Abbildung 1: Grundriss einer Rasenfläche
Um eine Rasenfläche soll ein Zaun gespannt werden. Bei der Planung wird zuerst ein Grundriss der Fläche hinzugezogen. Leider fehlt eine Beschriftung einer Winkelgröße ɑ. Die Winkelgrößen werden zu der korrekten Abmessung der Zäune benötigt. Um die Größe des Winkels zu ermitteln, kann die Winkelsumme im Vieleck als Hilfe dienen!
Winkelsumme im n-Eck
Abbildung 2: Winkel im Vieleck
Ein Vieleck hat eine Anzahl an Ecken und muss mindestens drei miteinander verbundene Eckpunkte besitzen. Die Innenwinkel in einem Vieleck liegen an den Eckpunkten und entstehen zwischen den Seiten des Vielecks, die sich an den Eckpunkten treffen. Ein Vieleck mit einer Anzahl von Ecken hat dementsprechend auch pro Ecke einen Winkel, das bedeutet eine insgesamte Anzahl von Winkeln.
Vielecke werden auch n - Ecke genannt. In dieser Erklärung werden beide Begriffe als Synonym verwendet!
Ein Vieleck mit einer Anzahl von Ecken hat eine Anzahl von Winkeln.
Weil jedes Eck eine Anzahl von Winkeln hat, können diese Winkel zu der sogenannten Winkelsumme addiert werden.
Winkelsumme in Vielecken – Formel
Um die Winkelsumme in einem Vieleck zu berechnen, gibt es eine bestimmte Formel. Diese Formel gilt für alle Arten von Vielecken, also sowohl für regelmäßige als auch für unregelmäßige Vielecke.
Was war nochmal der Unterschied zwischen einem regelmäßigen und einem unregelmäßigen Vieleck?
- regelmäßige Vielecke haben gleich lange Seiten und gleich große Winkel
- unregelmäßige Vielecke haben weder gleich lange Seiten noch gleich große Winkel
Die Formel zur Berechnung der Winkelsumme kannst Du also für jedes beliebige Eck anwenden.
Die Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme in einem Vieleck mit einer Anzahl an Ecken lautet:
Die Variable steht dabei für die Anzahl an Ecken in dem Vieleck. Um die Formel verständlicher zu machen, ist es sinnvoll, sich dazu ein Beispiel anzuschauen.
Aufgabe 1
Gegeben ist ein Eck mit einer Anzahl von Ecken. Berechne die Innenwinkelsumme des Vielecks.
Lösung
Den gegebenen Wert für setzt Du in die Formel ein.
Die Innenwinkelsumme in einem Achteck beträgt .
Um die Innenwinkelsumme zu ermitteln, setzt Du also die Anzahl an Ecken in einem Vieleck in die Formel ein.
Winkelsumme – regelmäßiges n-Eck
Abbildung 3: regelmäßiges Vieleck
In einem regelmäßigen Eck kannst Du die oben aufgeführte Formel genauso anwenden. Das Besondere an einem regelmäßigen Vieleck ist, dass alle Innenwinkel die gleiche Größe haben. Um die Größe eines einzelnen Winkels in einem regelmäßigen Eck zu berechnen, gibt es eine Formel.
In einem regelmäßigen Vieleck mit einer Anzahl an Ecken lassen sich die Größe der Innenwinkel ɑ mit der folgenden Formel berechnen:
Das bedeutet, dass Du immer nur eine Größenangabe für die Winkel in einem regelmäßigen Vieleck benötigst, da alle Winkel gleich groß sind.
Abbildung 4: regelmäßiges Achteck
Du hast ein regelmäßiges Achteck vorliegen. Um die Innenwinkelsumme zu berechnen, kannst Du die Anzahl an Ecken in die Formel einsetzen.
Um das zu überprüfen, kannst Du ebenfalls die Größe des einzelnen Winkels ɑ mithilfe der zugehörigen Formel berechnen.
Der Winkel ɑ hat eine Größe von . Weil in einem regelmäßigen Vieleck alle Winkel gleich groß sind, muss also jeder Innenwinkel eine Größe von haben. Um die Winkelsumme zu ermitteln, kannst Du die Größe des Winkels ɑ mit der Anzahl an Ecken multiplizieren.
Die Innenwinkelsummen stimmen bei beiden Berechnungsweisen überein.
Und wie lassen sich die Winkel in einem Vieleck zeichnen?
Winkelsumme im Vieleck zeichnen
Abbildung 5: unregelmäßiges Vieleck
Winkel werden an den Ecken von Vielecken eingezeichnet. Sie werden durch Kreisabschnitte an die Ecken angezeichnet und mit griechischen Kleinbuchstaben beschriftet (alpha ɑ, beta β, gamma γ...). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn.
Wie Du ein Vieleck mithilfe von Seiten und Winkeln zeichnest beziehungsweise konstruierst, kannst Du Dir in dem folgenden Beispiel anschauen.
Für dieses Beispiel benötigst Du ein Geodreieck!
Aufgabe 2
Zeichne ein Eck mit einer Anzahl von Ecken mithilfe der folgenden Angaben:
Lösung
Zu zeichnen ist ein Dreieck. Du beginnst damit, die gegebene Strecke zu zeichnen.
Abbildung 6: Strecke zwischen Punkt A und B
Der Winkel ɑ befindet sich an dem Punkt A und der Winkel β an dem Punkt B. Um das Dreieck weiterhin zu zeichnen, zeichnest Du die Winkel mit den gegebenen Größen jeweils an den Punkten an.
Abbildung 7: Winkel abtragen
Danach zeichnest Du durch die Punkte A und B und die Punkte A' und B' jeweils Halbgeraden. Dort, wo sich die Halbgeraden schneiden, befindet sich dann der dritte Eckpunkt C.
Abbildung 8: Dreieck konstruieren
So sieht dann das gezeichnete Dreieck aus. Wie Du vielleicht schon weißt, haben alle Dreiecke eine Innenwinkelsumme von , wie groß ist jetzt der Winkel an dem gezeichneten Eckpunkt?
Der letzte Winkel .
Schau Dir zum Winkel zeichnen und messen gerne die Erklärung "Winkel messen" an.
Im nächsten Abschnitt erfährst Du, wie Du die Winkelsumme in unterschiedlichen Vielecken berechnest!
Winkelsumme Vieleck – berechnen
Die Formel zu Berechnung der Winkelsumme in einem Vieleck hast Du ja schon gesehen. Aber wie sieht diese Formel konkret in der Anwendung aus? Und wie erklärt sich diese Formel überhaupt?
Mithilfe der gegebenen Formel kannst Du eine Wertetabelle erstellen, die die Winkelsumme von mehreren Arten von Vielecken angibt. Dafür setzt Du die Anzahl an Ecken in die Formel ein:
| Art von Eck | Winkelsumme |
| Dreieck | |
| Viereck | |
| Fünfeck | |
| Sechseck | |
| ... | ... |
| Dreizehneck | |
| Eck | |
An dieser Wertetabelle kannst Du Dich für die Berechnung der Innenwinkelsumme von vielen Arten von Vielecken orientieren.
Es gibt für die Berechnung des Vielecks noch einige andere Formeln. Schau Dir diese gerne in der folgenden Vertiefung an.
Eck Formel
Die Formeln zur Berechnung eines Vielecks können in einer Tabelle veranschaulicht werden.
| Angaben | regelmäßiges Vieleck | unregelmäßiges Vieleck |
| Winkelsumme | | |
| Anzahl an Diagonalen | | |
| Umfang | | |
| Flächeninhalt | | - Unterteile das Vieleck in Dir bekannte Figuren
- Berechne den Flächeninhalt der jeweiligen Figuren
- Addiere den Flächeninhalt aller Figuren
|
Genaueres zu Vielecken kannst Du Dir im Artikel "Vielecke" anschauen!
Und wie sieht das jetzt mit dem Zaun aus Abbildung 1 aus? Wie groß ist der Winkel ɑ?
Aufgabe 3
Abbildung 9: Grundriss Rasenfläche
Berechne die Größe des fehlenden Winkels ɑ.
Lösung
Der Grundriss der Rasenfläche hat die Form eines Fünfecks. Zuerst berechnest Du die gesamte Innenwinkelsumme in einem Fünfeck allgemein mit der Formel .
id="2952340" role="math"
Danach addierst Du alle gegebenen Winkel in dem Vieleck:
Diese Summe subtrahierst Du von der Innenwinkelsumme eines Fünfecks, um den fehlenden Winkel ɑ zu berechnen.
Der Winkel .
Mithilfe der Formel kannst Du nicht nur die Winkelsumme oder fehlende Winkel eines Vielecks berechnen, sondern auch die Anzahl an Ecken eines unbekannten Vielecks ermitteln.
Aufgabe 4
Berechne die Anzahl an Ecken in einem Vieleck mit der Innenwinkelsumme .
Lösung
Setze die Angabe zur Innenwinkelsumme der Formel gleich.
Löse die Gleichung nach auf:
Ein Vieleck mit einer Innenwinkelsumme von hat eine Anzahl von Ecken.
Die Formel kannst Du also vielseitig einsetzen.
Winkelsumme im n-Eck – Beweis
Und wie kommt es überhaupt zu der Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme? Schau Dir den Beweis der Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme in diesem Abschnitt an!
In einem beliebigen Eck gibt es eine Anzahl an Eckpunkten. Verbindest Du einen Eckpunkt mit anderen Eckpunkten, entsteht eine Anzahl von Dreiecken.
Zur Veranschaulichung kannst Du Dir den Beweis anhand eines Ecks mit einer Anzahl von Ecken anschauen. Das Fünfeck kannst Du in Dreiecke zerlegen, also in Dreiecke:
Abbildung 10: n-2 Dreiecke im Fünfeck
Verbindest Du einen Eckpunkt mit zwei weiteren Eckpunkten, so entstehen drei Dreiecke.
Ein Dreieck hat, wie Du vielleicht schon weißt, eine Innenwinkelsumme von . Wenn also in einem beliebigen Eck eine Anzahl von Dreiecken entstanden sind, hat hier auch jedes entstandene Dreieck eine Innenwinkelsumme von . In dem Vieleck entstehen an jedem Eckpunkt ein oder mehrere Winkel.
In jedem Dreieck entstehen dann auch jeweils drei Winkel:
Abbildung 11: Winkel in den jeweiligen Dreiecken
In jedem dieser Dreiecke beträgt die Innenwinkelsumme .
Um jetzt die gesamte Innenwinkelsumme zu berechnen, wird die Anzahl an entstandenen Dreiecken mit der Innenwinkelsumme von Dreiecken multipliziert:
In dem Fünfeck ist eine Anzahl von drei Dreiecken entstanden. Jeder dieser Dreiecke hat die Innenwinkelsumme .
Abbildung 12: Größe der Innenwinkelsumme der Dreiecken
Um jetzt die gesamte Innenwinkelsumme des Vielecks zu berechnen, multiplizierst Du die Anzahl an Dreiecken mit der Innenwinkelsumme der Dreiecke:
Oder Du addierst die Innenwinkelsummen der einzelnen Dreiecke:
Ein Fünfeck hat eine Innenwinkelsumme von .
Wenn Du einem Eck noch einen Eckpunkt hinzufügst, so kann ein Dreieck mehr entstehen. Das bedeutet dann, dass die Innenwinkelsumme um größer wird.
Füge dem Fünfeck noch einen Eckpunkt an und es wird zum Sechseck.
Abbildung 13: Sechseck unterteilt in vier Dreiecke
Hier kannst Du jetzt – durch das Hinzufügen eines Punkts – ein Dreieck mehr einzeichnen. Jetzt hast Du vier Dreiecke vorliegen. Das bedeutet, die Innenwinkelsumme ist um größer als die Innenwinkelsumme im Fünfeck.
id="2952347" role="math"
Die Innenwinkelsumme in einem Sechseck beträgt .
Und so kannst Du die Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme in einem beliebigen Vieleck beweisen.
Winkelsumme im Vieleck – Aufgaben
Hier kannst Du Dein Können zur Winkelsumme im Vieleck überprüfen! Solltest Du irgendwo nicht mehr weiterkommen, dann scroll gerne einfach hoch und lies Dir die Definition nochmal durch!
Aufgabe 5
Berechne die fehlende Winkelgröße in dem folgenden Vieleck:
Abbildung 14: Sechseck mit fehlendem Winkel
Lösung
Das Vieleck ist ein Sechseck. Die Innenwinkelsumme in einem Sechseck beträgt:
Addiere alle gegebenen Winkel:
Subtrahiere das Ergebnis von der gesamten Innenwinkelsumme, um den fehlenden Winkel zu berechnen.
Der fehlende Winkel hat eine Größe von .
Aufgabe 6
Berechne die Anzahl an Ecken in einem Vieleck mit einer Innenwinkelsumme von .
Lösung
Setze die Innenwinkelsumme der Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme gleich:
Löse die Gleichung nach auf:
Das Vieleck mit einer Innenwinkelsumme von hat eine Anzahl von Ecken.
Winkelsumme Vieleck – Das Wichtigste
- Vielecke werden auch Ecke genannt
- Ein Vieleck mit einer Anzahl von Ecken hat eine Anzahl von Winkeln
- Die Formel zur Berechnung der Winkelsumme ist
- Bei der Formel ist es irrelevant, ob das Vieleck regelmäßig oder unregelmäßig ist
- In einem regelmäßigen Vieleck sind alle Winkel gleich groß und alle Seiten gleichlang
- Um die Winkelgröße in einem regelmäßigen Vieleck zu berechnen, kann die Formel angewendet werden
Nachweise
- Becker et al. (2015). Duden Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.
- Dorn et al. (2009). Gymnasium – Tafelwerk. Ernst Klett Verlag.
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