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Achsensymmetrie

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Achsensymmetrie

Nimm Dir ein A4 Blattpapier und falte es, so dass die Ecken des Blattes übereinander liegen. Jetzt sollte Dir aufgefallen sein, dass es zwei Möglichkeiten gibt, um das Blatt zu falten. Ein A4 Blattpapier hat zwei Symmetrien und damit zwei Symmetrieachsen. Aber was ist eine Symmetrie und eine Symmetrieachse? Wenn Du das erfahren willst, bist Du hier genau richtig.

Symmetrie Grundlagenwissen

Symmetrie findest Du überall. Besonders gebraucht wird es in der Mathematik in der Geometrie und der Analysis bei Funktionen.

Symmetrie ist die Eigenschaft einer Figur in der Ebene oder im Raum, sich durch Drehung, Spiegelung oder Verschiebung wieder auf sich selbst abzubilden.

Die unterschiedlichen Symmetrien heißen Punktsymmetrie, Achsensymmetrie und Asymmetrie. Im Folgenden geht es um die Achsensymmetrie.

Achsensymmetrie Definition

Achsensymmetrie wird auch Spiegelsymmetrie genannt.

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie sich an der Symmetrieachse (Spiegelachse) spiegeln lässt. Die Hälften der Figur sind deckungsgleich.

Wenn eine Figur eine Symmetrieachse besitzt, kannst Du die Figur an der Symmetrieachse entlang falten und die Eckpunkte liegen übereinander. Manche Figuren besitzen auch mehrere Symmetrieachsen.

Achsensymmetrie Quadrat falten StudySmarterAbbildung 1: Quadrat faltenAchsensymmetrie Quadrat Symmetrieachsen StudySmarterAbbildung 2: Quadrat Symmetrieachsen

Achsensymmetrie Figuren

Viele der Dir aus der Geometrie geläufigen Figuren besitzen Symmetrieachsen. Doch wie erkennst Du diese?

Zum Üben bieten sich Buchstaben an. Für STUDYSMARTER würde die Symmetrie der Buchstaben so aussehen. Probiere auch mal, Symmetrieachsen in Deinen Namen einzuzeichnen.

Achsensymmetrie Buchstaben StudySmarterAbbildung 3: Buchstaben Symmetrieachsen

Jetzt erfährst Du, welche der wichtigsten geometrischen Figuren welche Symmetrieachsen haben.

Figuren
Symmetrien (Abbildung 4-10: Symmetrien geometrischer Figuren)
Quadrat

Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen.

Achsensymmetrie Quadrat StudySmarter
Rechteck

Das Rechteck hat zwei Symmetrieachsen.

Achsensymmetrie Rechteck StudySmarter

gleichschenkliges Trapez

Das gleichschenklige Trapez hat eine Symmetrieachse.

Achsensymmetrie gleichschenkliges Trapez StudySmarter
symmetrischer Drachen

Der symmetrische Drachen hat eine Symmetrieachse.

Achsensymmetrie symmetrischer Drachen StudySmarter
gleichschenkliges Dreieck

Das gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse.

Achsensymmetrie gleichschenkliges Dreieck StudySmarter
gleichseitiges Dreieck

Das gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen.

Achsensymmetrie gleichseitiges Dreieck StudySmarter
Kreis

Der Kreis hat unendlich viel Symmetrieachsen. Alle Geraden, welche durch den Kreismittelpunkt gehen, sind Symmetrieachsen des Kreises.

Achsensymmetrie Kreis StudySmarter

Achsensymmetrie - Bedingungen

Damit eine Figur achsensymmetrisch ist, muss sie einige Bedingungen erfüllen.

  1. Jeder Punkt auf der einen Seite der Spiegelachse muss den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben, wie der äquivalente (entsprechende) Punkt auf der anderen Spiegelseite.
  2. Jeder Winkel der einen Seite der Spiegelachse ist gleich groß mit dem äquivalenten Winkel der anderen Spiegelseite.
  3. Jede Seite der einen Seite der Spiegelachse ist gleich lang, wie die äquivalente Seite der anderen Spiegelseite.

Das heißt, wenn Du eine Figur faltest,

  1. sind alle Punkte, welche Du aufeinander faltest, gleich weit von der Faltkante entfernt.
  2. liegen alle Kanten aufeinander, sobald die Ecken aufeinander liegen.
  3. liegen alle Ecken aufeinander, sobald die Kanten aufeinander liegen.

Neben der Spiegelung an Achsen kannst Du Figuren auch an Punkten spiegeln. Diese Symmetrie nennt sich Punktsymmetrie.

Wenn Du mehr zur Punktsymmetrie erfahren möchtest, ließ im Artikel Punktsymmetrie nach und mehr zur Symmetrie von Funktionen findest Du im Artikel Symmetrie von Funktionsgraphen.

Punktsymmetrie

Ein weiterer Name für die Punktsymmetrie ist die Zentralsymmetrie.

Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie sich an einem Punkt spiegelt. Dass heißt die Figur wird um 180° gedreht.

Der Punkt an dem Du spiegelst, nennt sich auch das Spiegelzentrum. Eine 180° Drehung ist gleichbedeutend mit einer Punktspiegelung.

Wenn Du diese Figur um 180° drehst, erhältst Du die selbe Figur wieder. Die Figur liegt nach der Drehung wieder vollständig auf sich selbst.

Achsensymmetrie punktsymmetrische Figur StudySmarterAbbildung 11: punktsymmetrische Figur

Nimm einmal ein Blatt zur Hand und schneide verschiedene geometrische Figuren aus. Jetzt drehst Du sie um 180°. Das Dreieck und Trapez sind nicht punktsymmetrisch. Das Quadrat und der Kreis allerdings haben eine Punktsymmetrie.

Auch hier lässt sich das Erkennen des Spiegelzentrums gut an Buchstaben üben.

Die Spiegelzentren sind bei beiden Buchstaben eingezeichnet. Wenn Du die Buchstaben um 180° drehst, erhältst jedoch beim "E" einen anderen Buchstaben. Das "N" bleibt gleich.

Achsensymmetrie punktsymmetrische Buchstaben StudySmarterAbbildung 12: punktsymmetrische Buchstaben

Probiere die Punktsymmetrie auch einmal selbst an verschiedenen Buchstaben aus.

Wenn Du mehr zum Thema Punktsymmetrie gibt's im entsprechenden Artikel.

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie - Übersicht

Was sind nun die genauen Unterschiede zwischen Achsen- und Punktsymmetrie? Zum Abschluss hier noch ein Vergleich.

MerkmalAchsensymmetriePunktsymmetrie
DefinitionEine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie sich an der Symmetrieachse (Spiegelachse) spiegeln lässt. Die Hälften der Figur oder Funktion sind deckungsgleich.Eine Figur oder eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie sich an einem Punkt spiegelt. Dass heißt, die Funktion oder die Figur wird um 180° gedreht.
bei Figuren

Sobald Du eine Figur falten kannst und die Eckpunkte auf anderen Eckpunkten landen, ist eine Figur achsensymmetrisch.

Achsensymmetrie Quadrat StudySmarterAbbildung 13: Quadrat

Viele Figuren sind punkt- und achsensymmetrisch, zum Beispiel das Quadrat und der Kreis. Das Parallelogramm hingegen ist nur punktsymmetrisch.

Achsensymmetrie Parallelogramm StudySmarterAbbildung 14: Parallelogramm

Bedingungen
  1. Jeder Punkt auf der einen Seite der Spiegelachse muss den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben, wie der äquivalente (entsprechende) Punkt auf der anderen Spiegelseite.
  2. Jeder Winkel der einen Seite der Spiegelachse ist gleich groß mit dem äquivalenten Winkel der anderen Spiegelseite.
  3. Jede Seite der einen Seite der Spiegelachse ist gleich lang, wie die äquivalente Seite der anderen Spiegelseite.
  1. Jeder Punkt muss den gleichen Abstand zum Spiegelzentrum haben, wie der äquivalente Punkt.
  2. Jeder Winkel ist gleich groß mit dem äquivalenten Winkel.
  3. Jede Seite ist gleich lang, wie die äquivalente Seite.
SymmetrieobjekteAchsensymmetrische Figuren spiegelst Du an einer Spiegelachse. Eine Figur kann keine, eine, mehrere oder unendlich viele Symmetrieachsen besitzen.Punktsymmetrische Figuren spiegelst Du an einem Spiegelzentrum, einem Punkt. Eine Figur kann nur ein Spiegelzentrum besitzen.
Symmetrie der BuchstabenDiese Buchstaben des Alphabets sind achsensymmetrisch: A, B, C, E, H, I, K, M, O, T, U, V, W, X und Y.Diese Buchstaben des Alphabetes sind punktsymmetrisch: H, I, N, O, S, X und Z.
bei FunktionenAlle Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch.

Achsensymmetrie achsensymmetrische Funktionen StudySmarterAbbildung 15: achsensymmetrische Funktionen

Alle Funktionen mit nur ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch. Des Weiteren können zum Beispiel gebrochen-rationale Funktionen punktsymmetrisch sein.

Achsensymmetrie punktsymmetrische Funktionen StudySmarterAbbildung 16: punktsymmetrische Funktionen

rechnerisch nachweisenDie Achsensymmetrie zur y-Achse lässt sich mit nachweisen.Die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung lässt sich mit nachweisen.

Wenn Du mehr zur Symmetrie von Funktionen erfahren möchtest, schau einmal im Artikel Symmetrie von Funktionsgraphen nach.

Achsensymmetrie Übungsaufgaben

Nachdem Du nun vieles über Punkt- und Achsensymmetrie erfahren hast, kannst Du hier noch Dein Wissen testen.

Aufgabe

Zeichne in das gleichmäßige Fünfeck alle möglichen Symmetrieachsen ein.

Achsensymmetrie regelmäßiges Fünfeck StudySmarterAbbildung 15: regelmäßiges Fünfeck

Lösung

Das gleichmäßige Fünfeck hat 5 Symmetrieachsen. Die Symmetrieachsen sind die Mittelsenkrechten der Seiten und gleichzeitig die Winkelhalbierenden der Ecken.

Achsensymmetrie regelmäßiges Fünfeck mit Symmetrieachsen StudySmarterAbbildung 16: regelmäßiges Fünfeck mit Symmetrieachsen

Aufgabe

Zeichne die Symmetrieachsen der Buchstaben des Wortes "ACHSENSYMMETRIE" ein.

Achsensymmetrie Achsensymmetrie StudySmarterAbbildung 17: Achsensymmetrie

Lösung

Die Buchstaben besitzen alle nur eine Symmetrieachse.

Achsensymmetrie Achsensymmetrie mit Symmetrieachsen StudySmarterAbbildung 18: Achsensymmetrie mit Symmetrieachsen

Achsensymmetrie - Das Wichtigste

  • Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie sich an der Symmetrieachse (Spiegelachse) spiegeln lässt. Die Hälften der Figur sind deckungsgleich.
  • Geometrische Figuren können mehrere Symmetrieachsen besitzen. Der Kreis besitz unendlich viele Symmetrieachsen.
  • Bedingungen der Achsensymmetrie:
    1. Jeder Punkt auf der einen Seite der Spiegelachse muss den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben, wie der äquivalente (entsprechende) Punkt auf der anderen Spiegelseite.
    2. Jeder Winkel der einen Seite der Spiegelachse ist gleich groß mit dem äquivalenten Winkel der anderen Spiegelseite.
    3. Jede Seite der einen Seite der Spiegelachse ist gleich lang, wie die äquivalente Seite der anderen Spiegelseite.
  • Bei der Punktsymmetrie wird eine Figur an einem Punkt gespiegelt beziehungsweise um 180° gedreht.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Achsensymmetrie

Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie sich an der Symmetrieachse (Spiegelachse) spiegeln lässt. Die Hälften der Figur oder Funktion sind deckungsgleich.  

Viele der geometrischen Figuren sind symmetrisch. Alle der folgenden Figuren symmetrisch: Quadrat, Rechteck, gleichschenkliges Trapez, symmetrischer Drachen, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck und der Kreis. 

Bei Figuren kannst Du Achsensymmetrie nachweisen, indem Du die Figur entlang der Symmetrieachse faltest. Wenn alle Ecken auf einer anderen Ecke liegen ist die Figur achsensymmetrisch.

Bei der Achsensymmetrie spiegelst Du an einer Spiegelachse. Bei der Punktsymmetrie spiegelst oder drehst Du die Figur an einem Punkt. Dieser Punkt kann innerhalb und außerhalb der Figur liegen.

Finales Achsensymmetrie Quiz

Frage

Was ist Achsensymmetrie?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie sich an der Symmetrieachse (Spiegelachse) spiegeln lässt. Die Hälften der Figur oder Funktion sind deckungsgleich.     

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Symmetrieachsen besitzt ein Kreis?

Antwort anzeigen

Antwort

unendlich viele

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Symmetrieachsen besitzt ein Parallelogramm?

Antwort anzeigen

Antwort

keine

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Symmetrieachsen besitzt ein Rechteck?

Antwort anzeigen

Antwort

zwei

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du überprüfen, ob Figuren eine Symmetrieachse haben?

Antwort anzeigen

Antwort

Du schneidest die Figur aus und faltest sie, so dass die Ecken übereinander liegen. Wenn das gelingt, besitzt die Figur eine Symmetrieachse an der Faltkante.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Symmetrieachsen besitzt ein Quadrat?

Antwort anzeigen

Antwort

vier

Frage anzeigen

Frage

Was ist Symmetrie?

Antwort anzeigen

Antwort

Symmetrie ist die Eigenschaft einer Figur in der Ebene oder im Raum, sich durch Drehung, Spiegelung oder Verschiebung wieder auf sich selbst abzubilden.

Frage anzeigen

Frage

Nenne zwei Figuren, welche zwei oder mehr Symmetrieachsen haben.

Antwort anzeigen

Antwort

Rechteck & gleichseitiges Dreieck

Frage anzeigen
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