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Achsensymmetrie Definition – einfach erklärt
Achsensymmetrie beschreibt die Eigenschaft, dass eine Figur oder eine Funktion durch Spiegelung an einer sogenannten Symmetrieachse identisch auf sich selbst abgebildet werden kann.
Wenn Dich auch die Definition von Punktsymmetrie interessiert, dann klicke hier auf die Erklärung zu „Punktsymmetrie“
Wenn eine Figur eine Symmetrieachse besitzt, kannst Du die Figur an der Symmetrieachse entlang „falten“ und die Eckpunkte liegen übereinander. Manche Figuren besitzen auch mehrere Symmetrieachsen.
Damit eine Figur achsensymmetrisch ist, muss sie einige Bedingungen erfüllen.
- Jeder Punkt auf der einen Seite der Spiegelachse muss den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben, wie der äquivalente (entsprechende) Punkt auf der anderen Spiegelseite.
- Jeder Winkel der einen Seite der Spiegelachse ist gleich groß mit dem äquivalenten Winkel der anderen Spiegelseite.
- Jede Seite der einen Seite der Spiegelachse ist gleich lang, wie die äquivalente Seite der anderen Spiegelseite.
Achsensymmetrie Funktion – Formel
Eine Funktion \(f(x)\) ist achsensymmetrisch, wenn die Funktion durch eine Spiegelung an der y-Achse, wieder \(f(x)\) ergibt. Mathematisch ist das der Fall, wenn gilt \[f(-x) = f(x)\]
Jedes Polynom, das ausschließlich gerade Exponenten enthält, ist automatisch achsensymmetrisch.
| Funktion | Beweis | Symmetrieachse |
| Funktion \(2.\) Grades\[f(x)=x^2\] | \[\begin{align}f(-x) &= (-x)^2 \\&= x^2\\&=f(x)\end{align}\] |
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| Funktion \(4.\) Grades\[f(x)=x^4\] | \[\begin{align}f(-x) &= (-x)^4 \\&= x^4\\&=f(x)\end{align}\] |
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| Funktion \(6.\) Grades\[f(x)=2x^6-2x^2\] | \[\begin{align}f(-x) &= 2(-x)^6-2(-x)^2 \\&= 2x^4-2x^2 \\&=f(x)\end{align}\] |
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Achsensymmetrische Figuren – Beispiele
Achsensymmetrie kommt in Funktionen und Figuren vor, aber auch in alltäglichen Dingen, wie dem StudySmarter Logo.
Abb - 4: StudySmarter Logo achsensymmetrisch
Im Folgenden findest Du eine Auflistung typischer mathematischer Figuren und ihrer Symmetrieachsen.
| Figuren | Symmetrieachsen |
| Quadrat | Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen.
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| Rechteck | Das Rechteck hat zwei Symmetrieachsen.
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| gleichschenkliges Trapez | Das gleichschenklige Trapez hat eine Symmetrieachse.
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| gleichschenkliges Dreieck | Das gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse.
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| Kreis | Der Kreis hat unendlich viel Symmetrieachsen. Alle Geraden, welche durch den Kreismittelpunkt gehen, sind Symmetrieachsen des Kreises.
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Achsensymmetrie nachweisen – Formel
Die Achsensymmetrie einer Funktion kann anhand einer Formel nachgewiesen werden. Die Formel lautet \(f(-x)=f(x)\). Wenn Du also vor jeden \(x\)-Wert ein Minus setzt und durch die Berechnung die Ausgangsfunktion rauskommt, dann ist die Funktion achsensymmetrisch.
Achsensymmetrie nachweisen – Aufgabe 1
Weise rechnerisch nach, dass die Funktion \(f(x)=2x^6-x^2\) achsensymmetrisch ist.
Lösung
Um rechnerisch nachzuweisen, dass eine Funktion achsensymmetrisch ist, setzt du in die Funktion \(-x\) ein.
\begin{align} f(-x)&=2\cdot (-x)^6-(-x)^2 \\[0.2cm] &=2\cdot (-x \cdot -x \cdot -x \cdot -x \cdot -x \cdot -x)^6 - (-x\cdot -x)^2 \\[0.2cm] &=2x^6-x^2 \end{align}
Hier siehst Du, dass die Aussage \(f(-x)=f(x)\) zutrifft und die Funktion f(x) ist achsensymmetrisch.
Achsensymmetrie – Aufgaben mit Lösungen
Nachdem Du nun vieles über Achsensymmetrie erfahren hast, kannst Du hier noch Dein Wissen anhand einiger Aufgaben mit Lösungen testen.
Symmetrieachsen einzeichnen – Aufgabe 2
Zeichne in das regelmäßige Fünfeck alle möglichen Symmetrieachsen ein.
Lösung
Das regelmäßige Fünfeck hat \(5\) Symmetrieachsen. Die Symmetrieachsen sind die Mittelsenkrechten der Seiten und gleichzeitig die Winkelhalbierenden der Ecken.
Abb - 10: Regelmäßiges Fünfeck mit Symmetrieachsen
Achsensymmetrie nachweisen – Aufgabe 3
Weise rechnerisch nach, ob die Funktion \(f(x)=3x^4+x^2\) achsensymmetrisch ist.
Lösung
Um rechnerisch nachzuweisen, dass eine Funktion achsensymmetrisch ist, setzt du in die Funktion \(-x\) ein.
\begin{align} f(-x)&=3(-x)^4+(-x)^2\\[0.2cm] &=3 \cdot (-x \cdot -x \cdot -x \cdot -x)^4+ (-x \cdot -x)^2 \\[0.2cm] &= 3x^4+x^2\end{align}
Hier siehst Du, dass die Aussage \(f(-x)=f(x)\) zutrifft und die Funktion f(x) ist achsensymmetrisch.
Achsensymmetrie - Das Wichtigste
- Achsensymmetrie beschreibt die Eigenschaft, dass eine Figur oder eine Funktion durch Spiegelung an einer sogenannten Symmetrieachse identisch auf sich selbst abgebildet werden kann.
- Geometrische Figuren können mehrere Symmetrieachsen besitzen. Der Kreis besitzt unendlich viele Symmetrieachsen.
- Bedingungen der Achsensymmetrie:
- Jeder Punkt auf der einen Seite der Spiegelachse muss den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben, wie der äquivalente (entsprechende) Punkt auf der anderen Spiegelseite.
- Jeder Winkel der einen Seite der Spiegelachse ist gleich groß mit dem äquivalenten Winkel der anderen Spiegelseite.
- Jede Seite der einen Seite der Spiegelachse ist gleich lang, wie die äquivalente Seite der anderen Spiegelseite.
- Wenn Du eine Achsensymmetrie nachweisen willst, dann musst Du diese Formel anwenden: \(f(-x)=f(x)\).
Nachweise
- Vargyas (2015). Achsensymmetrie: Vom Spielen zum Formalisieren. In: Ludwig, M., Filler, A., Lambert, A. (eds) Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen. Springer Spektrum, Wiesbaden.
- Schmidt-Thieme, Weigand (2018). Symmetrie und Kongruenz. In: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Achsensymmetrie
Was bedeutet Achsensymmetrie?
Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie sich an der Symmetrieachse (Spiegelachse) spiegeln lässt. Die Hälften der Figur oder Funktion sind deckungsgleich.
Welche Figuren sind Achsensymmetrisch?
Viele der geometrischen Figuren sind symmetrisch. Alle der folgenden Figuren symmetrisch: Quadrat, Rechteck, gleichschenkliges Trapez, symmetrischer Drachen, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck und der Kreis.
Wie kann man Achsensymmetrie nachweisen?
Bei Figuren kannst Du Achsensymmetrie nachweisen, indem Du die Figur entlang der Symmetrieachse faltest. Wenn alle Ecken auf einer anderen Ecke liegen ist die Figur achsensymmetrisch.
Was ist der Unterschied zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie?
Bei der Achsensymmetrie spiegelst Du an einer Spiegelachse. Bei der Punktsymmetrie spiegelst oder drehst Du die Figur an einem Punkt. Dieser Punkt kann innerhalb und außerhalb der Figur liegen.
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