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Zusammengesetzte Körper

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Zusammengesetzte Körper

Sofia hat heute Geburtstag. Zu ihrem Geburtstag bekommt sie eine zweistöckige Motivtorte. Das Besondere an der Torte ist, dass der obere Teil der Torte die Form eines Würfels hat.

Wie Du siehst, ist der untere Stock der Torte zylinderförmig und der obere Stock in Form eines Würfels. Eine solche Kombination an unterschiedlichen Formen an Körpern werden zusammengesetzte Körper genannt. Wie Du diese zusammengesetzten Körper untersuchst und berechnest (beispielsweise weil Du den Kuchen nachbacken willst), erfährst Du in dieser Erklärung!

Zusammengesetzte Körper – Definition

Wie ein zusammengesetzter Körper aussehen kann, hast Du schon anhand von Sofias Torte gesehen. Aber was genau sind überhaupt zusammengesetzte Körper?

Zusammengesetzte Körper sind zwei oder mehrere dreidimensionale Figuren (Körper), die miteinander verbunden sind. Diese Körper bilden einen Gesamtkörper.

Den Gesamtkörper kannst Du in die einzelnen geometrischen Körper zerlegen. Um zusammengesetzte Körper zu untersuchen und berechnen, ist es sinnvoll, sich zuerst eine Wiederholung zum Thema Körper anzuschauen!

Wiederholung – Körper

Körper sind dreidimensionale geometrische Figuren. Du hast bestimmt schon mal von Würfeln, Pyramiden und Kugeln gehört. All das sind geometrische Körper. Um zu erkennen, aus welchen Körpern ein zusammengesetzter Körper besteht, kannst Du Dir eine kurze Übersicht über alle wichtigen Körper anschauen.

Zusammengesetzte Körper Würfel Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarterAbbildung 2: WürfelZusammengesetzte Körper Quader Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarterAbbildung 3: QuaderZusammengesetzte Körper Pyramide Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarterAbbildung 4: PyramideZusammengesetzte Körper Prisma Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarterAbbildung 5: PrismaZusammengesetzte Körper Zylinder Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarterAbbildung 6: ZylinderZusammengesetzte Körper Kegel Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarterAbbildung 7: KegelZusammengesetzte Körper Kugel Zusammengesetzte Körper Definition StudySmarterAbbildung 8: Kugel

Schau Dir dazu gerne die Erklärung "Geometrische Körper" an. Dort findest Du eine allgemeine Zusammenfassung, kannst Dich aber auch in die Erklärungen zu den einzelnen Körpern klicken!

Ein zusammengesetzter Körper kann aus zwei oder mehreren dieser Körper bestehen.

Zusammengesetzte Körper – Beispiele

Hier kannst Du Dir ein paar Beispiele zu zusammengesetzten Körpern anschauen. Ein paar Körper sehen aus wie Objekte aus dem Alltag.

Zusammengesetzte Körper Pyramide Quader Zusammengesetzte Körper Beispiele StudySmarterAbbildung 9: TurmZusammengesetzte Körper Zylinder Pyramide Zusammengesetzte Körper Beispiele StudySmarterAbbildug 10: PfeilZusammengesetzte Körper Quader Halbkugel Zusammengesetzte Körper Beispiele StudySmarterAbbildung 11: Quader und HalbkugelZusammengesetzte Körper Kugel Kegel Zusammengesetzte Körper Beispiele StudySmarterAbbildung 12: Eis in der Waffel

Viele Objekte, die Dir im Alltag begegnen, sind also zusammengesetzte Körper. Wenn Du diese Körper berechnen möchtest, ist es notwendig, die Körper zu zerlegen und berechenbare Körper darin zu erkennen.

Zusammengesetzte Körper berechnen

Wenn Du geometrische Körper berechnen möchtest, bedeutet das, dass Du Werte, wie den Oberflächeninhalt und das Volumen der Körper herausfinden willst. Um diese Elemente zu berechnen, benötigst Du die zugehörigen Formeln. Weil zusammengesetzte Körper aus zwei oder mehreren Körpern bestehen, werden die einzelnen Formeln der jeweiligen Körper für diese Angaben gebraucht.

Zusammengesetzte Körper – Formeln

Hier findest Du eine Zusammenfassung der Formeln für geometrische Körper für die Berechnung von Oberflächeninhalt und Volumen.

KörperVolumenOberflächeninhalt
Würfel
Quader
Pyramide
Prisma
Zylinder
Kegel
Kugel

Wenn jetzt zusammengesetzte Körper berechnet werden müssen, dann können diese Formeln, je nach Körper, kombiniert werden.

Zusammengesetzte Körper – Volumen berechnen

Um das Volumen eines zusammengesetzten Körpers zu berechnen, solltest Du den Gesamtkörper im ersten Schritt in die Körper unterteilen, aus denen er besteht. Danach kannst Du die Werte in die jeweiligen Formeln zur Berechnung des Volumens einsetzen und anschließend ausrechnen.

Eine allgemeine Formel für alle zusammengesetzten Körper gibt es nicht. Dafür lässt sich das Volumen eines zusammengesetzten Körpers so zusammenfassen:

Die nummerierten Volumen stehen dabei für das jeweilige Volumen der einzelnen Körper. Zusammengerechnet ergeben sie das Volumen des Gesamtkörpers.

Das Ganze kannst Du Dir anhand eines Beispiels genauer anschauen!

Aufgabe 1

Berechne das Volumen von Sofias Geburtstagstorte. Die Maße der Torte sind folgende:

Zusammengesetzte Körper Würfel Zylinder Zusammengesetzte Körper Volumen berechnen StudySmarterAbbildung 13: Sofias Torte

Lösung

Die Torte besteht aus zwei Stöcken. Im unteren Stock ist ein Kuchen in Form von einem Zylinder und im oberen Stock ein Kuchen in Form eines Würfels. Diesen Gesamtkörper kannst Du jetzt zerlegen und das Volumen der jeweiligen Körper berechnen.

Beginne mit dem Würfel.

Zusammengesetzte Körper Würfel Zusammengesetzte Körper Volumen berechnen StudySmarterAbbildung 14: Würfel

Wenn Du einen Blick in die Formeln zur Berechnung von Körpern wirfst, siehst Du, dass die Formel für einen Würfel lautet. Setze den gegebenen Wert ein, um das Volumen dieses Würfels zu berechnen.

Danach kannst Du das Volumen des unteren Stocks, also des Zylinders, berechnen. Die Formel lautet . Setze die gegebenen Werte ein, um das Volumen des Zylinders zu berechnen.

Zusammengesetzte Körper Zylinder Zusammengesetzte Körper Volumen berechnen StudySmarterAbbildung 15: Zylinder

Das Gesamtvolumen berechnest Du dann, indem Du die beiden Volumen der Teilkörper zusammenrechnest:

Das Volumen von Sofias Geburtstagstorte beträgt .

Wie Du das Volumen der Torte berechnest, hast Du jetzt gesehen. Wie sieht das aus, wenn der Kuchen zum Abschluss noch ganz mit Fondant überzogen werden soll? Dafür benötigst Du den Oberflächeninhalt.

Zusammengesetzte Körper – Oberfläche berechnen

Um den Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern zu berechnen, gehst Du ähnlich vor, wie beim Volumen. Dabei gibt es eine wichtige Ausnahme!

Die Fläche(n), an der sich die zerlegten Körper berühren, wird nicht zum Oberflächeninhalt dazugerechnet.

Was das genau bedeutet, siehst Du in der folgenden Abbildung.

Zusammengesetzte Körper Berührungsfläche Zusammengesetzte Körper berechnen StudySmarterAbbildung 16: Berührungsfläche

Wie Du den Oberflächeninhalt dann berechnest, kannst Du Dir anhand dieses zusammengesetzten Körpers anschauen.

Aufgabe 2

Der Kuchen wird jetzt für das Design noch mit Fondant überzogen. Berechne, wie viel Fläche von dem Fondant überzogen werden muss.

Zusammengesetzte Körper Würfel Zylinder Zusammengesetzte Körper Oberfläche berechnen StudySmarterAbbildung 17: Sofias Torte

Lösung

Um den Oberflächeninhalt dieses zusammengesetzten Körpers zu berechnen, werden – wie beim Volumen – zuerst jeweils beide Oberflächen berechnet. Danach wird die Fläche abgezogen, an der sich die beiden Körper berühren.

In diesem Fall besteht der Gesamtkörper aus einem Zylinder und einem Würfel. Die Fläche, die abgezogen werden muss, ist in diesem Fall die Grundfläche G des Würfels. Beachte dabei, dass die Grundfläche des Würfels zweimal abgezogen werden muss, da der Fondant nur die sichtbaren Flächen bedecken wird. Also einmal die Grundfläche des Würfels und einmal den quadratischen Ausschnitt des Zylinders, auf dem der Würfel steht. Du gehst also so vor:

Beginne mit der Berechnung des Oberflächeninhalts des Zylinders.

Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt .

Danach berechnest Du den Oberflächeninhalt des Würfels:

Um den gesamten Oberflächeninhalt zu berechnen, wird der Flächeninhalt von berechnet.

Zuletzt setzt Du die Werte in die oben aufgestellte Formel ein.

Der Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers beträgt .

So kannst Du bei jedem zusammengesetzten Körper vorgehen. Beachte dabei immer, dass die Flächen, die die Teilkörper miteinander verbinden, nicht zum Oberflächeninhalt des Gesamtkörpers dazugehören.

Ausgehöhlte Körper berechnen

Ausgehöhlte Körper sind ebenfalls zusammengesetzte Körper. Auch sie können mithilfe von Formeln berechnet werden. Schau Dir dazu gerne ein Beispiel an.

Ein zusammengesetzter, ausgehöhlter Körper sieht beispielsweise so aus:

Zusammengesetzte Körper ausgehöhlter Körper Zusammengesetzte Körper berechnen StudySmarterAbbildung 18: ausgehöhlter Körper

Um Oberfläche und Volumen des Gesamtkörpers zu berechnen, gehst Du ähnlich vor, wie bei anderen zusammengesetzten Körpern auch. Stelle zuerst Formeln auf.

Volumen

Um das Gesamtvolumen zu berechnen, ziehst Du also das Volumen des Körpers, der den anderen aushöhlt, von dem anderen Körper ab.

Das Gesamtvolumen beträgt .

Oberfläche

Setze die Werte in die Formel ein.

Der Oberflächeninhalt des ausgehöhlten Körpers beträgt .

Zusammengesetzte Körper – Würfel und Pyramide

Ein gängiges Beispiel für einen zusammengesetzten Körper sind Würfel und Pyramide. Anhand dessen kannst Du Dir eine Zusammenfassung zur Berechnung des Volumens und des Oberflächeninhalts anschauen.

Aufgabe 3

Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt dieses zusammengesetzten Körpers:

Zusammengesetzte Körper Berechnung Zusammengesetzte Körper Würfel und Pyramide StudySmarterAbbildung 19: Würfel und Pyramide

Lösung

Der zusammengesetzte Körper besteht aus einem Würfel und einer Pyramide. Die Pyramide wird dadurch zu einer quadratischen Pyramide. Beginne die Berechnung des zusammengesetzten Körpers mit dem Volumen. Da die Pyramide quadratisch ist, ist die Formel für das Volumen .

Das Volumen des Gesamtkörpers ist .

Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, kannst Du wieder eine Formel aufstellen, in der deutlich wird, dass die Berührungsfläche, an denen sich die beiden Körper berühren, nicht dazugehört:

In diesem Fall entspricht die Grundfläche der Pyramide der des Würfels.

In diese Formel kannst Du jetzt einsetzen und den Gesamtoberflächeninhalt berechnen. Weil die Pyramide eine quadratische Grundfläche hat, lautet die Formel für den Oberflächeninhalt .

Der Oberflächeninhalt beträgt .

Zusammengesetzte Körper – Aufgaben

Und, was meinst Du? Bist Du bereit für ein paar Übungsaufgaben?

Aufgabe 4

Klara arbeitet bei einer Automobilfirma. Ihre Firma hat sie damit beauftragt, ein neues Industriegebäude zu planen. Dabei hat sie diese Vorgaben:

  • Die quaderförmige Industriehalle soll 50 m lang, 30 m breit und 20 m hoch sein
  • Es werden zwei zylinderförmige Schornsteine mit einer Höhe von 20 m und einem Durchmesser von 0,6 m benötigt

Klara macht sich eine Planskizze:

Zusammengesetzte Körper Planskizze Zusammengesetzte Körper Aufgaben StudySmarterAbbildung 20: Planskizze

  1. Berechne das Volumen des geplanten Industriegebäudes.
  2. Berechne den Oberflächeninhalt des Gebäudes.

Lösung

1. Stelle zuerst eine Formel auf, die den Sachverhalt schildert.

In diese Formel kannst Du dann die vorgegebenen Werte einsetzen, um das Gesamtvolumen zu berechnen.

Das Volumen der gesamten Fabrik beträgt .

2. Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, kannst Du ebenfalls erst mal eine Formel aufstellen. Bedenke dabei, dass die Berührungsflächen zwischen Schornstein und Gebäude nicht zum Oberflächeninhalt gehören.

Jetzt kannst Du die Werte in die Formel einsetzen und den Oberflächeninhalt berechnen.

Der Oberflächeninhalt des Gebäudes beträgt .

Zusammengesetzte Körper - Das Wichtigste

  • Zusammengesetzte Körper sind – wie der Name schon sagt – Körper, die in zwei oder mehrere geometrische Körper unterteilt werden können
  • Um zusammengesetzte Körper zu berechnen, wird der Gesamtkörper in einzelne Teilkörper unterteilt
  • Um das Volumen zu berechnen, werden die Volumen der Teilkörper miteinander addiert
  • Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, werden die Oberflächen der Teilkörper addiert und die gemeinsame(n) Berührungsfläche(n) davon abgezogen
  • Auch ausgehöhlte Körper sind zusammengesetzte Körper

Nachweise

  1. Dorn et al. (2009). Gymnasium – Tafelwerk. Ernst Klett Verlag.
  2. Becker et al. (2015). Duden – Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zusammengesetzte Körper

Der Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers wird berechnet, indem der Gesamtkörper in berechenbare Teilkörper unterteilt wird. Die Oberfläche der Teilkörper wird dann einzeln berechnet. Dabei ist zu beachten, dass die Berührungsfläche zwischen den Teilkörpern nicht zum Oberflächeninhalt dazugehört.

Es gibt viele Arten von zusammengesetzten Körpern. Zusammengesetzte Körper können aus zwei oder mehreren Teilkörpern bestehen. Auch ausgehöhlte Körper sind zusammengesetzte Körper.

Ein zusammengesetzter Körper ist ein geometrischer Körper, der sich in bekannte Teilkörper unterteilen lässt. Zusammengesetzte Körper bestehen aus zwei oder mehreren Teilkörpern.

Um zusammengesetzte Körper zu berechnen, sollte der Gesamtkörper in einzelne Teilkörper unterteilt werden. Diese Teilkörper können dann mit den jeweiligen Formeln berechnet werden. Die jeweiligen Ergebnisse werden dann zusammengerechnet.

Finales Zusammengesetzte Körper Quiz

Frage

Was ist ein zusammengesetzter Körper?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein zusammengesetzter Körper ist ein Gesamtkörper aus zwei oder mehreren Teilkörpern.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird ein zusammengesetzter Körper berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Gesamtkörper in Teilkörper unterteilen
  • Teilkörper berechnen
  • evtl. nicht benötigte Teile abziehen
Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Gesamtkörper in Teilkörper unterteilen
  • Oberfläche der Teilkörper berechnen
  • Berührungsflächen abziehen
Frage anzeigen

Frage

Wie wird das Volumen eines zusammengesetzten Körpers berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Gesamtkörper in Teilkörper unterteilen
  • Volumen der Teilkörper berechnen
  • Volumen addieren
Frage anzeigen
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