Satz des Thales

Vielleicht warst Du schonmal in der Situation, dass Du ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen solltest, aber Dein Geodreieck vergessen hattest. Tatsächlich brauchst Du nicht unbedingt ein Geodreieck, um ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen. Der Satz des Thales kann Dir dabei nämlich helfen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Satz des Thales rechtwinkliges Dreieck StudySmarter

    Satz des Thales - Grundlagenwissen

    Der Satz des Thales hilft Dir dabei, ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen.

    Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem der größte Winkel genau 90° beträgt, also ein rechter Winkel ist.

    In Abbildung 1 liegt der rechte Winkel beim Punkt C. Der dazugehörige Winkel wird als γ bezeichnet.

    Satz des Thales rechtwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 1: rechtwinkliges Dreieck

    Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks wird Hypotenuse genannt. Sie ist gleichzeitig die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Seite, die am betrachteten Winkel anliegt, wird Ankathete genannt. Mit der Gegenkathete wird die Seite bezeichnet, die dem betrachteten Winkel gegenüberliegt.

    Im Beispiel siehst du zwei Szenarien:

    • Der Fall, dass der betrachtete Winkel α ist.
    • Der Fall, dass der betrachtete Winkel β ist.

    Je nachdem, wo der betrachtete Winkel liegt, ändert sich die Bezeichnung der Seiten. Die Hypotenuse bleibt jedoch immer die Gleiche.

    Satz des Thales Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck StudySmarterAbbildung 2: Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck

    Der Satz des Thales

    Der Satz des Thales ist ein Satz in der Geometrie, dessen erster Beweis dem antiken griechischen Mathematiker Thales von Milet zugeschrieben wird. Allerdings war der Umstand bereits den Babyloniern 1500 Jahre davor schon bekannt.

    Der Satz des Thales – Definition

    Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Kreiswinkelsatzes, der besagt, dass alle Dreiecke an einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind. Wird ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises konstruiert, so entsteht immer ein rechtwinkliges Dreieck.

    Ein Dreieck, das zwei Eckpunkte am Durchmesser eines Halbkreises und einen weiteren an einer anderen Stelle auf dem Kreis besitzt, ist immer rechtwinklig.

    In einem Beispiel kann das so aussehen:

    Satz des Thales Satz des Thales StudySmarterAbbildung 3: Beispiel für die Anwendung des Satz des Thales

    Die Punkte A und B haben den Abstand des Durchmessers d zueinander. Um den Durchmesser wird ein Halbkreis mit den Endpunkten A und B gezogen. Dabei ist es egal, wo auf dem Kreis der dritte Punkt liegt – das Dreieck ABC wird immer rechtwinklig sein.

    Kreiswinkelsatz

    Wie oben bereits erwähnt, ist der Satz des Thales ein Spezialfall des Kreiswinkelsatzes.

    Der Kreiswinkelsatz besagt, dass der Mittelpunktwinkel eines Kreisbogens doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel ist.

    Das bedeutet, dass zwei Punkte A und B an verschiedenen Stellen auf einem Kreis liegen. Der Umfangswinkel φ entsteht zwischen A, einem dritten Punkt C auf dem Kreis, und B. Der Umfangswinkel φ ist genau halb so groß wie der Mittelpunktwinkel μ, der von A, dem Mittelpunkt M und B aufgespannt wird.

    Satz des Thales Kreiswinkelsatz StudySmarterAbbildung 4: Kreiswinkelsatz

    Der Unterschied zum Satz des Thales liegt darin, dass bei diesem die Punkte A und B genau den Abstand des Durchmessers eines Kreises haben und dadurch nur einen Winkel γ bilden. Der Mittelpunktswinkel liegt direkt auf der Verbindungsstrecke von A und B. Dieser Winkel γ beträgt unabhängig vom Punkt C immer 90°.

    Beweis des Satz des Thales

    Um zu beweisen, dass γ = 90° immer gilt, wird eine weitere Linie vom Mittelpunkt M des Durchmessers zum dritten Eckpunkt C gezogen.

    Satz des Thales Beweis StudySmarterAbbildung 5: Beweis des Satz des Thales

    Nun entstehen drei verschiedene Dreiecke:

    1. Ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C
    2. Ein Dreieck mit den Eckpunkten M, B und C
    3. Und ein Dreieck mit den Eckpunkten A, M und C

    Durch die neue Linie werden also zwei gleichschenklige Dreiecke gebildet. Da sie gleichschenklig sind, gilt:

    α = α1β = β1

    Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei genau gleich langen Seiten und dadurch auch zwei genau gleich großen Winkeln.

    Um den Satz des Thales zu beweisen, ist folgende Regel relevant:

    Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer 180°.

    Um mehr über die Innenwinkelsumme eines Dreiecks zu lernen, lies Dir gerne den dazugehörigen Artikel durch!

    Da diese Regel immer gilt, kannst Du die Summe der Winkel des Dreieck ABC im nächsten Schritt gleich 180° setzten:

    α + β + γ = 180°

    Den Winkel γ kannst Du als nächstes durch die Summe der Winkel α1 und β1 ersetzen, denn der Winkel γ setzt sich, wie in Abbildung 5 verdeutlicht, aus diesen zusammen.

    α + β + (α1 + β1) = 180°

    Oben wurde festgehalten, dass die Winkel α und α1 sowie β und β1aufgrund der gleichschenkligen Dreiecke gleich groß sind. Diese können deshalb auch noch ausgetauscht werden:

    α + β + α + β = 180°

    Diese Gleichung kannst Du nun noch umschreiben und auflösen.

    2 · α + 2 · β = 180°2 · (α + β) = 180° : 2α + β = 90°

    Da α = α1, β = β1 und α + β = γ gilt, kann diese Gleichung auch wie folgtr aufgeschrieben werden:

    α1 + β1 = 90°γ = 90°

    Der Winkel γ beträgt demnach immer 90°.

    Umkehrung des Satz des Thales

    Der Satz des Thales kann auch umgekehrt werden. Bei einer Umkehrung werden Voraussetzung und Behauptung vertauscht.

    Die Voraussetzung lautet, dass es ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C gibt. Die Behauptung lautet dann, dass der Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB¯ liegt.

    Die Umkehrung ist also die umgekehrte Behauptung zum Satz des Thales.

    Anwendung des Satz des Thales

    Im Folgenden findest Du Situationen, in denen der Satz des Thales gebraucht wird:

    • Mit Umkehrung des Satz des Thales können Aussagen über Streckenlängen bei Dreiecken getroffen werden, da die Strecken MA¯, MB¯ und MC¯ genauso lang wie der Radius des Kreises sind. Außerdem sind sie halb so lang wie der Durchmesser d, also die Strecke AB¯.
    • Der Thalessatz hilft Dir auch, zu erkennen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. So kannst Du z. B. ermitteln, ob Du möglicherweise den Satz des Pythagoras verwendet kannst, um bestimmte Maße des Dreiecks zu berechnen.
    • Des Weiteren hilft Dir der Satz des Thales dabei, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren.

    Rechtwinkliges Dreieck mit dem Thaleskreis konstruieren

    Der Halbkreis um das Dreieck herum wird als Thaleskreis bezeichnet. Er ist ein Halbkreis, der durch den Durchmesser getrennt wird. Der Durchmesser ist immer die Hypotenuse des Dreiecks, da der rechte Winkel immer am dritten Eckpunkt gebildet wird. Diese Information ist wichtig bei der Konstruktion eines Dreiecks mithilfe des Thaleskreises.

    AbbildungErklärung

    Satz des Thales Thaleskreis konstruieren StudySmarterAbbildung 6: Strecke AB

    Als Erstes kannst Du eine Strecke c mit den Endpunkten A und B zeichnen. Die Länge dieser Strecke entspricht der Hypotenuse und damit dem Durchmesser d des Thaleskreises.

    Satz des Thales Thaleskreis konstruieren StudySmarterAbbildung 7: Mittelpunkt M

    Als Nächstes kannst Du den Mittelpunkt dieser Strecke konstruieren und mit einem M beschriften.Wie Du eine Mittelsenkrechte konstruieren kannst, findest du im zugehörigen Artikel

    Satz des Thales Thaleskreis konstruieren StudySmarterAbbildung 8: Thaleskreis

    Als nächstes kannst Du mit einem Zirkel einen Kreis um den Mittelpunkt M ziehen. Der Durchmesser d des Kreises entspricht dabei der Länge der Strecke AB¯.

    Satz des Thales Thaleskreis konstruieren StudySmarterAbbildung 9: Dreieck ABC

    Als Letztes kannst du dann einen beliebigen Punkt C auf dem Kreis einzeichnen und diesen mit den Punkten A und B zu einem Dreieck verbinden.

    Ein Rechteck mit dem Thaleskreis konstruieren

    Wusstest Du, dass Du mithilfe des Satz des Thales auch ein Rechteck konstruieren kannst?

    Dazu kannst Du Dir eine Strecke AB¯ aufzeichnen. Von dieser Strecke markierst Du den Mittelpunkt M.

    Satz des Thales Rechteck konstruieren StudySmarterAbbildung 10: Strecke AB

    Als Nächstes kannst Du einen Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem gewünschten Durchmesser der Strecke AB¯ konstruieren.

    Satz des Thales Rechteck konstruieren StudySmarterAbbildung 11: Strecke AB mit Thaleskreis

    Jetzt kannst Du Dir einen beliebigen Punkt C auf dem Kreisring aussuchen und diesen jeweils mit den Punkten A und B verbinden.

    Satz des Thales Rechteck konstruieren StudySmarterAbbildung 12: rechtwinkliges Dreieck

    Zum Schluss kannst Du den Punkt C am Mittpunkt M spiegeln und dann C' mit A und B verbinden. So erhältst Du ein Rechteck, bei dem die Ecken garantiert rechtwinklig sind.

    Satz des Thales Rechteck konstruieren StudySmarterAbbildung 13: Rechteck

    Wenn die Verbindungsstrecke zwischen dem Punkt C und dem Mittlepunkt M senkrecht auf der Strecke AB¯ steht, kannst Du ein Quadrat konstruieren.

    Satz des Thales – Übungsaufgabe

    Im Folgenden findest Du einige Übungsaufgaben, mit denen Du Dein Wissen vertiefen kannst.

    Aufgabe

    Haben die folgenden Dreiecke einen rechten Winkel?

    Satz des Thales Aufgabe StudySmarterAbbildung 14: Satz des Thales Aufgabe

    Lösung

    Das blaue Dreieck hat keinen rechten Winkel, da die Strecke AB¯ nicht dem Durchmesser d des Kreises entspricht. Deshalb kann der Satz des Thales nicht angewandt werden.

    Das orangefarbene Dreieck hat einen rechten Winkel bei C, da die Strecke AB¯ durch den Mittelpunkt M geht und deshalb dem Durchmesser d entspricht. Der Satz des Thales kann angewandt werden.

    Das grüne Dreieck hat ebenfalls einen rechten Winkel, da auch hier die Strecke AB¯ durch den Mittelpunkt M geht und dadurch dem Durchmesser d entspricht.

    Das türkisfarbene Dreieck hat keinen rechten Winkel, da die Strecke AB¯ nicht durch den Mittelpunkt M des Kreises geht.

    Aufgabe

    Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mithilfe des Satz des Thales mit folgenden Angaben:

    c = 7 cm und q = 4,1 cm

    Satz des Thales Aufgabe StudySmarterAbbildung 15: rechtwinkliges Dreieck ABC

    Lösung

    Als Erstes zeichnest Du eine Strecke AB¯, welche die Länge c, also 7 cm hat.

    Satz des Thales Aufgabe StudySmarterAbbildung 16: Strecke AB

    Danach kannst Du die Mitte dieser Länge ausfindig machen. Da die Strecke AB¯ dem Durchmesser d entspricht, kann die Beziehung zwischen Durchmesser d und Radius r genutzt werden. Der Radius r ist nämlich genau halb so lang wie der Durchmesser d und zeigt deshalb den Mittelpunkt M an.

    r = d2r = 7 cm2r = 3,5 cm

    Du kannst also den Mittelpunkt M bei 3,5 cm der Strecke AB¯ einzeichnen.

    Satz des Thales Aufgabe StudySmarterAbbildung 17: Strecke AB mit Mittelpunkt M

    Als Nächstes kannst Du einen Halbkreis mit dem Mittelpunkt M und dem Durchmesser AB¯ zeichnen.

    Satz des Thales Aufgabe StudySmarterAbbildung 18: Thaleskreis

    Jetzt musst Du die Strecke q von der Strecke c abziehen, um zu wissen, wo die Höhe h des Dreiecks ansetzt.

    p = c - qp = 7 cm - 4,1 cmp = 2,9 cm

    Du kannst den Punkt S makieren, wo die Strecke p endet und die Strecke q anfängt.

    Satz des Thales Aufgabe StudySmarterAbbildung 19: Punkt S und Strecken p und q

    Zum Schluss musst Du jetzt nur noch senkrecht zur Strecke AB¯ vom Punkt S die Strecke h einzeichnen. Der Schnittpunkt mit dem Thaleskreis ist der Punkt C.

    Satz des Thales Aufgabe StudySmarterAbbildung 20: Höhe h und Punkt C

    Den Punkt C kannst Du jetzt mit den Punkten A und B verbinden.

    Satz des Thales Aufgabe StudySmarterAbbildung 21: rechtwinkliges Dreieck ABC

    Satz des Thales – Das Wichtigste auf einen Blick

    • Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Kreiswinkelsatzes.
    • Der Satz des Thales besagt, dass ein Dreieck, das zwei Eckpunkte am Durchmesser eines Halbkreises und einen weiteren an einer anderen Stelle auf dem Kreis besitzt, immer rechtwinklig ist.
    • Der Satz des Thales kann mithilfe der Innenwinkelsumme von Dreiecken bewiesen werden.
    • Die Umkehrung des Satz des Thales lautet: Wenn bei einem rechtwinkligen Dreieck der rechte Winkel bei C ist, dann liegt der Punkt C auf einem Kreis, der den Durchmesser AB¯ hat.
    • Mit der Umkehrung des Satz des Thales können Aussagen über Streckenlängen bei Dreiecken getroffen werden.
    • Der Satz des Thales hilft bei der Entscheidung, ob ein Dreieck rechtwinklig ist oder nicht.
    • Mit dem Satz des Thales kann ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert werden.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Satz des Thales

    Wie kann man den Satz des Thales beweisen?

    Der Satz des Thales kann mithilfe der Innenwinkelsumme eines Dreiecks bewiesen werden.

    Wann wurde der Satz des Thales erfunden?

    Der erste Beweis des Satz des Thales wird dem antiken griechischen Mathematiker Thales von Milet zugeschrieben wird. Jedoch war der Umstand selbst den Babyloniern 1500 Jahre davor auch schon bekannt. 

    Wie berechnet man den Satz des Thales?

    Der Satz des Thales kann nicht berechnet werden. Das einzige, in Bezug mit dem Satz des Thales, was berechnet werden kann, ist die Länge der Strecke AB, welche dem Durchmesser d des Kreises entsprechen muss. 

    Mit der Innenwinkelsumme kannst du verschiedene Winkel des Dreiecks berechnen.

    Was sagt der Satz des Thales aus?

    Der Satz des Thales besagt, dass wenn ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers d eines Halbkreises (Thaleskreis) und eines weiteren Punktes dieses Halbkreises konstruiert wird, immer ein rechtwinkliges Dreieck entsteht.

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    Was sind Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks?

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    Wo findet der Satz des Thales Anwendung?

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