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Winkelsumme Vieleck

Um eine Rasenfläche soll ein Zaun gespannt werden. Bei der Planung wird zuerst ein Grundriss der Fläche hinzugezogen. Leider fehlt eine Beschriftung einer Winkelgröße ɑ. Die Winkelgrößen werden zu der korrekten Abmessung der Zäune benötigt. Um die Größe des Winkels zu ermitteln, kann die Winkelsumme im Vieleck als Hilfe dienen!

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Winkelsumme Vieleck

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Winkelsumme Vieleck Rasenfläche Winkelsumme im n-Eck StudySmarter
Abbildung 1: Grundriss einer Rasenfläche

Um eine Rasenfläche soll ein Zaun gespannt werden. Bei der Planung wird zuerst ein Grundriss der Fläche hinzugezogen. Leider fehlt eine Beschriftung einer Winkelgröße ɑ. Die Winkelgrößen werden zu der korrekten Abmessung der Zäune benötigt. Um die Größe des Winkels zu ermitteln, kann die Winkelsumme im Vieleck als Hilfe dienen!

Winkelsumme im n-Eck

Winkelsumme Vieleck Winkelsumme Vieleck zeichnen StudySmarterAbbildung 2: Winkel im Vieleck

Ein Vieleck hat eine Anzahl an n Ecken und muss mindestens drei miteinander verbundene Eckpunkte besitzen. Die Innenwinkel in einem Vieleck liegen an den Eckpunkten und entstehen zwischen den Seiten des Vielecks, die sich an den Eckpunkten treffen. Ein Vieleck mit einer Anzahl von n Ecken hat dementsprechend auch pro Ecke einen Winkel, das bedeutet eine insgesamte Anzahl von n Winkeln.

Vielecke werden auch n - Ecke genannt. In dieser Erklärung werden beide Begriffe als Synonym verwendet!

Ein Vieleck mit einer Anzahl von n Ecken hat eine Anzahl von n Winkeln.

Weil jedes n-Eck eine Anzahl von n Winkeln hat, können diese Winkel zu der sogenannten Winkelsumme addiert werden.

Winkelsumme in Vielecken – Formel

Um die Winkelsumme in einem Vieleck zu berechnen, gibt es eine bestimmte Formel. Diese Formel gilt für alle Arten von Vielecken, also sowohl für regelmäßige als auch für unregelmäßige Vielecke.

Was war nochmal der Unterschied zwischen einem regelmäßigen und einem unregelmäßigen Vieleck?

  • regelmäßige Vielecke haben gleich lange Seiten und gleich große Winkel
  • unregelmäßige Vielecke haben weder gleich lange Seiten noch gleich große Winkel

Die Formel zur Berechnung der Winkelsumme kannst Du also für jedes beliebige n-Eck anwenden.

Die Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme in einem Vieleck mit einer Anzahl an n Ecken lautet:

(n-2)·180°

Die Variable n steht dabei für die Anzahl an Ecken in dem Vieleck. Um die Formel verständlicher zu machen, ist es sinnvoll, sich dazu ein Beispiel anzuschauen.

Aufgabe 1

Gegeben ist ein n-Eck mit einer Anzahl von n=8 Ecken. Berechne die Innenwinkelsumme des Vielecks.

Lösung

Den gegebenen Wert für n setzt Du in die Formel (n-2)·180° ein.

n=8(8-2)·180°=6·180°=1080°

Die Innenwinkelsumme in einem Achteck beträgt 1080°.

Um die Innenwinkelsumme zu ermitteln, setzt Du also die Anzahl n an Ecken in einem Vieleck in die Formel ein.

Winkelsumme – regelmäßiges n-Eck

Winkelsumme Vieleck Siebeneck Winkelsumme regelmäßiges n-Eck StudySmarterAbbildung 3: regelmäßiges Vieleck

In einem regelmäßigen n-Eck kannst Du die oben aufgeführte Formel genauso anwenden. Das Besondere an einem regelmäßigen Vieleck ist, dass alle Innenwinkel die gleiche Größe haben. Um die Größe eines einzelnen Winkels in einem regelmäßigen n-Eck zu berechnen, gibt es eine Formel.

In einem regelmäßigen Vieleck mit einer Anzahl an n Ecken lassen sich die Größe der Innenwinkel ɑ mit der folgenden Formel berechnen:

α=180°-360°n

Das bedeutet, dass Du immer nur eine Größenangabe für die Winkel in einem regelmäßigen Vieleck benötigst, da alle Winkel gleich groß sind.

Winkelsumme Vieleck Achteck Winkelsumme regelmäßiges n-Eck StudySmarterAbbildung 4: regelmäßiges Achteck

Du hast ein regelmäßiges Achteck vorliegen. Um die Innenwinkelsumme zu berechnen, kannst Du die Anzahl n an Ecken in die Formel (n-2)·180° einsetzen.

n=8(8-2)·180°=6·180°=1080°

Um das zu überprüfen, kannst Du ebenfalls die Größe des einzelnen Winkels ɑ mithilfe der zugehörigen Formel α=180°-360°n berechnen.

n=8α=180°-360°8α=180°-45°α=135°

Der Winkel ɑ hat eine Größe von 135°. Weil in einem regelmäßigen Vieleck alle Winkel gleich groß sind, muss also jeder Innenwinkel eine Größe von 135° haben. Um die Winkelsumme zu ermitteln, kannst Du die Größe des Winkels ɑ mit der Anzahl n an Ecken multiplizieren.

n=8α=135°8·135°=1080°

Die Innenwinkelsummen stimmen bei beiden Berechnungsweisen überein.

Und wie lassen sich die Winkel in einem Vieleck zeichnen?

Winkelsumme im Vieleck zeichnen

Winkelsumme Vieleck Winkelsumme Vieleck zeichnen StudySmarterAbbildung 5: unregelmäßiges Vieleck

Winkel werden an den Ecken von Vielecken eingezeichnet. Sie werden durch Kreisabschnitte an die Ecken angezeichnet und mit griechischen Kleinbuchstaben beschriftet (alpha ɑ, beta β, gamma γ...). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn.

Wie Du ein Vieleck mithilfe von Seiten und Winkeln zeichnest beziehungsweise konstruierst, kannst Du Dir in dem folgenden Beispiel anschauen.

Für dieses Beispiel benötigst Du ein Geodreieck!

Winkelsumme Vieleck Konstruktion Winkelsumme Vieleck zeichnen StudySmarter

Aufgabe 2

Zeichne ein n-Eck mit einer Anzahl von 3 Ecken mithilfe der folgenden Angaben:

AB=8 cmα=40°β=60°

Lösung

Zu zeichnen ist ein Dreieck. Du beginnst damit, die gegebene Strecke AB zu zeichnen.

Winkelsumme Vieleck Konstruktion Winkelsumme Vieleck zeichnen StudySmarterAbbildung 6: Strecke zwischen Punkt A und B

Der Winkel ɑ befindet sich an dem Punkt A und der Winkel β an dem Punkt B. Um das Dreieck weiterhin zu zeichnen, zeichnest Du die Winkel mit den gegebenen Größen jeweils an den Punkten an.

Winkelsumme Vieleck Konstruktion Winkelsumme Vieleck zeichnen StudySmarterAbbildung 7: Winkel abtragen

Danach zeichnest Du durch die Punkte A und B und die Punkte A' und B' jeweils Halbgeraden. Dort, wo sich die Halbgeraden schneiden, befindet sich dann der dritte Eckpunkt C.

Winkelsumme Vieleck Konstruktion Winkelsumme Vieleck zeichnen StudySmarterAbbildung 8: Dreieck konstruieren

So sieht dann das gezeichnete Dreieck aus. Wie Du vielleicht schon weißt, haben alle Dreiecke eine Innenwinkelsumme von 180°, wie groß ist jetzt der Winkel an dem gezeichneten Eckpunkt?

180°-(40°+60°)=180°-100°=80°

Der letzte Winkel γ=80°.

Schau Dir zum Winkel zeichnen und messen gerne die Erklärung "Winkel messen" an.

Im nächsten Abschnitt erfährst Du, wie Du die Winkelsumme in unterschiedlichen Vielecken berechnest!

Winkelsumme Vieleck – berechnen

Winkelsumme Vieleck Winkelsumme Vieleck berechnen StudySmarter

Die Formel zu Berechnung der Winkelsumme in einem Vieleck hast Du ja schon gesehen. Aber wie sieht diese Formel konkret in der Anwendung aus? Und wie erklärt sich diese Formel überhaupt?

Mithilfe der gegebenen Formel (n-2)·180° kannst Du eine Wertetabelle erstellen, die die Winkelsumme von mehreren Arten von Vielecken angibt. Dafür setzt Du die Anzahl n an Ecken in die Formel ein:

Art von n-EckWinkelsumme
Dreieck
(3-2)·180°=180°
Viereck
(4-2)·180°=360°
Fünfeck
(5-2)·180°=540°
Sechseck
(6-2)·180°=720°
...
...
Dreizehneck
(13-2)·180°=1980°
n-Eck
(n-2)·180°

An dieser Wertetabelle kannst Du Dich für die Berechnung der Innenwinkelsumme von vielen Arten von Vielecken orientieren.

Es gibt für die Berechnung des Vielecks noch einige andere Formeln. Schau Dir diese gerne in der folgenden Vertiefung an.

n-Eck Formel

Die Formeln zur Berechnung eines Vielecks können in einer Tabelle veranschaulicht werden.

Angabenregelmäßiges Vieleckunregelmäßiges Vieleck
Winkelsumme
(n-2)·180°
(n-2)·180°
Anzahl an Diagonalen
n·(n-3)2
n·(n-3)2
Umfang
U=n·a
U=a+b+c+d+...
Flächeninhalt
A=n2·a·r1=n2·r22·sin(α)
  • Unterteile das Vieleck in Dir bekannte Figuren
  • Berechne den Flächeninhalt der jeweiligen Figuren
  • Addiere den Flächeninhalt aller Figuren

Genaueres zu Vielecken kannst Du Dir im Artikel "Vielecke" anschauen!

Und wie sieht das jetzt mit dem Zaun aus Abbildung 1 aus? Wie groß ist der Winkel ɑ?

Aufgabe 3

Winkelsumme Vieleck Rasenfläche Winkelsumme im Vieleck Aufgaben StudySmarterAbbildung 9: Grundriss Rasenfläche

Berechne die Größe des fehlenden Winkels ɑ.

Lösung

Der Grundriss der Rasenfläche hat die Form eines Fünfecks. Zuerst berechnest Du die gesamte Innenwinkelsumme in einem Fünfeck allgemein mit der Formel (n-2)·180°.

id="2952340" role="math" n=5(n-2)·180°=(5-2)·180°=3·180°=540°

Danach addierst Du alle gegebenen Winkel in dem Vieleck:

85°+75°+75°+232°=467°

Diese Summe subtrahierst Du von der Innenwinkelsumme eines Fünfecks, um den fehlenden Winkel ɑ zu berechnen.

540°-467°=73°

Der Winkel α=73°.

Mithilfe der Formel kannst Du nicht nur die Winkelsumme oder fehlende Winkel eines Vielecks berechnen, sondern auch die Anzahl n an Ecken eines unbekannten Vielecks ermitteln.

Aufgabe 4

Berechne die Anzahl n an Ecken in einem Vieleck mit der Innenwinkelsumme 2520°.

Lösung

Setze die Angabe zur Innenwinkelsumme der Formel (n-2)·180° gleich.

(n-2)·180°=2520°

Löse die Gleichung nach n auf:

(n-2)·180°=2520° ÷180°n-2=14 +2n=16

Ein Vieleck mit einer Innenwinkelsumme von 2520° hat eine Anzahl von n=16 Ecken.

Die Formel kannst Du also vielseitig einsetzen.

Winkelsumme im n-Eck – Beweis

Und wie kommt es überhaupt zu der Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme? Schau Dir den Beweis der Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme in diesem Abschnitt an!

In einem beliebigen n-Eck gibt es eine Anzahl an n Eckpunkten. Verbindest Du einen Eckpunkt mit anderen Eckpunkten, entsteht eine Anzahl von n-2 Dreiecken.

Zur Veranschaulichung kannst Du Dir den Beweis anhand eines n-Ecks mit einer Anzahl von n=5 Ecken anschauen. Das Fünfeck kannst Du in n-2 Dreiecke zerlegen, also in 5-2=3 Dreiecke:

Winkelsumme Vieleck Fünfeck Winkelsumme n-Eck Beweis StudySmarterAbbildung 10: n-2 Dreiecke im Fünfeck

Verbindest Du einen Eckpunkt mit zwei weiteren Eckpunkten, so entstehen drei Dreiecke.

Ein Dreieck hat, wie Du vielleicht schon weißt, eine Innenwinkelsumme von 180°. Wenn also in einem beliebigen n-Eck eine Anzahl von n-2 Dreiecken entstanden sind, hat hier auch jedes entstandene Dreieck eine Innenwinkelsumme von 180°. In dem Vieleck entstehen an jedem Eckpunkt ein oder mehrere Winkel.

In jedem Dreieck entstehen dann auch jeweils drei Winkel:

Winkelsumme Vieleck Fünfeck Winkelsumme n-Eck Beweis StudySmarterAbbildung 11: Winkel in den jeweiligen Dreiecken

In jedem dieser Dreiecke beträgt die Innenwinkelsumme 180°.

Um jetzt die gesamte Innenwinkelsumme zu berechnen, wird die Anzahl an entstandenen Dreiecken n-2 mit der Innenwinkelsumme von Dreiecken 180° multipliziert:

(n-2)·180°

In dem Fünfeck ist eine Anzahl von drei Dreiecken entstanden. Jeder dieser Dreiecke hat die Innenwinkelsumme 180°.

Winkelsumme Vieleck Fünfeck Winkelsumme n-Eck Beweis StudySmarterAbbildung 12: Größe der Innenwinkelsumme der Dreiecken

Um jetzt die gesamte Innenwinkelsumme des Vielecks zu berechnen, multiplizierst Du die Anzahl an Dreiecken mit der Innenwinkelsumme der Dreiecke:

n=5n-2=5-2=33·180°=540°

Oder Du addierst die Innenwinkelsummen der einzelnen Dreiecke:

180°+180°+180°=540°

Ein Fünfeck hat eine Innenwinkelsumme von 540°.

Wenn Du einem n-Eck noch einen Eckpunkt hinzufügst, so kann ein Dreieck mehr entstehen. Das bedeutet dann, dass die Innenwinkelsumme um 180° größer wird.

Füge dem Fünfeck noch einen Eckpunkt an und es wird zum Sechseck.

Winkelsumme Vieleck Sechseck Winkelsumme n-Eck Beweis StudySmarterAbbildung 13: Sechseck unterteilt in vier Dreiecke

Hier kannst Du jetzt – durch das Hinzufügen eines Punkts – ein Dreieck mehr einzeichnen. Jetzt hast Du vier Dreiecke vorliegen. Das bedeutet, die Innenwinkelsumme ist um 180° größer als die Innenwinkelsumme im Fünfeck.

id="2952347" role="math" n=6(n-2)·180°=(6-2)·180°=4·180°=720°

Die Innenwinkelsumme in einem Sechseck beträgt 720°.

Und so kannst Du die Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme in einem beliebigen Vieleck beweisen.

Winkelsumme im Vieleck – Aufgaben

Hier kannst Du Dein Können zur Winkelsumme im Vieleck überprüfen! Solltest Du irgendwo nicht mehr weiterkommen, dann scroll gerne einfach hoch und lies Dir die Definition nochmal durch!

Aufgabe 5

Berechne die fehlende Winkelgröße in dem folgenden Vieleck:

Winkelsumme Vieleck Sechseck Winkelsumme im Vieleck Aufgaben StudySmarterAbbildung 14: Sechseck mit fehlendem Winkel

Lösung

Das Vieleck ist ein Sechseck. Die Innenwinkelsumme in einem Sechseck beträgt:

(6-2)·180°=4·180°=720°

Addiere alle gegebenen Winkel:

126°+108°+131°+105°+148°=618°

Subtrahiere das Ergebnis von der gesamten Innenwinkelsumme, um den fehlenden Winkel zu berechnen.

720°-618°=102°

Der fehlende Winkel hat eine Größe von 102°.

Aufgabe 6

Berechne die Anzahl n an Ecken in einem Vieleck mit einer Innenwinkelsumme von 4860°.

Lösung

Setze die Innenwinkelsumme der Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme gleich:

(n-2)·180°=4860°

Löse die Gleichung nach n auf:

(n-2)·180°=4860° ÷180°n-2=27 +2n=29

Das Vieleck mit einer Innenwinkelsumme von 4860° hat eine Anzahl von n=29 Ecken.

Winkelsumme Vieleck – Das Wichtigste

  • Vielecke werden auch n-Ecke genannt
  • Ein Vieleck mit einer Anzahl von n Ecken hat eine Anzahl von n Winkeln
  • Die Formel zur Berechnung der Winkelsumme ist (n-2)·180°
  • Bei der Formel ist es irrelevant, ob das Vieleck regelmäßig oder unregelmäßig ist
  • In einem regelmäßigen Vieleck sind alle Winkel gleich groß und alle Seiten gleichlang
  • Um die Winkelgröße in einem regelmäßigen Vieleck zu berechnen, kann die Formel α=180°-360°n angewendet werden

Nachweise

  1. Becker et al. (2015). Duden Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.
  2. Dorn et al. (2009). Gymnasium – Tafelwerk. Ernst Klett Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkelsumme Vieleck

Die Winkelsumme in einem n-Eck hat eine Größe von (n-2)⋅180°. Das n steht dabei für die Anzahl an Ecken in einem Vieleck.

Ein n-Eck wird auch Vieleck oder Polygon genannt. Es hat mindestens drei durch Strecken verbundene Eckpunkte. Bekannte Vielecke sind beispielsweise Dreiecke, Vierecke oder ein Oktagon (Form eines Stoppschilds).

Die Winkelsumme in einem n-Eck wird mithilfe der Formel (n-2)⋅180° berechnet. Das n steht dabei für die Anzahl an Ecken.

Die Innenwinkelsumme eines Vielecks wird durch die Formel (n-2)⋅180° berechnet. Das n steht für die Anzahl an Ecken in einem Vieleck.

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