Jana und Tim treffen sich jeden Morgen an der gleichen Stelle, um zusammen zur Schule zu laufen. Sie haben sich extra einen Treffpunkt ausgesucht, der gleich weit von beiden entfernt ist.
Abbildung 1: Janas und Tims Treffpunkt
Weil sie sich immer am gleichen Punkt treffen, fragen Jana und Tim sich, wo denn dieser Punkt genau liegt. Sie zeichnen ihre Strecke und den gemeinsamen Treffpunkt in ein Koordinatensystem ein.
Um die Koordinaten dieses Punktes zu berechnen, gibt es eine Formel zur Berechnung des Mitttelpunktes einer Strecke. Die Herleitung dieser Formel und ihre Anwendung erfährst Du in dieser Erklärung!
Mittelpunkt zweier Punkte
Wie Du siehst, werden Janas und Tims Startpunkte durch Punkte in einem Koordinatensystem definiert. Verbindest Du diese zwei Punkte, erhältst Du eine Strecke. Der Treffpunkt ist ein Punkt auf dieser Strecke. Die Besonderheit an diesem Treffpunkt ist: Er ist der Mittelpunkt der Strecke.
Durch den Mittelpunkt einer Strecke wird die Strecke in zwei gleich lange Streckenabschnitte unterteilt.
Deshalb laufen sowohl Jana als auch Tim die gleiche Wegstrecke, um an den Treffpunkt zu gelangen. Und wie können die beiden jetzt die Lage dieses Treffpunkts im Koordinatensystems ermitteln?
Mittelpunkt einer Strecke – Vektoren
In einem Koordinatensystem kannst Du mit Vektoren arbeiten. Mithilfe der Vektoren kann nämlich die Herleitung zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke gezeigt werden.
Für die Herleitung der Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke benutzt Du den Ortsvektor der einzelnen Punkte. Der Ortsvektor ist ein Vektor, der seinen Anfangspunkt im Koordinatenursprung hat.
Abbildung 2: Ortsvektor
Dabei entspricht der Ortsvektor den Koordinaten vom Punkt P:
Im Raum sieht der Ortsvektor von Punkt P folgendermaßen aus:
Dieses Thema kannst Du gerne in dem Artikel über Ortsvektor nochmal genauer nachlesen!
Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Herleitung
Wenn eine Strecke mit den Begrenzungspunkten A und B vorliegt, kann die Lage der beiden Punkte auch durch ihre Ortsvektoren und beschrieben werden. Liegt ein Mittelpunkt M vor, so kann er auch durch seinen Ortsvektor beschrieben werden.
Abbildung 3: Herleitung der Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke
Der vektorielle Weg zum Punkt M kann nicht nur durch den Ortsvektor beschrieben werden, sondern auch durch die Vektoraddition von Vektor und der Hälfte der Strecke , also dem Vektor von Punkt A zu Punkt M. Das sieht dann folgendermaßen aus:
Mittelpunkt einer Strecke – Vektoren Formel
Die Herleitung zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke hast Du ja jetzt gesehen. Und wie sieht jetzt die allgemeine Formel für die Berechnung des Mittelpunkts M aus?
Der Weg von Punkt A zum Mittelpunkt M lässt sich dann ebenfalls durch die Formel beschreiben. Das sieht dann so aus:
Das Ganze kannst Du ausmultiplizieren:
Und dann zusammenfassen:
Die Formel ist die Mittelpunktgleichung zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke.
Die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke und die Herleitung davon hast Du also jetzt vorliegen. Und wie werden die Koordinaten eines Mittelpunkts einer Strecke berechnet?
Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Koordinaten
Nimm an, Du hast eine Strecke vorliegen. Diese Strecke hat zwei Begrenzungspunkte A und B mit den Koordinaten und . Jetzt sollst Du die Koordinaten des Mittelpunktes M berechnen.
Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke – Formel
Die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke hast Du oben schon vorliegen. Also setzt Du die Koordinaten in die Formel ein:
Wie oben beschrieben, stellen die Variablen und die Ortsvektoren der Begrenzungspunkte der Strecke dar. Da der Ortsvektor den Koordinaten des Punkts entspricht, kannst Du die Koordinaten der Punkte A und B direkt einsetzen und erhältst somit die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke.
Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke in der Ebene sind .
Mit dieser Formel kannst Du - wenn Du die Koordinaten der zwei Begrenzungspunkte der Strecke vorliegen hast - den Mittelpunkt dieser Strecke berechnen.
Im Raum (also in einem dreidimensionalen Koordinatensystem) sieht die Formel außerdem genauso aus, nur dass die dritte Koordinate fehlt. Diese wird so wie die ersten zwei Koordinaten auch berechnet. Der Mittelpunkt einer Strecke im dreidimensionalen Koordinatensystem wird folgendermaßen berechnet:
Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Beweis
Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke hast Du jetzt gesehen. Hier findest Du einen Beweis zu der Korrektheit dieser Formeln.
Abbildung 4: Beweis Mittelpunkt einer Strecke
Gegeben ist die Strecke mit den Begrenzungspunkten und . Die Koordinaten des Mittelpunkts M kannst Du eigentlich schon anhand der Abbildung ablesen. Der Mittelpunkt liegt bei . Zur Überprüfung kannst Du jedoch auch die oben beschriebenen Formeln anwenden:
Wie Du siehst, entspricht sowohl das Ablesen, als auch das Berechnen mit der Formel den Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke.
Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Anwendung
Für die Anwendung der Formeln kannst Du Dir Janas und Tims Schulweg nochmal anschauen.
Jana und Tim fügen die Koordinaten ihrer Startpunkte hinzu.
Abbildung 5: Janas und Tims Schulweg
Aufgabe
Berechne die Koordinaten des Treffpunkts von Jana und Tim.
Lösung
Jana und Tim haben sich diesen Treffpunkt ausgesucht, da er genau in der Mitte von der Strecke liegt und somit beide die gleiche Wegstrecke laufen. Das bedeutet, der Treffpunkt entspricht dem Mittelpunkt der Strecke. Also setzt Du die Koordinaten von den jeweiligen Startpunkten in die Formeln ein:
Davon berechnest Du das Ergebnis:
Der Treffpunkt der Beiden liegt bei .
Auch für den Raum kannst Du diese Formel anwenden.
Nimm an Du hast eine Strecke mit den Koordinaten und in einem dreidimensionalen Koordinatensystem vorliegen und sollst den Mittelpunkt M berechnen.
Rechnung:
Wie Du die Formel benutzt, hast Du in der Anwendung gesehen. Jetzt bist Du dran mit Rechnen!
Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Aufgaben
Solltest Du nicht mehr weiterkommen oder an einer Stelle hängen, dann scroll gerne hoch und schau Dir die Formeln nochmal an!
Aufgabe 1
Gegeben ist eine Strecke mit den Koordinaten und . Berechne den Mittelpunkt der Strecke.
Lösung
Setze die Koordinaten der Punkte in die Formel ein:
Berechne die Koordinaten des Punkts M:
Der Mittelpunkt der Strecke liegt bei .
Abbildung 6: Mittelpunkt M
Aufgabe 2
Gegeben ist die Strecke mit den Koordinaten und . Berechne den Mittelpunkt der Strecke und zeichne sie in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
Lösung
Setze die Koordinaten der Punkte in die Formel ein:
Berechne die Koordinaten des Punkts M:
Der Mittelpunkt der Strecke liegt bei .
Abbildung 7: Mittelpunkt M
Zusammenfassend kannst Du also die Formel für jede Strecke verwenden, wenn die Koordinaten der beiden Begrenzungspunkte bekannt sind.
Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Das Wichtigste
- Ein Mittelpunkt einer Strecke teilt die Strecke in zwei gleichgroße Abschnitte
- Zur Herleitung der Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke benutzt Du die Ortsvektoren der einzelnen Punkte
- Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke in der Ebene berechnest Du mit der Formel
- Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke im Raum berechnest Du mit der Formel
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