Jonas behauptet: "Wenn zwei Geraden nicht parallel sind, schneiden sie sich immer in einem Punkt." Hat er recht?
Leider nicht. Seine Behauptung stimmt zwar für den zweidimensionalen Raum, aber nicht für den dreidimensionalen. Hier können Geraden nicht parallel zueinander sein, sich aber trotzdem niemals schneiden. Den Abstand, den sie dabei haben, kannst Du berechnen.
Abstand Geraden – Grundlagen
Um den Abstand von Geraden in dreidimensionalen Raum berechnen zu können, solltest Du in den Bereichen
fit sein. Fall Du sie wiederholen möchtest, schau einfach mal vorbei.
Minimaler Abstand zweier Geraden
Ist der Abstand von zwei Geraden gesucht, ist damit immer der kürzeste Abstand gemeint.
Eine Gerade ist eine unendlich lange, gerade Linie, bzw. Aneinanderreihung von Punkten.
Es gibt verschiedene Lagebeziehungen zwischen Geraden:
| identisch | echt parallel | mit Schnittpunkt | windschief |
| Identisch sind zwei Geraden dann, wenn sie in jedem Punkt übereinstimmen, also aufeinanderliegen. | Echt parallele Geraden haben dieselbe Richtung und liegen in derselben Ebene, sind aber verschoben, sodass sie sich nicht berühren und immer den gleichen Abstand haben. | Geraden, die sich schneiden, liegen in derselben Ebene, haben aber nicht dieselbe Richtung. Daher schneiden sie sich zwangsläufig in einem Punkt. | Windschiefe Geraden haben weder dieselbe Richtung noch liegen sie in derselben Ebene. Sie schneiden sich deshalb nicht. |
 Abb. 1: identisch/parallel
|  Abb. 2: echt parallel |  Abb.3: mit Schnittpunkt
|  Abb. 4: windschief
|
Einen minimalen Abstand kannst Du also nur für parallele und windschiefe Geraden berechnen, denn identische Geraden haben keinen Abstand und Geraden, die sich schneiden, haben einen Abstand von 0, nämlich am Schnittpunkt.
Für die Berechnung des Abstandes von Geraden gibt es mehrere Möglichkeiten.
Diese Methoden funktionieren sowohl für parallele als auch windschiefe Geraden.
Abstand von Geraden berechnen – Formel
Eine Möglichkeit besteht in der Berechnung des Abstandes mithilfe einer Formel. Sie ist für parallele und windschiefe Geraden sehr ähnlich.
Abstandsformel paralleler, senkrechter & waagrechter Geraden
Ob zwei Geraden parallel oder windschief sind, erkennst Du daran, dass die Richtungsvektoren bei parallelen Geraden entweder gleich oder Vielfache voneinander sind. Ist das nicht der Fall, siehst Du im nächsten Kapitel, wie Du den Abstand von windschiefen Geraden berechnest. Für den Fall, dass die Richtungsvektoren in dieselbe Richtung zeigen, kannst Du folgende Formel anwenden.
Die allgemeine Formel für die Berechnung des Abstandes d zweier paralleler Geraden \begin{align}g_{1}&:\vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u}\\g_{2}&:\vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{v}\end{align}im dreidimensionalen Raum lautet:\[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}\]
Dabei sind:
- \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) Stützvektoren,
- \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) Richtungsvektoren
- und \(t\) und \(s\) Skalare, die die Länge der Richtungsvektoren bestimmen.
Statt den Buchstaben des Alphabets kannst Du für die Skalare auch griechische Buchstaben nutzen. Zum Beispiel \(\lambda\) oder \(\mu\).
Ob Du in der Formel den Richtungsvektor \(\vec{u}\) oder \(\vec{v}\) benutzt, ist egal, denn bei parallelen Geraden sind sie entweder gleich oder Vielfache voneinander. Genauso, in welcher Reihenfolge Du die Stützvektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) voneinander subtrahierst, denn durch die Betragsstriche erhältst Du immer ein positives Ergebnis.
Statt \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) kannst Du auch einen beliebigen anderen Punkt auf der Geraden wählen. Diesen erhältst Du, indem Du für den Skalar eine beliebige Zahl einsetzt und ausrechnest. Allerdings ist das unnötig, weil Du auch den Stützvektor nehmen kannst, der ja schon gegeben ist.
Berechne den Abstand der Geraden:\begin{align}a:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\\\\b:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\end{align}
Hier siehst Du auf einen Blick, dass die Richtungsvektoren gleich sind. Die Geraden sind also parallel und Du kannst die Vektoren in die Formel einsetzen.
\begin{align}d&=\frac{\left|\left(\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|\left(\begin{array}{rcl}-1\cdot1&-&1\cdot3\\1\cdot(-1)&-&1\cdot(-1)\\-1\cdot3&-&(-1)\cdot(-1)\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c}-4\\0\\-4\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\sqrt{(-4)^2+0^2+(-4)^2}}{\sqrt{(-1)^2+3^2+1^2}}\\\\&=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\approx1,71\end{align}
Der Abstand der beiden Geraden beträgt ca. \(1,71\) Längeneinheiten.
Abb. 5: Abstand paralleler Geraden mit Vektoren
Bekommst Du bei dieser Rechnung 0 heraus, dann sind die Geraden identisch.
Abstand windschiefer Geraden – Abstandsformel
Windschiefe Geraden haben nicht dieselbe Richtung, also wird die Formel von oben leicht abgewandelt.
Die allgemeine Formel für die Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden\begin{align}g_{1}&:\vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u}\\g_{2}&:\vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{v}\end{align}im dreidimensionalen Raum lautet:\[d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\]Dabei sind:
- \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) Stützvektoren,
- \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) Richtungsvektoren
- und \(t\) und \(s\) Skalare, die die Länge der Richtungsvektoren bestimmen.
Du siehst, in dieser Formel wird kein Kreuzprodukt verwendet, sondern die Differenz der Stützvektoren wird mit dem Normalenvektor \(\vec{n}\) multipliziert. Den Normalenvektor benötigst Du, weil windschiefe Geraden nicht dieselbe Richtung haben.
Den Normalenvektor \(\vec{n}\) erhätst Du, indem Du das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren bildest, also \(\vec{u}\times\vec{v}\).
Bei windschiefen Geraden kannst Du diese Formel immer dann anwenden, wenn nur der Abstand gesucht ist. Sollten ebenfalls die entsprechenden Punkte gefragt sein, kannst Du diese mit einem Lotfußpunktverfahren berechnen. Wie das geht, erfährst Du weiter unten.
Gegeben sind die Geraden:
\begin{align}a:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\\\\c:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}5\\-1\\3\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}-7\\3\\0\end{array}\right)\end{align}
Hier sind die Richtungsvektoren weder gleich, noch Vielfache voneinander. Das heißt, dass die Geraden windschief zueinander stehen und Du den Normalenvektor berechnen musst, damit Du die Formel zur Berechnung verwenden kannst.
Nun kannst Du in die Formel einsetzen und ausrechnen:
\begin{align}d&=\frac{\left|\left(\left(\begin{array}{c}5\\-1\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)\right)\cdot\left(\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-7\\3\\0\end{array}\right)\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-7\\3\\0\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c}3\\0\\3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rcl}3\cdot0&-&1\cdot3\\1\cdot(-7)&-&(-1)\cdot0\\(-1)\cdot3&-&3\cdot-7\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{rcl}3\cdot0&-&1\cdot3\\1\cdot(-7)&-&(-1)\cdot0\\(-1)\cdot3&-&3\cdot-7\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c}3\\0\\3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\-7\\18\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-3\\-7\\18\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c}-9\\0\\54\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-3\\-7\\18\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|-9+0+54\right|}{\sqrt{(-3)^2+(-7)^2+18^2}}\\\\&=\frac{45}{\sqrt{382}}=2,30\\\end{align}
Beachte, dass Du beim Skalarprodukt keine Wurzel verwenden musst, beim Betrag eines Vektors jedoch schon!
Somit beträgt der kleinste Abstand der Geraden 2,3 Längeneinheiten.
Abb. 6: Abstand windschiefer Geraden mit Vektoren
Abstand Geraden – Lotfußpunktverfahren
Eine weitere Möglichkeit der Berechnung des Abstandes zwischen zwei Geraden stellt das Lotfußpunktverfahren dar. Hier gibt es zwei Herangehensweisen.
Mit dem Lotfußpunktverfahren kannst Du nicht nur den kleinsten Abstand zweier Geraden berechnen, sondern auch die Koordinaten, an denen der Abstand am kleinsten ist. Dazu kannst Du entweder eine Hilfsebene oder einen laufenden Punkt verwenden.
Vielleicht hast Du schon gemerkt, dass dieses Verfahren für parallele Geraden keinen Sinn macht, denn der Abstand ist in jedem Punkt gleich und somit ist es überflüssig, irgendwelche Punkte zu berechnen. Das Lotfußpunktverfahren ist auch um einiges länger, als die Anwendung der Formel. Ein weiterer Grund, um dieses Verfahren nur bei windschiefen Geraden anzuwenden.
Möchtest Du den Abstand dennoch mit dem Lotfußpunktverfahren berechnen, findest Du mehr dazu in der Erklärung zum Lotfußpunktverfahren.
Abstand windschiefer Geraden mit Hilfsebene berechnen
Wenn Du das Lotfußpunktverfahren mit einer Hilfsebene anwenden möchtest, erhältst Du diese aus dem Normalenvektor der beiden gegebenen Geraden. Weiter oben wurde ja schon erklärt, wie Du diesen erhältst, nämlich aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Die Vorgehensweise zur Bestimmung des Abstandes ist folgende:
- Bestimme den Normalenvektor \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}\).
- Konstruiere eine Hilfsebene \(E:\vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{n}\).
- Berechne die Werte der Skalare.
- Berechne die Lotfußpunkte (Schnittpunkte) der Ebene mit den Geraden.
- Bestimme den Abstand der Schnittpunkte.
Genauer lässt sich das am besten an einem Beispiel erklären:
Möchtest Du nun den Abstand der windschiefen Geraden
\begin{align}\definecolor{türkies}{RGB}{0,220,180}\definecolor{blau}{RGB}{20,120,200}\definecolor{rot}{RGB}{250,50,115}\definecolor{lila}{RGB}{131,99,180}\definecolor{gelb}{RGB}{250,205,0}a:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)+s\cdot{\color{türkies}\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)}\\\\c:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}5\\-1\\3\end{array}\right)+r\cdot{\color{türkies}\left(\begin{array}{c}-7\\3\\0\end{array}\right)}\end{align}
berechnen, gehst Du folgendermaßen vor:
- Bestimme den Normalenvektor, indem Du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bildest.\begin{align}\vec{n}&={\color{türkies}\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)}\times{\color{türkies}\left(\begin{array}{c}-7\\3\\0\end{array}\right)}\\\\\vec{n}&=\left(\begin{array}{rcl}3\cdot0&-&1\cdot3\\1\cdot(-7)&-&(-1)\cdot0\\(-1)\cdot3&-&3\cdot(-7)\end{array}\right)\\\\{\color{blau}\vec{n}}&={\color{blau}\left(\begin{array}{c}-3\\-7\\18\end{array}\right)}\end{align}
- Konstruiere eine Hilfsebene. Die allgemeine Form einer Ebene ist \(E:\vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{n}\). Um eine Ebene zu erhalten, die senkrecht auf einer der beiden Geraden steht, verwendest Du eine der beiden Geraden und kombinierst sie mit dem Normalenvektor \({\color{blau}\vec{n}}\). Hier soll die Gerade \(a\) verwendet werden.\begin{align}E_a:\vec{x}&=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+{\color{blau}t\cdot\vec{n}}\\\\\Rightarrow\quad E_a:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)+{\color{blau}t\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\-7\\18\end{array}\right)}\end{align}Du kannst Dir das so vorstellen, dass Du eine der beiden Geraden durch den weiteren Vektor zu einer Fläche (der Ebene) erweiterst, die dann von der anderen Gerade geschnitten werden kann. Der eben errechnete Normalenvektor gibt dabei an, in welche Richtung die Ebene aufgespannt werden soll, damit sich die Gerade und die Ebene im nächstmöglichen Punkt treffen.
Abb. 7: Lotfußpunktverfahren mit Hilfsebene - Berechne die Skalare. Da die Ebene mit der Geraden \(a\) aufgestellt wurde, musst Du sie nun mit \(c\) gleichsetzten, um die Stelle des kleinsten Abstandes zu erhalten.\begin{align}\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\-7\\18\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}5\\-1\\3\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}-7\\3\\0\end{array}\right)\end{align}Daraus erhältst Du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen, indem Du jede Zeile als eine Gleichung schreibst. Diese kannst Du auch gleich passend umformen, damit Du das Gleichungssystem lösen kannst.\begin{align}2+s\cdot(-1)+t\cdot(-3)&=5+r\cdot(-7)\\\tag{I}2-s-3t&=5-7r&&|-2+3t&&|\cdot(-1)\\\tag{I*}s&=-3-3t+7r\\\\-1+s\cdot3+t\cdot(-7)&=-1+r\cdot3\\\tag{II}-1+3s-7t&=-1+3r&&|+1&&|:3\\\tag{II*}s-\frac{7}{3}t&=r\\\\0+s\cdot1+t\cdot18&=3+r\cdot0\\\tag{III}s+18t&=3&&|-18t\\\tag{III*}s&=3-18t\end{align}Ineinander einsetzen liefert:\begin{align}\tag{I* & II* in III*}3-18t&=-3-3t+7\cdot\left(3-18t-\frac{7}{3}t\right)\\3-18t&=-3-3t+21-\frac{427}{3}t\\3-18t&=18-\frac{436}{3}t&&|-3&&|+\frac{436}{3}t\\\frac{382}{3}t&=15\\t&=\frac{45}{382}\\\\\tag{t in III*}s&=3-18\cdot\frac{45}{382}\\{\color{rot}s}&={\color{rot}\frac{168}{191}}\\\\\tag{s & t in II*}\frac{168}{191}-\frac{7}{3}\cdot\frac{45}{382}&=r\\{\color{lila}\frac{231}{382}}&={\color{lila}r}\end{align}
- Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der Hilfsebene. Dazu setzt Du \({\color{lila}r}\) und \({\color{rot}s}\) in die jeweilige Geradengleichung ein.\begin{align}\vec{s_a}&=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)+{\color{rot}\frac{168}{191}}\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{214}{191}\\\frac{313}{191}\\\frac{168}{191}\end{array}\right)\rightarrow S_a\left(\frac{214}{191}\left|\frac{313}{191}\right|\frac{168}{191}\right)\\\\\vec{s_c}&=\left(\begin{array}{c}5\\-1\\3\end{array}\right)+{\color{lila}\frac{231}{382}}\cdot\left(\begin{array}{c}-7\\3\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{293}{382}\\\frac{311}{382}\\3\end{array}\right)\rightarrow S_c\left(\frac{293}{382}\left|\frac{311}{382}\right|3\right)\end{align}
- Bestimme den Abstand der Schnittpunkte.Danach kannst Du den Verbindungsvektor der Schnittpunkte \(S_a\) und \(S_c\) bilden:\[\overrightarrow{S_aS_c}=\vec{s_c}-\vec{s_a}=\left(\begin{array}{c}\frac{293}{382}\\\frac{311}{382}\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\frac{214}{191}\\\frac{313}{191}\\\frac{168}{191}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{135}{382}\\-\frac{315}{382}\\\frac{405}{191}\end{array}\right)\]Und die Länge mit dem Betrag des Verbindungsvektors bestimmen:\[d(a, c)=\left|\overrightarrow{S_aS_c}\right|=\sqrt{\left(-\frac{135}{382}\right)^2+\left(-\frac{315}{382}\right)^2+\left(\frac{405}{191}\right)^2}=2,30\]
Die windschiefen Geraden haben also einen Abstand von \(2,3\,\text{LE}\) zwischen den Punkten \(S_a\,(1,12|1,64|0,88)\) und \(S_c\,(0,77|0,81|3)\).
Abstand windschiefer Geraden mit laufendem Punkt berechnen
Das Verfahren mit laufenden Punkten nutzt die Tatsache, dass die kürzeste Verbindung immer im rechten Winkel auf beiden Geraden steht. Vergleichen kannst Du das damit, wenn Du über die Straße läufst. Gehst Du direkt zum anderen Bordstein, bist Du schneller auf der anderen Seite, als wenn Du schräg über die Straße läufst.
Ein laufender Punkt ist ein Punkt, der noch nicht eindeutig bestimmt ist. Er ist also variabel unter bestimmten Bedingungen. Seine eindeutige Lage ergibt sich im Verlauf der Rechnung.
Da der kürzeste Verbindungsvektor senkrecht auf den Geraden steht, ergibt er multipliziert mit dem jeweiligen Richtungsvektor 0. Mit dieser Information kannst Du Dir ein Gleichungssystem aufstellen, mit dem Du sowohl den kürzesten Abstand, als auch die Stelle des kürzesten Abstandes herausfinden kannst.
Bestimme die laufenden Punkte und stelle damit den allgemeinen Verbindungsvektor der Geraden auf.
Erstelle ein Gleichungssystem aus den Bedingungen, dass der Verbindungsvektor mal dem Richtungsvektor 0 ergibt.
Durch Auflösen des Gleichungssystems erhältst Du die Lotfußpunkte.
Mit der Differenz der Lotfußpunkte erhältst Du den Abstand.
Zum Vergleich werden hier wieder die gleichen Geraden verwendet, wie im Beispiel mit der Hilfsebene.
\begin{align}a:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\\\\c:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}5\\-1\\3\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}-7\\3\\0\end{array}\right)\end{align}
Bestimme die laufenden Punkte und stelle damit den allgemeinen Verbindungsvektor der Geraden auf.Die laufenden Punkte erhältst Du, indem Du von beiden Gleichungen jede Zeile in eine Koordinate eines Punktes umwandelst:\begin{align}a:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)\rightarrow S_a\,(2-s|-1+3s|s)\\\\c:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}5\\-1\\3\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}-7\\3\\0\end{array}\right)\rightarrow S_c\,(5-7r|-1+3r|3)\end{align}Damit kannst Du nun den allgemeinen Verbindungsvektor berechnen:\begin{align}\overrightarrow{S_aS_c}=\vec{s_c}-\vec{s_a}=\left(\begin{array}{c} 5-7r\\-1+3r\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2-s\\-1+3s\\s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-7r+s\\3r-3s\\3-s\end{array}\right)\end{align}
Du hast jetzt also zwei Punkte, die auf der jeweiligen Gerade (Bedingung) einen beliebigen Wert annehmen können (variabel).
Erstelle ein Gleichungssystem aus der Bedingung, dass der Verbindungsvektor mal dem Richtungsvektor 0 ergibt.Aus den gegebenen Informationen kannst Du zwei Gleichungen aufstellen. Dazu bildest Du jeweils das Skalarprodukt aus dem Verbindungsvektor und einem der beiden Richtungsvektoren.\begin{align}\left(\begin{array}{c}3-7r+s\\3r-3s\\3-s\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right)&=0\\\\(3-7r+s)\cdot(-1)+(3r-3s)\cdot3+(3-s)\cdot1&=0\\\\\tag{I}16r-11s&=0\\\\\\\left(\begin{array}{c}3-7r+s\\3r-3s\\3-s\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-7\\3\\0\end{array}\right)&=0\\\\(3-7r+s)\cdot(-7)+(3r-3s)\cdot3+(3-s)\cdot0&=0\\\\\tag{II}58r-16s-21&=0\end{align}
Durch Auflösen des Gleichungssystems erhältst Du die Lotfußpunkte.Dazu löst Du erst das Gleichungssystem auf\begin{align}\tag{I}16r-11s&=0&&|+11s&&|:16\\\tag{I*}r&=\frac{11}{16}s\\\\\tag{I* in II}58\cdot\frac{11}{16}s-16s-21&=0\\\frac{191}{8}s-21&=0&&|+21&&|:\frac{191}{8}\\s&=\frac{168}{191}\\\\\tag{s in I*}r&=\frac{11}{16}\cdot\frac{168}{191}\\r&=\frac{231}{382}\end{align}und setzt die Werte in die laufenden Punkte ein:\begin{align}S_a\left(2-\frac{168}{191}\left|-1+3\cdot\frac{168}{191}\right|\frac{168}{191}\right)&\Rightarrow S_a\left(\frac{214}{191}\left|\frac{313}{191}\right|\frac{168}{191}\right)\\\\S_c\left(5-7\cdot\frac{231}{382}\left|-1+3\cdot\frac{231}{382}\right|3\right)&\Rightarrow S_c\left(\frac{293}{382}\left|\frac{311}{382}\right|3\right)\end{align}
Mit der Differenz der Lotfußpunkte erhältst Du den Abstand.Das ist dann der endgültige Verbindungsvektor.
\[\overrightarrow{S_aS_c}=\vec{s_c}-\vec{s_a}=\left(\begin{array}{c}\frac{293}{382}\\\frac{311}{382}\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\frac{214}{191}\\\frac{313}{191}\\\frac{168}{191}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{135}{382}\\-\frac{315}{382}\\\frac{405}{191}\end{array}\right)\]Noch die Länge ausrechnen, und Du hast den kleinsten Abstand und die zugehörigen Punkte gefunden.\[d(a, c)=\left|\overrightarrow{S_aS_c}\right|=\sqrt{\left(-\frac{135}{382}\right)^2+\left(-\frac{315}{382}\right)^2+\left(\frac{405}{191}\right)^2}=2,30\]
Wie auch beim Verfahren mit der Hilfsebene kommst Du zu dem Ergebnis, dass die windschiefen Geraden einen Abstand von \(2,3\,\text{LE}\) zwischen den Punkten \(S_a\,(1,12|1,64|0,88)\) und \(S_c\,(0,77|0,81|3)\) haben.
Abstand Geraden – Aufgaben mit Lösungen
Hier kannst Du nochmal alle 3 Verfahren üben. Viel Spaß!
Aufgabe 1
Berechne den Abstand der Geraden
\begin{align}a:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}0\\-4\\1\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\\\\b:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}2\\-4\\1\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\end{align}
mit der Abstandsformel.
Lösung
Anhand des Richtungsvektors kannst Du sehen, dass es sich hier um parallele Geraden handelt, es gilt also die Formel \(d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}\).
\begin{align}d&=\frac{\left|\left(\left(\begin{array}{c}0\\-4\\1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\-4\\1\end{array}\right)\right)\times\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c}-2\\0\\0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|\left(\begin{array}{rcl}0\cdot(-1)&-&0\cdot10\\0\cdot(-2)&-&(-1)\cdot2\\2\cdot10&-&0\cdot(-2)\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c}0\\2\\20\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\sqrt{0^2+2^2+20^2}}{\sqrt{(-2)^2+10^2+(-1)^2}}=1,96\end{align}
Der kleinste Abstand zwischen den Geraden beträgt \(1,96\) Längeneinheiten.
Aufgabe 2
Wende nun dasselbe Verfahren auf diese Geraden an:
\begin{align}b:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}2\\-4\\1\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\\\\c:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}3\\-2\\3\end{array}\right)+u\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\8\\-3\end{array}\right)\end{align}
Lösung
Hier sind die Richtungsvektoren weder gleich noch Vielfache voneinander. Es handelt sich also um windschiefe Geraden. Hier gilt demnach die Formel \(d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\).
Zuerst berechnest Du den Normalenvektor \(\vec{n}\). Dieser entsteht aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
\begin{align}\vec{n}&=\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-5\\8\\-3\end{array}\right)\\\\\vec{n}&=\left(\begin{array}{rcl}10\cdot(-3)&-&(-1)\cdot8\\-1\cdot(-5)&-&(-2)\cdot(-3)\\-2\cdot8&-&10\cdot(-5)\end{array}\right)\\\\\vec{n}&=\left(\begin{array}{c}-22\\-1\\34\end{array}\right)\end{align}
Danach kannst Du alles in die Abstandformel einsetzen:
\begin{align}d&=\frac{\left|\left(\left(\begin{array}{c}2\\-4\\1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\-2\\3\end{array}\right)\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-22\\-1\\34\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-22\\-1\\34\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\-2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-22\\-1\\34\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-22\\-1\\34\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|\left(\begin{array}{c}22\\2\\-68\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}-22\\-1\\34\end{array}\right)\right|}\\\\&=\frac{\left|22+2+(-68)\right|}{\sqrt{(-22)^2+(-1)^2+34^2}}=1,09\\\end{align}
Der kürzeste Abstand der windschiefen Geraden beträgt \(1,09\) Längeneinheiten.
Aufgabe 3
Finde nun mit einer Hilfsebene die Punkte heraus, in denen der Abstand am geringsten ist. Hier nochmal die Geradengleichungen:
\begin{align}b:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}2\\-4\\1\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\\\\c:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}3\\-2\\3\end{array}\right)+u\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\8\\-3\end{array}\right)\end{align}
Lösung
- Bestimme den Normalenvektor \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}\).Das hast Du schon in Aufgabe 2 gemacht. Die Lösung war \(\vec{n}=\left(\begin{array}{c}-22\\-1\\34\end{array}\right)\)
- Erstelle eine HilfsebeneHierfür kannst Du die Gleichung einer Geraden nehmen und addierst den Normalenvektor mal einem Skalar.\[E:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}2\\-4\\1\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)+v\cdot\left(\begin{array}{c}-22\\-1\\34\end{array}\right)\]
- Berechne die Werte der Skalare.Dazu setzt Du die Ebene mit der anderen Gerade gleich und erhältst ein lineares Gleichungssystem:\begin{align}\tag{I}2-2t-22v&=3-5u\\\tag{II}-4+10t-v&=-2+8u\\\tag{III}1-t+34v&=3-3u\\\\\tag{II}-4+10t-v&=-2+8u&&|+4-10t\\-v&=2+8u-10t&&|\cdot(-1)\\\tag{II*}v&=-2-8u+10t\\\\\tag{III}1-t+34v&=3-3u&&|-1-34v\\-t&=2-3u-34v&&|\cdot(-1)\\\tag{III*}t&=-2+3u+34v\\\\\tag{III* in I}2-2(-2+3u+34v)-22v&=3-5u\\6-6u-90v&=3-5u&&|-3+6u\\\tag{I*}3-90v&=u\\\\\tag{I* in III*}t&=-2+3(3-90v)+34v\\\tag{III**}t&=7-236v\\\\\tag{I* & III** in II*}v&=-2-8(3-90v)+10(7-236v)\\v&=44-1640v&&|+1640v\quad|:1641\\\tag{v}v&=\frac{44}{1641}\\\\\tag{v in III**}t&=7-236\cdot\frac{44}{1641}\\\tag{t}t&=\frac{1103}{1641}\\\\\tag{v in I*}u&=3-90\cdot\frac{44}{1641}\\\tag{u}u&=\frac{321}{547}\end{align}
- Berechne die Lotfußpunkte (Schnittpunkte) der Ebene mit den Geraden.Dazu setzt Du \(t\) und \(u\) in die jeweilige Geradengleichung ein.\begin{align}\vec{s_b}&=\left(\begin{array}{c}2\\-4\\1\end{array}\right)+\frac{1103}{1641}\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,656\\2,722\\0,328\end{array}\right)\\\\\vec{s_c}&=\left(\begin{array}{c}3\\-2\\3\end{array}\right)+\frac{321}{547}\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\8\\-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,066\\2,695\\1,240\end{array}\right)\end{align}Danach kannst Du den Verbindungsvektor der Schnittpunkte \(S_b\) und \(S_c\) bilden:\[\overrightarrow{S_bS_c}=\vec{s_c}-\vec{s_b}=\left(\begin{array}{c}0,066\\2,695\\1,240\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0,656\\2,722\\0,328\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0,59\\-0,027\\0,912\end{array}\right)\]
- Bestimme den Abstand der Schnittpunkte.\[d(b, c)=\left|\overrightarrow{S_bS_c}\right|=\sqrt{(-0,59)^2+(-0,027)^2+0,912^2}=1,087\]
Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt also \(1,087\,\text{LE}\).
Aufgabe 4
Überprüfe mit einem laufenden Punkt die Richtigkeit von Aufgabe 3.
\begin{align}b:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}2\\-4\\1\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\\\\c:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}3\\-2\\3\end{array}\right)+u\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\8\\-3\end{array}\right)\end{align}
Lösung
Bestimme die laufenden Punkte und stelle damit den allgemeinen Verbindungsvektor der Geraden auf.
Die laufenden Punkte erhältst Du, indem Du von beiden Gleichungen jede Zeile in eine Koordinate eines Punktes umwandelst:
\begin{align}b:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}2\\-4\\1\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)\rightarrow S_b\,(2-2t|-4+10t|1-t)\\\\c:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c}3\\-2\\3\end{array}\right)+u\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\8\\-3\end{array}\right)\rightarrow S_c\,(3-5u|-2+8u|3-3u)\end{align}Damit kannst Du nun den allgemeinen Verbindungsvektor berechnen:\begin{align}\overrightarrow{S_bS_c}=\vec{s_c}-\vec{s_a}=\left(\begin{array}{c}3-5u\\-2+8u\\3-3u\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2-2t\\-4+10t\\1-t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-5u+2t\\2+8u-10t\\2-3u+t\end{array}\right)\end{align}
Erstelle ein Gleichungssystem aus den Bedingungen, dass der Verbindungsvektor mal dem Richtungsvektor 0 ergibt, und löse es:\begin{align}\left(\begin{array}{c}1-5u+2t\\2+8u-10t\\2-3u+t\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)&=0\\\\(1-5u+2t)\cdot(-2)+(2+8u-10t)\cdot10+(2-3u+t)\cdot(-1)&=0\\\tag{I}16+93u-105t&=0&&|+105t\quad|:105\\\tag{I*}\frac{16}{105}+\frac{93}{105}u&=t\\\\\left(\begin{array}{c}1-5u+2t\\2+8u-10t\\2-3u+t\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\8\\-3\end{array}\right)&=0\\\\(1-5u+2t)\cdot(-5)+(2+8u-10t)\cdot8+(2-3u+t)\cdot(-3)&=0\\\tag{II}5+98u-93t&=0&&|+93t-5\quad|:98\\\tag{II*}u&=\frac{93}{98}t-\frac{5}{98}\\\\\tag{I* in II*}u&=\frac{93}{98}\cdot\left(\frac{16}{105}+\frac{93}{105}u\right)-\frac{5}{98}\\u&=\frac{321}{3430}+\frac{2883}{3430}u&&|-\frac{2883}{3430}\\\frac{547}{3430}u&=\frac{321}{3430}&&|:\frac{547}{3430}\\\tag{u}u&=\frac{321}{547}\\\\\tag{u in I*}\frac{16}{105}+\frac{93}{105}\cdot\frac{321}{547}&=t\\\tag{t}\frac{1103}{1641}&=t\end{align}
Mit der Differenz der Lotfußpunkte erhältst Du den Abstand.
Dazu setzt Du \(t\) und \(u\) in die jeweilige Geradengleichung ein.
Dazu setzt Du \(t\) und \(u\) in die jeweilige Geradengleichung ein.
\begin{align}\vec{s_b}&=\left(\begin{array}{c}2\\-4\\1\end{array}\right)+\frac{1103}{1641}\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\10\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,656\\2,722\\0,328\end{array}\right)\\\\\vec{s_c}&=\left(\begin{array}{c}3\\-2\\3\end{array}\right)+\frac{321}{547}\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\8\\-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,066\\2,695\\1,240\end{array}\right)\end{align}Danach kannst Du den Verbindungsvektor der Schnittpunkte \(S_b\) und \(S_c\) bilden:\[\overrightarrow{S_bS_c}=\vec{s_c}-\vec{s_b}=\left(\begin{array}{c}0,066\\2,695\\1,240\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0,656\\2,722\\0,328\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-0,59\\-0,027\\0,912\end{array}\right)\]
Bestimme den Abstand der Schnittpunkte.\[d(b, c)=\left|\overrightarrow{S_bS_c}\right|=\sqrt{(-0,59)^2+(-0,027)^2+0,912^2}=1,087\]
Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt wieder \(1,087\,\text{LE}\), Aufgabe 3 wurde also richtig gerechnet.
Abstand Geraden – Das Wichtigste auf einen Blick
- Es gibt verschiedene Lagebeziehungen zwischen Geraden:
- identisch
- echt parallel
- mit Schnittpunkt
- windschief
- Nur die Berechnung des Abstandes von echt parallelen und windschiefen Geraden ist sinnvoll, da identische Geraden keinen Abstand haben und welche mit Schnittpunkt haben einen minimalen Abstand von 0, da sie sich schneiden.
- Zur Berechnung des Abstandes gibt es dementsprechend mehrere Verfahren:
- Abstandsformel
- parallele Geraden: \(d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}\)
- windschiefe Geraden: \(d=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\)
- Lotfußpunktverfahren mit Hilfsebene
- Bestimme den Normalenvektor \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}\).
- Konstruiere eine Hilfsebene \(E:\vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{n}\).
- Berechne die Werte der Skalare.
- Berechne die Lotfußpunkte (Schnittpunkte) der Ebene mit den Geraden.
- Bestimme den Abstand der Schnittpunkte.
- Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt
- Bestimme die laufenden Punkte und stelle damit den allgemeinen Verbindungsvektor der Geraden auf.
- Erstelle ein Gleichungssystem aus der Bedingung, dass der Verbindungsvektor mal dem Richtungsvektor 0 ergibt.
- Durch Auflösen des Gleichungssystems erhältst Du die Lotfußpunkte.
- Mit der Differenz der Lotfußpunkte erhältst Du den Abstand.
Nachweise
- Schuchmann, Marco (Dr.) (2012), Jetzt lerne ich analytische Geometrie für die Oberstufe, www.mathe-total.de
- Heinrich, Rainer (1998), Mathematik entdecken, verstehen, anwenden. Oberstufe. Analytische Geometrie/Lineare Algebra, Oldenbourg Schulbuchverlag
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