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Jetzt kostenlos anmeldenSofia hat heute Geburtstag. Zu ihrem Geburtstag bekommt sie eine zweistöckige Motivtorte. Das Besondere an der Torte ist, dass der obere Teil der Torte die Form eines Würfels hat.
Abbildung 1: Motivtorte
Wie Du siehst, ist der untere Stock der Torte zylinderförmig und der obere Stock in Form eines Würfels. Eine solche Kombination an unterschiedlichen Formen an Körpern werden zusammengesetzte Körper genannt. Wie Du diese zusammengesetzten Körper untersuchst und berechnest (beispielsweise weil Du den Kuchen nachbacken willst), erfährst Du in dieser Erklärung!
Wie ein zusammengesetzter Körper aussehen kann, hast Du schon anhand von Sofias Torte gesehen. Aber was genau sind überhaupt zusammengesetzte Körper?
Zusammengesetzte Körper sind zwei oder mehrere dreidimensionale Figuren (Körper), die miteinander verbunden sind. Diese Körper bilden einen Gesamtkörper.
Den Gesamtkörper kannst Du in die einzelnen geometrischen Körper zerlegen. Um zusammengesetzte Körper zu untersuchen und berechnen, ist es sinnvoll, sich zuerst eine Wiederholung zum Thema Körper anzuschauen!
Körper sind dreidimensionale geometrische Figuren. Du hast bestimmt schon mal von Würfeln, Pyramiden und Kugeln gehört. All das sind Geometrische Körper. Um zu erkennen, aus welchen Körpern ein zusammengesetzter Körper besteht, kannst Du Dir eine kurze Übersicht über alle wichtigen Körper anschauen.
Abbildung 2: Würfel
Abbildung 3: Quader
Abbildung 4: Pyramide
Abbildung 5: Prisma
Abbildung 6: Zylinder
Abbildung 7: Kegel
Abbildung 8: Kugel
Schau Dir dazu gerne die Erklärung "Geometrische Körper" an. Dort findest Du eine allgemeine Zusammenfassung, kannst Dich aber auch in die Erklärungen zu den einzelnen Körpern klicken!
Ein zusammengesetzter Körper kann aus zwei oder mehreren dieser Körper bestehen.
Hier kannst Du Dir ein paar Beispiele zu zusammengesetzten Körpern anschauen. Ein paar Körper sehen aus wie Objekte aus dem Alltag.
Abbildung 9: Turm
Abbildug 10: Pfeil
Abbildung 11: Quader und Halbkugel
Abbildung 12: Eis in der Waffel
Viele Objekte, die Dir im Alltag begegnen, sind also zusammengesetzte Körper. Wenn Du diese Körper berechnen möchtest, ist es notwendig, die Körper zu zerlegen und berechenbare Körper darin zu erkennen.
Wenn Du geometrische Körper berechnen möchtest, bedeutet das, dass Du Werte, wie den Oberflächeninhalt und das Volumen der Körper herausfinden willst. Um diese Elemente zu berechnen, benötigst Du die zugehörigen Formeln. Weil zusammengesetzte Körper aus zwei oder mehreren Körpern bestehen, werden die einzelnen Formeln der jeweiligen Körper für diese Angaben gebraucht.
Hier findest Du eine Zusammenfassung der Formeln für geometrische Körper für die Berechnung von Oberflächeninhalt und Volumen.
Körper | Volumen | Oberflächeninhalt |
Würfel | ||
Quader | ||
Pyramide | ||
Prisma | ||
Zylinder | ||
Kegel | ||
Kugel |
Wenn jetzt zusammengesetzte Körper berechnet werden müssen, dann können diese Formeln, je nach Körper, kombiniert werden.
Um das Volumen eines zusammengesetzten Körpers zu berechnen, solltest Du den Gesamtkörper im ersten Schritt in die Körper unterteilen, aus denen er besteht. Danach kannst Du die Werte in die jeweiligen Formeln zur Berechnung des Volumens einsetzen und anschließend ausrechnen.
Eine allgemeine Formel für alle zusammengesetzten Körper gibt es nicht. Dafür lässt sich das Volumen eines zusammengesetzten Körpers so zusammenfassen:
Die nummerierten Volumen stehen dabei für das jeweilige Volumen der einzelnen Körper. Zusammengerechnet ergeben sie das Volumen des Gesamtkörpers.
Das Ganze kannst Du Dir anhand eines Beispiels genauer anschauen!
Aufgabe 1
Berechne das Volumen von Sofias Geburtstagstorte. Die Maße der Torte sind folgende:
Abbildung 13: Sofias Torte
Lösung
Die Torte besteht aus zwei Stöcken. Im unteren Stock ist ein Kuchen in Form von einem Zylinder und im oberen Stock ein Kuchen in Form eines Würfels. Diesen Gesamtkörper kannst Du jetzt zerlegen und das Volumen der jeweiligen Körper berechnen.
Beginne mit dem Würfel.
Abbildung 14: Würfel
Wenn Du einen Blick in die Formeln zur Berechnung von Körpern wirfst, siehst Du, dass die Formel für einen Würfel lautet. Setze den gegebenen Wert ein, um das Volumen dieses Würfels zu berechnen.
id="3038842" role="math"
Danach kannst Du das Volumen des unteren Stocks, also des Zylinders, berechnen. Die Formel lautet . Setze die gegebenen Werte ein, um das Volumen des Zylinders zu berechnen.
Abbildung 15: Zylinder
id="3038841" role="math"
Das Gesamtvolumen berechnest Du dann, indem Du die beiden Volumen der Teilkörper zusammenrechnest:
id="3038844" role="math"
Das Volumen von Sofias Geburtstagstorte beträgt .
Wie Du das Volumen der Torte berechnest, hast Du jetzt gesehen. Wie sieht das aus, wenn der Kuchen zum Abschluss noch ganz mit Fondant überzogen werden soll? Dafür benötigst Du den Oberflächeninhalt.
Um den Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern zu berechnen, gehst Du ähnlich vor, wie beim Volumen. Dabei gibt es eine wichtige Ausnahme!
Die Fläche(n), an der sich die zerlegten Körper berühren, wird nicht zum Oberflächeninhalt dazugerechnet.
Was das genau bedeutet, siehst Du in der folgenden Abbildung.
Abbildung 16: Berührungsfläche
Wie Du den Oberflächeninhalt dann berechnest, kannst Du Dir anhand dieses zusammengesetzten Körpers anschauen.
Aufgabe 2
Der Kuchen wird jetzt für das Design noch mit Fondant überzogen. Berechne, wie viel Fläche von dem Fondant überzogen werden muss.
Abbildung 17: Sofias Torte
Lösung
Um den Oberflächeninhalt dieses zusammengesetzten Körpers zu berechnen, werden – wie beim Volumen – zuerst jeweils beide Oberflächen berechnet. Danach wird die Fläche abgezogen, an der sich die beiden Körper berühren.
In diesem Fall besteht der Gesamtkörper aus einem Zylinder und einem Würfel. Die Fläche, die abgezogen werden muss, ist in diesem Fall die Grundfläche G des Würfels. Beachte dabei, dass die Grundfläche des Würfels zweimal abgezogen werden muss, da der Fondant nur die sichtbaren Flächen bedecken wird. Also einmal die Grundfläche des Würfels und einmal den quadratischen Ausschnitt des Zylinders, auf dem der Würfel steht. Du gehst also so vor:
Beginne mit der Berechnung des Oberflächeninhalts des Zylinders.
id="3038839" role="math"
Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt .
Danach berechnest Du den Oberflächeninhalt des Würfels:
id="3038837" role="math"
Um den gesamten Oberflächeninhalt zu berechnen, wird der Flächeninhalt von berechnet.
id="3038835" role="math"
Zuletzt setzt Du die Werte in die oben aufgestellte Formel ein.
id="3038827" role="math"
Der Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers beträgt .
So kannst Du bei jedem zusammengesetzten Körper vorgehen. Beachte dabei immer, dass die Flächen, die die Teilkörper miteinander verbinden, nicht zum Oberflächeninhalt des Gesamtkörpers dazugehören.
Ausgehöhlte Körper sind ebenfalls zusammengesetzte Körper. Auch sie können mithilfe von Formeln berechnet werden. Schau Dir dazu gerne ein Beispiel an.
Ein zusammengesetzter, ausgehöhlter Körper sieht beispielsweise so aus:
Abbildung 18: ausgehöhlter Körper
Um Oberfläche und Volumen des Gesamtkörpers zu berechnen, gehst Du ähnlich vor, wie bei anderen zusammengesetzten Körpern auch. Stelle zuerst Formeln auf.
Volumen
Um das Gesamtvolumen zu berechnen, ziehst Du also das Volumen des Körpers, der den anderen aushöhlt, von dem anderen Körper ab.
id="3038826" role="math"
Das Gesamtvolumen beträgt .
Oberfläche
id="3038848" role="math"
Setze die Werte in die Formel ein.
id="3038764" role="math"
Der Oberflächeninhalt des ausgehöhlten Körpers beträgt id="3038765" role="math" .
Ein gängiges Beispiel für einen zusammengesetzten Körper sind Würfel und Pyramide. Anhand dessen kannst Du Dir eine Zusammenfassung zur Berechnung des Volumens und des Oberflächeninhalts anschauen.
Aufgabe 3
Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt dieses zusammengesetzten Körpers:
Abbildung 19: Würfel und Pyramide
Lösung
Der zusammengesetzte Körper besteht aus einem Würfel und einer Pyramide. Die Pyramide wird dadurch zu einer quadratischen Pyramide. Beginne die Berechnung des zusammengesetzten Körpers mit dem Volumen. Da die Pyramide quadratisch ist, ist die Formel für das Volumen .
id="3038825" role="math"
Das Volumen des Gesamtkörpers ist .
Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, kannst Du wieder eine Formel aufstellen, in der deutlich wird, dass die Berührungsfläche, an denen sich die beiden Körper berühren, nicht dazugehört:
In diesem Fall entspricht die Grundfläche der Pyramide der des Würfels.
In diese Formel kannst Du jetzt einsetzen und den Gesamtoberflächeninhalt berechnen. Weil die Pyramide eine quadratische Grundfläche hat, lautet die Formel für den Oberflächeninhalt .
id="3038823" role="math"
Der Oberflächeninhalt beträgt .
Und, was meinst Du? Bist Du bereit für ein paar Übungsaufgaben?
Aufgabe 4
Klara arbeitet bei einer Automobilfirma. Ihre Firma hat sie damit beauftragt, ein neues Industriegebäude zu planen. Dabei hat sie diese Vorgaben:
Klara macht sich eine Planskizze:
Abbildung 20: Planskizze
Lösung
1. Stelle zuerst eine Formel auf, die den Sachverhalt schildert.
In diese Formel kannst Du dann die vorgegebenen Werte einsetzen, um das Gesamtvolumen zu berechnen.
id="3038820" role="math"
Das Volumen der gesamten Fabrik beträgt .
2. Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, kannst Du ebenfalls erst mal eine Formel aufstellen. Bedenke dabei, dass die Berührungsflächen zwischen Schornstein und Gebäude nicht zum Oberflächeninhalt gehören.
Jetzt kannst Du die Werte in die Formel einsetzen und den Oberflächeninhalt berechnen.
id="3038812" role="math"
Der Oberflächeninhalt des Gebäudes beträgt .
Der Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers wird berechnet, indem der Gesamtkörper in berechenbare Teilkörper unterteilt wird. Die Oberfläche der Teilkörper wird dann einzeln berechnet. Dabei ist zu beachten, dass die Berührungsfläche zwischen den Teilkörpern nicht zum Oberflächeninhalt dazugehört.
Es gibt viele Arten von zusammengesetzten Körpern. Zusammengesetzte Körper können aus zwei oder mehreren Teilkörpern bestehen. Auch ausgehöhlte Körper sind zusammengesetzte Körper.
Ein zusammengesetzter Körper ist ein geometrischer Körper, der sich in bekannte Teilkörper unterteilen lässt. Zusammengesetzte Körper bestehen aus zwei oder mehreren Teilkörpern.
Um zusammengesetzte Körper zu berechnen, sollte der Gesamtkörper in einzelne Teilkörper unterteilt werden. Diese Teilkörper können dann mit den jeweiligen Formeln berechnet werden. Die jeweiligen Ergebnisse werden dann zusammengerechnet.
Karteikarten in Zusammengesetzte Körper4
Lerne jetztWas ist ein zusammengesetzter Körper?
Ein zusammengesetzter Körper ist ein Gesamtkörper aus zwei oder mehreren Teilkörpern.
Wie wird ein zusammengesetzter Körper berechnet?
Wie wird der Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers berechnet?
Wie wird das Volumen eines zusammengesetzten Körpers berechnet?
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