Abbildung 1: Felix und Ole beim Kicken
Ole und Felix haben sich zum Fußballspielen verabredet. Am Anfang passen sie den Ball ein paar Mal hin und her. Dabei versuchen sie sich den Ball möglichst flach zuzuspielen. Nach einer Zeit fragen die Beiden sich, wie weit sie den Ball eigentlich dabei immer kicken.
Um das zu ermitteln, brauchen sie die Formel zur Berechnung des Abstands zweier Punkte. Wenn Du wissen möchtest, wie diese Formel aussieht, und wie Du sie anwendest, dann bist Du hier genau richtig!
Mathe Abstand zweier Punkte
Wenn Du den Abstand zweier Punkte berechnen möchtest, dann brauchst Du dafür eine Formel. Der Abstand zweier Punkte entspricht dabei der Länge der Distanz zwischen den beiden Punkte.
Abbildung 2: Abstand zwischen Felix und Ole
Um eine Formel aufzustellen, brauchst Du Werte und Zahlen. Deshalb kannst Du Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem
Ein Punkt hat in einem zweidimensionalen Koordinatensystem eine x - Koordinate und eine y - Koordinate die angeben, wo genau der Punkt liegt. Dafür kannst Du die zwei Punkte und betrachten.
Abbildung 3: Punkte im Koordinatensystem
Die kürzeste Distanz zwischen zwei Punkten ist eine Strecke. Über diese Strecke kannst Du ebenfalls die Herleitung der Formel zur Berechnung des Abstands zweier Punkte sehen. Diese Strecke ist der minimale Abstand zwischen zwei Punkten. Wie das genau aussieht, erfährst Du im kommenden Abschnitt.
Minimaler Abstand zweier Punkte
Um die Formel aufzustellen, stellst Du den kleinstmöglichen Abstand der zwei Punkte mit einer Strecke dar, die durch den Punkt und den Punkt begrenzt wird. Diese Strecke wird auch d genannt. d steht für das englische Wort für Abstand, nämlich distance. Dieser Abstand ist der minimale Abstand der zwei Punkte und .
Du möchtest Dein Wissen über Strecken auffrischen? Dann schau doch gerne in dem Artikel Strecke vorbei!
Abbildung 4: Abstand d zwischen Punkt A und B
Den minimalen Abstand d benötigst Du zur Herleitung der Abstandsformel zwischen zwei Punkten. Denn wenn Du dann zwei weitere Strecken der Strecke d hinzufügst, kannst Du ein rechtwinkliges Dreieck erzeugen. Die Strecke stellt in diesem rechtwinkligen Dreieck dann die Hypotenuse, also die längste Seite, dar.
Sagt Dir die Hypotenuse in einem Dreieck noch etwas? Wenn Du Dein Wissen darüber auffrischen möchtest, dann schau gerne in dem Artikel Hypotenuse vorbei!
Und was bringt dieses rechtwinklige Dreieck? Und wie sieht das genau aus? Das erfährst Du in dem folgenden Abschnitt.
Abstandsformel – Herleitung
Die angefügten Seiten stellen dann die sogenannten Katheten dar. Katheten sind in einem rechtwinkligen Dreieck die zwei kürzeren Seiten. Die Hypotenuse (hier: die Strecke ) ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Die hinzugefügten Seiten haben dann jeweils eine Länge, die der Differenz der beiden x - Koordinaten und der beiden y - Koordinaten entspricht. Das heißt, die Länge der Kathete, die parallel zur x - Achse liegt (horizontal) wird folgendermaßen berechnet:
Die Kathete, die parallel zur y - Achse liegt (vertikal) berechnest Du mit der Differenz der y - Koordinaten:
So sieht dann das rechtwinklige Dreieck aus. Wie Du siehst wurden der Strecke zwei weitere Strecken angefügt. Die beiden Strecken sind die Katheten.
Abbildung 5: rechtwinkliges Dreieck
Wie Du siehst stehen die zwei hinzugefügten Katheten senkrecht aufeinander. Stehen zwei Strecken senkrecht aufeinander, so beträgt der Winkel zwischen ihnen . Du hast also ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen. Und erinnert Dich dieser Begriff an etwas? Genau, an den Satz des Pythagoras!
Die zwei orangenen Strecken sind die Katheten. Also setzt Du die Werte für a und b in die Formel für den Satz des Pythagoras ein:
Wie Du siehst haben alle Elemente der Gleichung den Exponent 2. Was machst Du um diesen Exponent wegzubekommen? Du ziehst die Quadratwurzel!
Wie sieht diese Herleitung im Raum aus? Das kannst Du Dir in der Vertiefung anschauen!
Die Herleitung im Raum sieht etwas anders aus, als die in der Ebene. Dafür erstellt Du ein Quader.
Abbildung 6: Herleitung Abstandsformel
Die Katheten der Dreiecke stellen die jeweilige Differenz der x - Koordinaten, y- Koordinaten und z - Koordinaten dar. Die Strecke d stellt den Abstand zwischen und dar. Es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Mithilfe vom Satz des Pythagoras kannst Du die Länge der Strecke d berechnen.
Dafür schaust Du in das erste Dreieck, in dem die Strecke d die Hypotenuse darstellt und stellst die erste Gleichung auf:
Um jetzt die Variable e in der Gleichung zu definieren, betrachtest Du das zweite rechtwinklige Dreieck, das auf der x - Ebene liegt. In diesem Dreieck ist die Strecke e die Hypotenuse. Auch hier wendest Du den Satz des Pythagoras an:
Diese Gleichung für e kannst Du dann in die erste Gleichung einsetzen:
Um den Exponent 2 zu eliminieren, ziehst Du jetzt die Wurzel:
Das sind die Herleitungen für die Abstandsformel in der Ebene und im Raum.
Möchtest Du Dir andere Abstandsformeln anschauen? Dann schau gerne in die Artikel Abstand Punkt Gerade und Abstand Gerade Gerade!
Im nächsten Abschnitt kannst Du Dir die allgemeine Abstandsformel anschauen!
Abstand zweier Punkte – Formel
Die Herleitung der Abstandsformel zweier Punkte hast Du jetzt gesehen. Die Formel kannst Du für jede Abstandsbestimmung zwischen zwei Punkten verwenden. Das geht sowohl in der Ebene, als auch im Raum.
Liegen zwei Punkte und in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, ist die Formel zur Berechnung des Abstands zwischen den zwei Punkten:
Im Raum sieht die Formel zur Abstandsbestimmung zweier Punkte garnicht groß anders aus. Im dreidimensionalen Koordinatensystem hast Du noch eine dritte Koordinate bei den Punkten vorliegen, nämlich die z - Koordinate.
Liegen zwei Punkte und in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem, ist die Formel zur Berechnung des Abstands der zwei Punkte:
Und wie sieht das Ganze in der Anwendung aus? Das erfährst Du im folgenden Artikel!
Abstand zweier Punkte berechnen
Die Anwendung von Formeln lassen sich am besten anhand von Beispielen zeigen. Bis jetzt hast Du nur die allgemeine Abstandsformel gesehen. Werden die Koordinaten der Punkte mit Zahlenwerten versehen, kannst Du sie in die Formel einsetzen. Hier findest Du sowohl Beispiele für die Ebene als auch für den Raum.
Abstand zweier Punkte in der Ebene
Dafür kannst Du Dir das Beispiel von Ole und Felix nochmal anschauen. Um den Abstand zwischen den Beiden zu berechnen, brauchst Du die Koordinaten ihrer Positionen auf dem Feld. Das hat Ole schon übernommen. Er trägt die Position der Beiden in ein Koordinatensystem ein.
Abbildung 7: Abstand Felix und Ole
Aufgabe 1
Berechne die Distanz d zwischen Felix und Ole.
Lösung
Du hast die beiden Koordinaten der Punkte, an denen Ole und Felix beim Ball passen stehen. Diese Koordinaten kannst Du in die in der Definition gegebene Formel einsetzen. Die Koordinate x2 entspricht dabei der x - Koordinate von Ole. Die Koordinate x1 entspricht der x - Koordinate von Felix Position. Bei den y - Koordinaten ist es genau so; die Koordinate y2 entspricht der y - Koordinate von Ole's Standpunkt und die Koordinate y1 entspricht der y - Koordinate von Felix Position:
Um die Distanz zu berechnen, löst Du jetzt die Gleichung.
Die Wurzel aus 53 kannst Du dann mithilfe des Taschenrechners berechnen:
Weil die Jungs in Einheiten rechnen, entspricht die Distanz zwischen den Beiden Einheiten.
Mithilfe der Abstandsformel konnten Felix und Ole den Abstand zwischen ihnen beim Kicken herausfinden. Du kannst die Formel ebenfalls immer benutzen, wenn Du den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem herausfinden möchtest.
Abstand zweier Punkte im Raum
Auch für die Abstandsberechnung zweier Punkte im Raum kannst Du Dir das folgende Beispiel anschauen!
Abbildung 8: Abstand Etappe 1 und Tal
Aufgabe 2
Du bist im Skiurlaub. Bei der Abfahrt von der ersten Etappe zum Tal fragst Du Dich, wie weit die beiden Punkte eigentlich voneinander entfernt sind. Dafür zeichnest Du die Koordinaten der ersten Etappe B und des Tals T in ein Koordinatensystem ein. Berechne die Distanz d der beiden Punkte (in Einheiten).
Lösung
Wie im zweidimensionalen Koordinatensystem, hast du die x - Koordinaten und die y - Koordinaten gegeben. Hier hast Du jedoch dazu noch die Höhe des Bergs ( Einheiten) und des Tals ( Einheiten) gegeben. Diese Werte entsprechen den z - Koordinaten. Die Zahlenwerte für die Koordinaten kannst Du in die gegebene Abstandsformel für den Raum einsetzen.
Die erste Etappe liegt auf einer Höhe von Einheiten. Die Abfahrt von der ersten Etappe ins Tal ist Einheiten lang. Das heißt die Distanz zwischen dem Punkt B und dem Punkt T beträgtEinheiten.
Auch im Raum kannst Du die Abstandsformel benutzen, um die Entfernung zweier Punkte zu berechnen. Im Raum gibt es jedoch auch Vektoren. Funktioniert das Berechnen des Abstands zweier Punkte auch mit Vektoren?
Abstand zweier Punkte – Vektoren
Hast du zwei Punkte in einem dreidimensionalen Raum gegeben, kannst Du den Verbindungsvektor zwischen den beiden Punkten aufstellen und die Koordinaten des Verbindungsvektors quadrieren.
Aufgabe 3
Gegeben sind die Punkte und . Berechne den Abstand d der zwei Punkte Q und W.
Lösung
Berechne den Verbindungsvektor zwischen Q und W:
Diese Werte kannst Du jetzt in die Formel einsetzen und den Abstand d berechnen.
Der Abstand der zwei Punkte Q und W beträgt Einheiten.
Wie Du siehst ist es prinzipiell die gleiche Vorgehensweise, nur dass Du die Differenz der Koordinaten mithilfe des Verbindungsvektors berechnest und sie dann quadrierst.
Abstand zweier Punkte – Aufgaben
Wie Du den Abstand zweier Punkte berechnest, hast Du in diesem Artikel erfahren. Jetzt kannst Du Dein Können beweisen!
Aufgabe 4
Abbildung 9: Abstand zweier Punkte
Du befindest Dich an dem Startpunkt . Das Ziel liegt bei dem Punkt . Berechne die Länge des direkten Weg d.
Lösung
Die Länge des direkten Weg d entspricht dem Abstand der beiden Punkte S und Z:
Die Länge des Wegs d beträgt Einheiten.
Aufgabe 5
Gegeben ist ein Punkt und . Berechne den Abstand d zwischen den beiden Punkten und zeichne sie in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
Lösung
Abbildung 10: Abstand zweier Punkte im Raum
Um den Abstand d zu berechnen, setzt Du die Koordinatenwerte der beiden Punkte in die Formel ein:
Der Abstand zwischen Punkt E und R beträgt Einheiten.
Abstand zweier Punkte - Das Wichtigste
- Der geringste Abstand zwischen zwei Punkten ist eine Strecke
- Der Abstand wird als d bezeichnet (englisch: distance)
- Den Abstand zweier Punkte kann bei diagonalen Strecken nicht direkt abgelesen werden, dafür wird eine Formel benötigt
- Bei der Herleitung der Abstandsformel wird der Satz des Pythagoras benötigt
- Die Abstandsformel in der Ebene sieht folgendermaßen aus:
- Die Abstandsformel im Raum sieht so aus:
Nachweise
- K. + R. Gieck (1989). Technische Formelsammlung. Gieck Verlag.
- Ute Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.
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