Was ist ein Zylinder?
Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper mit zwei parallelen, deckungsgleichen Kreisflächen als Grund- und Deckfläche, die durch eine gekrümmte Mantelfläche verbunden sind. Beschrieben wird er durch den Radius r der Grundfläche und die Höhe h. Beim geraden Zylinder steht die Achse senkrecht auf der Grundfläche.
Der Zylinder ist einer der wichtigsten Körper in der Geometrie und begegnet dir überall im Alltag: als Getränkedose, Konservendose, Rohr, Kerze oder Baumstamm. Weil seine Grundfläche ein Kreis ist, brauchst du zum Rechnen die Kreiszahl π ≈ 3,14159. Alles, was du für Volumen, Mantel- und Oberfläche benötigst, sind zwei Größen: der Radius r und die Höhe h.
Gerader und schiefer Zylinder
Man unterscheidet den geraden und den schiefen Zylinder. Beim geraden Zylinder steht die Verbindungsachse der beiden Kreismittelpunkte im 90-Grad-Winkel senkrecht auf der Grundfläche, der Körper steht also gerade. Beim schiefen Zylinder ist diese Achse geneigt, der Körper wirkt wie schräg abgeschert. Interessant: Nach dem Prinzip von Cavalieri haben beide bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe genau dasselbe Volumen. In der Schule rechnest du fast immer mit dem geraden Kreiszylinder, und genau darauf beziehen sich die Formeln unten.
Der Zylinder gehört wie Prisma und Quader zu den Körpern, deren Volumen sich als Grundfläche mal Höhe berechnet. Verwandte gekrümmte Körper sind der Kegel und die Kugel. Über 40 Millionen Lernende nutzen StudySmarter, um solche Körper sicher für Klassenarbeit und Abitur zu üben.
Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders?
Das Volumen eines Zylinders berechnet man mit V = π · r² · h, also Grundfläche mal Höhe. Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Flächeninhalt π · r². Multipliziert man diese mit der Höhe h, erhält man den kompletten Rauminhalt in Kubikeinheiten wie cm³ oder m³.
Die Idee dahinter ist einfach: Ein Zylinder ist ein Stapel aus lauter gleichen Kreisscheiben. Die Fläche einer Scheibe ist der Kreisflächeninhalt π · r², und wenn du diese Fläche über die gesamte Höhe h aufstapelst, ergibt sich das Volumen. Genau deshalb gilt bei allen Prismen und beim Zylinder dieselbe Grundidee: Volumen ist Grundfläche mal Höhe.
Ist statt des Radius der Durchmesser d gegeben, halbierst du ihn zuerst zu r = d / 2. Wenn du die Volumenberechnung noch tiefer üben und viele weitere Aufgaben mit Lösungsweg rechnen möchtest, findest du das im ausführlichen Artikel zum Volumen des Zylinders. Auf dieser Seite geht es um den Zylinder als ganzen Körper, also zusätzlich um Mantel- und Oberfläche sowie das Netz.
Wie berechnet man die Mantelfläche?
Die Mantelfläche eines Zylinders ist die gekrümmte Seitenfläche. Wickelt man sie ab, entsteht ein Rechteck: Seine Breite entspricht dem Umfang der Grundfläche, also 2 · π · r, seine Höhe ist die Zylinderhöhe h. Daraus folgt die Formel M = 2 · π · r · h.
Stell dir vor, du klebst ein Etikett rund um eine Konservendose und ziehst es dann ab. Ausgebreitet ist dieses Etikett ein Rechteck. Die eine Seite des Rechtecks ist genau so lang wie der Umfang des Kreises, also 2 · π · r, denn so weit reicht das Etikett einmal rund um die Dose. Die andere Seite ist so hoch wie die Dose, also h. Fläche des Rechtecks ist Länge mal Breite, und damit ist die Mantelfläche M = 2 · π · r · h.
Die Mantelfläche allein enthält weder Deckel noch Boden. Sie ist nur die gebogene Wand. Erst zusammen mit den beiden Kreisflächen ergibt sie die gesamte Oberfläche.
Wie berechnet man die Oberfläche eines Zylinders?
Die Oberfläche eines Zylinders ist die Summe aus beiden Kreisflächen und der Mantelfläche. Es gilt O = 2 · π · r² + 2 · π · r · h. Klammert man 2 · π · r aus, ergibt sich die kompakte Form O = 2 · π · r · (r + h).
Die Oberfläche ist alles, was du anmalen müsstest, wenn du den ganzen Körper einfärben wolltest: den Boden, den Deckel und die gebogene Wand. Boden und Deckel sind zwei gleich große Kreise, zusammen also 2 · π · r². Die Wand ist die Mantelfläche 2 · π · r · h. Addiert man beides, erhält man die gesamte Oberfläche.
Für die Klassenarbeit lohnt es sich, die ausgeklammerte Form O = 2 · π · r · (r + h) zu kennen. Sie ist kürzer, spart Rechenschritte und macht Tippfehler unwahrscheinlicher. Die folgende Übersicht fasst alle vier Größen des Zylinders zusammen, mit den Werten für das durchgerechnete Beispiel r = 3 cm und h = 10 cm.
| Größe | Formel | Beispiel r = 3, h = 10 |
|---|---|---|
| Grundfläche G | π · r² | ≈ 28,27 cm² |
| Volumen V | π · r² · h | ≈ 282,74 cm³ |
| Mantelfläche M | 2 · π · r · h | ≈ 188,50 cm² |
| Oberfläche O | 2 · π · r · (r + h) | ≈ 245,04 cm² |
Wie sieht das Netz eines Zylinders aus?
Das Netz eines Zylinders zeigt seine Oberfläche in der Ebene ausgebreitet. Es besteht aus drei Teilen: der kreisförmigen Grundfläche, der deckungsgleichen Deckfläche und dem rechteckigen Mantel. Das Rechteck ist genau so breit wie der Umfang 2 · π · r und so hoch wie die Höhe h.
Ein Netz ist die aufgeklappte Oberfläche eines Körpers. Beim Zylinder schneidest du den Mantel entlang einer senkrechten Linie auf und rollst ihn flach aus. So wird aus der gebogenen Wand ein Rechteck. Oben und unten liegen die beiden Kreise. Das Netz macht anschaulich, warum die Mantelfläche 2 · π · r · h und die Oberfläche 2 · π · r² + 2 · π · r · h ist: Du addierst einfach die Flächen der drei Teile.
Beispielrechnung: Zylinder mit r = 3 cm und h = 10 cm
In der Beispielrechnung hat der Zylinder den Radius r = 3 cm und die Höhe h = 10 cm. Damit ergeben sich das Volumen V ≈ 282,74 cm³, die Mantelfläche M ≈ 188,50 cm² und die Oberfläche O ≈ 245,04 cm². Jeder Schritt wird einzeln vorgerechnet.
Damit du den Rechenweg sicher beherrschst, rechnen wir alle Größen für denselben Zylinder Schritt für Schritt durch. Gegeben sind der Radius r = 3 cm und die Höhe h = 10 cm.
Schritt 1: Grundfläche
Die Grundfläche ist ein Kreis: G = π · r² = π · 3² = π · 9 ≈ 28,27 cm². Diese Fläche brauchst du gleich für das Volumen wieder.
Schritt 2: Volumen
Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe: V = π · r² · h = π · 9 · 10 = 90 · π ≈ 282,74 cm³.
Schritt 3: Mantelfläche
Der Umfang der Grundfläche ist 2 · π · r = 2 · π · 3 = 6 · π ≈ 18,85 cm. Multipliziert mit der Höhe ergibt das die Mantelfläche: M = 2 · π · r · h = 6 · π · 10 = 60 · π ≈ 188,50 cm².
Schritt 4: Oberfläche
Die Oberfläche setzt sich aus beiden Kreisen und dem Mantel zusammen. Am schnellsten geht die ausgeklammerte Form: O = 2 · π · r · (r + h) = 2 · π · 3 · (3 + 10) = 6 · π · 13 = 78 · π ≈ 245,04 cm².
Rechne zur Probe getrennt: zwei Kreise 2 · π · r² = 18 · π und der Mantel 60 · π. Zusammen 78 · π ≈ 245,04 cm². Das passt zur ausgeklammerten Form.
Zylinder-Rechner: Volumen, Mantel- und Oberfläche
Mit dem Zylinder-Rechner gibst du den Radius r und die Höhe h ein und erhältst sofort Volumen, Mantelfläche und Oberfläche. Der Rechner zeigt zu jedem Wert den eingesetzten Rechenweg, sodass du nachvollziehen kannst, wie die Formeln V = π · r² · h, M und O angewendet werden.
Tipp: Achte darauf, dass Radius und Höhe in derselben Einheit angegeben sind. Ein Ergebnis in cm liefert dann ein Volumen in cm³ und Flächen in cm². Ist nur der Durchmesser bekannt, teile ihn vorher durch zwei.
Welche Fehler passieren beim Zylinder am häufigsten?
Die häufigsten Fehler beim Zylinder sind das Verwechseln von Radius und Durchmesser, das Vergessen der zweiten Kreisfläche bei der Oberfläche und falsche Einheiten. Wer den Durchmesser halbiert, beide Deckel mitzählt und Volumen in Kubik-, Flächen in Quadrateinheiten angibt, vermeidet die typischen Punktabzüge in der Klassenarbeit.
Diese drei Stolperfallen tauchen in Arbeiten immer wieder auf. Wenn du sie kennst, rechnest du deutlich sicherer.
In Aufgaben ist oft der Durchmesser d angegeben, nicht der Radius. Setze nie d direkt in die Formel ein, sondern rechne zuerst r = d / 2. Sonst wird das Volumen viermal zu groß.
Die Oberfläche hat zwei Kreise, Boden und Deckel. Deshalb steht in der Formel 2 · π · r² und nicht nur π · r². Bei offenen Bechern ohne Deckel zählt man dagegen bewusst nur eine Kreisfläche.
Ein Volumen hat eine Kubikeinheit wie cm³, eine Fläche eine Quadrateinheit wie cm². Wer das Volumen in cm² angibt, verliert Punkte, obwohl die Zahl stimmt.
Übungsaufgaben zum Zylinder
Fünf Übungsaufgaben zum Zylinder decken Volumen, Mantelfläche, Oberfläche, das Umstellen nach der Höhe und eine Sachaufgabe zur Dose ab. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst, klappe dann die Lösung auf und vergleiche deinen Rechenweg Schritt für Schritt mit der Musterlösung.
V = π · r² · h = π · 2² · 5 = 20 · π ≈ 62,83 cm³.
M = 2 · π · r · h = 2 · π · 4 · 10 = 80 · π ≈ 251,33 cm².
O = 2 · π · r · (r + h) = 2 · π · 3 · (3 + 7) = 60 · π ≈ 188,50 cm².
Aus V = π · r² · h folgt h = V / (π · r²) = 785,40 / (π · 25) ≈ 785,40 / 78,54 ≈ 10 cm.
Radius r = d / 2 = 5 cm. Volumen V = π · 5² · 15 = 375 · π ≈ 1178,10 cm³. Oberfläche O = 2 · π · 5 · (5 + 15) = 200 · π ≈ 628,32 cm².
Karteikarten zum Zylinder
Sechs Karteikarten fassen die wichtigsten Punkte rund um den Zylinder zusammen, von den Formeln für Volumen, Mantel- und Oberfläche bis zum Netz und dem Unterschied zwischen geradem und schiefem Zylinder. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen.
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Zylinder berechnen, das Wichtigste
Beim Zylinder berechnest du das Volumen mit V = π · r² · h, die Mantelfläche mit M = 2 · π · r · h und die Oberfläche mit O = 2 · π · r · (r + h). Das Netz besteht aus zwei Kreisen und einem Rechteck. Nur Radius und Höhe musst du kennen.
- Definition: zwei parallele Kreisflächen, verbunden durch einen gekrümmten Mantel.
- Volumen: V = π · r² · h, also Grundfläche mal Höhe.
- Mantelfläche: M = 2 · π · r · h, das abgewickelte Rechteck.
- Oberfläche: O = 2 · π · r² + 2 · π · r · h = 2 · π · r · (r + h).
- Netz: zwei Kreise plus ein Rechteck der Breite 2 · π · r.
- Erst r und h in gleicher Einheit, Ergebnis in cm³ bzw. cm² angeben.
Häufige Fragen zum Zylinder
Das Volumen berechnet man mit V = π · r² · h, also Grundfläche mal Höhe. Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Flächeninhalt π · r². Das Ergebnis ist ein Rauminhalt in Kubikeinheiten wie cm³.
Die Oberfläche ist O = 2 · π · r² + 2 · π · r · h. Sie setzt sich aus den beiden Kreisflächen und der Mantelfläche zusammen. Ausgeklammert ergibt sich die kompakte Form O = 2 · π · r · (r + h).
Die Mantelfläche ist die gekrümmte Seitenfläche des Zylinders. Wickelt man sie ab, entsteht ein Rechteck mit der Breite 2 · π · r und der Höhe h. Daraus folgt M = 2 · π · r · h.
Das Netz eines Zylinders besteht aus drei Teilen: der kreisförmigen Grundfläche, der deckungsgleichen Deckfläche und dem rechteckigen Mantel. Das Rechteck ist so breit wie der Umfang 2 · π · r und so hoch wie die Höhe h.
Beim geraden Zylinder steht die Achse senkrecht auf der Grundfläche, beim schiefen ist sie geneigt. Nach dem Prinzip von Cavalieri haben beide bei gleicher Grundfläche und Höhe dasselbe Volumen V = π · r² · h.
Der Durchmesser d ist doppelt so groß wie der Radius r, es gilt d = 2 · r. Ist nur der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zu r = d / 2, bevor du ihn in die Formeln einsetzt.
Quellen
Die fachlichen Inhalte orientieren sich an etablierter Fachliteratur und frei verfügbaren Lehrmaterialien:
- Zylinder (Geometrie) (Volumen, Mantel- und Oberfläche, Netz, gerader und allgemeiner Zylinder). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Formelsammlung Mathematik: Geometrie (Flächen- und Körperformeln, offenes Lehrbuch). Wikibooks. de.wikibooks.org
- Prinzip von Cavalieri (Volumengleichheit von geradem und schiefem Körper). Wikipedia. de.wikipedia.org