Zusammengesetzte Körper

Stochastik

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Sofia hat heute Geburtstag. Zu ihrem Geburtstag bekommt sie eine zweistöckige Motivtorte. Das Besondere an der Torte ist, dass der obere Teil der Torte die Form eines Würfels hat.

Zusammengesetzter Körper Zylinder Würfel Zusammengesetzte Körper Beispiele StudySmarter Abbildung 1: Motivtorte

Wie Du siehst, ist der untere Stock der Torte zylinderförmig und der obere Stock in Form eines Würfels. Eine solche Kombination an unterschiedlichen Formen an Körpern werden zusammengesetzte Körper genannt. Wie Du diese zusammengesetzten Körper untersuchst und berechnest (beispielsweise weil Du den Kuchen nachbacken willst), erfährst Du in dieser Erklärung!

Zusammengesetzte Körper Definition

Wie ein zusammengesetzter Körper aussehen kann, hast Du schon anhand von Sofias Torte gesehen. Aber was genau sind überhaupt zusammengesetzte Körper?

Zusammengesetzte Körper sind zwei oder mehrere dreidimensionale Figuren (Körper), die miteinander verbunden sind. Diese Körper bilden einen Gesamtkörper.

Den Gesamtkörper kannst Du in die einzelnen geometrischen Körper zerlegen. Um zusammengesetzte Körper zu untersuchen und berechnen, ist es sinnvoll, sich zuerst eine Wiederholung zum Thema Körper anzuschauen!

Wiederholung – Körper

Körper sind dreidimensionale geometrische Figuren. Du hast bestimmt schon mal von Würfeln, Pyramiden und Kugeln gehört. All das sind geometrische Körper. Um zu erkennen, aus welchen Körpern ein zusammengesetzter Körper besteht, kannst Du Dir eine kurze Übersicht über alle wichtigen Körper anschauen.

Zusammengesetzte Körper Würfel Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarter Abbildung 2: Würfel Zusammengesetzte Körper Quader Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarter Abbildung 3: Quader Zusammengesetzte Körper Pyramide Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarter Abbildung 4: Pyramide Zusammengesetzte Körper Prisma Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarter Abbildung 5: Prisma Zusammengesetzte Körper Zylinder Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarter Abbildung 6: Zylinder Zusammengesetzte Körper Kegel Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarter Abbildung 7: Kegel Zusammengesetzte Körper Kugel Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarter Abbildung 8: Kugel

Schau Dir dazu gerne die Erklärung "Geometrische Körper" an. Dort findest Du eine allgemeine Zusammenfassung, kannst Dich aber auch in die Erklärungen zu den einzelnen Körpern klicken!

Ein zusammengesetzter Körper kann aus zwei oder mehreren dieser Körper bestehen.

Zusammengesetzte Körper Beispiele

Hier kannst Du Dir ein paar Beispiele zu zusammengesetzten Körpern anschauen. Ein paar Körper sehen aus wie Objekte aus dem Alltag.

Zusammengesetzte Körper Pyramide Quader Zusammengesetzte Körper Beispiele StudySmarter Abbildung 9: Turm Zusammengesetzte Körper Zylinder Pyramide Zusammengesetzte Körper Beispiele StudySmarter Abbildug 10: Pfeil Zusammengesetzte Körper Quader Halbkugel Zusammengesetzte Körper Beispiele StudySmarter Abbildung 11: Quader und Halbkugel Zusammengesetzte Körper Kugel Kegel Zusammengesetzte Körper Beispiele StudySmarter Abbildung 12: Eis in der Waffel

Viele Objekte, die Dir im Alltag begegnen, sind also zusammengesetzte Körper. Wenn Du diese Körper berechnen möchtest, ist es notwendig, die Körper zu zerlegen und berechenbare Körper darin zu erkennen.

Zusammengesetzte Körper berechnen & Formeln

Wenn Du geometrische Körper berechnen möchtest, bedeutet das, dass Du Werte, wie den Oberflächeninhalt und das Volumen der Körper herausfinden willst. Um diese Elemente zu berechnen, benötigst Du die zugehörigen Formeln. Weil zusammengesetzte Körper aus zwei oder mehreren Körpern bestehen, werden die einzelnen Formeln der jeweiligen Körper für diese Angaben gebraucht.

Zusammengesetzte Körper Formeln

Hier findest Du eine Zusammenfassung der Formeln für geometrische Körper für die Berechnung von Oberflächeninhalt und Volumen.

Körper	Volumen	Oberflächeninhalt
Würfel	$V = a^{3}$	$O = 6 \cdot a^{2}$
Quader	$V = a \cdot b \cdot c$	$O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$
Pyramide	$V = \frac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot h$	$O = a \cdot b + a \cdot h_{a} + b \cdot h_{b}$
Prisma	$V = G \cdot h$	$O = 2 \cdot A_{G} + A_{M}$
Zylinder	$V = π \cdot r^{2} \cdot h$	$O = 2 \cdot π \cdot r \cdot (r + h)$
Kegel	$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$	$O = π \cdot r \cdot (r + s)$
Kugel	$V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}$	$O = a^{2} + 2 \cdot a \cdot h_{a}$

Wenn jetzt zusammengesetzte Körper berechnet werden müssen, dann können diese Formeln, je nach Körper, kombiniert werden.

Zusammengesetzte Körper – Volumen berechnen

Um das Volumen eines zusammengesetzten Körpers zu berechnen, solltest Du den Gesamtkörper im ersten Schritt in die Körper unterteilen, aus denen er besteht. Danach kannst Du die Werte in die jeweiligen Formeln zur Berechnung des Volumens einsetzen und anschließend ausrechnen.

Eine allgemeine Formel für alle zusammengesetzten Körper gibt es nicht. Dafür lässt sich das Volumen eines zusammengesetzten Körpers so zusammenfassen:

$V = V_{1} + V_{2} + . . . + V_{n}$

Die nummerierten Volumen stehen dabei für das jeweilige Volumen der einzelnen Körper. Zusammengerechnet ergeben sie das Volumen des Gesamtkörpers.

Das Ganze kannst Du Dir anhand eines Beispiels genauer anschauen!

Aufgabe 1

Berechne das Volumen von Sofias Geburtstagstorte. Die Maße der Torte sind folgende:

Zusammengesetzte Körper Würfel Zylinder Zusammengesetzte Körper Volumen berechnen StudySmarter Abbildung 13: Sofias Torte

Lösung

Die Torte besteht aus zwei Stöcken. Im unteren Stock ist ein Kuchen in Form von einem Zylinder und im oberen Stock ein Kuchen in Form eines Würfels. Diesen Gesamtkörper kannst Du jetzt zerlegen und das Volumen der jeweiligen Körper berechnen.

Beginne mit dem Würfel.

Zusammengesetzte Körper Würfel Zusammengesetzte Körper Volumen berechnen StudySmarter Abbildung 14: Würfel

Wenn Du einen Blick in die Formeln zur Berechnung von Körpern wirfst, siehst Du, dass die Formel für einen Würfel $V = a^{3}$ lautet. Setze den gegebenen Wert ein, um das Volumen dieses Würfels zu berechnen.

id="3038842" role="math" $\begin{array}{rcl} V_{1} & = & {(10 c m)}^{3} = 1000 c m^{3} \end{array}$

Danach kannst Du das Volumen des unteren Stocks, also des Zylinders, berechnen. Die Formel lautet $V = π \cdot r^{2} \cdot h$ . Setze die gegebenen Werte ein, um das Volumen des Zylinders zu berechnen.

Zusammengesetzte Körper Zylinder Zusammengesetzte Körper Volumen berechnen StudySmarter Abbildung 15: Zylinder

id="3038841" role="math" $\begin{array}{rcl} V_{2} & = & π \cdot {(13 cm)}^{2} \cdot 14 cm = \\ = & π \cdot 169 c m^{2} \cdot 14 c m = \\ = & π \cdot 2366 {cm}^{3} \approx 7433 {cm}^{3} \end{array}$

Das Gesamtvolumen berechnest Du dann, indem Du die beiden Volumen der Teilkörper zusammenrechnest:

id="3038844" role="math" $\begin{array}{rcl} V & = & V_{1} + V_{2} = 1000 c m^{3} + 7433 c m^{3} = 84333 c m^{3} \end{array}$

Das Volumen von Sofias Geburtstagstorte beträgt $84333 c m^{3}$ .

Wie Du das Volumen der Torte berechnest, hast Du jetzt gesehen. Wie sieht das aus, wenn der Kuchen zum Abschluss noch ganz mit Fondant überzogen werden soll? Dafür benötigst Du den Oberflächeninhalt.

Zusammengesetzte Körper – Oberfläche berechnen

Um den Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern zu berechnen, gehst Du ähnlich vor, wie beim Volumen. Dabei gibt es eine wichtige Ausnahme!

Die Fläche(n), an der sich die zerlegten Körper berühren, wird nicht zum Oberflächeninhalt dazugerechnet.

Was das genau bedeutet, siehst Du in der folgenden Abbildung.

Zusammengesetzte Körper Berührungsfläche Zusammengesetzte Körper berechnen StudySmarter Abbildung 16: Berührungsfläche

Wie Du den Oberflächeninhalt dann berechnest, kannst Du Dir anhand dieses zusammengesetzten Körpers anschauen.

Aufgabe 2

Der Kuchen wird jetzt für das Design noch mit Fondant überzogen. Berechne, wie viel Fläche von dem Fondant überzogen werden muss.

Zusammengesetzte Körper Würfel Zylinder Zusammengesetzte Körper Oberfläche berechnen StudySmarter Abbildung 17: Sofias Torte

Lösung

Um den Oberflächeninhalt dieses zusammengesetzten Körpers zu berechnen, werden – wie beim Volumen – zuerst jeweils beide Oberflächen berechnet. Danach wird die Fläche abgezogen, an der sich die beiden Körper berühren.

In diesem Fall besteht der Gesamtkörper aus einem Zylinder und einem Würfel. Die Fläche, die abgezogen werden muss, ist in diesem Fall die Grundfläche G des Würfels. Beachte dabei, dass die Grundfläche des Würfels zweimal abgezogen werden muss, da der Fondant nur die sichtbaren Flächen bedecken wird. Also einmal die Grundfläche des Würfels und einmal den quadratischen Ausschnitt des Zylinders, auf dem der Würfel steht. Du gehst also so vor:

$O = O_{Z y l i n d e r} + O_{W ü r f e l} - 2 \cdot G_{W ü r f e l}$

Beginne mit der Berechnung des Oberflächeninhalts des Zylinders.

id="3038839" role="math" $\begin{array}{rcl} O_{Z y l i n d e r} & = & 2 \cdot π \cdot r \cdot (r + h) = \\ = & 2 \cdot π \cdot 13 cm \cdot (13 cm + 14 cm) = \\ = & 2 \cdot π \cdot 13 c m \cdot 27 c m = \\ = & 2 \cdot π \cdot 351 {cm}^{2} = \\ = & 602 c m^{2} \cdot π \approx 2205, 4 c m^{2} \end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt $2205, 4 c m^{2}$ .

Danach berechnest Du den Oberflächeninhalt des Würfels:

id="3038837" role="math" $\begin{array}{rcl} O_{W ü r f e l} & = & 6 \cdot a^{2} = 6 \cdot {(10 c m)}^{2} = 6 \cdot 100 {cm}^{2} \approx 600 {cm}^{2} \end{array}$

Um den gesamten Oberflächeninhalt zu berechnen, wird der Flächeninhalt von $G_{W ü r f e l}$ berechnet.

id="3038835" role="math" $\begin{array}{rcl} G_{W ü r f e l} & = & a^{2} = {(10 c m)}^{2} = 100 {cm}^{2} \end{array}$

Zuletzt setzt Du die Werte in die oben aufgestellte Formel ein.

id="3038827" role="math" $\begin{array}{rcl} O & = & 2205, 4 c m^{2} + 600 c m^{2} - 2 \cdot (100 c m^{2}) = 2605, 4 c m^{2} \end{array}$

Der Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers beträgt $O = 2605, 4 c m^{2}$ .

So kannst Du bei jedem zusammengesetzten Körper vorgehen. Beachte dabei immer, dass die Flächen, die die Teilkörper miteinander verbinden, nicht zum Oberflächeninhalt des Gesamtkörpers dazugehören.

Ausgehöhlte Körper berechnen

Ausgehöhlte Körper sind ebenfalls zusammengesetzte Körper. Auch sie können mithilfe von Formeln berechnet werden. Schau Dir dazu gerne ein Beispiel an.

Ein zusammengesetzter, ausgehöhlter Körper sieht beispielsweise so aus:

Zusammengesetzte Körper ausgehöhlter Körper Zusammengesetzte Körper berechnen StudySmarter Abbildung 18: ausgehöhlter Körper

Um Oberfläche und Volumen des Gesamtkörpers zu berechnen, gehst Du ähnlich vor, wie bei anderen zusammengesetzten Körpern auch. Stelle zuerst Formeln auf.

Volumen

$V = V_{Z y l i n d e r} - V_{W ü r f e l}$

Um das Gesamtvolumen zu berechnen, ziehst Du also das Volumen des Körpers, der den anderen aushöhlt, von dem anderen Körper ab.

id="3038826" role="math" $\begin{array}{rcl} V & = & π \cdot r^{2} \cdot h - a^{3} = \\ = & π \cdot 20^{2} \cdot 30 - 10^{3} = \\ = & π \cdot 400 \cdot 30 - 1000 = \\ = & π \cdot 12000 - 1000 \approx \\ \approx & 37699 - 1000 = 36699 \end{array}$

Das Gesamtvolumen beträgt $V = 36699$ .

Oberfläche

id="3038848" role="math" $O = O_{Z y l i n d e r} + O_{W ü r f e l} - 2 \cdot G_{W ü r f e l}$

Setze die Werte in die Formel ein.

id="3038764" role="math" $\begin{array}{rcl} O & = & 2 \cdot π \cdot r \cdot (r + h) + 6 a^{2} - 2 a^{2} = 2 \cdot π \cdot r \cdot (r + h) + 4 a^{2} = \\ = & 2 \cdot π \cdot 20 \cdot (20 + 30) + 4 \cdot 10^{2} = \\ = & 2 \cdot π \cdot 20 \cdot 50 + 4 \cdot 100 = \\ = & π \cdot 2000 + 400 = \\ \approx & 6283 + 400 = 6683 \end{array}$

Der Oberflächeninhalt des ausgehöhlten Körpers beträgt id="3038765" role="math" $O = 6683$ .

Zusammengesetzte Körper – Würfel und Pyramide

Ein gängiges Beispiel für einen zusammengesetzten Körper sind Würfel und Pyramide. Anhand dessen kannst Du Dir eine Zusammenfassung zur Berechnung des Volumens und des Oberflächeninhalts anschauen.

Aufgabe 3

Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt dieses zusammengesetzten Körpers:

Zusammengesetzte Körper Berechnung Zusammengesetzte Körper Würfel und Pyramide StudySmarter Abbildung 19: Würfel und Pyramide

Lösung

Der zusammengesetzte Körper besteht aus einem Würfel und einer Pyramide. Die Pyramide wird dadurch zu einer quadratischen Pyramide. Beginne die Berechnung des zusammengesetzten Körpers mit dem Volumen. Da die Pyramide quadratisch ist, ist die Formel für das Volumen $V_{P y r a m i d e} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$ .

id="3038825" role="math" $\begin{array}{rcl} V & = & V_{W ü r f e l} + V_{P y r a m i d e} \\ V & = & a^{3} + \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h = \\ = & 3^{3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{2} \cdot 2 = \\ = & 27 + \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 = \\ = & 27 + 6 = 33 \end{array}$

Das Volumen des Gesamtkörpers ist $V = 33$ .

Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, kannst Du wieder eine Formel aufstellen, in der deutlich wird, dass die Berührungsfläche, an denen sich die beiden Körper berühren, nicht dazugehört:

$O = O_{W ü r f e l} + O_{P y r a m i d e} - G_{P y r a m i d e} - G_{W ü r f e l}$

In diesem Fall entspricht die Grundfläche der Pyramide der des Würfels.

In diese Formel kannst Du jetzt einsetzen und den Gesamtoberflächeninhalt berechnen. Weil die Pyramide eine quadratische Grundfläche hat, lautet die Formel für den Oberflächeninhalt $O_{P y r a m i d e} = 2 \cdot a \cdot h_{a} + a^{2}$ .

id="3038823" role="math" $\begin{array}{rcl} O & = & 6 \cdot a^{2} + 2 \cdot a \cdot h_{a} + a^{2} - 2 \cdot a^{2} = \\ = & 6 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 2, 5 + 3^{2} - 2 \cdot 3^{2} = \\ = & 6 \cdot 9 + 2 \cdot 3 \cdot 2, 5 - 3^{2} = \\ = & 54 + 15 - 9 = 60 \end{array}$

Der Oberflächeninhalt beträgt $O = 60$ .

Zusammengesetzte Körper Aufgaben

Und, was meinst Du? Bist Du bereit für ein paar Übungsaufgaben?

Aufgabe 4

Klara arbeitet bei einer Automobilfirma. Ihre Firma hat sie damit beauftragt, ein neues Industriegebäude zu planen. Dabei hat sie diese Vorgaben:

Die quaderförmige Industriehalle soll 50 m lang, 30 m breit und 20 m hoch sein
Es werden zwei zylinderförmige Schornsteine mit einer Höhe von 20 m und einem Durchmesser von 0,6 m benötigt

Klara macht sich eine Planskizze:

Zusammengesetzte Körper Planskizze Zusammengesetzte Körper Aufgaben StudySmarter Abbildung 20: Planskizze

Berechne das Volumen des geplanten Industriegebäudes.
Berechne den Oberflächeninhalt des Gebäudes.

Lösung

1. Stelle zuerst eine Formel auf, die den Sachverhalt schildert.

$V = V_{Q u a d e r} + 2 \cdot V_{Z y l i n d e r}$

In diese Formel kannst Du dann die vorgegebenen Werte einsetzen, um das Gesamtvolumen zu berechnen.

id="3038820" role="math" $\begin{array}{rcl} V & = & a \cdot b \cdot c + 2 \cdot (π \cdot r^{2} \cdot h) = \\ = & 50 m \cdot 30 m \cdot 20 m + 2 \cdot (π \cdot {(0, 3 m)}^{2} \cdot 20 m) = \\ = & 30000 m^{3} + 2 \cdot (π \cdot 0, 09 m^{2} \cdot 20 m) \approx \\ \approx & 30000 m^{3} + 2 \cdot 5, 7 m^{3} = \\ = & 30000 m^{3} + 11, 3 m^{3} = 30011, 3 m^{3} \end{array}$

Das Volumen der gesamten Fabrik beträgt $V = 30011, 3 m^{3}$ .

2. Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, kannst Du ebenfalls erst mal eine Formel aufstellen. Bedenke dabei, dass die Berührungsflächen zwischen Schornstein und Gebäude nicht zum Oberflächeninhalt gehören.

$O = O_{Q u a d e r} + 2 \cdot O_{Z y l i n d e r} - 4 \cdot G_{Z y l i n d e r}$

Jetzt kannst Du die Werte in die Formel einsetzen und den Oberflächeninhalt berechnen.

id="3038812" role="math" $\begin{array}{rcl} O & = & (2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)) + (2 \cdot (2 \cdot π \cdot r \cdot (r + h)) - (4 \cdot (π \cdot r^{2})) = \\ = & (2 \cdot (50 m \cdot 30 m + 50 m \cdot 20 m + 30 m \cdot 20 m)) + (2 \cdot (2 \cdot π \cdot 0, 3 m \cdot (0, 3 m + 20 m)) - (4 \cdot (π \cdot {(0, 3 m)}^{2})) = \\ = & (2 \cdot (1500 m^{2} + 1000 m^{2} + 600 m^{2})) + (2 \cdot (2 \cdot π \cdot 0, 3 m \cdot 20, 3 m) - (4 \cdot (π \cdot 0, 09 m^{2})) = \\ \approx & (2 \cdot 3100 m^{2}) + (2 \cdot 38, 3 m^{2}) - (4 \cdot 0, 3 m^{2}) = \\ = & 6200 m^{2} + 76, 6 m^{2} - 1, 2 m^{2} = 6275, 4 m^{2} \end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Gebäudes beträgt $O = 6275, 4 m^{2}$ .

Zusammengesetzte Körper – Das Wichtigste

Zusammengesetzte Körper sind – wie der Name schon sagt – Körper, die in zwei oder mehrere geometrische Körper unterteilt werden können
Um zusammengesetzte Körper zu berechnen, wird der Gesamtkörper in einzelne Teilkörper unterteilt
Um das Volumen zu berechnen, werden die Volumen der Teilkörper miteinander addiert
Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, werden die Oberflächen der Teilkörper addiert und die gemeinsame(n) Berührungsfläche(n) davon abgezogen
Auch ausgehöhlte Körper sind zusammengesetzte Körper

Nachweise

Dorn et al. (2009). Gymnasium – Tafelwerk. Ernst Klett Verlag.
Becker et al. (2015). Duden – Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zusammengesetzte Körper

Der Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers wird berechnet, indem der Gesamtkörper in berechenbare Teilkörper unterteilt wird. Die Oberfläche der Teilkörper wird dann einzeln berechnet. Dabei ist zu beachten, dass die Berührungsfläche zwischen den Teilkörpern nicht zum Oberflächeninhalt dazugehört.

Es gibt viele Arten von zusammengesetzten Körpern. Zusammengesetzte Körper können aus zwei oder mehreren Teilkörpern bestehen. Auch ausgehöhlte Körper sind zusammengesetzte Körper.

Ein zusammengesetzter Körper ist ein geometrischer Körper, der sich in bekannte Teilkörper unterteilen lässt. Zusammengesetzte Körper bestehen aus zwei oder mehreren Teilkörpern.

Um zusammengesetzte Körper zu berechnen, sollte der Gesamtkörper in einzelne Teilkörper unterteilt werden. Diese Teilkörper können dann mit den jeweiligen Formeln berechnet werden. Die jeweiligen Ergebnisse werden dann zusammengerechnet.

Karteikarten in Zusammengesetzte Körper4 Lerne jetzt

Was ist ein zusammengesetzter Körper?

Ein zusammengesetzter Körper ist ein Gesamtkörper aus zwei oder mehreren Teilkörpern.

Wie wird ein zusammengesetzter Körper berechnet?

Gesamtkörper in Teilkörper unterteilen
Teilkörper berechnen
evtl. nicht benötigte Teile abziehen

Wie wird der Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers berechnet?

Gesamtkörper in Teilkörper unterteilen
Oberfläche der Teilkörper berechnen
Berührungsflächen abziehen

Wie wird das Volumen eines zusammengesetzten Körpers berechnet?

Gesamtkörper in Teilkörper unterteilen
Volumen der Teilkörper berechnen
Volumen addieren

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