Inkreis Dreieck

Stell Dir vor, Du läufst Kreise auf einem Hinterhof. Irgendwann läufst Du den Kreis so groß, dass Du jede Wand einmal berührst. Dann bist Du den größtmöglichen Kreis gelaufen, ohne den Hof zu verlassen. Solche Kreise nennst Du in der Geometrie Inkreise. Du kannst sie in viele verschiedene geometrische Figuren einzeichnen. Im Speziellen soll es in dieser Erklärung um den Inkreis eines Dreiecks gehen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Inkreis Dreieck Grundlagenwissen

    Um den Inkreis eines Dreiecks zu berechnen und zu konstruieren, benötigst Du allgemeines Wissen über zwei Figuren der Geometrie, den Kreis und das Dreieck.

    Mehr zu diesen geometrischen Figuren erfährst Du in den Erklärungen „Dreieck“ und „Kreis“.

    Dreieck

    Ein Dreieck hat drei Ecken, welche durch drei Strecken miteinander verbunden werden.

    Das Dreieck ABC ist eine geometrische Figur, bei der drei Punkte miteinander verbunden werden. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen. Die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten heißen Dreiecksseiten a, b und c.

    Inkreis Dreieck Dreieck Definition StudySmarterAbbildung 2: Dreieck Definition

    Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.

    Kreis

    Als Kreis wird eine runde Linie verstanden, wobei diese Linie an jedem Punkt denselben Abstand zu dem Kreismittelpunkt hat, welcher nicht auf der Linie liegt.

    Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dieser hat den Mittelpunkt M und den Radius r. Der Mittelpunkt M ist dabei kein Punkt des Kreises.

    Inkreis Dreieck Kreis Definition StudySmarterAbbildung 3: Kreis Definition

    Die doppelte Länge des Radius wird Durchmesser genannt und ist die maximale Entfernung zweier Punkte auf einem Kreis.

    Inkreis Dreieck Definition

    Der Inkreis ist ein Kreis innerhalb eines Dreiecks mit den folgenden Eigenschaften:

    Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis I, welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten a, b und c in einem Punkt berührt, aber nicht schneidet.

    Der Mittelpunkt M des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ. Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.

    Der Inkreis ist der größte Kreis eines Dreiecks, der vollständig innerhalb des Dreiecks liegt.

    Inkreis Dreieck Inkreis eines Dreiecks StudySmarterAbbildung 4: Inkreis eines Dreiecks

    Inkreismittelpunkt Dreieck

    Der Inkreismittelpunkt eines Dreieck ist gleichzeitig auch der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Dies lässt sich aus der Definition der Winkelhalbierenden ableiten.

    Die Winkelhalbierende wα ist diejenige Gerade zum Winkel α, die durch den Scheitelpunkt S des Winkels geht und diesen in zwei kongruente Winkelfelder - also in zwei gleich große Winkeln - teilt.

    Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden hat denselben Abstand zu den Schenkeln des Winkels.

    Mehr zu den Winkelhalbierenden erfährst Du in der Erklärung „Winkelhalbierende“.

    Für den Inkreismittelpunkt ist der Abstand zwischen Schenkel und Winkelhalbierender wichtig. Wenn Du Dir eine Winkelhalbierende für einen Winkel einzeichnest und dann auf der Winkelhalbierenden einen beliebigen Punkt wählst, kannst Du von diesem ein Lot auf die Schenkel des Winkels fällen und die beiden Strecken sind gleich lang.

    Inkreis Dreieck Inkreismittelpunkt Dreieck StudySmarterAbbildung 5: Inkreismittelpunkt Dreieck

    Das heißt für den Inkreismittelpunkt, es muss einen Punkt gegeben, in dem alle drei Winkelhalbierenden denselben Abstand zu den allen Dreieckseiten haben. Dieser Punkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Inkreismittelpunkt. Somit berührt der Inkreis jede Dreiecksseiten nur und schneidet keine, da der Inkreismittelpunkt zu jeder Seite den gleichen Abstand hat.

    Inkreise verschiedener Dreiecke

    Beim Inkreis liegen alle Inkreismittelpunkte innerhalb des Dreiecks. Es gibt keine Besonderheiten, wo der Inkreismittelpunkt liegen kann. Jedoch gilt, je spitzer das Dreieck ist, desto größer ist der Inkreisradius.

    Bei gleichem Umfang hat ein spitzwinkliges Dreieck einen größeren Inkreis als ein stumpfwinkliges Dreieck.

    Es gilt: Je spitzer ein Dreieck ist, desto größer ist der Inkreis, im Vergleich zu einem anderen Dreieck mit gleichem Umfang.

    Den Umfang eines Dreiecks berechnest Du mit der Formel

    U=a+b+c.

    Dabei sind a, b, c die Seiten des Dreiecks.

    Die beiden Dreiecke haben den gleichen Umfang. Trotzdem hat das spitzwinklige Dreieck einen größeren Inkreis. Ob ein Kreis größer oder kleiner ist, ist abhängig von der Größe des Radius. Je größer der Radius ist, desto größer ist der Kreis.

    Inkreis Dreieck Inkreis gleichseitiges Dreieck StudySmarterAbbildung 6: Inkreis gleichseitiges

    U=a+b+cU=6+6+6U=18 [cm]

    Inkreis Dreieck Inkreis stumpfwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 7: Inkreis stumpfwinkliges Dreieck

    U=a+b+cU=5+5+8U=18 [cm]

    Der Radius des spitzwinkligen Dreiecks ist deutlich größer als der Radius des stumpfwinkligen Dreiecks, obwohl sie den gleichen Umfang haben.

    Der Umfang:

    18 cm=18 cm

    Der Radius:

    1,73 cm>1,33 cm

    Inkreis gleichseitiges Dreieck

    Das gleichseitige Dreieck ist ein besonderes spitzwinkliges Dreieck. In diesem Dreieck sind die Winkelhalbierenden gleich der Mittelsenkrechten. Dementsprechend ist der Inkreismittelpunkt gleich dem Umkreismittelpunkt.

    Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis U, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft. Sein Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc der Dreiecksseiten a, b und c.

    Mehr zum Umkreis eines Dreiecks findest Du in der Erklärung „Umkreis eines Dreiecks“.

    Inkreis Dreieck Inkreis gleichseitiges Dreieck StudySmarterAbbildung 8: Inkreis gleichseitiges Dreieck

    Im gleichseitigen Dreieck gilt deshalb:

    Bei einem gleichseitigen Dreieck ist der Radius des Inkreises halb so groß wie der Radius des Umkreises. Die Radien stehen im Verhältnis 1 zu 2 zueinander.

    Mithilfe dieser Definition kannst Du den Radius des Umkreises oder Inkreises berechnen, wenn der andere Radius gegeben ist.

    Aufgabe 1

    Berechne den Radius des Inkreises des gleichseitigen Dreiecks ABC, wenn der Umkreisradius des Dreiecks r=10 cm beträgt.

    Lösung

    Als Erstes stellst Du Dir eine allgemeingültige Gleichung für das Verhältnis von Umkreis und Inkreis im gleichzeitigen Dreieck auf. Dabei ist rI der Inkreisradius und rU der Umkreisradius

    2·rI=rU

    Jetzt stellst Du diese Gleichung nach dem Inkreisradius um.

    2·rI=rU|÷2rI=rU2

    Zum Schluss setzt Du die Werte ein und berechnest den Inkreisradius.

    rI=rU2rI=102rI=5 [cm]

    Der Inkreisradius des gleichseitigen Dreiecks beträgt 5 cm.

    Satz von Carnot

    Der Satz von Carnot beschäftigt sich mit dem allgemeinen Verhältnis zwischen Inkreisradius und Umkreisradius.

    Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks.

    Der Umkreismittelpunkt MU und dessen Abstand zu den Mittelpunkten der Seiten ergeben addiert die Summe des Radius des Umkreises und Inkreises.

    Es gilt:

    OMU¯+PMU¯+QMU¯=rU+rI

    In spitzwinkligen Dreiecken darfst Du den Satz so anwenden, ohne die Formel anpassen zu müssen.

    Inkreis Dreieck spitzwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 9: spitzwinkliges Dreieck

    Für das rechtwinklige Dreieck gilt P=M. Dementsprechend kannst Du die Formel vereinfachen zu OM¯+QM¯=rU+rI.

    Inkreis Dreieck rechtwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 10: rechtwinkliges Dreieck

    Das stumpfwinklige Dreieck ist ein Sonderfall. Für dieses Dreieck rechnest Du OM¯-PM¯+QM¯=rU+rI statt OM¯+PM¯+QM¯=rU+rI. Du subtrahierst, da der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

    Inkreis Dreieck stumpfwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 11: stumpfwinkliges Dreieck

    Aufgabe 2

    Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Umkreisradius rU=2,5 cm und den Strecken OMU¯=1,5 cm und QMU=2 cm. Berechne den Inkreisradius des Dreiecks.

    Lösung

    Als Erstes stellst Du die Formel nach rI um.

    OMU¯+QMU¯=rU+rI|-rUOMU¯+QMU¯-rU=rI

    Jetzt setzt Du die Werte ein und berechnest rI.

    rI=OMU¯+QMU¯-rUrI=1,5+2-2,5rI=1 [cm]

    Der Inkreisradius des Dreiecks beträgt 1 cm.

    Inkreis Dreieck Radius berechnen

    Den Radius eines Inkreises kannst Du messen oder berechnen. Zum Berechnen benötigst Du die folgende Formel.

    Den Radius r des Inkreises I eines Dreiecks ABC kannst Du mit der Formel

    r=2·Aa+b+c

    berechnen. Der Flächeninhalt des Dreiecks wird mit A beschrieben. Die Buchstaben a, b und c sind die Seiten des Dreiecks.

    Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich mit der Formel

    A=12·g·h,

    wobei g die Grundseite und h die Höhe ist.

    Aufgabe 3

    Berechne den Radius des Inkreises des rechtwinkligen Dreiecks ABC. Das Dreieck hat folgende Seitenlängen a=3 cm, b=4cm und c=5 cm.

    Lösung

    Als Erstes musst Du den Flächeninhalt berechnen. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, benötigst Du keine Höhe h, sondern kannst mit den Seiten a und b rechnen.

    A=12·g·hA=12·a·bA=12·3·4A=6 cm2

    Als Nächstes setzt Du alle Werte in die Formel für den Radius ein.

    r=2·Aa+b+cr=2·63+4+5

    Zum Schluss berechnest Du den Radius.

    r=2·63+4+5r=1212r=1 cm

    Der Radius des Inkreises beträgt 1 cm.

    Inkreis Dreieck konstruieren

    Zum Konstruieren des Inkreises eines Dreiecks benötigst Du einen Zirkel und ein Geodreieck oder Lineal.

    BeschreibungKonstruktionsschritte
    Zuerst benötigst Du ein Dreieck. Wenn Du keins vorgegeben hast, dann zeichne Dir ein beliebiges Dreieck und beschrifte es.

    Inkreis Dreieck Inkreis Dreieck konstruieren StudySmarterAbbildung 12: Inkreis Dreieck konstruieren

    1. Schritt: Konstruiere die Winkelhalbierenden der Winkel.

    Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du Winkelhalbierende konstruierst, schau einmal in der Erklärung „Winkelhalbierende konstruieren“ nach.

    Inkreis Dreieck Inkreis Dreieck konstruieren StudySmarterAbbildung 13: Inkreis Dreieck konstruieren

    2. Schritt:Bestimme den Schnittpunkt M der drei Winkelhalbierenden.

    Inkreis Dreieck Inkreis Dreieck konstruieren StudySmarterAbbildung 14: Inkreis Dreieck konstruieren

    3. Schritt:Fälle ein Lot l von M auf eine der drei Seiten a, b oder c.

    Schau einmal in der Erklärung „Lot“ nach, wenn Du Dir unsicher bist, wie Du ein Lot fällst.

    Inkreis Dreieck Inkreis Dreieck konstruieren StudySmarterAbbildung 15: Inkreis Dreieck konstruieren

    4. Schritt:Der Mittelpunkt des Inkreises I ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Radius des Inkreises ist der Abstand zwischen Mittelpunkt M und den Berührpunkten des Inkreises I mit den Seiten a, b und c des Dreiecks. Mithilfe dieser Informationen kannst Du den Inkreis I zeichnen.

    Inkreis Dreieck Inkreis Dreieck konstruieren StudySmarterAbbildung 16: Inkreis Dreieck konstruieren

    Inkreis Dreieck Aufgaben

    Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

    Aufgabe 4

    Berechne den Inkreisradius des Dreiecks a= 6,4 cm, b=5 cm und c=8 cm. Die Höhe des Dreiecks beträgt h=4 cm.

    Lösung

    Als Erstes berechnest Du den Flächeninhalt des Dreiecks. Dabei ist die Seite c die Grundseite g.

    A=12·g·hA=12·8·4A=16 cm2

    Als Nächstes setzt Du die Werte in die Formel des Inkreisradius ein und berechnest den Radius.

    r=2·Aa+b+cr=2·166,4+5+8r=3219,4r1,649 [cm]

    Der Radius des Inkreises ist ca. 1,649 cm lang.

    Aufgabe 5

    Gegeben ist das Dreieck mit den Seitenlängen b=10 cm und c=20 cm. Der Radius des Inkreises beträgt r=2,76 cm und das Dreieck hat einen Flächeninhalt von A=60 cm2. Berechne die fehlende Seitenlänge a.

    Lösung

    Als Erstes stellst Du die Formel des Inkreisradius nach a um.

    r=2·Aa+b+c|·a+b+cr·a+b+c=2·A|÷ra+b+c=2·Ar|-b-ca=2·Ar-b-c

    Danach setzt Du die Werte ein und berechnest a.

    a=2·Ar-b-ca=2·602,76-10-20a=100023-30a=3102313,48 [cm]

    Die Seite a ist rund 13,48 cm lang.

    Inkreis eines Dreiecks – Das Wichtigste

    • Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis I, welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten a, b und c in einem Punkt berührt, aber nicht schneidet. Der Mittelpunkt M des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ. Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
    • Den Radius r des Inkreises I eines Dreiecks ABC kannst Du mit der Formel

      r=2·Aa+b+c

      berechnen. Der Flächeninhalt des Dreiecks wird mit A beschrieben. Die Buchstaben a, b und c sind die Seiten des Dreiecks.

    • Bei einem gleichseitigen Dreieck ist der Radius des Inkreises halb so groß wie der Radius des Umkreises. Die Radien stehen im Verhältnis 1 zu 2 zueinander.

    • Konstruktionsschritte für den Inkreis:
      1. Konstruiere die Winkelhalbierenden der Winkel.
      2. Bestimme den Schnittpunkt M der drei Winkelhalbierenden.
      3. Fälle ein Lot l von M auf eine der drei Seiten a, b oder c.
      4. Der Mittelpunkt des Inkreises I ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Radius des Inkreises ist der Abstand zwischen Mittelpunkt M und den Berührpunkten des Inkreises I mit den Seiten a, b und c des Dreiecks. Mithilfe dieser Informationen kannst Du den Inkreis I zeichnen.

    Nachweise

    1. Kürpig; Niewiadomski (1992). Grundlehre Geometrie : Begriffe, Lehrsätze, Grundkonstruktionen. Vieweg Braunschweig.
    Inkreis Dreieck Inkreis Dreieck
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Inkreis Dreieck

    Wie bekommt man den Inkreismittelpunkt von einem Dreieck?

    Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Winkel des Dreiecks. Also konstruierst Du die Winkelhalbierenden der drei Winkel und im Schnittpunkt der drei Geraden ist Dein Mittelpunkt.


    Wie berechnet man den Inkreis eines Dreiecks?

    Die Formel zur Berechnung des Inkreisradius lautet r=(2A)÷(a+b+c), dabei ist A der Flächeninhalt des Dreiecks und a, b, c die Seiten des Dreiecks.

    Wie berechnet man den Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks?

    Grundsätzliche kannst Du den Inkreisradius mit der Formel r=(2A)÷(a+b+c) berechnen. Diese Formel gilt für alle Dreiecke. Die Besonderheit beim rechtwinkligen Dreieck ist es, dass man den Flächeninhalt mit einer bestimmten Formel für das rechtwinklige Dreieck ersetzen kann. Die Formel lautet dann r=(a⋅b)÷(a+b+c), da A=0,5a⋅b im rechtwinkligen Dreieck gilt.

    Warum liegt der Inkreismittelpunkt auf dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden? 

    Jeder Punkt auf den Winkelhalbierenden hat denselben Abstand zu den Schenkeln des Winkels. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden hat also denselben Abstand zu jeder Seite des Dreiecks. Dementsprechend muss der Schnittpunkt der Inkreismittelpunkt sein.

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