Ein Paket, ein Schrank, ein Hochhaus und eine Heizung. Was haben diese vier Dinge gemeinsam? Sie alle haben meistens die Form eines Quaders. Und über Quader und deren Volumen erfährst du in diesem Artikel jetzt so einiges!
Das Volumen eines Quaders
Um das Volumen eines Quaders berechnen zu können, solltest du erst einmal wissen, was ein Quader genau ist, was ein Volumen ist und wie es angegeben wird.
Volumen eines Quaders: Die Basics
Als Erstes kannst du hier wiederholen, was ein Quader überhaupt ist.
Ein Quader ist eine geometrische Figur mit 6 Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten. Dabei sind die beiden gegenüberliegenden Flächen immer gleich groß. Im Prinzip ist ein Quader ein Viereck im drei-dimensionalen Raum.
Schaue dir beispielsweise diesen Quader an.
Abbildung 1: Quader
Jetzt haben wir schon die Frage geklärt, was ein Quader ist, aber was ist eigentlich das Volumen?
Das Volumen eines Quaders kannst du dir so vorstellen: Du gießt Wasser in den Quader. So viel Wasser, wie in den Quader passt, so groß ist sein Volumen. Anstatt Wasser kannst du auch Einheitswürfel nehmen und schauen, wie viele Einheitswürfel in einen Quader passen.
Das Volumen ist also der räumliche Inhalt, welcher sich innerhalb einer geometrischen Figur befindet. Das Volumen wird in Formeln mit dem Großbuchstaben V abgekürzt.
Das kann dann zum Beispiel so aussehen:
Abbildung 2: Wasser zur Bestimmung des Volumens eines Quaders
Abbildung 3: Einheitswürfel zur Bestimmung des Volumens eines Quaders
Einheitswürfel sind Würfel mit Seiten von jeweils 1 Längen-Einheit (LE). Dadurch hat ein Einheitswürfel ein Volumen von 1 Kubikeinheit.
Durch diese Definition des Volumens kommst du auch schnell darauf, wie das Volumen angegeben wird.
Das Volumen wird meistens in Kubikmillimeter (mm³), Kubikzentimeter (cm³), Kubikdezimetern (dm³), Kubikmetern (m³) oder Kubikkilometern (km³) angegeben.
Als Alternative wird das Volumen auch manchmal in Litern (l) oder Millilitern (ml) angegeben.
Falls du dich nicht mehr an die Umrechnungen und die genauen Umrechnungsregeln erinnern kannst, lese dir doch unseren Artikel zum Thema Volumeneinheiten umrechnen durch.
Volumen Quader: Herleitung der Formel
Die Herleitung der Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders, ist gar nicht so schwer zu verstehen. Stell dir vor, du hast ein Rechteck und du sollst dessen Flächeninhalt berechnen.
Was machst du? Du multiplizierst die eine Seite a mit der anderen Seite b.
Abbildung 4: Grundfläche eines Quaders
Für den Flächeninhalt A eines beliebigen Rechtecks gilt:
Jetzt willst du aber nicht nur die Fläche eines Rechtecks berechnen, sondern das Volumen eines Quaders. Gerade hast du die Grundfläche G des Quaders berechnet. Um von einem Rechteck zu einem Quader zu kommen, musst du nur die Höhe ergänzen.
Abbildung 5: Volumen eines Quaders
Und ganz wie vorher multiplizieren wir die beiden Seiten a und b miteinander, nur dass jetzt zusätzlich noch die Höhe multipliziert wird.
Deshalb gilt für das Volumen V eines beliebigen Quaders:
Ob die Höhe jetzt mit h bezeichnet wird oder mit c ist dabei egal.
Du kannst die Formel auch so schreiben:
Für das Volumen V von Prismen gilt:
Volumen Quader: Formel
in diesem Abschnitt wird die Formel für das Volumen eines Quaders wiederholt und an Beispielaufgaben demonstriert.
Die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Quaders lautet:
Für die Formel brauchst du die drei Seiten a, b und c des Quaders.
In der Zeichnung sieht das so aus:
Abbildung 6: Quader mit Seiten a, b und c
Spezialfall: Volumen eines Würfels
Würfel sind ein Spezialfall von Quadern. Bei ihnen sind die Seiten alle gleich lang, wodurch sich die Formel zur Berechnung des Volumens sehr stark vereinfacht.
Wie sagt man so schön? Alle Würfel sind Quader, aber nicht alle Quader sind Würfel.
Abbildung 7: Würfel
Für das Volumen V eines Würfels gilt:
Dadurch, dass die Seiten alle gleich lang sind, müssen hier nicht alle Seiten einzeln multipliziert werden, sondern es kann einfach eine Seitenlänge dreimal mit sich selbst multipliziert werden.
Wenn du mehr zum Thema Volumen eines Würfels wissen möchtest, lese dir doch unseren Artikel dazu durch.
In einem Beispiel sieht das so aus:
Aufgabe 1
Berechne das Volumen V eines Quaders mit den Seiten , und .
Lösung
Als Erstes musst du die Formel von oben aufschreiben.
Dann kannst du die bekannten Werte in die Formel einsetzen.
Zum Schluss kannst du jetzt noch das Ergebnis ausrechnen. Achte dabei darauf, es in der richtigen Einheit anzugeben.
Das Volumen des Quaders beträgt 24 cm³.
Berechnung des Volumens eines schiefen Quaders
Schiefe Quader sehen "normalen" Quadern sehr ähnlich. Ihr einziger Unterschied ist, dass die Seiten nach oben, nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, sondern schief. Das sieht dann so aus:
Abbildung 8: schiefer Quader
Du kannst auch das Volumen eines schiefen Quaders berechnen und im Grunde funktioniert das genauso, wie bei einem "normalen" Quader. Das liegt daran, dass du die bei der überstehenden Seite, in unserem Beispiel der rechten Seite, den Überstand senkrecht "abschneiden" könntest und an der gegenüberliegenden Seite wieder hinzufügen könntest. So hast du wieder einen "normalen" Quader.
Abbildung 9: schiefer Quader zu "normaler" Quader
Die Höhe eines schiefen Quaders entspricht nicht der Länge der Seite c. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundfläche, wodurch sie explizit angegeben sein muss oder du sie erst, aus beispielsweise zwei Punkten, berechnen musst.
Abbildung 10: Höhe eines schiefen Quaders
Für das Volumen V eines schiefen Quaders gilt:
Volumen eines schiefen Quaders: Aufgaben
Die Berechnung sieht an einem konkreten Beispiel folgendermaßen aus:
Aufgabe 2
Berechne das Volumen V eines schiefen Quaders mit den Seiten , und der Höhe .
Lösung
Als Erstes schreibst du dir die Formel zur Berechnung des Volumens eines schiefen Quaders auf.
Dann kannst du die bekannten Werte in die Formel einsetzen.
Zu Schluss kannst du das Ergebnis jetzt durch einfaches multiplizieren ausrechnen.
Das Volumen des schiefen Quaders beträgt 56 cm³.
Volumen Quader: Aufgaben
Aufgabe 3
1. Berechne das Volumen V eines Kartons mit den Seiten , und . Gib dein Ergebnis in Liter an.
2. Berechne die Höhe h eines Schrankes mit den Seiten , und dem Volumen .
3. Berechne die Standfläche einer Garage mit der Höhe und dem Volumen .
Lösung
1. Zuerst musst du dir wie immer die passende Formel überlegen und diese aufschreiben. In diesem Fall sollst du das Volumen eines "normalen" Quaders berechnen, also brauchst du auch die "normale" Formel, die du oben gelernt hast.
Als Nächstes kannst du jetzt die oben gegebenen Werte einsetzen.
Danach musst du das Ergebnis ausrechnen.
Jetzt bist du aber noch nicht fertig, da du das Ergebnis in Liter angeben musst. Dafür musst du wissen, wie viele Kubikzentimeter einem Liter entsprechen.
Jetzt kannst du mit dem Dreisatz die 90 cm³ in Liter umrechnen.
Das Volumen V des Kartons beträgt 0,09 l.
2. Als Erstes schreibst du dir wieder die Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders auf.
In diesem Fall ist nach der Höhe gefragt, also ersetzt du c mit h und stellst die Formel anschließend nach h um.
Jetzt kannst du die gegebenen Werte in die Formel einsetzen.
Zum Schluss kannst du das Ergebnis einfach mit dem Taschenrechner ausrechnen.
Der Schrank ist ungefähr 1,6 m hoch.
3. Auf den ersten Blick scheint es vielleicht so, dass du diese Aufgabe gar nicht berechnen kannst. Wenn du aber genauer hinschaust, merkst du, dass die Standfläche der Garage nichts anderes als die Grundfläche eines Quaders. Wenn du dich jetzt erinnerst, kennst du doch eine Formel mit der Grundfläche, dem Volumen und der Höhe.
Diese Formel kannst du jetzt einfach nach G umstellen.
Jetzt kannst du wieder die bekannten Werte von oben in die Formel einsetzen.
Zum Schluss musst du nur noch das Ergebnis ausrechnen.
Die Garage hat eine Standfläche von 50 m².
Volumen Quader – Das Wichtigste auf einen Blick
- Ein Quader ist eine geometrische Figur mit 6 Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten.
- die beiden gegenüberliegenden Flächen sind immer gleich groß.
- Das Volumen ist der räumliche Inhalt, welcher sich innerhalb einer geometrischen Figur befindet.
- Das Volumen wird in Formeln mit dem Großbuchstaben V abgekürzt.
- Das Volumen wird meistens in Kubikmillimeter (mm³), Kubikzentimeter (cm³), Kubikdezimetern (dm³), Kubikmetern (m³) oder Kubikkilometern (km³) angegeben.
- Manchmal wird das Volumen auch in Litern (l) oder Millilitern (ml) angegeben.
- Die spezifische Formel zur Berechnung des Volumens V eines Quaders lautet: V = a · b · c
- Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V lautet: V = G · h
- Das Volumen eines schiefen Quaders wird mit folgender Formel berechnet: V = a · b · h
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