Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Oberflächeninhalt Quader

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Mathe

Du weißt bestimmt schon, was ein Quader ist und vielleicht sogar, aus welchen Teilen er besteht. Falls du dich schon etwas mit Quadern beschäftigt hast, weißt du vielleicht, wie das Volumen eines Quaders berechnet wird. Aber was ist eigentlich mit der Hülle, die den Quader „bildet“? Wie groß ist die? Kann man die berechnen? Und wenn ja, wie?

Oberflächeninhalt Quader Quader StudySmarter

Oberflächeninhalt Quader: Allgemeines

Jedes geometrische Objekt, also jedes Objekt im drei-dimensionalen Raum, hat eine Oberfläche und dadurch auch einen Oberflächeninhalt, der theoretisch berechnet werden kann. Dieser Oberflächeninhalt zeigt zum Beispiel an, wie viel Material nötig ist, um einen Körper herzustellen.

Aber bevor du mehr zum Berechnen des Oberflächeninhalts erfährst, sind hier noch einmal die Basics.

Definition Oberflächeninhalt

Vielleicht fragst du dich jetzt: Was ist eigentlich ein Oberflächeninhalt? Wie kann ich mir das vorstellen?

Der Oberflächeninhalt einer geometrischen Figur ist die gesamte Fläche, welche eine Figur bildet. Der Oberflächeninhalt besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur.

In Formeln wird für den Oberflächeninhalt meistens der Großbuchstabe O verwendet.

Wenn man einen Quader aufschneidet und in seine Einzelteile zerlegt, erhält man 6 Rechtecke, wobei die zwei gegenüberliegenden Rechtecke immer gleich groß sind. Wenn der Flächeninhalt aller 6 Rechtecke zusammenaddiert wird, dann erhältst du den Oberflächeninhalt des Quaders.

Oberflächeninhalt Quader Quadernetz StudySmarterAbbildung 1: Netz eines Quaders

Du solltest den Oberflächeninhalt einer Figur nicht mit dessen Volumen verwechseln. Während der Oberflächeninhalt die gesamte äußere Fläche einer Figur ist, ist das Volumen die Füllung, die sich innerhalb dieser Figur befindet, also deren räumlicher Inhalt.

Oberflächeninhalt Einheit

Wie du siehst, besteht der Oberflächeninhalt also aus den Flächeninhalten der Seiten eines Körpers. Aufgrund dessen wird der Oberflächeninhalt in derselben Einheit, wie der Flächeninhalt angegeben.

Der Oberflächeninhalt wird normalerweise in Quadratmillimetern (mm²), Quadratzentimetern (cm²), Quadratdezimetern (dm²), Quadratmetern (m²) oder Quadratkilometern (km²) angegeben.

Zur Wiederholung:

Oberflächeninhalt Quader, Einheit, StudySmarter

Du kannst dir auch den Artikel Flächeneinheiten durchlesen, falls du noch Probleme bei der Umrechnung hast.

Oberflächeninhalt Quader: Berechnung

Um jetzt den Oberflächeninhalt berechnen zu können, gibt es eine Formel. Diese Formel leitet sich aus der oben dargestellten Zerlegung des Quaders ab.

Herleitung der Formel des Oberflächeninhalts eines Quaders

Wie bereits angedeutet, lässt sich die Formel für den Oberflächeninhalt leicht mithilfe der Zerlegung eines Quaders herleiten. Wie du oben gesehen hast, besteht ein Quader aus 6 Rechtecken:

  • einer Deckfläche D
  • einer gleich großen Grundfläche G
  • zwei gleich großen Seitenflächen
  • einer Vorderseite V
  • einer Rückseite R mit ebenfalls der gleichen Größe

Oberflächeninhalt Quader Netz eines Quaders mit Flächenbeschriftung StudySmarterAbbildung 2: Netz eines Quaders mit Flächenbeschriftung

Diese Art von Darstellung einer geometrischen Figur (zwei-dimensionales aufklappen) wird als Netz einer Figur bezeichnet.

Es wurde auch bereits erwähnt, dass sich der Oberflächeninhalt einer geometrischen Figur aus den Flächeninhalten der Einzelteile zusammensetzt. Da der Quader aus Rechtecken besteht, brauchen wir die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks. Die lautet folgendermaßen:

Diese Formel muss für die einzelnen Flächen nur angepasst werden, je nachdem, von welchen Seiten sie gebildet werden. Die Seite a ist dabei die Länge, während Seite b die Breite und Seite c die Höhe darstellt.

Oberflächeninhalt Quader beschriftetes Quadernetz StudySmarterAbbildung 3: Netz eines Quaders mit Beschriftung

1. Die Vorderseite wird von den Seiten a und c eingeschlossen. Deshalb gilt für V:

2. Die Rückseite wird ebenfalls von den Seiten a und c eingeschlossen. Deshalb gilt für R:

3. Die Grundfläche wird von den Seiten a und b eingeschlossen. Deshalb gilt für G:

4. Die Deckfläche wird auch von den Seiten a und b eingeschlossen. Deshalb gilt für D:

5. Die Seitenflächen werden von den Seiten b und c eingeschlossen. Deshalb gilt für :

6. Die andere Seitenfläche wird genauso von den Seiten b und c eingeschlossen. Deshalb gilt für :

Aus diesen Formeln bildet sich folgende Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders:

Oberflächeninhalt Quader Formel Oberflächeninhalt Quader StudySmarter

Da es immer zwei gleich große Seiten gibt und somit auch die Formel für den Flächeninhalt gleich ist, reicht es aus, die 3 unterschiedlichen Formeln zu addieren und die einzelnen Summanden zu verdoppeln.

Oberflächeninhalt Quader Formel Oberflächeninhalt Quader StudySmarter

Oberflächeninhalt Quader: Formel

Dieser Abschnitt dreht sich nochmal um die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders und ihre Darstellungsformen. Außerdem ist unten noch ein konkretes Beispiel dazu aufgeführt.

Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts O eines Quaders lautet:

Oberflächeninhalt Quader Formel Oberflächeninhalt Quader StudySmarter

Aus dieser Formel kann die zwei ausgeklammert werden. Daraus ergibt sich die gekürzte Formel:

Oberflächeninhalt Quader Formel Oberflächeninhalt Quader StudySmarter

Sonderfall: Oberflächeninhalt eines Würfels berechnen

Ein Würfel ist ein Sonderfall des Quaders, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Dadurch gilt:

In einer Zeichnung kannst du gut erkennen, dass alle Seiten die gleiche Länge besitzen.

Oberflächeninhalt Quader Oberflächeninhalt Würfel StudySmarterAbbildung 4: Oberflächeninhalt Würfel

Um den Oberflächeninhalt eines Würfels zu berechnen, muss man genau diese Beziehung berücksichtigen. Du kannst also einfach alle Seiten mit a bezeichnen, da sie alle gleich lang sind.

Wie sagt man so schön? Jeder Würfel ist ein Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Würfel.

Für den Flächeninhalt eines Quadrats (Grundfläche des Würfels) gilt also:

Dadurch, dass alle Seiten gleich lang sind, sind auch alle Flächen gleich groß. Wie oben erwähnt, besteht ein Quader aus 6 Rechtecken. Der Flächeninhalt des Quadrats muss also einfach versechsfacht werden, um den Oberflächeninhalt eines Würfels zu erhalten.

Für den Oberflächeninhalt eines Würfels gilt also:

Oberflächeninhalt Quader Formel Oberflächeninhalt Würfel StudySmarter

Wenn du mehr zum Thema Oberflächeninhalt eines Würfels wissen willst, dann schau dir doch unseren Artikel zu dem Thema an.

In einem Beispiel sieht die Berechnung des Oberflächeninhaltes eines Quaders so aus:

Aufgabe 1

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Quaders mit den Seiten

Lösung

Als Erstes musst du dir die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts O eines Quaders aufschreiben.

Als Nächstes kannst du die oben gegebenen Werte in die Formel einsetzen.

Zum Schluss kannst du jetzt noch das Ergebnis ausrechnen. Achte darauf, die richtige Einheit zu wählen.

Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt .

Mantelfläche Quader: Berechnung

Was du vielleicht noch nicht weißt ist, dass Quader auch eine Mantelfläche haben.

Die Mantelfläche eines Quaders setzt sich aus den vier seitlichen Rechtecken zusammen und wird in Formeln mit dem Großbuchstaben M abgekürzt. Die Deck- und Grundfläche D und G zusammen mit der Mantelfläche M ergeben den Oberflächeninhalt O.

Da die Mantelfläche M, wie der Oberflächeninhalt auch, sich aus der Summe der Flächeninhalte der Rechtecke zusammensetzt, wird sie in der gleichen Einheit wie der Oberflächeninhalt angegeben.

In einer Abbildung sieht die Mantelfläche M dann so aus:

Oberflächeninhalt Quader Mantelfläche StudySmarterAbbildung 5: Netz der Mantelfläche eines Quaders

Da die Mantelfläche bis auf Grund- und Deckfläche identisch mit dem Oberflächeninhalt eines Quaders ist, entspricht auch die Formel bis auf diese beiden Flächen der Formel des Oberflächeninhalts.

Die Formel für die Mantelfläche M lautet:

Oberflächeninhalt Quader Formel Mantelfläche StudySmarter

Wie oben auch schon, können gleich große Flächen einfach verdoppelt in die Formel mit eingehen:

Oberflächeninhalt Quader Formel Mantelfläche StudySmarter

Auch bei dieser Formel kann die 2 wieder nach vorne gestellt werden:

Oberflächeninhalt Quader Formel Mantelfläche StudySmarter

Die Seite a ist dabei die Länge, während die Seite b die Breite und die Seite c die Höhe ist.

Beziehung zwischen Mantelfläche M und Oberflächeninhalt O

Wie gerade schon kurz erwähnt, hängen die Mantelfläche und der Oberflächeninhalt sehr nah zusammen. Die Hauptbeziehung besteht darin, dass sich der Oberflächeninhalt O aus der Mantelfläche M und der Grund- und Deckfläche G und D zusammensetzt.

Für den Oberflächeninhalt O gilt die allgemeine Formel:

Oberflächeninhalt Quader allgemeine Formel Oberflächeninhalt Quader StudySmarter

Aus dieser Beziehung kann dann auch wieder die Formel für den Oberflächeninhalt entstehen. Dafür müssen wir M, G und D mit ihren allgemeinen Formeln ersetzten.

Oberflächeninhalt Quader Formel Mantelfläche und Oberflächeninhalt StudySmarter

Wenn du jetzt die Flächeninhalte durch die Formel ersetzt, die wir oben für sie festgehalten haben und diese zusammenfassen, dann erhalten wir wieder die Formel des Oberflächeninhalts O eines Quaders.

Mantelfläche Quader: Aufgabe

In einem Beispiel sieht das dann so aus:

Aufgabe 2

Berechne die Mantelfläche M eines Quaders mit .

Lösung

Zuerst musst du die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Quaders aufschreiben.

Als Nächstes kannst du die bekannten Werte in die Formel einsetzen.

Zum Schluss kannst du das Ergebnis ausrechnen.

Die Mantelfläche des Zylinders ist groß.

Oberflächeninhalt Quader: Übungsaufgaben

In den nächsten Aufgaben kannst du dein Wissen testen!

Aufgabe 3

1. Berechne den Oberflächeninhalt O eines Kartons mit den Seitenlängen . Gib dein Ergebnis in dm² an.

Oberflächeninhalt Quader Paket StudySmarter

2. Berechne die Höhe h einer Garage mit den Seiten und dem Oberflächeninhalt .

Oberflächeninhalt Quader Garage StudySmarter

3. Berechne die Seitenfläche eines Schrankes mit der Mantelfläche und dem Flächeninhalt der Vorderseite .

Oberflächeninhalt Quader Schrank StudySmarter

Lösung

1. Als Erstes schreibst du dir die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders auf.

Dann setzt du die oben gegebenen Werte in die Formel ein.

Jetzt kannst du das Ergebnis ausrechnen.

Du bist jetzt aber noch nicht fertig, da du das Ergebnis nicht in cm², sondern in dm² angeben sollst. Dafür musst du wissen, wie viel ein Quadratzentimeter in Quadratdezimetern ist. Es gilt:

Jetzt kannst du mit dem Dreisatz dein Ergebnis in Quadratdezimeter umwandeln.

Falls du nicht mehr weißt, wie der Dreisatz funktioniert, lese dir doch unseren Artikel zu dem Thema durch.

Der Quader hat einen Oberflächeninhalt von .

2. Diese Aufgabe scheint auf den ersten Blick verwirrend, doch es ist immer ein guter Start, die passende Formel aufzuschreiben. Da die Garage die Form eines Quaders hat und sonst, bis auf das fehlende c alle Angaben für die Oberflächenformel vorhanden sind, solltest du die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Quaders aufschreiben.

Jetzt ist in der Aufgabenstellung nach der Höhe gefragt. Erinnerst du dich an die Benennung der Seiten oben? Die Seite c ist immer die Höhe des Quaders. Es gilt also:

Du hast an dieser Stelle zwei Möglichkeiten: Entweder du setzt jetzt die Werte ein und stellst dann die Formel nach h um, oder du stellst jetzt erst die Formel nach h um und setzt dann die Werte ein. Meistens ist es einfacher und übersichtlicher, wenn du erst die Formel umstellst und dann einsetzt. In diesem Fall geht es jedoch schneller, wenn wir erst einsetzten.

Jetzt kannst du, soweit es geht, erstmal rechnen und auch schonmal die Klammer auflösen.

Im nächsten Schritt kannst du die 210 m² auf die andere Seite holen und dann die restlichen Werte rechts zusammenfassen, da sie jeweils aus einer Zahl und der gleichen Variable bestehen.

Jetzt hast du es fast geschafft. Als Nächstes kannst du die auf die andere Seite holen und dann musst du nur noch das Ergebnis ausrechnen.

Die Garage ist also hoch.

3. Für diese Aufgabe musst du die Verhältnisse der verschiedenen Seiten im Quader zueinander kennen. Gefragt ist nach dem Flächeninhalt einer Seitenfläche .Dadurch, dass die Seitenflächen gleich groß sind, ist indirekt auch die Größe der anderen Seitenfläche gesucht.

Du kennst den Flächeninhalt der Vorderseite und dadurch auch den Flächeninhalt der Rückseite , da die Vorder- und Rückseite sich gegenüber liegen und alle gegenüberliegenden Seiten gleich groß sind. Es gilt also:

Du kennst die Mantelfläche und alle anderen Flächen, die man für die Berechnung der Mantelfläche eines Quader braucht, da sie entweder gegeben oder gesucht sind. Deshalb kannst du diese Formel aufschreiben.

Du kannst diese Formel auch gleich so aufschreiben, dass die Beziehungen der Seiten im Quader zum Vorschein kommen.

Jetzt kannst du die Formel nach umschreiben, da genau diese Seiten gesucht sind.

Jetzt kannst du die bekannten Werte einsetzen.

Zum Schluss kannst du jetzt das Ergebnis ausrechnen. Achte dabei immer darauf, dass Punkt vor Strich gilt.

Die Seitenflächen sind jeweils groß.

Oberflächeninhalt Quader - Das Wichtigste

  • Der Oberflächeninhalt besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur.
  • Der Oberflächeninhalt wird mit dem Großbuchstaben O abgekürzt.
  • Der Oberflächeninhalt wird normalerweise in Quadratmillimetern (mm²), Quadratzentimetern (cm²), Quadratdezimetern (dm²), Quadratmetern (m²) oder Quadratkilometern (km²) angegeben.
  • Für den Oberflächeninhalt O eines Quaders gilt:
  • Für die Mantelfläche M eines Quaders gilt:
  • Allgemein gilt:

Oberflächeninhalt Quader

Den Oberflächeninhalt O eines Quaders kann mit folgender Formel berechnen:


O = 2 · (a · c + a · b + b · c)


Die Seite a ist dabei die Länge, während Seite b die Breite und Seite c die Höhe ist.

Der Oberflächeninhalt O eines Quaders wird mit folgender Formel berechnet:


O = 2 · (a · c + a · b + b · c)


Die Seite a ist dabei die Länge, während Seite b die Breite und Seite c die Höhe ist.

Wie sagt man so schön? Jeder Würfel ist ein Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Würfel.

Also ja, Würfel sind immer Quader. Sie sind ein Spezialfall, bei dem alle Seiten die gleiche Länge haben. 

Ihr Oberflächeninhalt O kann mit folgender Formel berechnet werden:


O = 6 · a2


a steht dabei für eine beliebige Seite des Würfels, da ja alle gleich lang sind.

Finales Oberflächeninhalt Quader Quiz

Frage

Was ist der Oberflächeninhalt?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Oberflächeninhalt einer geometrischen Figur ist die gesamte Fläche, welche eine Figur bildet. Der Oberflächeninhalt besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur.

Frage anzeigen

Frage

In wie viele und welche Teile kann ein Quader zerlegt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Quader kann ich 6 Rechtecke zerlegt werden.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Besonderheit der Seiten in einem Quader?

Antwort anzeigen

Antwort

Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich groß

Frage anzeigen

Frage

Wie erhält man den Oberflächeninhalt O eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort

Den Oberflächeninhalt O eines Quaders erhält man, indem man die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke addiert.

Frage anzeigen

Frage

In welcher Einheit wird der Oberflächeninhalt angegeben?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Oberflächeninhalt wird normalerweise in Quadratmillimetern (mm²), Quadratzentimetern (cm²), Quadratdezimetern (dm²), Quadratmetern (m²) oder Quadratkilometern (km²) angegeben.

Frage anzeigen

Frage

Welche Flächen in einem Quader sind gleich groß?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Grundfläche und die Deckfläche sind gleich groß.

Die Vorderseite und die Rückseite sind gleich groß.

Die Seitenflächen sind gleich groß.

Frage anzeigen

Frage

Welche Seiten sind a, b und c in einem Quader?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Seite a ist die Länge, während Seite b die Breite und Seite c die Höhe ist.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Quaders mit den Seiten a = 4 cm, b = 6 cm und c = 3 cm.


Antwort anzeigen

Antwort

Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt 108 cm².

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Mantelfläche eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mantelfläche eines Quaders setzte sich aus den vier großen Rechtecken, der sogenannten Mantelfläche zusammen.

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Mantelfläche M eines Quaders mit a = 5 m, b = 2 m und c = 7 m.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mantelfläche des Zylinders ist 90 m² groß.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Kartons mit den Seitenlängen a = 10 cm, b = 20 cm und c = 5 cm.


Antwort anzeigen

Antwort

Der Quader hat einen Oberflächeninhalt von 700 cm².


Frage anzeigen
60%

der Nutzer schaffen das Oberflächeninhalt Quader Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.