf einem Kreis gegen den Uhrzeigersinn dreht. So entsteht der Bildpunkt P'. Wie bei der Drehung ist der Mittelpunkt des Kreises das Drehzentrum Z.

    Diese Schritte sind bei einer Punktspiegelung zu erledigen:

    1. Zeichne einen Kreis k um das Spiegelzentrum Z mit dem Radius .
    2. Zeichne die Gerade .
    3. Trage den Punkt P' dort ein, wo die Gerade den Kreis k schneidet.

    Kongruenz MathePunktspiegelung Definition StudySmarter

    Abbildung 19: Punktspiegelung des Punktes P

    Möchtest du eine Figur an einem Punkt spiegeln, kannst du dies tun, indem du alle Eckpunkte der Figur wie oben beschrieben spiegelst und diese dann wieder verbindest.

    Aufgabe:

    Spiegel das Dreieck ABC am Spiegelzentrum Z.

    Kongruenz Mathe Punktspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 20: Dreieck ABC und Spiegelzentrum Z

    Lösung:

    Schritt 1Schritt 2

    Kongruenz Mathe Punktspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 21: Kreise k, l und m

    Kongruenz Mathe Punktspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 22: Geraden durch A, B und C

    Kongruenz Mathe Punktspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarterAbbildung 23: Punktspiegelung des Dreiecks ABC

    Mit der Punktspiegelung kannst du eine Figur auf Punktsymmetrie untersuchen.Um herauszufinden, ob es sich um eine punktsymmetrische Figur handelt, zeichnest du das Spiegelzentrum im Mittelpunkt der Figur ein und spiegelst die Figur an diesem Punkt. Wird auf die selbe Figur abgebildet liegt Punktsymmetrie vor.

    Verschiebung (Translation)

    Verschiebst du einen Punkt oder eine Figur um eine gewisse Strecke, spricht man von der Verschiebung.

    Die Verschiebung ist eine Kongruenzabbildung, welche dem Punkt P durch Verschiebung um den VektorKongruenz Definition Verschiebung StudySmarter einen Bildpunkt P' zuordnet.

    So verschiebst du einen Punkt P um :

    1. Zeichne eine Parallele p zum Verschiebungspfeil durch den Punkt P.
    2. Trage die Länge des Verschiebungspfeiles auf die Parallele ab.
    3. Zeichne den Punkt P' auf der Parallele ein.

    Kongruenz Mathe Verschiebung Definition StudySmarter

    Abbildung 24: Verschiebung des Punktes P

    Aufgabe:

    Verschiebe das Dreieck ABC um den Verschiebungspfeil .

    Kongruenz Mathe Verschiebung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 25: Dreieck ABC und Verschiebungspfeil XY

    Lösung:

    Schritt 1Schritt 2

    Kongruenz Mathe Verschiebung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 26: Geraden durch A, B und C

    Kongruenz Mathe Verschiebung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 27: Länge des Verschiebungspfeils auf Geraden abtragen

    Kongruenz Mathe Verschiebung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 28: Verschiebung des Dreiecks ABC

    Schubspiegelungen (Gleitspiegelung)

    Spiegelst du einen Punkt oder eine Figur an einer Achse und verschiebst dieses Bild dann parallel zur Spiegelachse, wird das Schubspiegelung genannt.

    Die Schubspiegelung ist eine Kombination aus Achsenspiegelung und Parallelverschiebung. Sie ordnet dem Punkt P zunächst einen um Kongruenz Definition Schubspiegelung StudySmarter verschobenen Bildpunkt P' zu. Kongruenz Definition Schubspiegelung StudySmarter ist parallel zur Spiegelachse s.

    Mit diesem Bildpunkt P' wird dann noch eine Achsenspiegelung an der Spiegelachse s durchgeführt, um den endgültigen Bildpunkt P'' zu erhalten.

    So führst du die Schubspiegelung für einen Punkt P durch:

    1. Verschiebe den Punkt P um den Vektor .
    2. Spiegel nun den Punkt P' an der Spiegelachse s und du erhältst den Punkt P''.

    Kongruenz Mathe Schubspiegelung Beispiel Punkt StudySmarter

    Abbildung 29: Schubspiegelung des Punktes P

    In welcher Reihenfolge du hier vorgehst ist nicht entscheidend, da die Verknüpfung von Kongruenzabbildungen kommutativ ist. Du kannst also auch erst eine Achsenspiegelung und dann die Verschiebung durchführen.

    Aufgabe:

    Führe für das Dreieck ABC eine Schubspiegelung an der Spiegelachse s um den Vektor durch.

    Kongruenz Mathe Schubspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 30: Dreieck ABC mit Spiegelachse s und Vektor XY

    Lösung:

    ParallelverschiebungAchsenspiegelung

    Kongruenz Mathe Schubspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarter

    Abbildung 31: Parallelverschiebung von ABC
    Kongruenz Mathe Schubspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarterAbbildung 32: Achsenspiegelung von A'B'C'

    Kongruenzabbildungen kombinieren

    Du kannst Kongruenzabbildungen auch kombinieren, indem du sie hintereinander ausführst. Dabei kannst du entweder dieselbe Abbildung mehrmals anwenden oder verschiedene Kongruenzabbildungen nacheinander.

    Die Verknüpfung von Kongruenzabbildungen ist kommutativ. Es ist also egal, in welcher Reihenfolge du die Abbildungen ausführst.

    Generell lassen sich alle Kongruenzabbildungen durch eine Verkettung von maximal drei Achsenspiegelungen darstellen.

    Im Kapitel "Verknüpfung von Kongruenzabbildungen" erfährst du mehr dazu.

    Die Punktspiegelung eines Punktes oder einer Figur kannst du auch durch eine doppelte Achsenspiegelung erreichen.

    Kongruenz Mathe Punktspiegelung Beispiel Dreieck StudySmarterAbbildung 33: Punktspiegelung des Dreiecks ABC

    Abbildung 34: Doppelte Achsenspiegelung des Dreiecks ABC

    Kongruenzabbildungen Aufgaben

    Zum Schluss kannst du noch anhand von zwei Aufgaben überprüfen, ob du den Inhalt des Artikels verstanden hast. Danach solltest du dir unbedingt auch die Karteikarten zu diesem Kapitel anschauen!

    Aufgabe 1

    Welche der folgenden Figuren sind kongruent zueinander?

    Kongruenz Mathe Figurenauswahl StudySmarter

    Abbildung 35: Figurenauswahl

    Lösung

    • A & C
    • D & G
    • H & F

    Aufgabe 2

    Führe für das Viereck ABCD eine Achsenspiegelung durch.

    Kongruenz Mathe Achsenspiegelung Viereck StudySmarterAbbildung 36: Viereck ABCD

    Lösung

    Kongruenz Mathe Achsenspiegelung Viereck StudySmarter

    Abbildung 37: Achsenspiegelung des Vierecks ABCD

    Kongruenzabbildungen - Das Wichtigste

    • Kongruente Figuren stimmen in ihrer Form und Größe überein.
    • Sind zwei Figuren kongruent, so gibt es mindestens eine Kongruenzabbildung, die die eine Figur auf die andere abbildet.
    • Die vier Kongruenzabbildungen sind die Achsenspiegelung, Schubspiegelung, Drehung und die Verschiebung.
    • Kongruenzabbildungen sind geradentreu, längentreu, parallelentreu und winkeltreu.
    • Die Achsenspiegelung ist eine Kongruenzabbildung, welche jedem Punkt P einen Bildpunkt P' auf der anderen Seite einer Spiegelachse s zugeordnet.
    • Die Drehung ist eine Kongruenzabbildung, bei welcher ein Punkt P auf einem Kreis k gegen den Uhrzeigersinn auf einen Bildpunkt P' gedreht wird.
    • Die Verschiebung ist eine Kongruenzabbildung, welche dem Punkt P durch Verschiebung um einen Vektor einen Bildpunkt P' zuordnet.
    • Die Schubspiegelung ist eine Kombination aus Achsenspiegelung und Parallelverschiebung.
    • Die Punktspiegelung ist ein Sonderfall der Drehung, welche den Punkt P um 180° auf einem Kreis gegen den Uhrzeigersinn dreht.
    • Die Verknüpfung von Kongruenzabbildungen ist möglich.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Kongruenzabbildungen

    Was versteht man unter Kongruenz?

    Unter Kongruenz versteht man die Übereinstimmung zweier Figuren in Form und Größe.

    Wann ist ein Dreieck kongruent?

    Ein Dreieck ist kongruent, wenn seine drei Seiten und Winkel die selbe Größe haben wie die des anderen Dreiecks.

    Welche Kongruenzabbildungen gibt es?

    Es gibt die Achsenspiegelung, Drehung, Punktspiegelung, Verschiebung und die Schubspiegelung. Außerdem lassen sich diese Arten auch untereinander kombinieren. 

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