Mittelpunkt einer Strecke berechnen: Einfach erklärt & Formel

Inhaltsangabe

Mittelpunkt einer Strecke berechnen Mittelpunkt zweier Punkte StudySmarter Abbildung 1: Janas und Tims Treffpunkt

Weil sie sich immer am gleichen Punkt treffen, fragen Jana und Tim sich, wo denn dieser Punkt genau liegt. Sie zeichnen ihre Strecke und den gemeinsamen Treffpunkt in ein Koordinatensystem ein.

Um die Koordinaten dieses Punktes zu berechnen, gibt es eine Formel zur Berechnung des Mitttelpunktes einer Strecke. Die Herleitung dieser Formel und ihre Anwendung erfährst Du in dieser Erklärung!

Mittelpunkt zweier Punkte

Wie Du siehst, werden Janas und Tims Startpunkte durch Punkte in einem Koordinatensystem definiert. Verbindest Du diese zwei Punkte, erhältst Du eine Strecke. Der Treffpunkt ist ein Punkt auf dieser Strecke. Die Besonderheit an diesem Treffpunkt ist: Er ist der Mittelpunkt der Strecke.

Durch den Mittelpunkt einer Strecke wird die Strecke in zwei gleich lange Streckenabschnitte unterteilt.

Deshalb laufen sowohl Jana als auch Tim die gleiche Wegstrecke, um an den Treffpunkt zu gelangen. Und wie können die beiden jetzt die Lage dieses Treffpunkts im Koordinatensystems ermitteln?

Mittelpunkt einer Strecke – Vektoren

In einem Koordinatensystem kannst Du mit Vektoren arbeiten. Mithilfe der Vektoren kann nämlich die Herleitung zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke gezeigt werden.

Für die Herleitung der Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke benutzt Du den Ortsvektor der einzelnen Punkte. Der Ortsvektor ist ein Vektor, der seinen Anfangspunkt im Koordinatenursprung hat.

Mittelpunkt einer Strecke berechnen Mittelpunkt einer Strecke Vektoren Beweis StudySmarter Abbildung 2: Ortsvektor

Dabei entspricht der Ortsvektor den Koordinaten vom Punkt P:

$\vec{O P} = (\begin{matrix} p_{1} - 0 \\ p_{2} - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \end{matrix})$

Im Raum sieht der Ortsvektor von Punkt P folgendermaßen aus:

$\vec{O P} = (\begin{matrix} p_{1} - 0 \\ p_{2} - 0 \\ p_{3} - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})$

Dieses Thema kannst Du gerne in dem Artikel über Ortsvektor nochmal genauer nachlesen!

Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Herleitung

Wenn eine Strecke mit den Begrenzungspunkten A und B vorliegt, kann die Lage der beiden Punkte auch durch ihre Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beschrieben werden. Liegt ein Mittelpunkt M vor, so kann er auch durch seinen Ortsvektor $\vec{m}$ beschrieben werden.

Mittelpunkt einer Strecke berechnen Mittelpunkt einer Strecke berechnen Herleitung StudySmarter Abbildung 3: Herleitung der Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke

Der vektorielle Weg zum Punkt M kann nicht nur durch den Ortsvektor $\vec{m}$ beschrieben werden, sondern auch durch die Vektoraddition von Vektor $\vec{a}$ und der Hälfte der Strecke $A B$ , also dem Vektor von Punkt A zu Punkt M. Das sieht dann folgendermaßen aus:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \vec{A B}$

Mittelpunkt einer Strecke – Vektoren Formel

Die Herleitung zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke hast Du ja jetzt gesehen. Und wie sieht jetzt die allgemeine Formel für die Berechnung des Mittelpunkts M aus?

Der Weg von Punkt A zum Mittelpunkt M lässt sich dann ebenfalls durch die Formel $\frac{1}{2} \cdot (\vec{b} - \vec{a})$ beschreiben. Das sieht dann so aus:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot (\vec{b} - \vec{a})$

Das Ganze kannst Du ausmultiplizieren:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2} \cdot (- \vec{a})$

Möchtest Du eine ausführliche Erklärung zum Ausmultiplizieren von Termen? Dann schau gerne in dem Artikel Ausklammern und Ausmultiplizieren vorbei!

Und dann zusammenfassen:

$\begin{array}{rcl} \vec{m} & = & \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \vec{b} - \frac{1}{2} \cdot \vec{a} \\ \vec{m} & = & \frac{1}{2} \cdot \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \vec{b} \\ \vec{m} & = & \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \end{array}$

Die Formel $\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ ist die Mittelpunktgleichung zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke.

Die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke und die Herleitung davon hast Du also jetzt vorliegen. Und wie werden die Koordinaten eines Mittelpunkts einer Strecke berechnet?

Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Koordinaten

Nimm an, Du hast eine Strecke vorliegen. Diese Strecke hat zwei Begrenzungspunkte A und B mit den Koordinaten $A (x_{1} | y_{1})$ und $B (x_{2} | y_{2})$ . Jetzt sollst Du die Koordinaten des Mittelpunktes M berechnen.

Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke – Formel

Die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke hast Du oben schon vorliegen. Also setzt Du die Koordinaten in die Formel ein:

$\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}) + & (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \\ \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \end{matrix})$

Wie oben beschrieben, stellen die Variablen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ die Ortsvektoren der Begrenzungspunkte der Strecke dar. Da der Ortsvektor den Koordinaten des Punkts entspricht, kannst Du die Koordinaten der Punkte A und B direkt einsetzen und erhältst somit die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke.

Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke in der Ebene sind $M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ .

Mit dieser Formel kannst Du - wenn Du die Koordinaten der zwei Begrenzungspunkte der Strecke vorliegen hast - den Mittelpunkt dieser Strecke berechnen.

Im Raum (also in einem dreidimensionalen Koordinatensystem) sieht die Formel außerdem genauso aus, nur dass die dritte Koordinate fehlt. Diese wird so wie die ersten zwei Koordinaten auch berechnet. Der Mittelpunkt einer Strecke im dreidimensionalen Koordinatensystem wird folgendermaßen berechnet:

$M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \frac{z_{1} + z_{2}}{2})$

Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Beweis

Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke hast Du jetzt gesehen. Hier findest Du einen Beweis zu der Korrektheit dieser Formeln.

Mittelpunkt einer Strecke berechnen Mittelpunkt einer Strecke Vektoren Beweis StudySmarter Abbildung 4: Beweis Mittelpunkt einer Strecke

Gegeben ist die Strecke $A B$ mit den Begrenzungspunkten $A (2 | 1)$ und $B (6 | 5)$ . Die Koordinaten des Mittelpunkts M kannst Du eigentlich schon anhand der Abbildung ablesen. Der Mittelpunkt liegt bei $M (4 | 3)$ . Zur Überprüfung kannst Du jedoch auch die oben beschriebenen Formeln anwenden:

$M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} | \frac{y_{1} + y_{2}}{2}) M (\frac{2 + 6}{2} | \frac{1 + 5}{2}) = M (\frac{8}{2} | \frac{6}{2}) = M (4 | 3)$

Wie Du siehst, entspricht sowohl das Ablesen, als auch das Berechnen mit der Formel den Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke.

Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Anwendung

Für die Anwendung der Formeln kannst Du Dir Janas und Tims Schulweg nochmal anschauen.

Jana und Tim fügen die Koordinaten ihrer Startpunkte hinzu.

Mittelpunkt einer Strecke berechnen Mittelpunkt einer Strecke berechnen Koordinaten StudySmarter Abbildung 5: Janas und Tims Schulweg

Aufgabe

Berechne die Koordinaten des Treffpunkts von Jana und Tim.

Lösung

Jana und Tim haben sich diesen Treffpunkt ausgesucht, da er genau in der Mitte von der Strecke liegt und somit beide die gleiche Wegstrecke laufen. Das bedeutet, der Treffpunkt entspricht dem Mittelpunkt der Strecke. Also setzt Du die Koordinaten von den jeweiligen Startpunkten in die Formeln ein:

$M (\frac{2 + 4}{2} \frac{4 + 1}{2})$

Davon berechnest Du das Ergebnis:

$M (\frac{6}{2} \frac{5}{2}) = (3 | 2, 5)$

Der Treffpunkt der Beiden liegt bei $M (3 | 2, 5)$ .

Auch für den Raum kannst Du diese Formel anwenden.

Nimm an Du hast eine Strecke mit den Koordinaten $A (3 | 4 | 2)$ und $B (- 2 | 1 | 5)$ in einem dreidimensionalen Koordinatensystem vorliegen und sollst den Mittelpunkt M berechnen.

Rechnung:

$M (\frac{3 + (- 2)}{2} \frac{4 + 1}{2} \frac{2 + 5}{2}) = (\frac{1}{2} \frac{5}{2} \frac{7}{2}) = (0, 5 | 2, 5 | 3, 5)$

Wie Du die Formel benutzt, hast Du in der Anwendung gesehen. Jetzt bist Du dran mit Rechnen!

Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Aufgaben

Solltest Du nicht mehr weiterkommen oder an einer Stelle hängen, dann scroll gerne hoch und schau Dir die Formeln nochmal an!

Aufgabe 1

Gegeben ist eine Strecke $C D$ mit den Koordinaten $C (2 | 6)$ und $D (10 | 3)$ . Berechne den Mittelpunkt der Strecke.

Lösung

Setze die Koordinaten der Punkte in die Formel ein:

$M (\frac{2 + 10}{2} \frac{6 + 3}{2})$

Berechne die Koordinaten des Punkts M:

$M (\frac{12}{2} \frac{9}{2}) = (6 | 4, 5)$

Der Mittelpunkt der Strecke $C D$ liegt bei $M (6 | 4, 5)$ .

Mittelpunkt einer Strecke berechnen Mittelpunkt einer Strecke berechnen Koordinaten StudySmarter Abbildung 6: Mittelpunkt M

Aufgabe 2

Gegeben ist die Strecke $E F$ mit den Koordinaten $E (- 7 | 1)$ und $F (4 | 8)$ . Berechne den Mittelpunkt der Strecke und zeichne sie in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

Lösung

Setze die Koordinaten der Punkte in die Formel ein:

$M (\frac{- 7 + 4}{2} \frac{1 + 8}{2})$

Berechne die Koordinaten des Punkts M:

$M (\frac{- 3}{2} \frac{9}{2}) = (- 1, 5 | 4, 5)$

Der Mittelpunkt der Strecke $E F$ liegt bei $M (- 1, 5 | 4, 5)$ .

Mittelpunkt einer Strecke berechnen Mittelpunkt einer Strecke berechnen Koordinaten StudySmarter Abbildung 7: Mittelpunkt M

Zusammenfassend kannst Du also die Formel für jede Strecke verwenden, wenn die Koordinaten der beiden Begrenzungspunkte bekannt sind.

Mittelpunkt einer Strecke berechnen – Das Wichtigste

Ein Mittelpunkt einer Strecke teilt die Strecke in zwei gleichgroße Abschnitte
Zur Herleitung der Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke benutzt Du die Ortsvektoren der einzelnen Punkte
Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke in der Ebene berechnest Du mit der Formel $M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$
Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke im Raum berechnest Du mit der Formel $M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \frac{z_{1} + z_{2}}{2})$

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Um den Mittelpunkt zu berechnen, müssen die jeweiligen Koordinaten der Punkte miteinander addiert und durch 3 geteilt werden.

Falsch.

Der Mittelpunkt unterteilt eine Strecke in drei gleich große Abschnitte.

Falsch.

Was ist der Mittelpunkt einer Strecke?

Der Mittelpunkt unterteilt eine Strecke in zwei gleich große Streckenabschnitte.

Um den Mittelpunkt einer Strecke im zweidimensionalen Koordinatensystem zu berechnen, müssen die jeweiligen Koordinaten der Begrenzungspunkte addiert und durch 2 geteilt werden.

Wahr.

Der Ortsvektor wird bei der Herleitung der Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke benötigt.

Wahr.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Mittelpunkt einer Strecke berechnen

Wie berechne ich den Mittelpunkt einer Strecke?

Um den Mittelpunkt einer Strecke zu berechnen, brauchst Du die Koordinaten der zwei Begrenzungspunkte. Bei der Berechnung der Koordinaten des Mittelpunkts addierst Du jeweils die x- und die y-Koordinaten und teilst sie durch 2.

Was sind die Seitenmittelpunkte?

Seitenmittelpunkte sind die Mittelpunkte der Seiten eines Vielecks.

Was ist ein Mittelpunkt im Koordinatensystem?

Wenn eine Strecke mit zwei Begrenzungspunkten in einem Koordinatensystem vorliegt, so besitzt diese Strecke einen Mittelpunkt, der die Strecke in zwei gleichgroße Abschnitte unterteilt.

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