Abstand paralleler Ebenen

Stell Dir vor Du bist in Deinem Zimmer und möchtest wissen, wie hoch dieser Raum ist. Dann misst Du vermutlich von einem beliebigen Punkt auf dem Fußboden senkrecht nach oben bis zur Decke. Das Messergebnis ist dann der Abstand vom Boden zur Decke. 

Abstand paralleler Ebenen Abstand paralleler Ebenen

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Mathematisch kannst Du Dir nun vorstellen, dass der Fußboden in einer Ebene liegt. Parallel dazu liegt die Decke in einer zweiten Ebene. Dein gemessener Abstand ist genau der Abstand dieser parallelen Ebenen.

    Jetzt ist es leider nicht möglich, immer den Abstand zwischen zwei Ebenen zum Beispiel mit einem Maßband auszumessen. Deswegen gibt es Rechenverfahren, mit denen Du den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen berechnen kannst.

    Abstand paralleler Ebenen – Ebenengleichungen: Parameterform, Normalenform, Koordinatenform

    Bevor Du mit den Rechenverfahren zur Abstandsberechnung starten kannst, solltest Du ein paar Grundbegriffe und Rechnungen kennen. Diese werden in diesem Abschnitt kurz wiederholt. Wenn Du dich hier schon gut auskennt, kannst Du auch gleich zum nächsten Abschnitt springen.

    Aus Sicht der Mathematik ist eine Ebene eine gerade Fläche, die unbegrenzt ist. Eine Ebene ist durch drei Punkte eindeutig bestimmt. Stell Dir zum Beispiel ein Blatt Papier vor, das unendlich groß ist. Dann hast Du eine Ebene. Wenn Du jetzt drei Punkte des Blattes kennst, weißt Du genau, wie das unendliche Blatt im Raum liegt.

    Abstand paralleler Ebenen Papier Ebene StudySmarter

    Angenommen eine Ebene geht durch die Punkte A, B und C. Dann kannst Du mithilfe der Ortsvektoren dieser Punkte eine Ebenengleichung angeben. Dabei ist ein Ortsvektor der Stützvektor der Ebene. Mit den anderen Ortvektoren berechnest du die Richtungsvektoren und erhältst eine Ebenengleichung in Parameterform.

    Für eine Ebene E mit den Punkten A,B,C ist die Ebenengleichung in Parameterform

    E:x=OA + r · AB + s · AC

    Wenn Du also drei Punkte einer Ebene hast, kannst du die Ebenengleichung in Parameterform berechnen.

    Gegeben ist die Ebene E1 mit den Punkten id="2640452" role="math" A = (1|2|3), id="2640454" role="math" B=(2|2|2) und id="2640465" role="math" C=(2|3|1). Mit diesen Punkten kannst du nun eine Ebenengleichung in Parameterform aufstellen. Die Ortsvektoren sind:

    OA=123, OB=222, OC=231

    Das Berechnen der Richtungsvektoren ergibt:

    AB=2-12-22-3=10-1, AC=2-13-21-3=11-2

    Dies kannst du jetzt in die Parameterform einsetzen und erhältst:

    E1:x=123 + r · 10-1 + s · 11-2

    Die beiden Richtungsvektoren der Ebenengleichung in Parameterform müssen linear unabhängig sein.

    Eventuell ist Dir bereits aufgefallen, dass die Ebenengleichungen nicht immer so aussehen wie in diesem Beispiel. Das liegt daran, dass es noch weitere Formen der Ebenengleichungen gibt.

    Um den Abstand von parallelen Ebenen zu berechnen, benötigst Du auch die Normalenform sowie die Koordinatenform.

    Um die Normalenform einer Ebene aufzustellen, berechnest Du einen Normalenvektor. Das ist ein Vektor der senkrecht zur Ebene steht. Dazu verwendest Du das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren.

    Gegeben ist wieder die Ebene E1 wie eben. Du berechnest das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren und bestimmst so einen Normalenvektor.

    n = AB ×AC = 10-1×11-2 = 0·(-2) - (-1)·1(-1)·1 - 1·(-2)1·1 - 0·1 = 111

    Wenn du den Normalenvektor hast, kannst du die Ebenengleichung in Normalenform aufstellen.

    Für eine Ebene E mit Normalenvektor n und Stützvektor p ist die Ebenengleichung in Normalenform:

    E:[x-p]n = 0

    Mit dieser Definition kannst Du nun eine Ebenengleichung für das Beispiel aufstellen.

    Mit dem ebenen berechnetem Normalenvektor und dem Ortsvektor OA als Stützvektor lautet die Ebenengleichung der Ebene E1:

    E1:x-123111 = 0

    Von der Normalenform einer Ebenengleichung kannst du durch Ausrechnen des Skalarprodukt die Koordinatenform einer Ebenengleichung erhalten.

    Die Koordinatenform einer Ebene E ist

    E:a·x1+b·x2+c·x3=d

    Wie sieht also die Koordinatenform der Ebene aus dem Beispiel aus?

    Du berechnest das Skalarprodukt aus der Normalenform.

    x-123111 = 0x1-1x2-2x3-3111=0(x1-1)·1+(x2-2)·1+(x3-3)·1=0x1-1+x2-2+x3-3=0x1+x2+x3-6=0

    Die Koordinatenform den Ebenengleichung ist

    E1 : x1+x2+x3=6

    In der Koordinatenform sind die Faktoren vor den Koordinaten genau die Werte des Normalenvektors. Im Beispiel bestand der Normalenvektor nur aus Einsen. Deswegen stehen in der Koordinatenform keine Faktoren.

    Diese Formen der Ebenengleichungen benötigst Du, um den Abstand zwischen parallelen Ebenen zu berechnen.

    Abstand paralleler Ebenen – bestimmen

    Aber wann sind Ebenen überhaupt parallel? Und wieso wird nur der Abstand von parallelen Ebenen berechnet?

    Erinnere Dich an das Beispiel mit dem Fußboden und der Zimmerdecke aus dem Einstieg. Augenscheinlich kannst Du sagen, dass die Bodenebene und die Deckenebene parallel sind. Doch wie lässt sich das mathematisch überprüfen?

    Um zu bestimmen, ob zwei Ebenen parallel sind, benötigst du die Ebenengleichungen am besten in Normalenform oder in Koordinatenform. Dann kannst Du den Normalenvektor direkt ablesen und überprüfen, ob sie kollinear, also voneinander abhängig, sind.

    Gegeben sind die Ebenen E2 : 2·x1+4·x2+2·x3=4 und E3 : x-131121=0.

    Für die Ebene E3 steht der Normalenvektor in der Ebenengleichung. Es ist n3=121 . Für die Ebene E2 kannst Du den Normalenvektor aus den Faktoren vor den Koordinaten ablesen. Der Normalenvektor ist n2=242.

    Nun musst du überprüfen, ob die Normalenvektoren kollinear sind. Ist dies der Fall, sind die Ebenen parallel oder identisch. Im Beispiel ist n2=2·n3. Die Normalenvektoren sind also kollinear. Jetzt könnten die Ebenen noch identisch sein. Um dies zu überprüfen, kannst du zum Beispiel den Punkt (1/3/1) von E3 in die Koordinatengleichung von E2 einsetzen.

    2·1 + 4·3 + 2·1 =2 + 12 +2 = 16

    Damit der Punkt aber auch in E2 liegt, müsste die Summe aber 4 sein. Der Punkt liegt also nicht in E2. Die Ebenen sind nicht identisch, sondern parallel. Die kannst Du auch gut in Abbildung 1 sehen. Dort sind die beiden Ebenen dargestellt.

    Abstand paralleler Ebenen Lage Koordinatensystem StudySmarter

    Abbildung 2: Lage der Ebenen E und E in einem Koordinatensystem

    Du kannst also mithilfe der Normalenvektoren überprüfen, ob zwei Ebenen parallel sind.

    Aber wieso jetzt eigentlich das Ganze?

    Nur wenn zwei Ebenen parallel sind, ergibt es überhaupt Sinn, den Abstand der Ebenen zu berechnen.

    Stell Dir vor Deine Zimmerdecke ist nicht parallel zu deinem Zimmerboden, zum Beispiel, weil Du eine Dachschräge hast. An welcher Stelle misst Du dann überhaupt den Abstand? Er wäre ja überall unterschiedlich. Du könntest dann nicht sagen: "Mein Zimmer ist 2,20 m hoch". Denn es ist ja überall unterschiedlich hoch.

    Deswegen wird ein Abstand zwischen Ebenen nur dann berechnet, wenn die Ebenen parallel sind. Bevor Du also den Abstand zweier Ebenen berechnest, solltest Du die Lagebeziehung der Ebenen überprüfen.

    Abstand paralleler Ebenen – Abstand zweier paralleler Ebenen berechnen

    Benötigt wird jetzt ein Rechenweg, mit dem der Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen berechnet werden kann.

    In deinem Zimmer langt es dafür aus, von einem Punkt auf dem Boden senkrecht nach oben zu messen. Ähnlich ist es in der Mathematik.

    Für zwei parallele Ebenen E1, E2 hat jeder Punkt P der einen Ebenen den gleichen Abstand zur anderen Ebene.

    Der Abstand eines Punktes zur anderen Ebene ist gleichzeitig der Abstand der beiden Ebenen.

    Wichtig dabei zu verstehen ist, dass Du nicht zwei beliebige Punkte in den Ebenen wählen kannst und dann deren Abstand bestimmst. Das wäre so, als wenn du in deinem Zimmer nicht senkrecht nach oben misst, sondern quer zu irgendeinem anderen Punkt an der Decke.

    Deswegen kannst du dir das "Messen" mathematisch so wie in Abbildung 2 vorstellen: Du wählst einen beliebigen Punkt P1 in einer der Ebenen. Von diesem Punkt musst Du nun aber genau senkrecht zur anderen Ebene "messen". Da Du nicht einfach mit einem Geodreieck nachmessen kannst, muss dieser Abstand berechnet werden.

    Abstand paralleler Ebenen Abstand Punkte StudySmarter

    Abbildung 4: Abstand paralleler Ebenen als Abstand zwischen zwei Punkten

    Es gibt zwei unterschiedliche Möglichkeiten diesen Abstand zu berechnen: mit der Hesseschen Normalform oder mit einer Hilfsgeraden

    Abstand von Ebene zu Ebene mit der Hesseschen Normalform

    Die Hessesche Normalform ist eine Sonderform der Ebenengleichungen. Der Normalenvektor wird normiert, das bedeutet, dass seine Länge 1 ist.

    Du kannst die Hessesche Normalform analog zur Koordinatenform angegeben.

    Die Hessesche Normalform (HNF) einer Ebene E ist

    HNF E : a·x1+b·x2+c·x3+dn=0

    Dabei ist a·x1+b·x2+c·x3+d = 0 die Koordinatenform der Ebenengleichung. nist die Länge des Normalenvektors.

    Du stellst die Hessesche Normalform also auf, indem du die Koordinatengleichung einer Ebene E durch die Länge des Normalenvektors n der Ebene teilst. In diese Hessesche Normalform kannst Du jetzt einen beliebigen Punkt der anderen Ebene einsetzen und erhältst als Ergebnis den Abstand der Ebenen. Beachte dabei aber, dass der Abstand stets positiv ist und deswegen der Zähler Betragsstriche bekommt.

    Gegeben sind die Ebene E2 und E3 wie eben. E2 : 2·x1+4·x2+2·x3=4, E3:x-131121=0.

    Eine Ebene liegt bereits in Koordinatenform vor, die andere in Normalform. E2 ist in Koordinatenform, deswegen wird sie für die Hessesche Normalform verwendet.

    Der Normalenvektor der Ebene E2 ist n=242. Die Länge des Normalenvektors ist n=22+42+22=24.

    Jetzt stellst Du die Ebenengleichung so um, dass rechts die 0 steht.

    2·x1+4·x2+2·x3=4|-42·x1+4·x2+2·x3-4=0

    Diese Ebenengleichung teilst Du nun durch die Länge des Normalenvektors und erhältst die Hessesche Normalform (HNF):

    HNF E2:2·x1+4·x2+2·x3-424=0

    Jetzt wählst du einen beliebigen Punkt aus E3 aus. Dazu eignet sich gut der Punkt P aus der Normalenform, P=(1/3/1).

    Diesen setzt du in die Hessesche Normalenform ein und das Ergebnis ist der Abstand der Ebenen.

    d=2·1+4·3+2·1-424=12242,45

    Die Ebene E1 und E2 haben also einen Abstand von 2,45 Längeneinheiten.

    Abstand paralleler Ebenen berechnen mit Formel aus Koordinatenform

    Zusammengefasst berechnest Du den Abstand zweier paralleler Ebenen mit der Hesseschen Normalform so:

    1. Länge des Normalenvektors n der ersten Ebene berechnen.

    2. Hessesche Normalenform dieser Ebene aufstellen, indem du die Koordinatenform nach 0 auflöst und durch die Länge des Normalenvektors teilst

    3. Punkt P(x1|x2|x3) aus der zweiten Ebene bestimmen.

    4. Diesen Punkt in die Hessesche Normalenform einsetzen:

    d = a·x1+b·x2+c·x3+dn

    Hessesche Normalform aus Normalenform

    Eigentlich ist die Hessesche Normalform, wie es der Name schon vermuten lässt, eine Sonderform der Normalenform. Du kannst sie deswegen auch mithilfe der Normalenform aufstellen. Auch hier teilst Du die Normalform durch die Länge des Normalenvektors und es ist:

    HNF E : [x-p]nn = 0

    Lass Dich also nicht verwirren, wenn du die eine oder die andere Darstellung aus der Schule kennst. Du kannst die Hessesche Normalform sowohl aus der Koordinatenform als auch aus der Normalform aufstellen. Beide Möglichkeiten sind richtig. Welche Du wählst kann auch davon abhängen, in welcher Form die Ebenengleichung gegeben ist.

    Wenn die Ebene in Normalform gegeben ist, bietet es sich an, auch mit dieser die Hessesche Normalform aufzustellen.

    Gegeben ist wieder die Ebene E3 : x-131121=0. Diese ist in Normalform.

    Auch hier berechnest Du jetzt die Länge des Normalenvektors, der in der Normalform mit angegeben ist.

    n=12+22+12=6

    Jetzt kannst Du die Normalform durch die Länge des Normalenvektors teilen und erhältst die Hessesche Normalenform.

    HNF E3 : x-131121·16=0

    Auch hier setzt Du einen Punkt aus der anderen Ebene ein uns berechnest so den Abstand der Ebenen.

    Punkt aus Ebenengleichung bestimmen

    Um den Abstand zweier paralleler Ebene mit der Hesseschen Normalenform zu berechnen, setzt Du einen Punkt aus der zweiten Ebene ein. Wenn diese Ebene in Normalform oder Parameterform angegeben ist, kannst Du den Punkt aus der Ebenengleichung ablesen. Ist die Ebene aber in Koordinatenform gegeben, bestimmst Du zuerst einen Punkt, der in der Ebene liegt.

    Im letzten Beispiel wurde die Hessesche Normalform der Ebene E3 berechnet. Dort setzt Du jetzt einen Punkt aus der Ebene E2 ein. Diese ist aber in Koordinatenform angegeben: E2=2·x1+4·x2+2·x3=4

    Du bestimmst jetzt x1,x2,x3 so, dass die Gleichung richtig ist. Du kannst dich Fragen: "Welche Werte kann ich in die Gleichung einsetzen, sodass das Ergebnis 4 ist?" Hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten.

    Du kannst zum Beispiel festlegen, dass x1 = 0 und x3 = 0 ist. Dann bestimmst du x2.

    2 · 0 + 4 · x2 + 2 · x3 = 44 · x2 = 4x2 = 1

    Der Punkt P = (0/1/0) liegt also in der Ebene E2.

    Diesen Punkt kannst Du jetzt in die Hessesche Normalenform aus dem vorherigen Beispiel einsetzen und den Abstand der Ebenen ausrechnen. Achte auch hier auf die Betragsstriche:

    d =010-131121·16=-1-2-1121 ·16=(-1)·1+(-2)·2+(-1)·1·16=-1-4-1·16=-66 = 66 2,45

    Wenn du einen Punkt mithilfe der Koordinatenform bestimmen willst, mach es dir besonders einfach und wähle zwei Koordinaten gleich 0. Dann musst du nur die Dritte bestimmen.

    Abstand Ebene zu Ebene berechnen mit einer Hilfsgeraden mit Lotfußpunkt

    Es gibt noch eine zweite Möglichkeit, um den Abstand von parallelen Ebenen zu bestimmen. Diese verwendet nicht die Hessesche Normalform, sondern eine Hilfsgerade mit Lotfußpunkt.

    Gegeben sind zwei parallele Ebenen E1, E2. Um den Abstand dieser Ebenen zu berechnen, stellst Du eine Hilfsgerade auf, die senkrecht zu den Ebenen steht. Dazu verwendest du den Normalenvektor n1 der Ebene E1. Aus der anderen Ebene E2 wählst du einen Punkt P2 und verwendest diesen als Stützpunkt der Hilfsgeraden. Die Gerade verläuft dann also senkrecht zur Ebene und durch diesen Punkt. Deswegen wird dieser Punkt auch Lotfußpunkt genannt. Die Gerade durch den Punkt P2 kannst du in Abbildung 3 finden.

    Die Geradengleichung der Hilfsgeraden ist:

    g :x = p2 + r · n1

    Abstand paralleler Ebenen Hilfsgerade Lotfußpunkt StudySmarterAbbildung 5: Hilfsgerade g durch den Punkt P senkrecht zu den parallelen Ebenen

    Wenn Du die Hilfsgerade aufgestellt hast, berechnest Du als nächstes den Schnittpunkt dieser Hilfsgeraden mit der Ebene E1 (also mit der Ebene, die nicht den Stützpunkt der Geraden enthält).

    Gesucht ist jetzt also der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene. Dazu berechnest Du zuerst die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Hilfsgeraden, indem du die einzelnen Zeilen der Geradengleichung ausrechnest.

    g :x = p21p22p23 + r ·n11n12n13

    Dann ist x1 = p21+r·n11 , x2=p22+r·n12, x3 = p23+r·n13. Lass dich nicht von den viele Indizes verwirren. Das sieht nur so aus, da die Vektoren selber schon Indizes hatten. Aus der Schule kennst du es vielleicht mit anderen Beschriftungen.

    Diese Werte für x1, x2, x3 setzt Du nun in die Ebenengleichung der Ebene E1 ein. Am einfachsten ist dies, wenn Du die Ebenengleichung in Koordinatenform hast. Dann erhältst du die Gleichung:

    a·(p21+r·n11) + b·(p22+r·n12 ) + c·(p23+r·n13 ) + d = 0

    Die Gleichung vereinfachst Du und löst nach r auf. Dann setzt Du den Wert für r in die Geradengleichung ein und berechnest den Schnittpunkt S.

    Jetzt kennst Du den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden g mit der Ebene E1 und den Lotfußpunkt P2 der Geraden g in E2.

    Als letzten Schritt berechnest Du den Abstand der Punkte S und P2. Der Abstand dieser Punkte entspricht genau dem Abstand der beiden Ebenen.

    dE1,E2=dS,P2=SP

    Gegeben sind die Ebenen E2, E3 wie in den Beispiel zuvor: E2 : 2·x1+4·x2+2·x3=4, E3 : x-131121=0E2 ist bereits in Koordinatenform. Deswegen kannst Du sie gut verwenden, um später die Punkte der Gerade einzusetzen. Das bedeutet, Du benötigst für deine Hilfsgerade g den Normalenvektor n2 von E2 und einen Punkt aus E3.

    Den Normalenvektor kannst du aus der Ebengleichung anhand der Faktoren ablesen: n2=242. Bestimme nun einen Punkt in der Ebene 3. Hier kannst Du den Punkt P3=(1|3|1) aus der Geradengleichung verwenden. P3 ist nun der Lotfußpunkt der Geraden g und n2 der Richtungsvektor. Es ist:

    g : x = 131 + r · 242

    Gesucht ist nun der Schnittpunkt dieser Geraden g mit der Ebene E2. Dazu berechnest Du zuerst die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden g. Diese sind x1=1+2r, x2=3+4r, x3=1+2r.

    Diese Koordinaten setzt Du in die Ebenengleichung von E2 ein.

    2·(1+2r)+4·(3+4r)+2·(1+2r) = 4

    Löse die Gleichung nun nach r auf.

    2·(1+2r)+4·(3+4r)+2·(1+2r) = 42+4r+12+16r+2+4r = 416 + 24r =4| -1624r = -12| : 24r =-12

    Setze r = -12 in die Geradengleichung ein und berechne den Schnittpunkt S.

    S = 131 - 12 · 242 = 010

    Als letzten Schritt bestimmst Du nun den Abstand der Punkte S und P3. Der Abstand der Punkt entspricht genau der Länge des Verbindungsvektors.

    dS,P3=SP3=131-010=121=12+22+12=62,45

    Der Abstand der Punkte S und P3 beträgt 2,45 Längeneinheiten. Dies ist auch der Abstand der beiden Ebenen.

    Zusammengefasst kannst Du so vorgehen, um den Abstand zweier paralleler Geraden mit einer Hilfsgeraden mit Lotfußpunkt zu bestimmen:

    1. Hilfsgerade g senkrecht zur Ebene (Normalenvektor als Richtungsvektor) und durch Lotfußpunkt P in E2aufstellen
    2. Schnittpunkt S der Geraden mit der Ebene E1 berechnen
    3. Abstand der Punkte P, S bestimmen

    Jetzt kennst Du zwei Möglichkeiten, um den Abstand paralleler Ebenen zu berechnen. Ob Du die Hessesche Normalform oder die Hilfsgerade verwendest, hängt zum einen davon ab, welchen Weg Du lieber magst, zum anderen aber auch davon, ob die Aufgaben einen Weg vorgibt. Wenn kein Weg vorgegeben ist, kannst Du das wählen, was Dir leichter erscheint.

    Abstand paralleler Ebenen – Aufgaben mit Lösungen

    Mit diesen Aufgaben kannst Du üben, den Abstand zwischen parallelen Ebenen zu berechnen.

    Aufgabe 1

    Gegeben sind die beiden parallelen Ebenen E1 : x1+2x2-3x3=4 und E2:x-01024-6=0.

    a) Bestimme die Hessesche Normalform der Ebene E1.

    b) Berechne den Abstand der beiden Ebenen.

    Lösung

    a)

    Ein Normalenvektor n1 der Ebene E1 ist n1=12-3. Diesen kannst Du aus den Faktoren vor den x in der Ebenengleichung ablesen. Die Länge des Normalenvektors ist:

    n=12+22+(-3)2=14

    Die Koordinatengleichung der Ebene stellst Du jetzt so um, dass rechts vom Gleichheitszeichen die 0 steht.

    x1+2x2-3x3 = 4| -4x1+2x2-3x3-4 = 0

    Die Hessesche Normalform der Ebene E1 ist:

    E1 :x1+2x2-3x3-4 14=0

    b)

    In der Aufgabenstellung steht bereits, dass die Ebenen parallel sind. Dies brauchst du also nicht mehr zu überprüfen.

    Da in a) bereits die Hessesche Normalform berechnet wurde, ist es auf jeden Fall sinnvoll, den Abstand der Ebenen mithilfe der Hesseschen Normalform zu bestimmen und nicht mit einer Hilfsgeraden.

    In die Hessesche Normalform setzt du nun einen Punkt der Ebene E2 ein. Dazu kannst du gut den Punkt P2 aus der Ebenengleichung nehmen: P2 = (0|1|0)

    dE1,E2 =0+2·1-3·0-414=2-414=-214=2140,53

    Der Abstand der Ebenen E1 und E2 beträgt 0,53 Längeneinheiten.

    Aufgabe 2

    Gegeben sind die parallelen Ebenen E1 : 2x1-6x2-4x3+2 = 0und E2 :x1-3x2-2x3+2 =0.

    Berechne den Abstand der Ebenen mit einer Hilfsgeraden mit Lotfußpunkt.

    Lösung

    Als Erstes stellst Du die Hilfsgerade auf. Du kannst selbst entscheiden, ob ihr Lotfußpunkt in E1 oder in E2 liegen soll. Hier wird der Lotfußpunkt jetzt in E2 gewählt. Du benötigst also einen Punkt, der in E2 liegt.

    Wähle dazu zum Beispiel x1= x2 = 0 und x3 = 1. Dann hast Du den Punkt P2 = (0|0|1), der die Ebenengleichung von E2 erfüllt.

    Ein Normalenvektor der Ebene E1 ist n1 = 2-6-4. Jetzt kannst Du eine Hilfsgerade g aufstellen.

    g : x = 001 + r · 2-6-4

    Im nächsten Schritt berechnest Du den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E1.

    Für einen beliebigen Punkt auf g ist x1=2r, x2=-6r, x3=1-4r. Diese Werte setzt Du in die Ebenengleichung von E1 ein und löst nach r auf, um den Schnittpunkt zu ermitteln.

    2·2r-6·(-6r)-4·(1-4r)+2=04r+36r-4+16r+2=056r-2=0|+256r=2| :56r=128

    Diesen Wert für r setzt Du in die Geradengleichung ein und erhältst den Schnittpunkt S.

    S = 001 + 128 · 2-6-4 = 0+128·20+128·(-6)1+128·(-4) = 114-31467

    Als Letztes berechnest du den Abstand zwischen dem Lotfußpunkt P2 und dem Punkt S.

    dP2,S=P2S=114-31467-001=114-314-17=1142+-3142+-172=1140,27

    Der Abstand der beiden Ebenen E1 und E2 beträgst 0,27 Längeneinheiten.

    Abstand paralleler Ebenen – Das Wichtigste

    • Der Abstand paralleler Ebenen wird berechnet, indem du dem Abstand von einem beliebigen Punkt der einen Ebene zur andere Ebene bestimmst.
    • Du kannst den Abstand paralleler Ebenen mithilfe der Hesseschen Normalenform berechnen:
      • Stelle die Hessesche Normalform einer der beiden Ebenen auf.
      • Setze einen Punkt der anderen Eben in diese Normalform ein.
      • Es ist d = a·x1+b·x2+c·x3+dn.
    • Du kannst den Abstand aber auch mit einer Hilfsgeraden mit Lotfußpunkt bestimmen:
      • Stelle die Hilfsgerade senkrecht zu den Eben auf. Der Stützvektor (Lotfußpunkt) der Gerade ist ein Punkt der einen Ebene. Der Richungsvektor ist ein Normalenvektor der anderen Ebene.
      • Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene, in der nicht der Lotfußpunkt liegt.
      • Bestimme den Abstand des Schnittpunktes und des Lotfußpunktes.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Abstand paralleler Ebenen

    Wie berechne ich den Abstand paralleler Ebenen? 

    Den Abstand paralleler Ebenen kannst Du mit der Hesseschen Normalform oder mit einer Hilfsgeraden mit Lotfußpunkt bestimmen. In beiden Fällen berechnest Du dann den Abstand von einem Punkt zur Ebene.

    Wann sind zwei Ebenen parallel? 

    Zwei Ebenen sind parallel, wenn sie an jeder Stelle denselben Abstand zueinander haben. Sie schneiden sich nicht.

    Mathematisch kannst Du parallele Ebenen daran erkennen, dass ihre Normalenvektoren linear abhängig sind.

    Wie berechnet man ob zwei Ebenen parallel sind? 

    Um zu berechnen, ob zwei Ebenen parallel sind, kannst du ihre Normalenvektoren betrachten. Wenn diese linear Abhängig voneinander sind, sind die Ebenen entweder parallel oder identisch. Um zu bestimmen, ob sie echt parallel sind, kannst du überprüfen, ob ein beliebiger Punkt der einen Ebene in der anderen Ebene liegt. Ist dies nicht der Fall, sind die Ebenen parallel.

    Wie stelle ich parallele Ebenen auf? 

    Parallele Ebenen kannst du am besten mithilfe der Normalenvektoren aufstellen. Verwende linear abhängige Normalenvektoren. Dann sind die Ebenen parallel.

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