Satz des Thales

Vielleicht warst Du schonmal in der Situation, dass Du ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen solltest, aber Dein Geodreieck vergessen hattest. Tatsächlich brauchst Du nicht unbedingt ein Geodreieck, um ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen. Der Satz des Thales kann Dir dabei nämlich helfen.

Satz des Thales - Grundlagenwissen

Der Satz des Thales hilft Dir dabei, ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen.

In Abbildung 1 liegt der rechte Winkel beim Punkt C. Der dazugehörige Winkel wird als γ bezeichnet.

Abbildung 1: rechtwinkliges Dreieck

Im Beispiel siehst du zwei Szenarien:

• Der Fall, dass der betrachtete Winkel α ist.
• Der Fall, dass der betrachtete Winkel β ist.

Je nachdem, wo der betrachtete Winkel liegt, ändert sich die Bezeichnung der Seiten. Die Hypotenuse bleibt jedoch immer die Gleiche.

Abbildung 2: Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck

Der Satz des Thales

Der Satz des Thales ist ein Satz in der Geometrie, dessen erster Beweis dem antiken griechischen Mathematiker Thales von Milet zugeschrieben wird. Allerdings war der Umstand bereits den Babyloniern 1500 Jahre davor schon bekannt.

Der Satz des Thales – Definition

Ein Dreieck, das zwei Eckpunkte am Durchmesser eines Halbkreises und einen weiteren an einer anderen Stelle auf dem Kreis besitzt, ist immer rechtwinklig.

In einem Beispiel kann das so aussehen:

Abbildung 3: Beispiel für die Anwendung des Satz des Thales

Die Punkte A und B haben den Abstand des Durchmessers d zueinander. Um den Durchmesser wird ein Halbkreis mit den Endpunkten A und B gezogen. Dabei ist es egal, wo auf dem Kreis der dritte Punkt liegt – das Dreieck ABC wird immer rechtwinklig sein.

Beweis des Satz des Thales

Um zu beweisen, dass $\gamma =90°$ immer gilt, wird eine weitere Linie vom Mittelpunkt M des Durchmessers zum dritten Eckpunkt C gezogen.

Abbildung 5: Beweis des Satz des Thales

Nun entstehen drei verschiedene Dreiecke:

1. Ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C
2. Ein Dreieck mit den Eckpunkten M, B und C
3. Und ein Dreieck mit den Eckpunkten A, M und C

Durch die neue Linie werden also zwei gleichschenklige Dreiecke gebildet. Da sie gleichschenklig sind, gilt:

$$\begin{gathered} \alpha ={\alpha }_1 \\ \beta ={\beta }_1 \end{gathered}$$

Um den Satz des Thales zu beweisen, ist folgende Regel relevant:

Da diese Regel immer gilt, kannst Du die Summe der Winkel des Dreieck ABC im nächsten Schritt gleich 180° setzten:

$\alpha +\beta +\gamma =180°$

Den Winkel γ kannst Du als nächstes durch die Summe der Winkel ${\alpha }_{1}und{\beta }_1$ ersetzen, denn der Winkel $\gamma$ setzt sich, wie in Abbildung 5 verdeutlicht, aus diesen zusammen.

$\alpha +\beta +({\alpha }_1+{\beta }_1)=180°$

Oben wurde festgehalten, dass die Winkel $\alpha und{\alpha }_1$ sowie $\beta und{\beta }_1$aufgrund der gleichschenkligen Dreiecke gleich groß sind. Diese können deshalb auch noch ausgetauscht werden:

$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180°$

Diese Gleichung kannst Du nun noch umschreiben und auflösen.

$\begin{array}{rcl}2·\alpha +2·\beta & =& 180°\\ & & \\ 2·(\alpha +\beta )& =& 180°\overline{):2}\\ & & \\ \alpha +\beta & =& 90°\end{array}$

Da $\alpha ={\alpha }_1,\beta ={\beta }_{1}und\alpha +\beta =\gamma$ gilt, kann diese Gleichung auch wie folgtr aufgeschrieben werden:

$\begin{array}{rcl}{\alpha }_1+{\beta }_1& =& 90°\\ & & \\ \gamma & =& 90°\end{array}$

Der Winkel γ beträgt demnach immer 90°.

Umkehrung des Satz des Thales

Der Satz des Thales kann auch umgekehrt werden. Bei einer Umkehrung werden Voraussetzung und Behauptung vertauscht.

Die Voraussetzung lautet, dass es ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C gibt. Die Behauptung lautet dann, dass der Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser $\overline{AB}$ liegt.

Die Umkehrung ist also die umgekehrte Behauptung zum Satz des Thales.

Anwendung des Satz des Thales

Im Folgenden findest Du Situationen, in denen der Satz des Thales gebraucht wird:

• Mit Umkehrung des Satz des Thales können Aussagen über Streckenlängen bei Dreiecken getroffen werden, da die Strecken $\overline{MA},\overline{MB}und\overline{MC}$ genauso lang wie der Radius des Kreises sind. Außerdem sind sie halb so lang wie der Durchmesser d, also die Strecke $\overline{AB}$.

• Der Thalessatz hilft Dir auch, zu erkennen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. So kannst Du z. B. ermitteln, ob Du möglicherweise den Satz des Pythagoras verwendet kannst, um bestimmte Maße des Dreiecks zu berechnen.
• Des Weiteren hilft Dir der Satz des Thales dabei, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren.

Rechtwinkliges Dreieck mit dem Thaleskreis konstruieren

Der Halbkreis um das Dreieck herum wird als Thaleskreis bezeichnet. Er ist ein Halbkreis, der durch den Durchmesser getrennt wird. Der Durchmesser ist immer die Hypotenuse des Dreiecks, da der rechte Winkel immer am dritten Eckpunkt gebildet wird. Diese Information ist wichtig bei der Konstruktion eines Dreiecks mithilfe des Thaleskreises.

Satz des Thales – Übungsaufgabe

Im Folgenden findest Du einige Übungsaufgaben, mit denen Du Dein Wissen vertiefen kannst.