Inkreis Dreieck

Q: Wie berechnet man den Inkreis eines Dreiecks?

Die Formel zur Berechnung des Inkreisradius lautet r=(2 ⋅ A) ÷ (a+b+c), dabei ist A der Flächeninhalt des Dreiecks und a, b, c die Seiten des Dreiecks.

Stochastik

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Stell Dir vor, Du läufst Kreise auf einem Hinterhof. Irgendwann läufst Du den Kreis so groß, dass Du jede Wand einmal berührst. Dann bist Du den größtmöglichen Kreis gelaufen, ohne den Hof zu verlassen. Solche Kreise nennst Du in der Geometrie Inkreise. Du kannst sie in viele verschiedene geometrische Figuren einzeichnen. Im Speziellen soll es in dieser Erklärung um den Inkreis eines Dreiecks gehen.

Inkreis Dreieck Grundlagenwissen

Um den Inkreis eines Dreiecks zu berechnen und zu konstruieren, benötigst Du allgemeines Wissen über zwei Figuren der Geometrie, den Kreis und das Dreieck.

Mehr zu diesen geometrischen Figuren erfährst Du in den Erklärungen „Dreieck“ und „Kreis“.

Dreieck

Ein Dreieck hat drei Ecken, welche durch drei Strecken miteinander verbunden werden.

Das Dreieck ABC ist eine geometrische Figur, bei der drei Punkte miteinander verbunden werden. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen. Die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten heißen Dreiecksseiten a, b und c.

Inkreis Dreieck Dreieck Definition StudySmarter Abbildung 2: Dreieck Definition

Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.

Kreis

Als Kreis wird eine runde Linie verstanden, wobei diese Linie an jedem Punkt denselben Abstand zu dem Kreismittelpunkt hat, welcher nicht auf der Linie liegt.

Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dieser hat den Mittelpunkt M und den Radius r. Der Mittelpunkt M ist dabei kein Punkt des Kreises.

Inkreis Dreieck Kreis Definition StudySmarter Abbildung 3: Kreis Definition

Die doppelte Länge des Radius wird Durchmesser genannt und ist die maximale Entfernung zweier Punkte auf einem Kreis.

Inkreis Dreieck Definition

Der Inkreis ist ein Kreis innerhalb eines Dreiecks mit den folgenden Eigenschaften:

Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis I, welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten a, b und c in einem Punkt berührt, aber nicht schneidet.

Der Mittelpunkt M des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden $w_{α}$ , $w_{β}$ und $w_{γ}$ . Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.

Der Inkreis ist der größte Kreis eines Dreiecks, der vollständig innerhalb des Dreiecks liegt.

Inkreis Dreieck Inkreis eines Dreiecks StudySmarter Abbildung 4: Inkreis eines Dreiecks

Inkreismittelpunkt Dreieck

Der Inkreismittelpunkt eines Dreieck ist gleichzeitig auch der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Dies lässt sich aus der Definition der Winkelhalbierenden ableiten.

Die Winkelhalbierende $w_{α}$ ist diejenige Gerade zum Winkel $α$ , die durch den Scheitelpunkt S des Winkels geht und diesen in zwei kongruente Winkelfelder - also in zwei gleich große Winkeln - teilt.

Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden hat denselben Abstand zu den Schenkeln des Winkels.

Mehr zu den Winkelhalbierenden erfährst Du in der Erklärung „Winkelhalbierende“.

Für den Inkreismittelpunkt ist der Abstand zwischen Schenkel und Winkelhalbierender wichtig. Wenn Du Dir eine Winkelhalbierende für einen Winkel einzeichnest und dann auf der Winkelhalbierenden einen beliebigen Punkt wählst, kannst Du von diesem ein Lot auf die Schenkel des Winkels fällen und die beiden Strecken sind gleich lang.

Inkreis Dreieck Inkreismittelpunkt Dreieck StudySmarter Abbildung 5: Inkreismittelpunkt Dreieck

Das heißt für den Inkreismittelpunkt, es muss einen Punkt gegeben, in dem alle drei Winkelhalbierenden denselben Abstand zu den allen Dreieckseiten haben. Dieser Punkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Inkreismittelpunkt. Somit berührt der Inkreis jede Dreiecksseiten nur und schneidet keine, da der Inkreismittelpunkt zu jeder Seite den gleichen Abstand hat.

Inkreise verschiedener Dreiecke

Beim Inkreis liegen alle Inkreismittelpunkte innerhalb des Dreiecks. Es gibt keine Besonderheiten, wo der Inkreismittelpunkt liegen kann. Jedoch gilt, je spitzer das Dreieck ist, desto größer ist der Inkreisradius.

Bei gleichem Umfang hat ein spitzwinkliges Dreieck einen größeren Inkreis als ein stumpfwinkliges Dreieck.

Es gilt: Je spitzer ein Dreieck ist, desto größer ist der Inkreis, im Vergleich zu einem anderen Dreieck mit gleichem Umfang.

Den Umfang eines Dreiecks berechnest Du mit der Formel

$U = a + b + c$ .

Dabei sind a, b, c die Seiten des Dreiecks.

Die beiden Dreiecke haben den gleichen Umfang. Trotzdem hat das spitzwinklige Dreieck einen größeren Inkreis. Ob ein Kreis größer oder kleiner ist, ist abhängig von der Größe des Radius. Je größer der Radius ist, desto größer ist der Kreis.

Inkreis Dreieck Inkreis gleichseitiges Dreieck StudySmarter Abbildung 6: Inkreis gleichseitiges

U = a + b + c U = 6 + 6 + 6 U = 18 [c m]

Inkreis Dreieck Inkreis stumpfwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 7: Inkreis stumpfwinkliges Dreieck

U = a + b + c U = 5 + 5 + 8 U = 18 [c m]

Der Radius des spitzwinkligen Dreiecks ist deutlich größer als der Radius des stumpfwinkligen Dreiecks, obwohl sie den gleichen Umfang haben.

Der Umfang:

$18 c m = 18 c m$

Der Radius:

1, 73 c m > 1, 33 c m

Inkreis gleichseitiges Dreieck

Das gleichseitige Dreieck ist ein besonderes spitzwinkliges Dreieck. In diesem Dreieck sind die Winkelhalbierenden gleich der Mittelsenkrechten. Dementsprechend ist der Inkreismittelpunkt gleich dem Umkreismittelpunkt.

Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis U, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft. Sein Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten m_a, m_b und m_c der Dreiecksseiten a, b und c.

Mehr zum Umkreis eines Dreiecks findest Du in der Erklärung „Umkreis eines Dreiecks“.

Inkreis Dreieck Inkreis gleichseitiges Dreieck StudySmarter Abbildung 8: Inkreis gleichseitiges Dreieck

Im gleichseitigen Dreieck gilt deshalb:

Bei einem gleichseitigen Dreieck ist der Radius des Inkreises halb so groß wie der Radius des Umkreises. Die Radien stehen im Verhältnis 1 zu 2 zueinander.

Mithilfe dieser Definition kannst Du den Radius des Umkreises oder Inkreises berechnen, wenn der andere Radius gegeben ist.

Aufgabe 1

Berechne den Radius des Inkreises des gleichseitigen Dreiecks ABC, wenn der Umkreisradius des Dreiecks $r = 10 c m$ beträgt.

Lösung

Als Erstes stellst Du Dir eine allgemeingültige Gleichung für das Verhältnis von Umkreis und Inkreis im gleichzeitigen Dreieck auf. Dabei ist r_I der Inkreisradius und r_U der Umkreisradius

$2 \cdot r_{I} = r_{U}$

Jetzt stellst Du diese Gleichung nach dem Inkreisradius um.

$\begin{matrix} 2 \cdot r_{I} & = & r_{U} & | \div 2 \\ r_{I} & = & \frac{r_{U}}{2} \end{matrix}$

Zum Schluss setzt Du die Werte ein und berechnest den Inkreisradius.

$\begin{matrix} r_{I} & = & \frac{r_{U}}{2} \\ r_{I} & = & \frac{10}{2} \\ r_{I} & = & 5 [c m] \end{matrix}$

Der Inkreisradius des gleichseitigen Dreiecks beträgt 5 cm.

Satz von Carnot

Der Satz von Carnot beschäftigt sich mit dem allgemeinen Verhältnis zwischen Inkreisradius und Umkreisradius.

Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks.

Der Umkreismittelpunkt M_U und dessen Abstand zu den Mittelpunkten der Seiten ergeben addiert die Summe des Radius des Umkreises und Inkreises.

Es gilt:

$\bar{O M_{U}} + \bar{P M_{U}} + \bar{Q M_{U}} = r_{U} + r_{I}$

In spitzwinkligen Dreiecken darfst Du den Satz so anwenden, ohne die Formel anpassen zu müssen.

Inkreis Dreieck spitzwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 9: spitzwinkliges Dreieck

Für das rechtwinklige Dreieck gilt $P = M$ . Dementsprechend kannst Du die Formel vereinfachen zu $\bar{O M} + \bar{Q M} = r_{U} + r_{I}$ .

Inkreis Dreieck rechtwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 10: rechtwinkliges Dreieck

Das stumpfwinklige Dreieck ist ein Sonderfall. Für dieses Dreieck rechnest Du $\bar{O M} - \bar{P M} + \bar{Q M} = r_{U} + r_{I}$ statt $\bar{O M} + \bar{P M} + \bar{Q M} = r_{U} + r_{I}$ . Du subtrahierst, da der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

Inkreis Dreieck stumpfwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 11: stumpfwinkliges Dreieck

Aufgabe 2

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Umkreisradius $r_{U} = 2, 5 c m$ und den Strecken $\bar{O M_{U}} = 1, 5 c m$ und $Q M_{U} = 2 c m$ . Berechne den Inkreisradius des Dreiecks.

Lösung

Als Erstes stellst Du die Formel nach r_I um.

$\begin{array}{rclc} \bar{O M_{U}} + \bar{Q M_{U}} & = & r_{U} + r_{I} & | - r_{U} \\ \bar{O M_{U}} + \bar{Q M_{U}} - r_{U} & = & r_{I} \end{array}$

Jetzt setzt Du die Werte ein und berechnest r_I.

$\begin{array}{rrl} r_{I} & = & \bar{O M_{U}} + \bar{Q M_{U}} - r_{U} \\ r_{I} & = & 1, 5 + 2 - 2, 5 \\ r_{I} & = & 1 [c m] \end{array}$

Der Inkreisradius des Dreiecks beträgt 1 cm.

Inkreis Dreieck Radius berechnen

Den Radius eines Inkreises kannst Du messen oder berechnen. Zum Berechnen benötigst Du die folgende Formel.

Den Radius r des Inkreises I eines Dreiecks ABC kannst Du mit der Formel

$r = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + b + c}$

berechnen. Der Flächeninhalt des Dreiecks wird mit $A_{△}$ beschrieben. Die Buchstaben a, b und c sind die Seiten des Dreiecks.

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich mit der Formel

$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ ,

wobei g die Grundseite und h die Höhe ist.

Aufgabe 3

Berechne den Radius des Inkreises des rechtwinkligen Dreiecks ABC. Das Dreieck hat folgende Seitenlängen $a = 3 c m$ , $b = 4 c m$ und $c = 5 c m$ .

Lösung

Als Erstes musst Du den Flächeninhalt berechnen. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, benötigst Du keine Höhe h, sondern kannst mit den Seiten a und b rechnen.

$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h A_{△} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 A_{△} = 6 [c m^{2}]$

Als Nächstes setzt Du alle Werte in die Formel für den Radius ein.

$r = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + b + c} r = \frac{2 \cdot 6}{3 + 4 + 5}$

Zum Schluss berechnest Du den Radius.

$r = \frac{2 \cdot 6}{3 + 4 + 5} r = \frac{12}{12} r = 1 [c m]$

Der Radius des Inkreises beträgt 1 cm.

Inkreis Dreieck konstruieren

Zum Konstruieren des Inkreises eines Dreiecks benötigst Du einen Zirkel und ein Geodreieck oder Lineal.

Beschreibung	Konstruktionsschritte
Zuerst benötigst Du ein Dreieck. Wenn Du keins vorgegeben hast, dann zeichne Dir ein beliebiges Dreieck und beschrifte es.	Abbildung 12: Inkreis Dreieck konstruieren
1. Schritt: Konstruiere die Winkelhalbierenden der Winkel. Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du Winkelhalbierende konstruierst, schau einmal in der Erklärung „Winkelhalbierende konstruieren“ nach.	Abbildung 13: Inkreis Dreieck konstruieren
2. Schritt:Bestimme den Schnittpunkt M der drei Winkelhalbierenden.	Abbildung 14: Inkreis Dreieck konstruieren
3. Schritt:Fälle ein Lot l von M auf eine der drei Seiten a, b oder c. Schau einmal in der Erklärung „Lot“ nach, wenn Du Dir unsicher bist, wie Du ein Lot fällst.	Abbildung 15: Inkreis Dreieck konstruieren
4. Schritt:Der Mittelpunkt des Inkreises I ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Radius des Inkreises ist der Abstand zwischen Mittelpunkt M und den Berührpunkten des Inkreises I mit den Seiten a, b und c des Dreiecks. Mithilfe dieser Informationen kannst Du den Inkreis I zeichnen.	Abbildung 16: Inkreis Dreieck konstruieren

Inkreis Dreieck Aufgaben

Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 4

Berechne den Inkreisradius des Dreiecks $a = 6, 4 c m$ , $b = 5 c m$ und $c = 8 c m$ . Die Höhe des Dreiecks beträgt $h = 4 c m$ .

Lösung

Als Erstes berechnest Du den Flächeninhalt des Dreiecks. Dabei ist die Seite c die Grundseite g.

$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 A_{△} = 16 [c m^{2}]$

Als Nächstes setzt Du die Werte in die Formel des Inkreisradius ein und berechnest den Radius.

$r = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + b + c} r = \frac{2 \cdot 16}{6, 4 + 5 + 8} r = \frac{32}{19, 4} r \approx 1, 649 [c m]$

Der Radius des Inkreises ist ca. 1,649 cm lang.

Aufgabe 5

Gegeben ist das Dreieck mit den Seitenlängen $b = 10 c m$ und $c = 20 c m$ . Der Radius des Inkreises beträgt $r = 2, 76 c m$ und das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $A_{△} = 60 c m^{2}$ . Berechne die fehlende Seitenlänge a.

Lösung

Als Erstes stellst Du die Formel des Inkreisradius nach a um.

$\begin{array}{rcll} r & = & \frac{2 \cdot A_{△}}{a + b + c} & | \cdot (a + b + c) \\ r \cdot (a + b + c) & = & 2 \cdot A_{△} & | \div r \\ a + b + c & = & \frac{2 \cdot A_{△}}{r} & | - b - c \\ a & = & \frac{2 \cdot A_{△}}{r} - b - c \end{array}$

Danach setzt Du die Werte ein und berechnest a.

$a = \frac{2 \cdot A_{△}}{r} - b - c a = \frac{2 \cdot 60}{2, 76} - 10 - 20 a = \frac{1000}{23} - 30 a = \frac{310}{23} \approx 13, 48 [c m]$

Die Seite a ist rund 13,48 cm lang.

Inkreis eines Dreiecks – Das Wichtigste

Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis I, welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten a, b und c in einem Punkt berührt, aber nicht schneidet. Der Mittelpunkt M des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden $w_{α}$ , $w_{β}$ und $w_{γ}$ . Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Den Radius r des Inkreises I eines Dreiecks ABC kannst Du mit der Formel
$r = \frac{2 \cdot A_{△}}{a + b + c}$
berechnen. Der Flächeninhalt des Dreiecks wird mit $A_{△}$ beschrieben. Die Buchstaben a, b und c sind die Seiten des Dreiecks.
Bei einem gleichseitigen Dreieck ist der Radius des Inkreises halb so groß wie der Radius des Umkreises. Die Radien stehen im Verhältnis 1 zu 2 zueinander.
Konstruktionsschritte für den Inkreis:
1. Konstruiere die Winkelhalbierenden der Winkel.
2. Bestimme den Schnittpunkt M der drei Winkelhalbierenden.
3. Fälle ein Lot l von M auf eine der drei Seiten a, b oder c.
4. Der Mittelpunkt des Inkreises I ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Radius des Inkreises ist der Abstand zwischen Mittelpunkt M und den Berührpunkten des Inkreises I mit den Seiten a, b und c des Dreiecks. Mithilfe dieser Informationen kannst Du den Inkreis I zeichnen.

Nachweise

Kürpig; Niewiadomski (1992). Grundlehre Geometrie : Begriffe, Lehrsätze, Grundkonstruktionen. Vieweg Braunschweig.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Inkreis Dreieck

Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Winkel des Dreiecks. Also konstruierst Du die Winkelhalbierenden der drei Winkel und im Schnittpunkt der drei Geraden ist Dein Mittelpunkt.

Die Formel zur Berechnung des Inkreisradius lautet r=(2⋅A)÷(a+b+c), dabei ist A der Flächeninhalt des Dreiecks und a, b, c die Seiten des Dreiecks.

Grundsätzliche kannst Du den Inkreisradius mit der Formel r=(2⋅A)÷(a+b+c) berechnen. Diese Formel gilt für alle Dreiecke. Die Besonderheit beim rechtwinkligen Dreieck ist es, dass man den Flächeninhalt mit einer bestimmten Formel für das rechtwinklige Dreieck ersetzen kann. Die Formel lautet dann r=(a⋅b)÷(a+b+c), da A=0,5⋅a⋅b im rechtwinkligen Dreieck gilt.

Jeder Punkt auf den Winkelhalbierenden hat denselben Abstand zu den Schenkeln des Winkels. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden hat also denselben Abstand zu jeder Seite des Dreiecks. Dementsprechend muss der Schnittpunkt der Inkreismittelpunkt sein.

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Was ist eine Winkelhalbierende?

Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.

Welche besondere Eigenschaft besitzt der Inkreis?

Der Inkreis ist der größte Kreis, der vollständig innerhalb des Dreiecks liegt.

Beschreibe die Konstruktionsschritte des Inkreises.

Konstruiere die Winkelhalbierenden der Winkel.
Bestimme den Schnittpunkt M der drei Winkelhalbierenden.
Fälle ein Lot l von M auf eine der drei Seiten a, b oder c.
Der Mittelpunkt des Inkreises I ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Radius des Inkreises ist der Abstand zwischen Mittelpunkt M und den Berührpunkten des Inkreises I mit den Seiten a, b und c des Dreiecks. Mithilfe dieser Informationen kannst Du den Inkreis I zeichnen.

In welchem Verhältnis steht der Inkreisradius zum Umkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck?

Der Umkreisradius ist doppelt so groß wie der Inkreisradius.

Benenne das Verhältnis zweier Inkreisradien, wenn die Dreiecke den gleichen Umfang haben.

Desto spitzer ein Dreieck ist, desto größer ist der Inkreisradius und somit der Inkreis, im Vergleich zu einem anderen Dreieck mit gleichem Umfang.

Dir sind zwei Dreiecke mit dem gleichen Umfang gegeben. Das Eine ist stumpfwinklig und das Andere ist rechtwinklig. Welches der Dreiecke hat den größeren Inkreisradius?

Das rechtwinklige Dreieck

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